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2015 年江苏省高考数学试卷
一、填空题（本大题共14 小题，每小题5 分，共计70 分）
1．（5 分）（2015•江苏）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A B
∪
中元素的个数为
．
2．（5 分）（2015•江苏）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为 ．
3．（5 分）（2015•江苏）设复数z 满足z2=3+4i（i 是虚数单位），则z 的模为 ．
4．（5 分）（2015•江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ．
5．（5 分）（2015•江苏）袋中有形状、大小都相同的4 只球，其中1 只白球、1 只红球、2 只黄球，
从中一次随机摸出2 只球，则这2 只球颜色不同的概率为 ．
6．
（5 分）
（2015•江苏）已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m +n =（9，﹣8）
（m，n∈R），则m
n
﹣的值为 ．
7．（5 分）（2015•江苏）不等式2
＜4 的解集为 ．
8．（5 分）（2015•江苏）已知tanα=
2
﹣，tan（α+β）= ，则tanβ 的值为 ．
9．（5 分）（2015•江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4 的圆锥和底面半径为2，高为
8 的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥
和圆柱各一个，则新的底面半径为 ．
10．（5 分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，以点（1，0）为圆心且与直线mx
y
2m
﹣﹣
1=0
﹣
（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ．
11．
（5 分）
（2015•江苏）设数列{an}满足a1=1，且an+1
a
﹣n=n+1（n∈N*），则数列{
}的前10 项
的和为 ．
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12．（5 分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x2
y
﹣2=1 右支上的一个动点，
若点P 到直线x
y+1=0
﹣
的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为 ．
13．（5 分）（2015•江苏）已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=
，则方程|f（x）+g
（x）|=1 实根的个数为 ．
14．（5 分）（2015•江苏）设向量
=（cos
，sin
+cos
）（k=0，1，2，…，12），则
（ak •ak+1）的值为 ．
二、解答题（本大题共6 小题，共计90 分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（14 分）（2015•江苏）在△ABC 中，已知AB=2，AC=3，A=60°．
（1）求BC 的长；
（2）求sin2C 的值．
16．（14 分）（2015•江苏）如图，在直三棱柱ABC
A
﹣
1B1C1中，已知AC BC
⊥
，BC=CC1，设AB1
的中点为D，B1C∩BC1=E．
求证：
（1）DE∥平面AA1C1C；
（2）BC1 AB
⊥
1．
17．（14 分）（2015•江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交
通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，
l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N 为C 的两个端点，测得点M 到
l1，l2的距离分别为5 千米和40 千米，点N 到l1，l2的距离分别为20 千米和2.5 千米，以l2，l1
在的直线分别为x，y 轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C 符合函数y=
（其中a，b
为常数）模型．
（1）求a，b 的值；
（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t．
①请写出公路l 长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；
第2页（共17页）
②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度．
18．（16 分）（2015•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆
+
=1（a＞b＞0）的
离心率为
，且右焦点F 到左准线l 的距离为3．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过F 的直线与椭圆交于A，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P，C，
