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2014 年重庆市高考数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5 分）（2014•重庆）实部为﹣2，虚部为1 的复数所对应的点位于复平面内的（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．（5 分）（2014•重庆）在等差数列{an}中，a1=2，a3+a5=10，则a7=（ ）
A．5
B．8
C．10
D．14
3．（5 分）（2014•重庆）某中学有高中生3500 人，初中生1500 人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校
学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70 人，则n 为（ ）
A．100
B．150
C．200
D．250
4．（5 分）（2014•重庆）下列函数为偶函数的是（ ）
A．f（x）=x
1
﹣
B．f（x）=x2+x
C．f（x）=2x
2
﹣
x
﹣D．f（x）=2x+2
x
﹣
5．（5 分）（2014•重庆）执行如图所示的程序框图，则输出s 的值为（ ）
A．10
B．17
C．19
D．36
6．（5 分）（2014•重庆）已知命题：p：对任意x∈R，总有|x|≥0，q：x=1 是方程x+2=0 的根；则下列命题为真命题的是（
）
A．p∧￢q
B．￢p∧q
C．￢p∧￢q
D．p∧q
7．（5 分）（2014•重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．12
B．18
C．24
D．30
8．（5 分）（2014•重庆）设F1，F2分别为双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得（|PF1|
|PF
﹣
2|）2=b2
3ab
﹣
，则该双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．4
D．
9．（5 分）（2014•重庆）若log4（3a+4b）=log2
，则a+b 的最小值是（ ）
A．6+2
B．7+2
C．6+4
D．7+4
10．（5 分）（2014•重庆）已知函数f（x）=
，且g（x）=f（x）﹣mx
m
﹣
在（﹣1，1]内有
且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ）
A．（﹣，﹣2]∪
（0，]
B．（﹣
，﹣2]∪
（0，]
C．（﹣，﹣2]∪
（0，]
D．（﹣
，﹣2]∪
（0，]
二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，把答案填写在答题卡相应的位置上．
11．（5 分）（2014•重庆）已知集合A={3，4，5，12，13}，B={2，3，5，8，13}，则A∩B=
_________
．
12．（5 分）（2014•重庆）已知向量与的夹角为60°，且=（﹣2，﹣6），| |=
，则• =
_________
．
13．（5 分）（2014•重庆）将函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣
≤φ＜
）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，
纵坐标不变，再向右平移
个单位长度得到y=sinx 的图象，则f（
）=
_________
．
14．（5 分）（2014•重庆）已知直线x
y+a=0
﹣
与圆心为C 的圆x2+y2+2x
4y
4=0
﹣
﹣
相交于A、B 两点，且AC BC
⊥
，则实
数a 的值为
_________
．
15．（5 分）（2014•重庆）某校早上8：00 开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50 之间到校，且每人在
该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5 分钟到校的概率为
_________
（用数字作答）．
三、解答题：本大题共6 小题，共75 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（13 分）（2014•重庆）已知{an}是首项为1，公差为2 的等差数列，Sn表示{an}的前n 项和．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）设{bn}是首项为2 的等比数列，公比为q 满足q2﹣（a4+1）q+S4=0．求{bn}的通项公式及其前n 项和Tn．
17．（13 分）（2014•重庆）20 名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：
（Ⅰ）求频率分布直方图中a 的值；
（Ⅱ）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；
