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2011 年高考理科数学试题（天津卷）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150 分，考试用时
120 分钟。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用
条形码答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试
卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
2．本卷共8 小题，每小题5 分，共40 分.
参考公式：
如果事件A，B 互斥，那么
如果事件A，B 相互独立，那么
棱柱的体积公式
圆锥的体积公式
其中S 表示棱柱的底面面积
其中S 表示圆锥的底面面积
h 表示棱柱的高
h 表示圆锥的高
一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1．是虚数单位，复数
=
A．
B．
C．
D．
2．设
则“
且
”是“
”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．即不充分也不必要条件
3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为
A．3
B．4
C．5
D．6
4．已知
为等差数列，其公差为-2，且
是
与
的等比中项，
为
的前
项和，
，则
的值为
A．-110
B．-90
C．90
D．110
5．在
的二项展开式中，
的系数为
A．
B．
C．
D．
6．如图，在△
中，
是边
上的点，且
，
则
的值为
A．
B．
C．
D．
7．已知
则
A．
B．
C．
D．
8 ．对实数
和
，定义运算“
” ：
设函数
若函数
的图像与
轴恰有两个公共点，
则实数
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
第II 卷
二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分．
9．一支田径队有男运动员48 人，女运动员36 人，若用分层抽样的方法
从该队的全体运动员中抽取一个容量为21 的样本，则抽取男运动员的人
数为___________
10．一个几何体的三视图如右图所示（单位：
），则该几何体的体积
为__________
11 ．已知抛物线
的参数方程为
（
为参数）若斜率为1 的
直线经过抛物线
的焦点，且与圆
相切，
则
=________.
12．如图，已知圆中两条弦
与
相交于点
，
是
延长线上一
点，且
若
与圆相切，则
线段
的长为__________.
13．已知集合
，则
集合
=________.
14．已知直角梯形
中，
//
,
,
,
是腰
上
的动点，则
的最小值为____________.
三、解答题：本大题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13 分）
已知函数
（Ⅰ）求
的定义域与最小正周期；
（II）设
，若
求
的大小．
16．（本小题满分13 分）
学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3 个白球、2 个黑球，乙箱子
里装有1 个白球、2 个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各
随机摸出2 个球，若摸出的白球不少于2 个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原
箱）
（Ⅰ）求在1 次游戏中，
（i）摸出3 个白球的概率；
（ii）获奖的概率；
（Ⅱ）求在2 次游戏中获奖次数
的分布列及数学期望
.
17．（本小题满分13 分）如图，在三棱柱
中，
是正方形
的中心，
，
平面
，且
（Ⅰ）求异面直线AC 与A1B1所成角的余弦值；
（Ⅱ）求二面角
的正弦值；
（Ⅲ）设
为棱
的中点，点
在平面
内，且
平面
，求线
段
的
长．
18．（本小题满分13 分）在平面直角坐标系
中，点
为动点，
分别为椭圆
的左右焦点．已知△
为等腰三角形．
（Ⅰ）求椭圆的离心率
；
（Ⅱ）设直线
与椭圆相交于
两点，
是直线
上的点，满足
，求点
的轨迹方程．
19．（本小题满分14 分）
已知
，函数
（
的图像连续不断）
（Ⅰ）求
的单调区间；
（Ⅱ）当
时，证明：存在
，使
；
（Ⅲ）若存在均属于区间
的
，且
，使
，证明
．
20．（本小题满分14 分）
已知数列
与
满足：
，
，且
．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）设
，证明：
是等比数列；
（III）设
证明：
．
2011 参考答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5 分，满分40 分.
BABDCDCB
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5 分，满分30 分.
9．12 10．
11．
12．
13．
14．5
三、解答题
15．本小题主要考查两角和的正弦、余弦、正切公式，同角三角函数的基本关系，二倍角
的正弦、余弦公式，正切函数的性质等基础知识，考查基本运算能力.满分13 分.
（I）解：由
，
得
.
所以
的定义域为
的最小正周期为
（II）解：由
得
整理得
因为
，所以
因此
由
，得
.
所以
16．本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和
相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决简单的实际问题的能力.满分13 分.
（I）（i）解：设“在1 次游戏中摸出i 个白球”为事件
则
（ii）解：设“在1 次游戏中获奖”为事件B，则
，又
且A2，A3互斥，所以
（II）解：由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2.
所以X 的分布列是
X
0
1
2
P
X 的数学期望
17．本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空
间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.满分
13 分.
方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B 为坐标原点.
依题意得
（I）解：易得
，
于是
所以异面直线AC 与A1B1所成角的余弦值为
（II）解：易知
设平面AA1C1的法向量
，
则
即
不妨令
可得
，
同样地，设平面A1B1C1的法向量
，
则
即
不妨令
，
可得
于是
从而
所以二面角A—A1C1—B 的正弦值为
（III）解：由N 为棱B1C1的中点，
得
设M（a，b，0），
则
由
平面A1B1C1，得
即
解得
故
因此
，所以线段BM 的长为
方法二：
（I）解：由于AC//A1C1，故
是异面直线AC 与A1B1所成的角.