若PC=2AB，求直线AB 的方程．
19．（16 分）（2015•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）．
（1）试讨论f（x）的单调性；
（2）若b=c
a
﹣（实数c 是与a 无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a 的取值范围
恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c 的值．
20．（16 分）（2015•江苏）设a1，a2，a3．a4是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列．
（1）证明：
依次构成等比数列；
（2）是否存在
，使得
依次构成等比数列？并说明理由；
（3）是否存在
及正整数
，使得
依次构成等比数列？并说明
理由。
三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21-24 题，请选定其中两
小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
【选修4-1：几何证明选讲】
第3页（共17页）
21．
（10 分）
（2015•江苏）如图，在△ABC 中，AB=AC，△ABC 的外接圆⊙O 的弦AE 交BC 于
点D．
求证：△ABD
AEB
△
∽
．
【选修4-2：矩阵与变换】
22．（10 分）（2015•江苏）已知x，y∈R，向量
=
是矩阵
的属于特征值﹣2 的一个
特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．（2015•江苏）已知圆C 的极坐标方程为ρ2+2
ρsin（θ﹣
）﹣4=0，求圆C 的半径．
[选修4-5：不等式选讲】
24．（2015•江苏）解不等式x+|2x+3|≥2．
【必做题】每题10 分，共计20 分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤
25．（10 分）（2015•江苏）如图，在四棱锥P
ABCD
﹣
中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形
ABCD 为直角梯形，∠ABC= BAD=
∠
，PA=AD=2，AB=BC=1．
（1）求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；
（2）点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成的角最小时，求线段BQ 的长．
26．（10 分）（2015•江苏）已知集合X={1，2，3}，Yn={1，2，3，…，n）（n∈N*），设Sn={（a，b）|a
整除b 或整除a，a∈X，B∈Yn}，令f（n）表示集合Sn所含元素的个数．
（1）写出f（6）的值；
（2）当n≥6 时，写出f（n）的表达式，并用数学归纳法证明．
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2015 年江苏省高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共14 小题，每小题5 分，共计70 分）
1．（5 分）
考点：并集及其运算．菁优网版权所有
专题：集合．
分析：求出A B
∪，再明确元素个数
解答：解：集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则A B={1
∪
，2，3，4，5}；
所以A B
∪
中元素的个数为5；
故答案为：5
点评：题考查了集合的并集的运算，根据定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题
2．（5 分）
考点：众数、中位数、平均数．菁优网版权所有
专题：概率与统计．
分析：直接求解数据的平均数即可．
解答：解：数据4，6，5，8，7，6，
那么这组数据的平均数为：
=6．
故答案为：6．
点评：本题考查数据的均值的求法，基本知识的考查．
3．（5 分）
考点：复数求模．菁优网版权所有
专题：数系的扩充和复数．
分析：直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可．
解答：解：复数z 满足z2=3+4i，
可得|z||z|=|3+4i|=
=5，
|z|=
∴
．
故答案为：
．
点评：本题考查复数的模的求法，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力．
4．（5 分）
考点：伪代码．菁优网版权所有
专题：图表型；算法和程序框图．
分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I，S 的值，当I=10 时不满足条件I＜8，
退出循环，输出S 的值为7．
解答：解：模拟执行程序，可得
S=1，I=1
满足条件I＜8，S=3，I=4
满足条件I＜8，S=5，I=7
满足条件I＜8，S=7，I=10
不满足条件I＜8，退出循环，输出S 的值为7．
故答案为：7．
第5页（共17页）
点评：本题主要考查了循环结构的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础
题．
5．（5 分）