（Ⅲ）从成绩在[50，70）的学生任选2 人，求此2 人的成绩都在[60，70）中的概率．
18．（13 分）（2014•重庆）在△ABC 中，内角A、B、C 所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．
（Ⅰ）若a=2，b= ，求cosC 的值；
（Ⅱ）若sinAcos2 +sinBcos2 =2sinC，且△ABC 的面积S= sinC，求a 和b 的值．
19．
（12 分）
（2014•重庆）已知函数f（x）= +
lnx
﹣
﹣，其中a∈R，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线
y= x．
（Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值．
20．（12 分）（2014•重庆）如图，四棱锥P
ABCD
﹣
中，底面是以O 为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=
，M 为BC 上一点，且BM= ．
（Ⅰ）证明：BC⊥平面POM；
（Ⅱ）若MP AP
⊥
，求四棱锥P
ABMO
﹣
的体积．
21．（12 分）（2014•重庆）如图，设椭圆
+
=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点D 在椭圆上，DF1 F
⊥
1F2，
=2
，△DF1F2的面积为
．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线互相垂直
并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．
2014 年重庆市高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5 分）（2014•重庆）实部为﹣2，虚部为1 的复数所对应的点位于复平面内的（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
考点：
复数的代数表示法及其几何意义．菁优网版权所有
专题：
数系的扩充和复数．
分析：
根据复数的几何意义，即可得到结论．
解答：
解：实部为﹣2，虚部为1 的复数所对应的点的坐标为
（﹣2，1），位于第二象限，
故选：B．
点评：
本题主要考查复数的几何意义，比较基础．
2．（5 分）（2014•重庆）在等差数列{an}中，a1=2，a3+a5=10，则a7=（ ）
A．5
B．8
C．10
D．14
考点：
等差数列的通项公式．菁优网版权所有
专题：
等差数列与等比数列．
分析：
由等差数列{an}中，a1=2，且有a3+a5=10，利用等差数列的
通项公式先求出公差d，再求a7．
解答：
解：∵等差数列{an}中，a1=2，a3+a5=10
2+2d+2+4d=10
∴
，
解得d=1，
a
∴7=2+6×1=8．
故选：B．
点评：
本题考查等差数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔
细解答，注意等差数列通项公式的合理运用．
3．（5 分）（2014•重庆）某中学有高中生3500 人，初中生1500 人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校
学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70 人，则n 为（ ）
A．100
B．150
C．200
D．250
考点：
分层抽样方法．菁优网版权所有
专题：
概率与统计．
分析：
计算分层抽样的抽取比例和总体个数，利用样本容量=
总体个数×抽取比例计算n 值．
解答：
解：分层抽样的抽取比例为
=
，
总体个数为3500+1500=5000，
∴样本容量n=5000×
=100．
故选：A．
点评：
本题考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样方法的特
征是关键．
4．（5 分）（2014•重庆）下列函数为偶函数的是（ ）
A．f（x）=x
1
﹣
B．f（x）=x2+x
C．f（x）=2x
2
﹣
x
﹣D．f（x）=2x+2
x
﹣
考点：
函数奇偶性的判断．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
根据偶函数的定义，依次分析选项，先分析函数的定义
域，再分析f（﹣x）=f（x）是否成立，即可得答案．
解答：
解：根据题意，依次分析选项：
A、f（x）=x
1
﹣，其定义域为R，f（﹣x）=
x
1
﹣﹣，f（﹣x）
≠f（x），不是偶函数，不符合题意；
B、f（x）=x2+x，其定义域为R，f（﹣x）=x2
x
﹣，f（﹣x）≠f
（x），不是偶函数，不符合题意；
C、f（x）=2x
2
﹣
x
﹣，其定义域为R，f（﹣x）=2
x
﹣
2
﹣x，f（﹣
x）=
f
﹣（x），是奇函数不是偶函数，不符合题意；
D、f（x）=2x+2
x