因为
平面AA1B1B，又H 为正方形AA1B1B 的中心，
可得
因此
所以异面直线AC 与A1B1所成角的余弦值为
（II）解：连接AC1，易知AC1=B1C1，
又由于AA1=B1A1，A1C1=A1=C1，
所以
≌
，过点A 作
于点R，
连接B1R，于是
，故
为二面角A—A1C1—B1的平面角.
在
中，
连接AB1，在
中，
，
从而
所以二面角A—A1C1—B1的正弦值为
（III）解：因为
平面A1B1C1，所以
取HB1中点D，连接ND，由于N 是棱B1C1中点，
所以ND//C1H 且
.
又
平面AA1B1B，
所以
平面AA1B1B，故
又
所以
平面MND，连接MD 并延长交A1B1于点E，
则
由
得
，延长EM 交AB 于点F，
可得
连接NE.
在
中，
所以
可得
连接BM，在
中，
18．本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识，考
查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算
能力.满分13 分.
（I）解：设
由题意，可得
即
整理得
（舍），
或
所以
（II）解：由（I）知
可得椭圆方程为
直线PF2方程为
A，B 两点的坐标满足方程组
消去y 并整理，得
解得
得方程组的解
不妨设
设点M 的坐标为
，
由
于是
由
即
，
化简得
将
所以
因此，点M 的轨迹方程是
19．本小题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、解不等式、函数的零点等
基础知识，考查运算能力和运用函数思想分析解决问题的能力及分类讨论的思想方法.
满分14 分.
（I）解：
，
令
当x 变化时，
的变化情况如下表：
+
0
-
极大值
所以，
的单调递增区间是
的单调递减区间是
（II）证明：当
由（I）知
在（0，2）内单调递增，
在
内单调递减.
令
由于
在（0，2）内单调递增，
故
取
所以存在
即存在
（说明：
的取法不唯一，只要满足
即可）
（III）证明：由
及（I）的结论知
，
从而
上的最小值为
又由
，
知
故
从而
20．本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能
力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满分14 分.
（I）解：由
可得
又
（II）证明：对任意
①
②
③
②—③，得
④
将④代入①，可得
即
又
因此
是等比数列.
（III）证明：由（II）可得
，
于是，对任意
，有
将以上各式相加，得
即
，
此式当k=1 时也成立.由④式得
从而
所以，对任意
，
对于n=1，不等式显然成立.
所以，对任意
选择填空解析
2011 年天津市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共8 小题，每小题5 分，满分40 分）
1．（5 分）（2011•天津）i 是虚数单位，复数
=（ ）
A．2+i
B．2
i
﹣
C．﹣1+2i
D．﹣1
2i
﹣
【考点】复数代数形式的乘除运算．菁优网版权所有
【专题】数系的扩充和复数．
【分析】要求两个复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母上进
行复数的乘法运算，最后结果要化简成最简形式．
【解答】解：复数
=
=
=2
i
﹣
故选B．
【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，是一个基础题，这种题目运算量不大，解
题应用的原理也比较简单，是一个送分题目．
2．（5 分）（2011•天津）设x，y∈R，则“x≥2 且y≥2”是“x2+y2≥4”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．菁优网版权所有
【专题】简易逻辑．
【分析】由“x≥2 且y≥2”推出“x2+y2≥4”可证明充分性；由满足“x2+y2≥4”可举出反例推翻
“x≥2 且y≥2”，则证明不必要性，综合可得答案．
【解答】解：若x≥2 且y≥2，则x2≥4，y2≥4，所以x2+y2≥8，即x2+y2≥4；
若x2+y2≥4，则如（﹣2，﹣2）满足条件，但不满足x≥2 且y≥2．
所以“x≥2 且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分而不必要条件．
故选A．
【点评】本题主要考查充分条件与必要条件的含义．
3．（5 分）（2011•天津）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【考点】程序框图．菁优网版权所有
【专题】算法和程序框图．
【分析】通过程序框图的要求，写出前四次循环的结果得到输出的值．
【解答】解：该程序框图是循环结构
经第一次循环得到i=1，a=2；
经第二次循环得到i=2，a=5；
经第三次循环得到i=3，a=16；
经第四次循环得到i=4，a=65 满足判断框的条件，执行是，输出4
故选B
【点评】本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环结果，找规律．
4．（5 分）（2011•天津）已知{an}为等差数列，其公差为﹣2，且a7是a3与a9的等比中项，
Sn为{an}的前n 项和，n∈N*，则S10的值为（ ）
A．﹣110
B．﹣90 C．90