考点：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有
专题：概率与统计．
分析：根据题意，把4 个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．
解答：解：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为C1、C2，则
一次取出2 只球，基本事件为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6 种，
其中2 只球的颜色不同的是AB、AC1、AC2、BC1、BC2共5 种；
所以所求的概率是P= ．
故答案为：．
点评：本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目．
6．（5 分）
考点：平面向量的基本定理及其意义．菁优网版权所有
专题：平面向量及应用．
分析：直接利用向量的坐标运算，求解即可．
解答：解：向量=（2，1），=（1，﹣2），若m +n =（9，﹣8）
可得
，解得m=2，n=5，
m
n=
3
∴﹣
﹣．
故答案为：﹣3．
点评：本题考查向量的坐标运算，向量相等条件的应用，考查计算能力．
7．（5 分）
考点：指、对数不等式的解法．菁优网版权所有
专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
分析：利用指数函数的单调性转化为x2
x
﹣＜2，求解即可．
解答：解；∵2
＜4，
x
∴2
x
﹣＜2，
即x2
x
2
﹣﹣＜0，
解得：﹣1＜x＜2
故答案为：（﹣1，2）
点评：本题考查了指数函数的性质，二次不等式的求解，属于简单的综合题目，难度不大．
8．（5 分）
考点：两角和与差的正切函数．菁优网版权所有
专题：三角函数的求值．
分析：直接利用两角和的正切函数，求解即可．
解答：解：tanα=
2
﹣，tan（α+β）= ，
可知tan（α+β）=
= ，
即
= ，
解得tanβ=3．
故答案为：3．
点评：本题考查两角和的正切函数，基本知识的考查．
9．（5 分）
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有
专题：计算题；空间位置关系与距离．
第6页（共17页）
分析：由题意求出原来圆柱和圆锥的体积，设出新的圆柱和圆锥的底面半径r，求出体积，由
前后体积相等列式求得r．
解答：解：由题意可知，原来圆锥和圆柱的体积和为：
．
设新圆锥和圆柱的底面半径为r，
则新圆锥和圆柱的体积和为：
．
∴
，解得：
．
故答案为：
．
点评：本题考查了圆柱与圆锥的体积公式，是基础的计算题．
10．（5 分）
考点：圆的标准方程；圆的切线方程．菁优网版权所有
专题：计算题；直线与圆．
分析：求出圆心到直线的距离d 的最大值，即可求出所求圆的标准方程．
解答：
解：圆心到直线的距离d=
=
≤
，
m=1
∴
时，圆的半径最大为
，
∴所求圆的标准方程为（x
1
﹣）2+y2=2．
故答案为：（x
1
﹣）2+y2=2．
点评：本题考查所圆的标准方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基
础．
11．（5 分）
考点：数列的求和；数列递推式．菁优网版权所有
专题：等差数列与等比数列．
分析：数列{an}满足a1=1，且an+1
a
﹣n=n+1（n∈N*），利用“累加求和”可得an=
．再
利用“裂项求和”即可得出．
解答：解：∵数列{an}满足a1=1，且an+1
a
﹣n=n+1（n∈N*），
∴当n≥2 时，an=（an
a
﹣n
1
﹣）+…+（a2
a
﹣1）+a1=+n+…+2+1=
．
当n=1 时，上式也成立，
a
∴n=
．
∴
=2
．
∴数列{
}的前n 项的和Sn=
=
=
．
∴数列{
}的前10 项的和为
．
故答案为：
．
点评：本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n 项和公式，
考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
第7页（共17页）
12．（5 分）
考点：双曲线的简单性质．菁优网版权所有
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：双曲线x2
y
﹣2=1 的渐近线方程为x±y=0，c 的最大值为直线x
y+1=0
﹣
与直线x
y=0
﹣
的距离．
解答：解：由题意，双曲线x2
y
﹣2=1 的渐近线方程为x±y=0，
因为点P 到直线x
y+1=0
﹣
的距离大于c 恒成立，
所以c 的最大值为直线x
y+1=0
﹣
与直线x
y=0
﹣
的距离，即
．
故答案为：
．
点评：本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．
13．（5 分）
考点：根的存在性及根的个数判断．菁优网版权所有
专题：综合题；函数的性质及应用．
分析：：由|f（x）+g（x）|=1 可得g（x）=
f
﹣（x）±1，分别作出函数的图象，即可得出结论．
解答：解：由|f（x）+g（x）|=1 可得g（x）=
f
﹣（x）±1．
g（x）与h（x）=
f
﹣（x）+1 的图象如图所示，图象有两个交点；
g（x）与φ（x）=
f
﹣（x）﹣1 的图象如图所示，图象有两个交点；
所以方程|f（x）+g（x）|=1 实根的个数为4．
故答案为：4．
点评：本题考查求方程|f（x）+g（x）|=1 实根的个数，考查数形结合的数学思想，考查学生分析
