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2015 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）
1．（5 分）设复数z 满足
=i，则|z|=（ ）
A．1
B．
C．
D．2
2．（5 分）sin20°cos10°
cos160°sin10°=
﹣
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（5 分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p 为（ ）
A．∀n∈N，n2＞2n
B．∃n∈N，n2≤2n
C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n
4．
（5 分）投篮测试中，每人投3 次，至少投中2 次才能通过测试．已知某同学每次
投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的
概率为（ ）
A．0.648
B．0.432
C．0.36
D．0.312
5．（5 分）已知M（x0，y0）是双曲线C：
=1 上的一点，F1，F2是C 的左、右两个
焦点，若
＜0，则y0的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（5 分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”
今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在
屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8
尺，米堆的高为5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1 斛米的体
积约为1.62 立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）
第1页（共35页）
A．14 斛
B．22 斛
C．36 斛
D．66 斛
7．（5 分）设D 为△ABC 所在平面内一点，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
8．
（5 分）函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（
）
A．（kπ﹣
，kπ+
），k∈z
B．（2kπ﹣
，2kπ+
），k∈z
C．（k﹣
，k+
），k∈z
D．（
，2k+
），k∈z
9．（5 分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（ ）
第2页（共35页）
A．5
B．6
C．7
D．8
10．（5 分）（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为（ ）
A．10
B．20
C．30
D．60
11．（5 分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该
几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，
则r=（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
12．（5 分）设函数f（x）=ex（2x
1
﹣）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f
（x0）＜0，则a 的取值范围是（ ）
第3页（共35页）
A．[
）
B．[
）
C．[
）
D．[
）
二、填空题（本大题共有4 小题，每小题5 分）
13．（5 分）若函数f（x）=xln（x+
）为偶函数，则a= ．
14．（5 分）一个圆经过椭圆
=1 的三个顶点．且圆心在x 轴的正半轴上．则
该圆标准方程为 ．
15．（5 分）若x，y 满足约束条件
．则
的最大值为 ．
16．（5 分）在平面四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠C=75°．BC=2，则AB 的取值范围是
．
三、解答题：
17．（12 分）Sn为数列{an}的前n 项和，已知an＞0，an
2+2an=4Sn+3
（I）求{an}的通项公式：
（Ⅱ）设bn=
，求数列{bn}的前n 项和．
18．（12 分）如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E，F 是平面ABCD 同一侧的
第4页（共35页）
两点，BE 丄平面ABCD，DF 丄平面 ABCD，BE=2DF，AE 丄EC．
（Ⅰ）证明：平面AEC 丄平面AFC
（Ⅱ）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值．
19．（12 分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x
（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8 年
的年宣传费xi和年销售量yi（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点
图及一些统计量的值．
（xi﹣）2
（wi﹣）2
（xi﹣）（yi﹣）
（wi﹣）（yi﹣）
第5页（共35页）
46.6 563 6.8
289.8
1.6
1469
108.8
表中wi=
i，=
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx 与y=c+d
哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传
费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利润z 与x、y 的关系为z=0.2y
x
﹣．根据（Ⅱ）的结果回答
下列问题：
（i）年宣传费x=49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ii）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据（u1 v1），
