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2013 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
理 科 数 学
参考公式：如果事件A、B 互斥，那么
如果事件A、B 独立，那么
。
第Ⅰ卷（共60 分）
一、选择题：本大题共12 小题。每小题5 分共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、复数
满组
（
为虚数单位），则
的共轭复数
为
(A)
(B)
(C)
(D)
2、已知集合
，则集合
中元素的个数是
(A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 9
3、已知函数
为奇函数，且当
时，
则
(A) -2 (B) 0 (C) 1 (D) 2
4、已知三棱柱
的侧棱与底面垂直，体积为
，底面是边长为
的正三角形，若
为底面
的
中心，则
与平面
所成角的大小为
(A)
(B)
(C)
(D)
5、将函数
的图象沿
轴向左平移
个单位后，得到一个偶函数的图象，则
的一个可能取值为
(A)
(B)
(C)
(D)
6、在平面直角坐标系
中，
为不等式组
所表示的区域上一动点，则直线
的斜率的最
小值为
(A) 2 (B) 1 (C)
(D)
7、给定两个命题
若
是
的必要不充分条件，则
是
的
(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
8、函数
的图象大致为
1
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
(A) (B) (C) (D)
9、过点
作圆
的两条切线，切点分别为
，则直线
的方程为
(A)
(B)
(C)
(D)
10、用0，1，…，9 十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为
(A) 243 (B) 252 (C) 261 (D) 279
11、抛物线
的焦点与双曲线
的右焦点的连线交
于第一象限的点
若
在点
处的切线平行于
的一条渐近线，则
(A)
(B)
(C)
(D)
12、设正实数
满足
则当
取得最大值时，
的最大值为
(A) 0 (B) 1 (C)
(D)
第Ⅱ卷（共90 分）
二、填空题：本大题共4 小题，每小题4 分，共16 分。
13、执行右图所示的程序框图，若输入
的值为0.25，
则输出的
的值为 _______.
14、在区间
上随机取一个数
，
使得
成立的概率为______.
15、已知向量
与
的夹角为
，
且
若
，
且
，则实数
的值为____________.
16、定义“正对数”：
现有四个命题：
①若
，则
；
②若
，则
；
2
是
结 束
输出
否
开 始
输入
0
1
1,
2,
1
F
F
n
1
0
1
F
F
F
0
1
0
F
F
F
1
n
n
1
1
F
③若
，则
；
④若
，则
.
其中的真命题有__________.（写出所有真命题的编号）
三、解答题：本大题共6 小题，共74 分.
17、（本小题满分12 分）
设
的内角
所对的边分别为
，且
.
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求
的值.
18、（本小题满分12 分）
如图所示，在三棱锥
中，
，
，
分别是
的中点，
，
与
交于点
，
与
交于点
，连接
.
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值。
19、（本小题满分12 分）
甲、乙两支球队进行比赛，约定先胜3 局者获得比赛的胜利，比赛随即结束。除第五局甲队获胜的概率是
外，
其余每局比赛甲队获胜的概率都是
。假设各局比赛结果相互独立。
（Ⅰ）分别求甲队以3：0，3：1，3：2 胜利的概率；
（Ⅱ）若比赛结果为3：0 或3：1，则胜利方得3 分、对方得0 分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2 分、对方得1 分。
求乙队得分
的分布列和数学期望。
3
F
P
H
E
G
A
C
B
Q
D
20、（本小题满分12 分）
设等差数列
的前
项和为
，且
（Ⅰ）求数列
的通项公式；
（Ⅱ）设数列
的前
项和为
，且
（
为常数）。令
，求数列
的前
项和
。
21、（本小题满分13 分）
设函数
（
是自然对数的底数，
）
（Ⅰ）求
的单调区间、最大值；
（Ⅱ）讨论关于
的方程
根的个数。
22、（本小题满分13 分）
椭圆
的左、右焦点分别是
，离心率为
，过
且垂直于
轴
的直线被椭圆
截得的线段长为1.