﹣，其定义域为R，f（﹣x）=2
x
﹣+2x，f（﹣x）
=f（x），是偶函数，符合题意；
故选：D．
点评：
本题考查函数奇偶性的判断，注意要先分析函数的定义
域．
5．（5 分）（2014•重庆）执行如图所示的程序框图，则输出s 的值为（ ）
A．10
B．17
C．19
D．36
考点：
程序框图．菁优网版权所有
专题：
计算题；算法和程序框图．
分析：
根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件k＜
10，跳出循环体，计算输出S 的值．
解答：
解：由程序框图知：第一次循环S=2，k=2×2
1=3
﹣
；
第二次循环S=2+3=5，k=2×3
1=5
﹣
；
第三次循环S=5+5=10，k=2×5
1=9
﹣
；
第四次循环S=10+9=19，k=2×9
1=17
﹣
，
不满足条件k＜10，跳出循环体，输出S=19．
故选：C．
点评：
本题考查了当型循环结构飞程序框图，根据框图的
流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．
6．（5 分）（2014•重庆）已知命题：p：对任意x∈R，总有|x|≥0，q：x=1 是方程x+2=0 的根；则下列命题为真命题的是（
）
A．p∧￢q
B．￢p∧q
C．￢p∧￢q
D．p∧q
考点：
复合命题的真假．菁优网版权所有
专题：
简易逻辑．
分析：
判定命题p，q 的真假，利用复合命题的真假关系即可得
到结论．
解答：
解：根据绝对值的性质可知，对任意x∈R，总有|x|≥0 成立，
即p 为真命题，
当x=1 时，x+2=3≠0，即x=1 不是方程x+2=0 的根，即q 为
假命题，
则p∧￢q，为真命题，
故选：A．
点评：
本题主要考查复合命题的真假关系的应用，先判定p，q
的真假是解决本题的关键，比较基础．
7．（5 分）（2014•重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．12
B．18
C．24
D．30
考点：
由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
专题：
计算题；空间位置关系与距离．
分析：
几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，根据三视图判断
三棱柱的高及消去的三棱锥的高，判断三棱锥与三棱柱的
底面三角形的形状及相关几何量的数据，把数据代入棱柱
与棱锥的体积公式计算．
解答：
解：由三视图知：几何体是三棱柱消去一个同底的三棱
锥，如图：
三棱柱的高为5，消去的三棱锥的高为3，
三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3 和4 的等腰
直角三角形，
∴几何体的体积V= ×3×4×5﹣× ×3×4×3=30
6=24
﹣
．
故选：C．
点评：
本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几
何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．
8．（5 分）（2014•重庆）设F1，F2分别为双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得（|PF1|
|PF
﹣
2|）2=b2
3ab
﹣
，则该双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．4
D．
考点：
双曲线的简单性质．菁优网版权所有
专题：
计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
根据（|PF1|
|PF
﹣
2|）2=b2
3ab
﹣
，由双曲线的定义可得（2a）
2=b2
3ab
﹣
，求得a= ，c=
=
b，即可求出双曲
线的离心率．
解答：
解：∵（|PF1|
|PF
﹣
2|）2=b2
3ab
﹣
，
∴由双曲线的定义可得（2a）2=b2
3ab
﹣
，
4a
∴
2+3ab
b
﹣2=0，
a=
∴
，
c=
∴
=
b，
e=
∴
=
．
故选：D．
点评：
本题主要考查了双曲线的简单性质，考查学生的计算能
力，属于基础题．
9．（5 分）（2014•重庆）若log4（3a+4b）=log2
，则a+b 的最小值是（ ）
A．6+2
B．7+2
C．6+4
D．7+4
考点：
基本不等式；对数的运算性质．菁优网版权所有
专题：
函数的性质及应用．
分析：
利用对数的运算法则可得
＞0，a＞4，再利用基本
不等式即可得出
解答：
解：∵3a+4b＞0，ab＞0，
a
∴＞0．b＞0
log
∵
4（3a+4b）=log2
，
log
∴
4（3a+4b）=log4（ab）
3a+4b=ab
∴
，a≠4，a＞0．b＞0
∴
＞0，
a
∴＞4，
则a+b=a+
=a+
=（a
4
﹣）+
+7
+7=4
+7，当且仅当a=4+2
取
等号．
故选：D．
点评：
本题考查了对数的运算法则、基本不等式的性质，属于中
档题．
10．（5 分）（2014•重庆）已知函数f（x）=