（u2 v2）…..（un vn），其回归线v=α+βu 的斜率和截距的最
小二乘估计分别为：
=
，
= ﹣
．
20．（12 分）在直角坐标系xOy 中，曲线C：y=
与直线l：y=kx+a（a＞0）交于M，N
两点．
（Ⅰ）当k=0 时，分別求C 在点M 和N 处的切线方程．
（Ⅱ）y 轴上是否存在点P，使得当k 变动时，总有∠OPM=∠OPN？（说明理由）
21．（12 分）已知函数f（x）=x3+ax+
，g（x）=
lnx
﹣
第6页（共35页）
（i）当a 为何值时，x 轴为曲线y=f（x）的切线；
（ii）用min{m，n}表示m，n 中的最小值，设函数h（x）=min{f（x），g（x）}（x＞0），
讨论h（x）零点的个数．
选修4 一1:几何证明选讲
22．（10 分）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC 交⊙O 于点E．
（Ⅰ）若D 为AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线；
（Ⅱ）若OA=
CE，求∠ACB 的大小．
选修4 一4：坐标系与参数方程
23．（10 分）在直角坐标系xOy 中，直线C1：x=
2
﹣，圆C2：（x
1
﹣）2+（y
2
﹣）2=1，以
坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=
（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求
△C2MN 的面积．
第7页（共35页）
选修4 一5：不等式选讲
24．（10 分）已知函数f（x）=|x+1|
2
﹣|x
a
﹣|，a＞0．
（Ⅰ）当a=1 时，求不等式f（x）＞1 的解集；
（Ⅱ）若f（x）的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．
第8页（共35页）
2015 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）
1．（5 分）设复数z 满足
=i，则|z|=（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【考点】A8：复数的模．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5N：数系的扩充和复数．
【分析】先化简复数，再求模即可．
【解答】解：∵复数z 满足
=i，
∴1+z=i
zi
﹣，
∴z（1+i）=i
1
﹣，
∴z=
=i，
∴|z|=1，
故选：A．
【点评】本题考查复数的运算，考查学生的计算能力，比较基础．
2．（5 分）sin20°cos10°
cos160°sin10°=
﹣
（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】GP：两角和与差的三角函数．菁优网版权所有
【专题】56：三角函数的求值．
【分析】直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数，化简求解即可．
【解答】解：sin20°cos10°
cos160°sin10°
﹣
=sin20°cos10°+cos20°sin10°
第9页（共35页）
=sin30°
=
．
故选：D．
【点评】本题考查诱导公式以及两角和的正弦函数的应用，基本知识的考查．
3．（5 分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p 为（ ）
A．∀n∈N，n2＞2n
B．∃n∈N，n2≤2n
C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n
【考点】2J：命题的否定．菁优网版权所有
【专题】5L：简易逻辑．
【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．
【解答】解：命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n，
故选：C．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
4．
（5 分）投篮测试中，每人投3 次，至少投中2 次才能通过测试．已知某同学每次
投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的
概率为（ ）
A．0.648
B．0.432
C．0.36
D．0.312
【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】判断该同学投篮投中是独立重复试验，然后求解概率即可．
【解答】解：由题意可知：同学3 次测试满足X∽B（3，0.6），
该同学通过测试的概率为
=0.648．
故选：A．
【点评】本题考查独立重复试验概率的求法，基本知识的考查．
第10页（共35页）
5．（5 分）已知M（x0，y0）是双曲线C：
=1 上的一点，F1，F2是C 的左、右两个
焦点，若
＜0，则y0的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用向量的数量积公式，结合双曲线方程，即可确定y0的取值范围．
【解答】解：由题意，
=（﹣
﹣x0，﹣y0）•（
﹣x0，﹣y0）=x0
2
3
﹣+y0
2=3y0
2
1
﹣＜0，
所以﹣
＜y0＜
．
故选：A．
【点评】本题考查向量的数量积公式，考查双曲线方程，考查学生的计算能力，比
较基础．
6．（5 分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”
今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在
屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8
尺，米堆的高为5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1 斛米的体
积约为1.62 立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）