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）点
是椭圆
上除长轴端点外的任一点，连接
。设
的角平分线
交
的长轴于点
，求
的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点
作斜率为
的直线，使得与椭圆
有且只有一个公共点。设直线
4
的斜率分别为
，若
，试证明
为定值，并求出这个定值.
一、选择题
1．（5 分）（2013•山东）复数z 满足（z﹣3）（2﹣i）=5（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为（ ）
A．2+i
B．2﹣i
C．5+i
D．5﹣i
考点：复数的基本概念．3253948
专题：计算题．
分析：利用复数的运算法则求得z，即可求得z 的共轭复数．
解答：解：∵（z﹣3）（2﹣i）=5，
∴z﹣3=
=2+i
∴z=5+i，
∴=5﹣i．
故选D．
点评：本题考查复数的基本概念与基本运算，求得复数z 是关键，属于基础题．
2．（5 分）（2013•山东）已知集合A={0，1，2}，则集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是（ ）
A．1
B．3
C．5
D．9
考点：集合中元素个数的最值．3253948
专题：计算题．
分析：依题意，可求得集合B={﹣2，﹣1，0，1，2}，从而可得答案．
解答：解：∵A={0，1，2}，B={x﹣y|x∈A，y∈A}，
∴当x=0，y 分别取0，1，2 时，x﹣y 的值分别为0，﹣1，﹣2；
当x=1，y 分别取0，1，2 时，x﹣y 的值分别为1，0，﹣1；
当x=2，y 分别取0，1，2 时，x﹣y 的值分别为2，1，0；
∴B={﹣2，﹣1，0，1，2}，
∴集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是5 个．
故选C．
点评：本题考查集合中元素个数的最值，理解题意是关键，考查分析运算能力，属于中档题．
3．（5 分）（2013•山东）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0 时，
，则f（﹣1）=（ ）
A．﹣2
B．0
C．1
D．2
考点：函数的值．3253948
专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：利用奇函数的性质，f（﹣1）=﹣f（1），即可求得答案．
解答：解：∵函数f（x）为奇函数，x＞0 时，f（x）=x2+ ，
∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，
故选A．
点评：本题考查奇函数的性质，考查函数的求值，属于基础题．
5
4．（5 分）（2013•山东）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为
的正三角形，若P 为底面
A1B1C1的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：直线与平面所成的角．3253948
专题：空间角．
分析：利用三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知，∠APA1为PA 与平面A1B1C1所成角，即为
∠APA1为PA 与平面ABC 所成角．利用三棱锥的体积计算公式可得AA1，再利用正三角形的性质可得A1P，在
Rt△AA1P 中，利用tan∠APA1=
即可得出．
解答：解：如图所示，
∵AA1⊥底面A1B1C1，∴∠APA1为PA 与平面A1B1C1所成角，
∵平面ABC∥平面A1B1C1，∴∠APA1为PA 与平面ABC 所成角．
∵
=
=
．
∴V 三棱柱ABC﹣A1B1C1=
=
，解得
．
又P 为底面正三角形A1B1C1的中心，∴
=
=1，
在Rt△AA1P 中，
，
∴
．
故选B．
点评：熟练掌握三棱柱的性质、体积计算公式、正三角形的性质、线面角的定义是解题的关键．
5．（5 分）（2013•山东）函数y=sin（2x+φ）的图象沿x 轴向左平移
个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ 的一个可
能的值为（ ）
A．
B．
C．0
D．
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．3253948
专题：计算题；三角函数的图像与性质．
分析：利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得函数y=sin（2x+φ）的图象沿x 轴向左平移
个单位后的解析
式，利用其为偶函数即可求得答案．