，且g（x）=f（x）﹣mx
m
﹣
在（﹣1，1]内有
且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ）
A．（﹣，﹣2]∪
（0，]
B．（﹣
，﹣2]∪
（0 ，]
C．（﹣，﹣2]∪
（0，]
D．（﹣
，﹣2]∪
（0，]
考点：
分段函数的应用．菁优网版权所有
专题：
函数的性质及应用．
分析：
由g（x）=f（x）﹣mx
m=0
﹣
，即f（x）=m（x+1），作出两个
函数的图象，利用数形结合即可得到结论．
解答：
解：由g（x）=f（x）﹣mx
m=0
﹣
，即f（x）=m（x+1），
分别作出函数f（x）和y=g（x）=m（x+1）的图象如图：
由图象可知f（1）=1，g（x）表示过定点A（﹣1，0）的直
线，
当g（x）过（1，1）时，m═此时两个函数有两个交点，此
时满足条件的m 的取值范围是0＜m≤，
当g（x）过（0，﹣2）时，g（0）=
2
﹣，解得m=
2
﹣，此时两
个函数有两个交点，
当g（x）与f（x）相切时，两个函数只有一个交点，
此时
，
即m（x+1）2+3（x+1）﹣1=0，
当m=0 时，x=
，只有1 解，
当m≠0，由△=9+4m=0 得m=﹣，此时直线和f（x）相
切，
∴要使函数有两个零点，
则﹣＜m≤
2
﹣或0＜m≤，
故选：A
点评：
本题主要考查函数零点的应用，利用数形结合是解决此
类问题的基本方法．
二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，把答案填写在答题卡相应的位置上．
11．（5 分）（2014•重庆）已知集合A={3，4，5，12，13}，B={2，3，5，8，13}，则A∩B=
{3
，
5 ，
13}
．
考点：
交集及其运算．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
根据题意，分析集合A、B 的公共元素，由交集的意义即可
得答案．
解答：
解：根据题意，集合A={3，4，5，12，13}，B={2，3，5，8，
13}，
A、B 公共元素为3、5、11，
则A∩B={3，5，13}，
故答案为：{3，5，13}．
点评：
本题考查集合交集的运算，注意写出集合的形式．
12．（5 分）（2014•重庆）已知向量与的夹角为60°，且=（﹣2，﹣6），| |=
，则• =
10
．
考点：
平面向量数量积的运算．菁优网版权所有
专题：
平面向量及应用．
分析：
利用向量的模、夹角形式的数量积公式，求出即可
解答：
解：∵=（﹣2，﹣6），
∴
∴
=2
=10．
故答案为：10．
点评：
本题考查了向量的数量积公式，属于基础题．
13．（5 分）（2014•重庆）将函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣
≤φ＜
）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，
纵坐标不变，再向右平移
个单位长度得到y=sinx 的图象，则f（
）=
．
考点：
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有
专题：
三角函数的图像与性质．
分析：
哟条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得sin
（2ωx+φ﹣
ω）=sinx，可得2ω=1，且 φ﹣
ω=2kπ，k∈z，
由此求得ω、φ 的值，可得f（x）的解析式，从而求得f（
）
的值．
解答：
解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣
≤φ＜
）图象上
每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，可得函
数y=sin（2ωx+φ）的图象．
再把所得图象再向右平移
个单位长度得到函数
y=sin[2ω（x﹣
）+φ）]
=sin（2ωx+φ﹣
ω）=sinx 的图象，
2ω=1
∴
，且 φ﹣
ω=2kπ，k∈z，
ω=
∴
，φ=
，∴f（x）=sin（x+
），
f
∴（
）=sin（
+
）=sin
=
．
故答案为：
．
点评：
本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于
中档题．
14．（5 分）（2014•重庆）已知直线x
y+a=0
﹣
与圆心为C 的圆x2+y2+2x
4y
4=0
﹣
﹣
相交于A、B 两点，且AC BC
⊥
，则实
数a 的值为
0 或
6
．
考点：
直线和圆的方程的应用．菁优网版权所有
专题：
直线与圆．
分析：
根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距
离公式即可得到结论．
解答：
解：圆的标准方程为（x+1）2+（y
2
﹣）2=9，圆心C（﹣1，2），
半径r=3，
AC
BC
∵
⊥
，
∴圆心C 到直线AB 的距离d=
，
即d=
=
，
即|a
3|=3
﹣
，
解得a=0 或a=6，
故答案为：0 或6．