D．110
【考点】等差数列的前n 项和；等比数列的性质．菁优网版权所有
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】通过a7是a3与a9的等比中项，公差为﹣2，求出
【解答】解：a7是a3与a9的等比中项，公差为﹣2，所以a7
2=a3•a9，
{a
∵
n}公差为﹣2，
a
∴3=a7
4d=a
﹣
7+8，a9=a7+2d=a7
4
﹣，
所以a7
2=（a7+8）（a7
4
﹣），所以a7=8，所以a1=20，
所以S10=
=110
故选D
【点评】本题是基础题，考查等差数列的前n 项和，等比数列的应用，考查计算能力，常
考题型．
5．（5 分）（2011•天津）在
的二项展开式中，x2的系数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】二项式定理．菁优网版权所有
【专题】二项式定理．
【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x 的指数为2，求出展开式中，
x2的系数，即得答案．
【解答】解：展开式的通项为Tr+1=（﹣1）r22r
6
﹣C6
rx3
r
﹣
令3
r=2
﹣
得r=1
所以项展开式中，x2的系数为﹣
故选C
【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．
6．（5 分）（2011•天津）如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB=AD，2AB=
BD，BC=2BD，则sinC 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】三角形中的几何计算．菁优网版权所有
【专题】解三角形．
【分析】根据题中条件，在△ABD 中先由余弦定理求出cosA，利用同角关系可求sinA，
利用正弦定理可求sin BDC
∠
，然后在△BDC 中利用正弦定理求解sinC 即可
【解答】解：设AB=x，由题意可得AD=x，BD=
ABD
△
中，由余弦定理可得
sinA=
∴
ABD
△
中，由正弦定理可得
⇒sin ADB=
∠
∴
BDC
△
中，由正弦定理可得
故选：D．
【点评】本题主要考查了在三角形中，综合运用正弦定理、余弦定理、同角基本关系式等
知识解三角形的问题，反复运用正弦定理、余弦定理，要求考生熟练掌握基本知识，并能
灵活选择基本工具解决问题．
7．（5 分）（2011•天津）已知
，则（
）
A．a＞b＞c
B．b＞a＞c
C．a＞c＞b
D．c＞a＞b
【考点】指数函数的单调性与特殊点．菁优网版权所有
【专题】函数的性质及应用．
【分析】比较大小的方法：找1 或者0 做中介判断大小，log43.6＜1，log23.4＞1，利用分数
指数幂的运算法则和对数的运算法则对c 进行化简，得到
＞1＞
b，再借助于中间值log2
进行比较大小，从而得到结果．，
【解答】解：∵log23.4＞1，log43.6＜1，
又y=5x是增函数，
a
∴＞b，
＞
=
=b
而log23.4＞log2
＞log3
，
a
∴＞c
故a＞c＞b．
故选C．
【点评】此题是个中档题．本题考查对数函数单调性、指数函数的单调性及比较大小，以
及中介值法，考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．
8．（5 分）（2011•天津）对实数a 与b，定义新运算“⊗”：
．设函
数f（x）=（x2
2
﹣）⊗（x
x
﹣2），x∈R．若函数y=f（x）﹣c 的图象与x 轴恰有两个公共点，
则实数c 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】函数与方程的综合运用．菁优网版权所有
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据定义的运算法则化简函数f（x）=（x2
2
﹣）⊗（x
x
﹣2）的解析式，并求出f
（x）的取值范围，函数y=f（x）﹣c 的图象与x 轴恰有两个公共点转化为y=f（x），y=c
图象的交点问题，结合图象求得实数c 的取值范围．
【解答】解：∵
，
∴函数f（x）=（x2
2
﹣）⊗（x
x
﹣2）=
，
由图可知，当c∈
函数f（x） 与y=c 的图象有两个公共点，
c
∴的取值范围是
，
故选B．
【点评】本题考查二次函数的图象特征、函数与方程的综合运用，及数形结合的思想．属
于基础题．
二、填空题（共6 小题，每小题5 分，满分30 分）
9．（5 分）（2011•天津）一支田径队有男运动员48 人，女运动员36 人，若用分层抽样的
方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21 的样本，则抽取男运动员的人数为
12
．
【考点】分层抽样方法．菁优网版权所有
【专题】概率与统计．
【分析】根据田径队的男女运动员数目和用分层抽样要抽取的数目，得到每个个体被抽到
的概率，利用每个个体被抽到的概率乘以男运动员的数目，得到结果．
【解答】解：∵田径队有男运动员48 人，女运动员36 人，
∴这支田径队共有48+36=84 人，
用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21 的样本，
∴每个个体被抽到的概率是
，
∵田径队有男运动员48 人，
∴男运动员要抽取48× =12 人，
故答案为：12．