解答：解：令y=f（x）=sin（2x+φ），
6
则f（x+
）=sin[2（x+
）+φ]=sin（2x+
+φ），
∵f（x+
）为偶函数，
∴
+φ=kπ+
，
∴φ=kπ+
，k∈Z，
∴当k=0 时，φ=
．
故φ 的一个可能的值为
．
故选B．
点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查三角函数的奇偶性，属于中档题．
6．（5 分）（2013•山东）在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组
所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率
的最小值为（ ）
A．2
B．1
C．
D．
考点：简单线性规划．3253948
专题：不等式的解法及应用．
分析：本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与原点（0，0）
构成的直线的斜率的最小值即可．
解答：
解：不等式组
表示的区域如图，
当M 取得点A（3，﹣1）时，
z 直线OM 斜率取得最小，最小值为
k=
=﹣．
故选C．
点评：本题利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与原点的斜率．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式
组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．
7．（5 分）（2013•山东）给定两个命题p，q．若￢p 是q 的必要而不充分条件，则p 是￢q 的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．3253948
专题：规律型．
分析：根据互为逆否命题真假性相同，可将已知转化为q 是p
¬ 的充分不必要条件，进而根据逆否命题及充要条件
的定义得到答案．
解答：解：∵p
¬ 是q 的必要而不充分条件，
∴q 是p
¬ 的充分不必要条件，即q⇒p
¬ ，但p
¬ 不能⇒q，
其逆否命题为p⇒q
¬ ，但q
¬ 不能⇒p，
则p 是q
¬ 的充分不必要条件．
故选A．
点评：本题考查的知识点是充要条件的判断，其中将已知利用互为逆否命题真假性相同，转化为q 是p
¬ 的充分不
必要条件，是解答的关键．
8．（5 分）（2013•山东）函数y=xcosx+sinx 的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：函数的图象．3253948
专题：函数的性质及应用．
分析：给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用区特值排除A 和C，则答案可求．
解答：解：因为函数y=xcosx+sinx 为奇函数，所以排除选项B，
由当x=
时，
，
当x=π 时，y=π×cosπ+sinπ=﹣π＜0．
由此可排除选项A 和选项C．
故正确的选项为D．
故选D．
点评：本题考查了函数的图象，考查了函数的性质，考查了函数的值，是基础题．
9．（5 分）（2013•山东）过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1 的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB 的方程为（ ）
A．2x+y﹣3=0
B．2x﹣y﹣3=0
C．4x﹣y﹣3=0
D．4x+y﹣3=0
考点：圆的切线方程；直线的一般式方程．3253948
专题：计算题；直线与圆．
分析：由题意判断出切点（1，1）代入选项排除B、D，推出令一个切点判断切线斜率，得到选项即可．
解答：解：因为过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1 的两条切线，切点分别为A，B，
所以圆的一条切线方程为y=1，切点之一为（1，1），显然B、D 选项不过（1，1），B、D 不满足题意；
另一个切点的坐标在（1，﹣1）的右侧，所以切线的斜率为负，选项C 不满足，A 满足．
故选A．
点评：本题考查直线与圆的位置关系，圆的切线方程求法，可以直接解答，本题的解答是间接法，值得同学学习．
10．（5 分）（2013•山东）用0，1，2，…，9 十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（ ）
A．243
B．252
C．261
D．279
考点：排列、组合及简单计数问题．3253948
专题：计算题．
分析：求出所有三位数的个数，减去没有重复数字的三位数个数即可．
解答：解：用0，1，2，…，9 十个数字，所有三位数个数为：900，