第11页（共35页）
A．14 斛
B．22 斛
C．36 斛
D．66 斛
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有
【专题】5F：空间位置关系与距离．
【分析】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可．
【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则
r=8，
解得r=
，
故米堆的体积为
×
×π×（
）2×5≈
，
∵1 斛米的体积约为1.62 立方，
∴
÷1.62≈22，
故选：B．
【点评】本题主要考查椎体的体积的计算，比较基础．
7．（5 分）设D 为△ABC 所在平面内一点，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】96：平行向量（共线）．菁优网版权所有
【专题】5A：平面向量及应用．
【分析】将向量
利用向量的三角形法则首先表示为
，然后结合已知表示
第12页（共35页）
为
的形式．
【解答】解：由已知得到如图
由
=
=
=
；
故选：A．
【点评】本题考查了向量的三角形法则的运用；关键是想法将向量
表示为
．
8．
（5 分）函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（
）
A．（kπ﹣
，kπ+
），k∈z
B．（2kπ﹣
，2kπ+
），k∈z
C．（k﹣
，k+
），k∈z
D．（
，2k+
），k∈z
【考点】HA：余弦函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】57：三角函数的图像与性质．
第13页（共35页）
【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ，可得f（x）的解析式，再根据余弦函
数的单调性，求得f（x）的减区间．
【解答】解：由函数f（x）=cos（ωx+ϕ）的部分图象，可得函数的周期为
=2（
﹣
）=2，∴ω=π，f（x）=cos（πx+ϕ）．
再根据函数的图象以及五点法作图，可得
+ϕ=
，k∈z，即ϕ=
，f（x）=cos（πx+
）．
由2kπ≤πx+
≤2kπ+π，求得 2k﹣
≤x≤2k+
，故f（x）的单调递减区间为（
，2k+
），k∈z，
故选：D．
【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，
由五点法作图求出φ 的值；还考查了余弦函数的单调性，属于基础题．
9．（5 分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（ ）
第14页（共35页）
A．5
B．6
C．7
D．8
【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有
【专题】5K：算法和程序框图．
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变
量n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：第一次执行循环体后，S=
，m=
，n=1，不满足退出循环的条件；
再次执行循环体后，S=
，m=
，n=2，不满足退出循环的条件；
再次执行循环体后，S=
，m=
，n=3，不满足退出循环的条件；
再次执行循环体后，S=
，m=
，n=4，不满足退出循环的条件；
再次执行循环体后，S=
，m=
，n=5，不满足退出循环的条件；
第15页（共35页）
再次执行循环体后，S=
，m=
，n=6，不满足退出循环的条件；
再次执行循环体后，S=
，m=
，n=7，满足退出循环的条件；
故输出的n 值为7，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用
模拟循环的方法解答．
10．（5 分）（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为（ ）
A．10
B．20
C．30
D．60
【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5P：二项式定理．
【分析】利用展开式的通项，即可得出结论．
【解答】解：（x2+x+y）5的展开式的通项为Tr+1=
，
令r=2，则（x2+x）3的通项为
=
，
令6
k=5
﹣
，则k=1，
∴（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为
=30．
故选：C．
【点评】本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，确定通项是关键．
11．（5 分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该
几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，
则r=（ ）
第16页（共35页）
A．1
B．2
C．4
D．8
【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
【专题】5Q：立体几何．
【分析】通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱，计算即可．
【解答】解：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，
截圆柱的平面过圆柱的轴线，
该几何体是一个半球拼接半个圆柱，
∴其表面积为：
×4πr2+
×πr2
2r×2πr+2r×2r+
×πr2=5πr2+4r2，
又∵该几何体的表面积为16+20π，
∴5πr2+4r2=16+20π，解得r=2，
故选：B．
【点评】本题考查由三视图求表面积问题，考查空间想象能力，注意解题方法的积
累，属于中档题．
12．（5 分）设函数f（x）=ex（2x
1
﹣）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f
（x0）＜0，则a 的取值范围是（ ）
A．[
）
B．[
）
C．[
）
D．[
）
第17页（共35页）