【点评】本题考查分层抽样，在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，这是解决这种问
题的依据，本题是一个基础题．
10．（5 分）（2011•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则这个几何体的
体积为
6+π
m3．
【考点】由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
【专题】立体几何．
【分析】由已知中的三视图，我们易判断已知中几何体的形状，然后根据已知的三视图分
析出几何体的相关几何量，代入体积公式，即可求出该几何体的体积．
【解答】解：由已知可得已知的几何体是一个圆锥和长方体的组合体
其中上部的圆锥的底面直径为2，高为3，
下部的长方体长、宽高分别为：2，3，1
则V 圆锥= •π•3=π
V 长方体=1×2×3=6
则V=6+π
故答案为：6+π
【点评】本题考查的知识是由三视图求体积，其中根据已知中的三视图分析几何体的形状
是解答本题的关键．
11．（5 分）（2011•天津）已知抛物线C 的参数方程为
（t 为参数），若斜率为1
的直线经过抛物线C 的焦点，且与圆（x
4
﹣）2+y2=r2（r＞0）相切，则r=
．
【考点】直线与圆的位置关系；抛物线的简单性质；直线的参数方程．菁优网版权所有
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；坐标系和参数方程．
【分析】由抛物线C 的参数方程为
我们易求出抛物线的标准方程，进而根据斜率
为1 的直线经过抛物线C 的焦点，且与圆（x
4
﹣）2+y2=r2（r＞0）相切，我们根据直线与
圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程后，代入点到直线距离公式，构造
关于r 的方程，解方程即可得到答案．
【解答】解：∵抛物线C 的参数方程为
则抛物线的标准方程为：y2=8x
则抛物线C 的焦点的坐标为（2，0）
又∵斜率为1 的直线经过抛物线C 的焦点
则直线的方程为y=x
2
﹣，即经x
y
2=0
﹣﹣
由直线与圆（x
4
﹣）2+y2=r2，则
r=
=
故答案为：
【点评】本题考查的知识点是直线与的圆位置关系，抛物线的简单性质及抛物线的参数方
程，其中根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程后，代入点到
直线距离公式，构造关于r 的方程，是解答本题的关键．
12．（5 分）（2011•天津）如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F，E 是AB 延长线
上一点，且 DF=CF=
，AF：FB：BE=4：2：1．若CE 与圆相切，则CE 的长为
．
【考点】圆的切线方程．菁优网版权所有
【专题】直线与圆．
【分析】设出AF=4k，BF=2k，BE=k，由DF•FC=AF•BF 求出k 的值，利用切割定理求出
CE．
【解答】解：设AF=4k，BF=2k，BE=k，由DF•FC=AF•BF，得2=8k2，即k= ，
AF=2
∴
，BF=1，BE= ，AE= ，
由切割定理得CE2=BE•EA=
= ，
CE=
∴
．
【点评】本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，基本知识掌握的情况，
常考题型．
13．（5 分）（2011•天津）已知集合A={x∈R||x+3|+|x
4|≤9}
﹣
，B=
，则集合A∩B=
{x|
2≤x≤5}
﹣
．
【考点】交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】集合．
【分析】求出集合A，求出集合B，然后利用集合的运算法则求出A∩B．
【解答】解：集合A={x∈R||x+3|+|x
4|≤9}
﹣
，所以A={x|
4≤x≤5}
﹣
；
集合
，
，
当且仅当t= 时取等号，所以B={x|x≥
2}
﹣
，
所以A∩B={x|
4≤x≤5}∩{x|x≥
2}={x|
2≤x≤5}
﹣
﹣
﹣
，
故答案为：{x|
2≤x≤5}
﹣
．
【点评】本题是基础题，考查集合的基本运算，注意求出绝对值不等式的解集，基本不等
式求出函数的值域，是本题解题是关键，考查计算能力．
14．（5 分）（2011•天津）已知直角梯形ABCD 中，AD BC
∥
，∠ADC=90°，AD=2，
BC=1，P 是腰DC 上的动点，则
的最小值为
5
．
【考点】向量的模．菁优网版权所有
【专题】平面向量及应用．
【分析】根据题意，利用解析法求解，以直线DA，DC 分别为x，y 轴建立平面直角坐标
系，则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0），设P（0，b）（0≤b≤a），求出
，根据向量模的计算公式，即可求得
，利用完全平方式非负，即可求
得其最小值．
【解答】解：如图，以直线DA，DC 分别为x，y 轴建立平面直角坐标系，
则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0）
设P（0，b）（0≤b≤a）
则
=（2，﹣b），
=（1，a
b
﹣），
∴
=（5，3a
4b
﹣
）
∴
=
≥5．
故答案为5．
【点评】此题是个基础题．考查向量在几何中的应用，以及向量模的求法，同时考查学生
灵活应用知识分析解决问题的能力．