解决问题的能力，属于中档题．
14．（5 分）
考点：数列的求和．菁优网版权所有
专题：等差数列与等比数列；平面向量及应用．
分析：利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性
第8页（共17页）
即可得出．
解答：解：
=
+
=
+
+
+
+
=
+
+
=
+
+
，
∴
（ak•ak+1）=
+
+
+
+
+
+
+…+
+
+
+
+
+
+…+
=
+0+0
=
．
故答案为：9
．
点评：本题考查了向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的
周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、解答题（本大题共6 小题，共计90 分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（14 分）
考点：余弦定理的应用；二倍角的正弦．菁优网版权所有
专题：解三角形．
分析：（1）直接利用余弦定理求解即可．
（2）利用正弦定理求出C 的正弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可．
解答：解：（1）由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2
2AB•ACcosA=4+8
2×2×3×
﹣
﹣
=7，
所以BC=
．
（2）由正弦定理可得：
，则sinC=
=
=
，
AB
∵
＜BC，∴C 为锐角，
则cosC=
=
=
．
因此sin2C=2sinCcosC=2×
=
．
点评：本题考查余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的解题
的关键．
16．（14 分）
考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．菁优网版权所有
专题：证明题；空间位置关系与距离．
分析：（1）根据中位线定理得DE AC
∥
，即证DE∥平面AA1C1C；
第9页（共17页）
（2）先由直三棱柱得出CC1⊥平面ABC，即证AC CC
⊥
1；再证明AC⊥平面BCC1B1，即证
BC1 AC
⊥
；最后证明BC1⊥平面B1AC，即可证出BC1 AB
⊥
1．
解答：证明：（1）根据题意，得；
E 为B1C 的中点，D 为AB1的中点，所以DE AC
∥
；
又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，
所以DE∥平面AA1C1C；
（2）因为棱柱ABC
A
﹣
1B1C1是直三棱柱，
所以CC1⊥平面ABC，
因为AC⊂平面ABC，
所以AC CC
⊥
1；
又因为AC BC
⊥
，
CC1⊂平面BCC1B1，
BC⊂平面BCC1B1，
BC∩CC1=C，
所以AC⊥平面BCC1B1；
又因为BC1⊂平面平面BCC1B1，
所以BC1 AC
⊥
；
因为BC=CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，
所以BC1⊥平面B1AC；
又因为AB1⊂平面B1AC，
所以BC1 AB
⊥
1．
点评：本题考查了直线与直线，直线与平面以及平面与平面的位置关系，也考查了空间想象能
力和推理论证能力的应用问题，是基础题目．
17．（14 分）
考点：函数与方程的综合运用．菁优网版权所有
专题：综合题；导数的综合应用．
分析：
（1）由题意知，点M，N 的坐标分别为（5，40），
（20，2.5），将其分别代入y=
，建立
方程组，即可求a，b 的值；
（2）①求出切线l 的方程，可得A，B 的坐标，即可写出公路l 长度的函数解析式f（t），
并写出其定义域；
②设g（t）=
，利用导数，确定单调性，即可求出当t 为何值时，公路l 的长
度最短，并求出最短长度．
解答：解：（1）由题意知，点M，N 的坐标分别为（5，40），（20，2.5），
将其分别代入y=
，得
，
解得
，
（2）①由（1）y=
（5≤x≤20），P（t，
），
y′=
∴
﹣
，
∴切线l 的方程为y﹣
=﹣
（x
t
﹣）
设在点P 处的切线l 交x，y 轴分别于A，B 点，则A（
，0），B（0，
），
第10页（共17页）
f
∴（t）=
=
，t∈[5，20]；
②设g（t）=
，则g′（t）=2t﹣
=0，解得t=10
，
t∈（5，10
）时，g′（t）＜0，g（t）是减函数；t∈（10
，20）时，g′（t）＞0，g（t）是增函数，
从而t=10
时，函数g（t）有极小值也是最小值，
g
∴（t）min=300，
f
∴（t）min=15
，
答：t=10
时，公路l 的长度最短，最短长度为15
千米．
点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的综合运用，确定函数关系，正确
求导是关键．
18．（16 分）
考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．菁优网版权所有
专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（1）运用离心率公式和准线方程，可得a，c 的方程，解得a，c，再由a，b，c 的关系，可得
b，进而得到椭圆方程；
（2）讨论直线AB 的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理