其中没有重复数字的三位数百位数从非0 的9 个数字中选取一位，十位数从余下的9 个数字中选一个，个位
数再从余下的8 个中选一个，所以共有：9×9×8=648，
8
所以可以组成有重复数字的三位数的个数为：900﹣648=252．
故选B．
点评：本题考查排列组合以及简单计数原理的应用，利用间接法求解是解题的关键，考查计算能力．
11．
（5 分）
（2013•山东）抛物线C1：
的焦点与双曲线C2：
的右焦点的连线交C1于第一象限
的点M．若C1在点M 处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；双曲线的简单性质．3253948
专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数
在x 取直线与抛物线交点M 的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交
点横坐标与p 的关系，把M 点的坐标代入直线方程即可求得p 的值．
解答：解：由
，得x2=2py（p＞0），
所以抛物线的焦点坐标为F（
）．
由
，得
，
．
所以双曲线的右焦点为（2，0）．
则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为
，
即
①．
设该直线交抛物线于M（
），则C1在点M 处的切线的斜率为
．
由题意可知
，得
，代入M 点得M（
）
把M 点代入①得：
．
解得p=
．
故选D．
点评：本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在曲线上某点处的切
线的斜率等于函数在该点处的导数，是中档题．
12．（5 分）（2013•山东）设正实数x，y，z 满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0．则当
取得最大值时，
的最大值为（ ）
A．0
B．1
C．
D．3
考点：基本不等式．3253948
专题：计算题；压轴题；不等式的解法及应用．
分析：依题意，当
取得最大值时x=2y，代入所求关系式f（y）= + ﹣，利用配方法即可求得其最大值．
解答：解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0，
∴z=x2﹣3xy+4y2，又x，y，z 均为正实数，
9
∴
=
=
≤
=1（当且仅当x=2y 时取“=”），
∴
=1，此时，x=2y．
∴z=x2﹣3xy+4y2=（2y）2﹣3×2y×y+4y2=2y2，
∴+ ﹣= + ﹣
=﹣
+1≤1．
∴
的最大值为1．
故选B．
点评：本题考查基本不等式，由
取得最大值时得到x=2y 是关键，考查配方法求最值，属于中档题．
二、填空题
13．（4 分）（2013•山东）执行右面的程序框图，若输入的ɛ 值为0.25，则输出的n 值为
3
．
考点：程序框图．3253948
专题：图表型．
分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出n 的值．
解答：解：循环前，F0=1，F1=2，n=1，
第一次循环，F0=1，F1=3，n=2，
第二次循环，F0=2，F1=4，n=3，
此时
，满足条件
，退出循环，输出n=3，
故答案为：3．
10
点评：本题主要考查了直到循环结构，根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，
属于基础题．
14．（4 分）（2013•山东）在区间[﹣3，3]上随机取一个数x 使得|x+1|﹣|x﹣2|≥1 的概率为 ．
考点：几何概型；绝对值不等式的解法．3253948
专题：不等式的解法及应用；概率与统计．
分析：本题利用几何概型求概率．先解绝对值不等式，再利用解得的区间长度与区间[﹣3，3]的长度求比值即得．
解答：解：利用几何概型，其测度为线段的长度．
由不等式|x+1|﹣|x﹣2|≥1 可得 ①
，或②
，
③
．
解①可得x∈∅，解②可得1≤x＜2，解③可得 x≥2．
故原不等式的解集为{x|x≥1}，
∴|在区间[﹣3，3]上随机取一个数x 使得|x+1|﹣|x﹣2|≥1 的概率为P=
= ．
故答案为：
点评：本题主要考查了几何概型，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成
比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．
15．
（4 分）
（2013•山东）已知向量
与
的夹角为120°，且
，
．若
，且
，则实数
λ=
．
考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模．3253948