点评：
本题主要考查点到直线的距离公式的应用，利用条件求
出圆心和半径，结合距离公式是解决本题的关键．
15．（5 分）（2014•重庆）某校早上8：00 开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50 之间到校，且每人在
该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5 分钟到校的概率为
（用数字作答）．
考点：
几何概型．菁优网版权所有
专题：
概率与统计．
分析：
设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y．（x，y）可
以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为
Ω={（x，y|7 ≤x≤7 ，7 ≤y≤7 }是一个矩形区域，则小
张比小王至少早5 分钟到校事件A={（x，y）|y
x≥
﹣
}
作出符合题意的图象，由图根据几何概率模型的规则
求解即可．
解答：
解：设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y．（x，
y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域
为Ω={（x，y|7 ≤x≤7 ，7 ≤y≤7 }是一个矩形区域，对
应的面积S=
，
则小张比小王至少早5 分钟到校事件A={x|y
x≥
﹣
}
作出符合题意的图象，
A（7 ，7 ），当x=7 时，y=7 +
=7
，则AB=7 ﹣
7
= ，
则三角形ABC 的面积S=
，
由几何概率模型可知小张比小王至少早5 分钟到校的
概率为
=
，
故答案为：
．
点评：
本题考查几何概率模型与模拟方法估计概率，求解的
关键是掌握两种求概率的方法的定义及规则，求出对
应区域的面积是解决本题的关键．
三、解答题：本大题共6 小题，共75 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（13 分）（2014•重庆）已知{an}是首项为1，公差为2 的等差数列，Sn表示{an}的前n 项和．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）设{bn}是首项为2 的等比数列，公比为q 满足q2﹣（a4+1）q+S4=0．求{bn}的通项公式及其前n 项和Tn．
考点：
数列的求和；等差数列的性质．菁优网版权所有
专题：
等差数列与等比数列．
分析：
（Ⅰ）直接由等差数列的通项公式及前n 项和公式得答案；
（Ⅱ）求出a4和S4，代入q2﹣（a4+1）q+S4=0 求出等比数列
的公比，然后直接由等比数列的通项公式及前n 项和公式
得答案．
解答：
解：（Ⅰ）∵{an}是首项为1，公差为2 的等差数列，
a
∴n=a1+（n
1
﹣）d=1+2（n
1
﹣）=2n
1
﹣．
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，a4=7，S4=16．
q
∵2﹣（a4+1）q+S4=0，即q2
8q+16=0
﹣
，
∴（q
4
﹣）2=0，即q=4．
又∵{bn}是首项为2 的等比数列，
∴
．
．
点评：
本题考查等差数列的性质，考查了等差数列和等比数列的
通项公式、前n 项和公式的求法，是基础题．
17．（13 分）（2014•重庆）20 名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：
（Ⅰ）求频率分布直方图中a 的值；
（Ⅱ）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；
（Ⅲ）从成绩在[50，70）的学生任选2 人，求此2 人的成绩都在[60，70）中的概率．
考点：
古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．菁优网版权所有
专题：
概率与统计．
分析：
（Ⅰ）根据频率分布直方图求出a 的值；
（Ⅱ）由图可知，成绩在[50，60）和[60，70）的频率分别为
0.1 和0.15，用样本容量20 乘以对应的频率，即得对应区
间内的人数，从而求出所求．
（Ⅲ）分别列出满足[50，70）的基本事件，再找到在[60，
70）的事件个数，根据古典概率公式计算即可．
解答：
解：（Ⅰ）根据直方图知组距=10，由（2a+3a+6a+7a+2a）
×10=1，解得a=0.005．
（Ⅱ）成绩落在[50，60）中的学生人数为
2×0.005×10×20=2，
成绩落在[60，70）中的学生人数为3×0.005×10×20=3．
（Ⅲ）记成绩落在[50，60）中的2 人为A，B，成绩落在[60，
70）中的3 人为C，D，E，则成绩在[50，70）的学生任选2
人的基本事件有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，
DE 共10 个，
其中2 人的成绩都在[60，70）中的基本事件有CD，CE，
DE 共3 个，
故所求概率为P=
．
点评：