和弦长公式，以及两直线垂直的条件和中点坐标公式，即可得到所求直线的方程．
解答：解：（1）由题意可得，e= =
，
且c+
=3，解得c=1，a=
，
则b=1，即有椭圆方程为
+y2=1；
（2）当AB x
⊥轴，AB=
，CP=3，不合题意；
当AB 与x 轴不垂直，设直线AB：y=k（x
1
﹣），A（x1，y1），B（x2，y2），
将AB 方程代入椭圆方程可得（1+2k2）x2
4k
﹣
2x+2（k2
1
﹣）=0，
则x1+x2=
，x1x2=
，
则C（
，
），且|AB|=
•
=
，
若k=0，则AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意；
则k≠0，故PC：y+
=﹣（x﹣
），P（﹣2，
），
从而|PC|=
，
由|PC|=2|AB|，可得
=
，解得k=±1，
此时AB 的方程为y=x
1
﹣或y=
x+1
﹣
．
点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运
用韦达定理和弦长公式，同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用，属于中档题．
19．（16 分）
考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．菁优网版权所有
专题：综合题；导数的综合应用．
第11页（共17页）
分析：（1）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可得出f（x）的单调性；
（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣
）=
+b，则函数f（x）有三
个不同的零点等价于f（0）f（﹣
）=b（
+b）＜0，进一步转化为a＞0 时，
﹣a+c＞0 或a＜0 时，
﹣a+c＜0．设g（a）=
a+c
﹣
，利用条件即可求c 的值．
解答：解：（1）∵f（x）=x3+ax2+b，
f′
∴（x）=3x2+2ax，
令f′（x）=0，可得x=0 或﹣
．
a=0 时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；
a＞0 时，x∈（﹣∞，﹣
）∪（0，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（﹣
，0）时，f′（x）＜0，
∴函数f（x）在（﹣∞，﹣
），（0，+∞）上单调递增，在（﹣
，0）上单调递减；
a＜0 时，x∈（﹣∞，0）∪（﹣
，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（0，﹣
）时，f′（x）＜0，
∴函数f（x）在（﹣∞，0），（﹣
，+∞）上单调递增，在（0，﹣
）上单调递减；
（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣
）=
+b，则函数f（x）有三
个不同的零点等价于f（0）f（﹣
）=b（
+b）＜0，
b=c
a
∵
﹣，
a
∴＞0 时，
﹣a+c＞0 或a＜0 时，
﹣a+c＜0．
设g（a）=
a+c
﹣
，
∵函数f（x）有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，
+∞），
∴在（﹣∞，﹣3）上，g（a）＜0 且在（1，）∪（，+∞）上g（a）＞0 均恒成立，
g
∴（﹣3）=c
1≤0
﹣
，且g（）=c
1≥0
﹣
，
c=1
∴
，
此时f（x）=x3+ax2+1
a=
﹣
（x+1）[x2+（a
1
﹣）x+1
a
﹣]，
∵函数有三个零点，
x
∴2+（a
1
﹣）x+1
a=0
﹣
有两个异于﹣1 的不等实根，
=
∴△（a
1
﹣）2
4
﹣（1
a
﹣）＞0，且（﹣1）2﹣（a
1
﹣）+1
a≠0
﹣
，
解得a∈（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），
综上c=1．
点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论
的数学思想，难度大．
20．（16 分）
考点：等比关系的确定；等比数列的性质．菁优网版权所有
专题：等差数列与等比数列．
分析：（1）根据等比数列和等差数列的定义即可证明；
第12页（共17页）
（2）利用反证法，假设存在a1，d 使得a1，a2
2，a3
3，a4
4依次构成等比数列，推出矛盾，否
定假设，得到结论；
（3）利用反证法，假设存在a1，d 及正整数n，k，使得a1
n，a2
n+k，a3
n+2k，a4
n+3k依次构成等
比数列，得到a1
n（a1+2d）n+2k=（a1+2d）2（n+k），且（a1+d）n+k（a1+3d）n+3k=（a1+2d）2（n+2k），利
用等式以及对数的性质化简整理得到ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）
ln（1+t），（**），多次构造函数，多次求导，利用零点存在定理，推出假设不成立．
解答：
解：（1）证明：∵
=
=2d，（n=1，2，3，）是同一个常数，
2
∴
，2
，2
，2
依次构成等比数列；
（2）令a1+d=a，则a1，a2，a3，a4分别为a
d
﹣，a，a+d，a+2d（a＞d，a＞﹣2d，d≠0）
假设存在a1，d 使得a1，a2
2，a3
3，a4
4依次构成等比数列，
则a4=（a
d
﹣）（a+d）3，且（a+d）6=a2（a+2d）4，