专题：计算题；压轴题；平面向量及应用．
分析：利用
，
，表示
向量，通过数量积为0，求出λ 的值即可．
解答：解：由题意可知：
，
因为
，
所以
，
所以
=
=
=﹣12λ+7=0
解得λ=
．
故答案为：
．
点评：本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直，考查转化数学与计算能力．
16．（4 分）（2013•山东）定义“正数对”：ln+x=
，现有四个命题：
①若a＞0，b＞0，则ln+（ab）=bln+a；
②若a＞0，b＞0，则ln+（ab）=ln+a+ln+b；
③若a＞0，b＞0，则
；
11
④若a＞0，b＞0，则ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+2．
其中的真命题有 ①③④ （写出所有真命题的序号）
考点：命题的真假判断与应用．3253948
专题：综合题；压轴题；新定义．
分析：由题意，根据所给的定义及对数的运算性质对四个命题进行判断，由于在不同的定义域中函数的解析式不一
样，故需要对a，b 分类讨论，判断出每个命题的真假
解答：解：对于①，由定义，当a≥1 时，ab≥1，故ln+（ab）=ln（ab）=blna，又bln+a=blna，故有ln+（ab）=bln+a；
当a＜1 时，ab＜1，故ln+（ab）=0，又a＜1 时bln+a=0，所以此时亦有ln+（ab）=bln+a．由上判断知①正确；
对于②，此命题不成立，可令a=2，b= ，则ab= ，由定义ln+（ab）=0，ln+a+ln+b=ln2，所以ln+（ab）
≠ln+a+ln+b；由此知②错误；
对于③，当a≥b＞0 时，≥1，此时
≥0，当a≥b≥1 时，ln+a﹣ln+b=lna﹣lnb=
，此时命题成立；当a＞1＞b 时，ln+a﹣ln+b=lna，此时
，故命题成立；同理可验证当1＞a≥b
＞0 时，
成立；当＜1 时，同理可验证是正确的，故③正确；
对于④，可分a≤1，b≤1 与两者中仅有一个小于等于1、两者都大于1 三类讨论，依据定义判断出④是正确的
故答案为①③④
点评：本题考查新定义及对数的运算性质，理解定义所给的运算规则是解题的关键，本题考查了分类讨论的思想，
逻辑判断的能力，综合性较强，探究性强．易因为理解不清定义及忘记分类讨论的方法解题导致无法入手致
错
三、解答题
17．（12 分）（2013•山东）设△ABC 的内角A，B，C 所对边分别为a，b，c，且a+c=6，b=2，
．
（1）求a，c 的值；
（2）求sin（A﹣B）的值．
考点：余弦定理；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正弦函数；正弦定理．3253948
专题：解三角形．
分析：（1）利用余弦定理列出关于新，将b 与cosB 的值代入，利用完全平方公式变形，求出acb 的值，与a+c 的值联
立即可求出a 与c 的值即可；
（2）先由cosB 的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB 的值，再由a，b 及sinB 的值，利用正弦定理
求出sinA 的值，进而求出cosA 的值，所求式子利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入计
算即可求出值．
解答：解：（1）∵a+c=6①，b=2，cosB= ，
∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣
ac=36﹣
ac=4，
整理得：ac=9②，
联立①②解得：a=c=3；
（2）∵cosB= ，B 为三角形的内角，
∴sinB=
=
，
∵b=2，a=3，sinB=
，
∴由正弦定理得：sinA=
=
=
，
∵a=c，即A=C，∴A 为锐角，
∴cosA=
= ，
12
则sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB=
× ﹣×
=
．
点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及
公式是解本题的关键．
18．
（12 分）
（2013•山东）如图所示，在三棱锥P﹣ABQ 中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F 分别是AQ，BQ，AP，BP 的中点，
AQ=2BD，PD 与EQ 交于点G，PC 与FQ 交于点H，连接GH．
（1）求证：AB∥GH；
（2）求二面角D﹣GH﹣E 的余弦值．
考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的性质．3253948
专题：空间位置关系与距离；空间角．