本题考查频率分布直方图的应用以及古典概型的概率的
应用，属于中档题．
18．（13 分）（2014•重庆）在△ABC 中，内角A、B、C 所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．
（Ⅰ）若a=2，b= ，求cosC 的值；
（Ⅱ）若sinAcos2 +sinBcos2 =2sinC，且△ABC 的面积S= sinC，求a 和b 的值．
考点：
余弦定理；正弦定理．菁优网版权所有
专题：
三角函数的求值．
分析：
（Ⅰ）由a+b+c=8，根据a=2，b= 求出c 的长，利用余弦定
理表示出cosC，将三边长代入求出cosC 的值即可；
（Ⅱ）已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，整理
后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，再利
用正弦定理得到a+b=3c，与a+b+c=8 联立求出a+b 的值，
利用三角形的面积公式列出关系式，代入S= sinC 求出ab
的值，联立即可求出a 与b 的值．
解答：
解：（Ⅰ）∵a=2，b= ，且a+b+c=8，
c=8
∴
﹣（a+b）= ，
∴由余弦定理得：cosC=
=
=﹣；
（Ⅱ）由sinAcos2 +sinBcos2 =2sinC 可得：sinA•
+sinB•
=2sinC，
整理得：sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC，
sinAcosB+cosAsinB=sin
∵
（A+B）=sinC，
sinA+sinB=3sinC
∴
，
利用正弦定理化简得：a+b=3c，
a+b+c=8
∵
，
a+b=6
∴
①，
S=
∵
absinC= sinC，
ab=9
∴
②，
联立①②解得：a=b=3．
点评：
此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练
掌握定理及公式是解本题的关键．
19．
（12 分）
（2014•重庆）已知函数f（x）= +
lnx
﹣
﹣，其中a∈R，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线
y= x．
（Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值．
考点：
利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的
单调性；利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
专题：
导数的综合应用．
分析：
（Ⅰ）由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线
y= x 可得f′（1）=
2
﹣，可求出a 的值；
（Ⅱ）根据（I）可得函数的解析式和导函数的解析式，分析
导函数的符号，进而可得函数f（x）的单调区间与极值．
解答：
解：（Ⅰ）∵f（x）= +
lnx
﹣
﹣，
f′
∴（x）= ﹣
﹣，
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y= x．
f′
∴（1）=
a
1=
2
﹣﹣
﹣，
解得：a= ，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）= +
lnx
﹣
﹣，f′（x）= ﹣
﹣
=
（x＞0），
令f′（x）=0，
解得x=5，或x=
1
﹣（舍），
∵当x∈（0，5）时，f′（x）＜0，当x∈（5，+∞）时，f′（x）＞0，
故函数f（x）的单调递增区间为（5，+∞）；
单调递减区间为（0，5）；
当x=5 时，函数取极小值﹣ln5．
点评：
本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，
利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，
是导数的综合应用，难度中档．
20．（12 分）（2014•重庆）如图，四棱锥P
ABCD
﹣
中，底面是以O 为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=
，M 为BC 上一点，且BM= ．
（Ⅰ）证明：BC⊥平面POM；
（Ⅱ）若MP AP
⊥
，求四棱锥P
ABMO
﹣
的体积．
考点：
棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．菁优网版权所有
专题：
空间位置关系与距离．
分析：
（Ⅰ）连接OB，根据底面是以O 为中心的菱形，PO⊥底面
ABCD，AB=2，∠BAD=
，M 为BC 上一点，且BM= ，
结合菱形的性质，余弦定理，勾股定理，可得OM BC
⊥
及
PO BC
⊥
，进而由线面垂直的判定定理得到BC⊥平面
POM；
（Ⅱ）设PO=a，利用勾股定理和余弦定理解三角形求出PO
的值，及四棱锥P
ABMO
﹣
的底面积S，代入棱锥体积公