令t= ，则1=（1
t
﹣）（1+t）3，且（1+t）6=（1+2t）4，（﹣＜t＜1，t≠0），
化简得t3+2t2
2=0
﹣
（*），且t2=t+1，将t2=t+1 代入（*）式，
t（t+1）+2（t+1）﹣2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0，则t=﹣，
显然t=﹣不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，
因此不存在a1，d，使得a1，a2
2，a3
3，a4
4依次构成等比数列．
（3）假设存在a1，d 及正整数n，k，使得a1
n，a2
n+k，a3
n+2k，a4
n+3k依次构成等比数列，
则a1
n（a1+2d）n+2k=（a1+2d）2（n+k），且（a1+d）n+k（a1+3d）n+3k=（a1+2d）2（n+2k），
分别在两个等式的两边同除以=a1
2（n+k），a1
2（n+2k），并令t=
，（t＞
，t≠0），
则（1+2t）n+2k=（1+t）2（n+k），且（1+t）n+k（1+3t）n+3k=（1+2t）2（n+2k），
将上述两个等式取对数，得（n+2k）ln（1+2t）=2（n+k）ln（1+t），
且（n+k）ln（1+t）+（n+3k）ln（1+3t）=2（n+2k）ln（1+2t），
化简得，2k[ln（1+2t）﹣ln（1+t）]=n[2ln（1+t）﹣ln（1+2t）]，
且3k[ln（1+3t）﹣ln（1+t）]=n[3ln（1+t）﹣ln（1+3t）]，
再将这两式相除，化简得，
ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）ln（1+t），（**）
令g（t）=4ln（1+3t）ln（1+t）﹣ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t），
则g′（t）=
[（1+3t）2ln（1+3t）﹣3（1+2t）2ln（1+2t）+3
（1+t）2ln（1+t）]，
令φ（t）=（1+3t）2ln（1+3t）﹣3（1+2t）2ln（1+2t）+3（1+t）2ln（1+t），
则φ′（t）=6[（1+3t）ln（1+3t）﹣2（1+2t）ln（1+2t）+3（1+t）ln（1+t）]，
令φ1（t）=φ′（t），则φ1′（t）=6[3ln（1+3t）﹣4ln（1+2t）+ln（1+t）]，
令φ2（t）=φ1′（t），则φ2′（t）=
＞0，
由g（0）=φ（0）=φ1（0）=φ2（0）=0，φ2′（t）＞0，
知g（t），φ（t），φ1（t），φ2（t）在（﹣，0）和（0，+∞）上均单调，
故g（t）只有唯一的零点t=0，即方程（**）只有唯一解t=0，故假设不成立，
所以不存在a1，d 及正整数n，k，使得a1
n，a2
n+k，a3
n+2k，a4
n+3k依次构成等比数列．
点评：本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，函数与方程等基础知识，考查代数推
理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力，属于难题．
第13页（共17页）
三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21-24 题，请选定其中两
小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
【选修4-1：几何证明选讲】
21．（10 分）
考点：相似三角形的判定．菁优网版权所有
专题：推理和证明．
分析：直接利用已知条件，推出两个三角形的三个角对应相等，即可证明三角形相似．
解答：证明：∵AB=AC，∴∠ABD= C
∠，又∵∠C= E
∠，∴∠ABD= E
∠，又∠BAE 是公共角，
可知：△ABD
AEB
∽△
．
点评：本题考查圆的基本性质与相似三角形等基础知识，考查逻辑推理能力．
【选修4-2：矩阵与变换】
22．（10 分）
考点：特征值与特征向量的计算．菁优网版权所有
专题：矩阵和变换．
分析：
利用A
=
2
﹣
，可得A=
，通过令矩阵A 的特征多项式为0 即得结论．
解答：
解：由已知，可得A
=
2
﹣
，即
=
=
，
则
，即
，
∴矩阵A=
，
从而矩阵A 的特征多项式f（λ）=（λ+2）（λ
1
﹣），
∴矩阵A 的另一个特征值为1．
点评：本题考查求矩阵及其特征值，注意解题方法的积累，属于中档题．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．（2015•江苏）
考点：简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有
专题：计算题；坐标系和参数方程．
分析：先根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，求出圆的直角坐标方程，求出半径．
解答：解：圆的极坐标方程为ρ2+2
ρsin（θ﹣
）﹣4=0，可得ρ2
2ρcosθ+2ρsinθ
4=0
﹣
﹣
，
化为直角坐标方程为x2+y2
2x+2y
4=0
﹣
﹣
，
化为标准方程为（x
1
﹣）2+（y+1）2=6，
圆的半径r=
．
点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，以及求点的极坐标的方法，关
键是利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，比较基础，