分析：（1）由给出的D，C，E，F 分别是AQ，BQ，AP，BP 的中点，利用三角形中位线知识及平行公理得到DC 平行于EF，
再利用线面平行的判定和性质得到DC 平行于GH，从而得到AB∥GH；
（2）由题意可知BA、BQ、BP 两两相互垂直，以B 为坐标原点建立空间直角坐标系，设出BA、BQ、BP 的长度，标
出点的坐标，求出一些向量的坐标，利用二面角的两个面的法向量所成的角的余弦值求解二面角D﹣GH﹣E
的余弦值．
解答：（1）证明：如图，
∵C，D 为AQ，BQ 的中点，∴CD∥AB，
又E，F 分别AP，BP 的中点，∴EF∥AB，
则EF∥CD．又EF⊂平面EFQ，∴CD∥平面EFQ．
又CD⊂平面PCD，且平面PCD∩平面EFQ=GH，∴CD∥GH．
又AB∥CD，∴AB∥GH；
（2）由AQ=2BD，D 为AQ 的中点可得，三角形ABQ 为直角三角形，
以B 为坐标原点，分别以BA、BQ、BP 所在直线为x、y、z 轴建立空间直角坐标系，
设AB=BP=BQ=2，
则D（1，1，0），C（0，1，0），E（1，0，1），F（0，0，1），
因为H 为三角形PBQ 的重心，所以H（0，，）．
13
则
，
，
．
设平面GCD 的一个法向量为
由
，得
，取z1=1，得y1=2．
所以
．
设平面EFG 的一个法向量为
由
，得
，取z2=2，得y2=1．
所以
．
所以
= ．
则二面角D﹣GH﹣E 的余弦值等于
．
点评：本题考查了直线与平面平行的性质，考查了二面角的平面角及其求法，考查了学生的空间想象能力和思维能
力，考查了计算能力，解答此题的关键是正确求出H 点的坐标，是中档题．
19．
（12 分）
（2013•山东）甲乙两支排球队进行比赛，先胜3 局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概
率是，其余每局比赛甲队获胜的概率都是．设各局比赛结果相互独立．
（1）分别求甲队3：0，3：1，3：2 胜利的概率；
（2）若比赛结果3：0 或3：1，则胜利方得3 分，对方得0 分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2 分，对方得1 分，求乙队得分
X 的分布列及数学期望．
考点：离散型随机变量的期望与方差．3253948
专题：概率与统计．
分析：（1）甲队获胜有三种情形，①3：0，②3：1，③3：2，其每种情形的最后一局肯定是甲队胜，分别求出相应的概
率，最后根据互斥事件的概率公式求出甲队获得这次比赛胜利的概率；
（2）X 的取值可能为0，1，2，3，然后利用相互独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，列出分布列，最后根
据数学期望公式解之即可．
解答：解：（1）甲队获胜有三种情形，其每种情形的最后一局肯定是甲队胜
①3：0，概率为P1=（）3=
；
②3：1，概率为P2=C
（）2×（1﹣）× =
；
③3：2，概率为P3=C
（）2×（1﹣）2× =
∴甲队3：0，3：1，3：2 胜利的概率：
．
（2）乙队得分X，则X 的取值可能为0，1，2，3．
由（1）知P（X=0）=P1+P2=
；
P（X=1）=P3=
；
P（X=2）=C
（1﹣）2×（）2× =
；
P（X=3）=（1﹣）3+C
（1﹣）2×（）× = ；
则X 的分布列为
14
X
3
2
1
0
P
E（X）=3× +2×
+1×
+0×
= ．
点评：本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式，以及离散型随机变量的期望与分布列，同时考查了分类讨论
的数学思想，属于中档题．
20．（12 分）（2013•山东）设等差数列{an}的前n 项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}的前n 项和为Tn且
（λ 为常数）．令cn=b2n（n∈N※）求数列{cn}的前n 项和Rn．
考点：等差数列的通项公式；数列的求和．3253948
专题：等差数列与等比数列．
分析：（1）设出等差数列的首项和公差，由已知条件列关于首项和公差的方程组，解出首项和公差后可得数列{an}
的通项公式；
（2）把{an}的通项公式代入
，求出当n≥2 时的通项公式，然后由cn=b2n得数列{cn}的通项公
式，最后利用错位相减法求其前n 项和．
解答：解：（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由a2n=2an+1，取n=1，得a2=2a1+1，即a1﹣d+1=0①
再由S4=4S2，得
，即d=2a1②
联立①、②得a1=1，d=2．
所以an=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1；
（2）把an=2n﹣1 代入
，得
，则
．
所以b1=T1=λ﹣1，