式，可得答案．
解答：
证明：（Ⅰ）∵底面是以O 为中心的菱形，PO⊥底面
ABCD，
故O 为底面ABCD 的中心，连接OB，则AO OB
⊥
，
AB=2
∵
，∠BAD=
，
OB=AB•sin BAO=2sin
∴
∠
（
）=1，
又∵BM= ，∠OBM=
，
∴在△OBM 中，OM2=OB2+BM2
2OB•BM•cos OBM=
﹣
∠
，
即OB2=OM2+BM2，即OM BM
⊥
，
OM BC
∴
⊥
，
又∵PO⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，
PO BC
∴
⊥
，
又∵OM∩PO=O，OM，PO⊂平面POM，
BC
∴
⊥平面POM；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：OA=AB•cos BAO=2cos
∠
（
）=
，
设PO=a，由PO⊥底面ABCD 可得：△POA 为直角三角
形，
故PA2=PO2+OA2=a2+3，
由△POM 也为直角三角形得：
PM2=PO2+OM2=a2+ ，
连接AM，
在△ABM 中，AM2=AB2+BM2
2AB•BM•cos ABM=
﹣
∠
=
，
由MP AP
⊥
可知：△APM 为直角三角形，
则AM2=PA2+PM2，即a2+3+a2+ =
，
解得a=
，即PO=
，
此时四棱锥P
ABMO
﹣
的底面积S=S
AOB
△
+S
BOM
△
=
•AO•OB+ •BM•OM=
，
∴四棱锥P
ABMO
﹣
的体积V= S•PO=
点评：
本题考查的知识点是棱锥的体积，直线与平面垂直的判
定，难度中档．
21．（12 分）（2014•重庆）如图，设椭圆
+
=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点D 在椭圆上，DF1 F
⊥
1F2，
=2
，△DF1F2的面积为
．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线互相垂直
并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．
考点：
直线与圆锥曲线的综合问题．菁优网版权所有
专题：
圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析：
（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0），依题意，可求得c=1，易求得|
DF1|=
=
，|DF2|=
，从而可得2a=2
，于是
可求得椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆
+y2=1 相交，P1（x1，
y1），P2（x2，y2）是两个交点，依题意，利用圆和椭圆的对称
性，易知x2=
x
﹣1，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，由F1P1 F
⊥
2P2，得x1=
﹣或x1=0，分类讨论即可求得圆心及半径，从而可得圆
的方程．
解答：
解：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0），其中c2=a2
b
﹣2，
由
=2
，得|DF1|=
=
c，
从而
= |DF1||F1F2|=
c2=
，故c=1．
从而|DF1|=
，由DF1 F
⊥
1F2，得
=
+
= ，
因此|DF2|=
，
所以2a=|DF1|+|DF2|=2
，故a=
，b2=a2
c
﹣2=1，
因此，所求椭圆的标准方程为
+y2=1；
（Ⅱ）设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆
+y2=1 相交，P1（x1，
y1），P2（x2，y2）是两个交点，
y1＞0，y2＞0，F1P1，F2P2是圆C 的切线，且F1P1 F
⊥
2P2，由圆
和椭圆的对称性，易知x2=
x
﹣1，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，
由（Ⅰ）知F1（﹣1，0），F2（1，0），所以
=（x1+1，y1），
=（﹣x1
1
﹣，y1），再由F1P1 F
⊥
2P2，得﹣
+
=0，
由椭圆方程得1﹣
=
，即3
+4x1=0，解
得x1=﹣或x1=0．
当x1=0 时，P1，P2重合，此时题设要求的圆不存在；
当x1=﹣时，过P1，P2，分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交
点即为圆心C，设C（0，y0）
由F1P1，F2P2是圆C 的切线，知CP1 F
⊥
1P1，得
•
=
1
﹣，而|y1|=|x1+1|= ，
故y0= ，
故圆C 的半径|CP1|=
=
．
综上，存在满足题设条件的圆，其方程为x2+
=
．
点评：
本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查化归思想、方
程思想分类讨论思想的综合应用，考查综合分析与运算能
力，属于难题．