[选修4-5：不等式选讲】
24．（2015•江苏）
考点：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有
专题：不等式．
分析：思路1（公式法）：利用|f（x）|≥g（x）⇔f（x）≥g（x），或f（x）≤﹣g（x）；
思路2（零点分段法）：对x 的值分“x≥
”“x＜
”进行讨论求解．
解答：解法1：x+|2x+3|≥2 变形为|2x+3|≥2
x
﹣，
第14页（共17页）
得2x+3≥2
x
﹣，或2x+3≥﹣（2
x
﹣），
即x≥
，或x≤
5
﹣，
即原不等式的解集为{x|x≥
，或x≤
5}
﹣
．
解法2：令|2x+3|=0，得x=
．
①当x≥
时，原不等式化为x+（2x+3）≥2，即x≥
，
所以x≥
；
x
②＜
时，原不等式化为x﹣（2x+3）≥2，即x≤
5
﹣，
所以x≤
5
﹣．
综上，原不等式的解集为{x|x≥
，或x≤
5}
﹣
．
点评：本题考查了含绝对值不等式的解法．本解答给出的两种方法是常见的方法，不管用哪
种方法，其目的是去绝对值符号．若含有一个绝对值符号，利用公式法要快捷一些，其
套路为：|f（x）|≥g（x）⇔f（x）≥g（x），或f（x）≤﹣g（x）；|f（x）|≤g（x）⇔﹣g（x）≤f（x）
≤g（x）．可简记为：大于号取两边，小于号取中间．使用零点分段法时，应注意：同一类
中取交集，类与类之间取并集．
【必做题】每题10 分，共计20 分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤
25．（10 分）（
考点：二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有
专题：空间位置关系与距离；空间角．
分析：以A 为坐标原点，以AB、AD、AP 所在直线分别为x、y、z 轴建系A
xyz
﹣
．
（1）所求值即为平面PAB 的一个法向量与平面PCD 的法向量的夹角的余弦值的绝对
值，计算即可；
（2）利用换元法可得cos2＜
，
＞≤
，结合函数y=cosx 在（0，
）上的单调性，
计算即得结论．
解答：解：以A 为坐标原点，以AB、AD、AP 所在直线分别为x、y、z 轴建系A
xyz
﹣
如图，
由题可知B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．
（1）∵AD⊥平面PAB，∴
=（0，2，0），是平面PAB 的一个法向量，
∵
=（1，1，﹣2），
=（0，2，﹣2），
设平面PCD 的法向量为=（x，y，z），
由
，得
，
取y=1，得=（1，1，1），
cos
∴
＜
，＞=
=
，
∴平面PAB 与平面PCD 所成两面角的余弦值为
；
（2）∵
=（﹣1，0，2），设
=λ
=（﹣λ，0，2λ）（0≤λ≤1），
又
=（0，﹣1，0），则
=
+
=（﹣λ，﹣1，2λ），
又
=（0，﹣2，2），从而cos＜
，
＞=
=
，
设1+2λ=t，t∈[1，3]，
第15页（共17页）
则cos2＜
，
＞=
=
≤
，
当且仅当t= ，即λ= 时，|cos＜
，
＞|的最大值为
，
因为y=cosx 在（0，
）上是减函数，此时直线CQ 与DP 所成角取得最小值．
又∵BP=
=
，∴BQ= BP=
．
点评：本题考查求二面角的三角函数值，考查用空间向量解决问题的能力，注意解题方法的
积累，属于中档题．
26．（10 分）
考点：数学归纳法．菁优网版权所有
专题：综合题；点列、递归数列与数学归纳法．
分析：（1）f（6）=6+2+ + =13；
（2）根据数学归纳法的证明步骤，分类讨论，即可证明结论．
解答：解：（1）f（6）=6+2+ + =13；
（2）当n≥6 时，f（n）=
．
下面用数学归纳法证明：
n=6
①
时，f（6）=6+2+ + =13，结论成立；
②假设n=k（k≥6）时，结论成立，那么n=k+1 时，Sk+1在Sk的基础上新增加的元素在
（1，k+1），（2，k+1），（3，k+1）中产生，分以下情形讨论：
1）若k+1=6t，则k=6（t
1
﹣）+5，此时有f（k+1）=f（k）+3=（k+1）+2+
+
，结论成
立；
2）若k+1=6t+1，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+1=k+2+ + +1=（k+1）+2+
第16页（共17页）
+
，结论成立；
3）若k+1=6t+2，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+
+
+2=（k+1）+2+
+
，结论成立；
4）若k+1=6t+3，则k=6t+2，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+ +
+2=（k+1）+2+
+
，结论成立；
5）若k+1=6t+4，则k=6t+3，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+
+ +2=（k+1）+2+
+
，结论成立；
6）若k+1=6t+5，则k=6t+4，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+ +
+2=（k+1）+2+
+
，结论成立．
综上所述，结论对满足n≥6 的自然数n 均成立．
点评：本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，正确归纳是关键．
第17页（共17页）