当n≥2 时，
=
．
所以
，
．
Rn=c1+c2+…+cn=
③
④
③﹣④得：
=
所以
；
所以数列{cn}的前n 项和
．
点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了数列的求和，训练了错位相减法，考查了学生的计算能力，属中档
题．
21．（13 分）（2013•山东）设函数
．
15
（1）求f（x）的单调区间及最大值；
（2）讨论关于x 的方程|lnx|=f（x）根的个数．
考点：利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．3253948
专题：压轴题；导数的综合应用．
分析：（1）利用导数的运算法则求出f′（x），分别解出f′（x）＞0 与f′（x）＜0 即可得出单调区间及极值与最值；
（2）分类讨论：①当0＜x≤1 时，令u（x）=﹣lnx﹣
﹣c，②当x≥1 时，令v（x）=lnx﹣
．利用导数
分别求出c 的取值范围，即可得出结论．
解答：
解：（1）∵
=
，解f′（x）＞0，得
；解f′（x）＜0，得
．
∴函数f（x）的单调递增区间为
；单调递减区间为
．
故f（x）在x= 取得最大值，且
．
（2）函数y=|lnx|，当x＞0 时的值域为[0，+∞）．如图所示：
①当0＜x≤1 时，令u（x）=﹣lnx﹣
﹣c，
c=
=g（x），
则
=
．
令h（x）=e2x+x﹣2x2，则h′（x）=2e2x+1﹣4x＞0，∴h（x）在x∈（0，1]单调递增，
∴1=h（0）＜h（x）≤h（1）=e2﹣1．
∴g′（x）＜0，∴g（x）在x∈（0，1]单调递减．
∴c
．
②当x≥1 时，令v（x）=lnx﹣
，得到c=lnx﹣
=m（x），
则
=
＞0，
故m（x）在[1，+∞）上单调递增，∴c≥m（1）=
．
综上①②可知：当
时，方程|lnx|=f（x）无实数根；
当
时，方程|lnx|=f（x）有一个实数根；
当
时，方程|lnx|=f（x）有两个实数根．
点评：本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值最值、数形结合的思想方法、分类讨论的思想方法等基础
16
知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力及其化归思想方法．
22．（13 分）（2013•山东）椭圆C：
的左右焦点分别是F1，F2，离心率为
，过F1且垂直于x
轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM 交C 的长轴于点M（m，0），求m 的取
值范围；
（3）在（2）的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为
k1，k2，若k≠0，试证明
为定值，并求出这个定值．
考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．3253948
专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
（1）把﹣c 代入椭圆方程得
，解得
，由已知过F1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段
长为1，可得
．再利用
，及a2=b2+c2即可得出；
（2）设|PF1|=t，|PF2|=n，由角平分线的性质可得
，利用椭圆的定义可得t+n=2a=4，消去t
得到
，化为
，再根据a﹣c＜n＜a+c，即可得到m 的取值范围；
（3）设P（x0，y0），不妨设y0＞0，由椭圆方程
，取
，利用导数即可得到切线的斜率，再利
用斜率计算公式即可得到k1，k2，代入即可证明结论．
解答：
解：（1）把﹣c 代入椭圆方程得
，解得
，
∵过F1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1，∴
．
又
，联立得
解得
，
∴椭圆C 的方程为
．
（2）如图所示，设|PF1|=t，|PF2|=n，
由角平分线的性质可得
，
又t+n=2a=4，消去t 得到
，化为
，
∵a﹣c＜n＜a+c，即
，也即
，解得
．
∴m 的取值范围；
．
（3）证明：设P（x0，y0），
17
不妨设y0＞0，由椭圆方程
，
取
，则
=
，
∴k=
=
．
∵
，
，
∴
=
，
∴
=
=﹣8 为定值．
点评：本题综合考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、角平分线的性质、利用导数的几何意义研究切线、斜率计算
公式等基础知识，考查了推理能力、分类讨论的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力．
18