【考点】51：函数的零点；6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
【专题】2：创新题型；53：导数的综合应用．
【分析】设g（x）=ex（2x
1
﹣），y=ax
a
﹣，问题转化为存在唯一的整数x0使得g（x0）在
直线y=ax
a
﹣的下方，求导数可得函数的极值，数形结合可得﹣a＞g（0）=
1
﹣
且g（﹣1）=
3e
﹣
1
﹣≥﹣a
a
﹣，解关于a 的不等式组可得．
【解答】解：设g（x）=ex（2x
1
﹣），y=ax
a
﹣，
由题意知存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y=ax
a
﹣的下方，
∵g′（x）=ex（2x
1
﹣）+2ex=ex（2x+1），
∴当x＜﹣
时，g′（x）＜0，当x＞﹣
时，g′（x）＞0，
∴当x=﹣
时，g（x）取最小值﹣2
，
当x=0 时，g（0）=
1
﹣，当x=1 时，g（1）=e＞0，
直线y=ax
a
﹣恒过定点（1，0）且斜率为a，
故﹣a＞g（0）=
1
﹣且g（﹣1）=
3e
﹣
1
﹣≥﹣a
a
﹣，解得
≤a＜1
故选：D．
【点评】本题考查导数和极值，涉及数形结合和转化的思想，属中档题．
二、填空题（本大题共有4 小题，每小题5 分）
13．（5 分）若函数f（x）=xln（x+
）为偶函数，则a=
1
．
【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有
第18页（共35页）
【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】由题意可得，f（﹣x）=f（x），代入根据对数的运算性质即可求解．
【解答】解：∵f（x）=xln（x+
）为偶函数，
∴f（﹣x）=f（x），
∴（﹣x）ln（﹣x+
）=xln（x+
），
∴﹣ln（﹣x+
）=ln（x+
），
∴ln（﹣x+
）+ln（x+
）=0，
∴ln（
+x）（
﹣x）=0，
∴lna=0，
∴a=1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了偶函数的定义及对数的运算性质的简单应用，属于基础
试题．
14．（5 分）一个圆经过椭圆
=1 的三个顶点．且圆心在x 轴的正半轴上．则
该圆标准方程为 （
x﹣
）
2 + y 2 =
．
【考点】K3：椭圆的标准方程．菁优网版权所有
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用椭圆的方程求出顶点坐标，然后求出圆心坐标，求出半径即可得到圆
的方程．
【解答】解：一个圆经过椭圆
=1 的三个顶点．且圆心在x 轴的正半轴上．
可知椭圆的右顶点坐标（4，0），上下顶点坐标（0，±2），
第19页（共35页）
设圆的圆心（a，0），则
，解得a=
，
圆的半径为：
，
所求圆的方程为：（x﹣
）2+y2=
．
故答案为：（x﹣
）2+y2=
．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，圆的方程的求法，考查计算能力．
15．（5 分）若x，y 满足约束条件
．则
的最大值为
3
．
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】59：不等式的解法及应用．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合
确定
的最大值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．
设k=
，则k 的几何意义为区域内的点到原点的斜率，
由图象知OA 的斜率最大，
第20页（共35页）
由
，解得
，即A（1，3），
kOA=
=3，
即
的最大值为3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义以及直线的斜
率，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
16．（5 分）在平面四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠C=75°．BC=2，则AB 的取值范围是
（
﹣
，
+
） ．
【考点】HT：三角形中的几何计算．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；2：创新题型；58：解三角形．
【分析】如图所示，延长BA，CD 交于点E，设AD=
x，AE=
x，DE=
x，
CD=m，求出
x+m=
+
，即可求出AB 的取值范围．
【解答】解：方法一：
如图所示，延长BA，CD 交于点E，则
在△ADE 中，∠DAE=105°，∠ADE=45°，∠E=30°，
∴设AD=
x，AE=
x，DE=
x，CD=m，
∵BC=2，
第21页（共35页）
∴（
x+m）sin15°=1，
∴
x+m=
+
，
∴0＜x＜4，
而AB=
x+m﹣
x=
+
﹣
x，
∴AB 的取值范围是（
﹣
，
+
）．
故答案为：（
﹣
，
+
）．
方法二：
如下图，作出底边BC=2 的等腰三角形EBC，B=C=75°，
倾斜角为150°的直线在平面内移动，分别交EB、EC 于A、D，则四边形ABCD 即为
满足题意的四边形；
当直线移动时，运用极限思想，
①直线接近点C 时，AB 趋近最小，为
﹣
；
②直线接近点E 时，AB 趋近最大值，为
+
；
故答案为：（
﹣
，
+
）．
第22页（共35页）
【点评】本题考查求AB 的取值范围，考查三角形中的几何计算，考查学生的计算
能力，属于中档题．
三、解答题：
17．（12 分）Sn为数列{an}的前n 项和，已知an＞0，an
2+2an=4Sn+3
（I）求{an}的通项公式：
（Ⅱ）设bn=
，求数列{bn}的前n 项和．
【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．菁优网版权所有
【专题】54：等差数列与等比数列．
【分析】（I）根据数列的递推关系，利用作差法即可求{an}的通项公式：
（Ⅱ）求出bn=
，利用裂项法即可求数列{bn}的前n 项和．
【解答】解：（I）由an
2+2an=4Sn+3，可知an+1
2+2an+1=4Sn+1+3
两式相减得an+1
2
a
﹣
n
2+2（an+1
a
﹣
n）=4an+1，
即2（an+1+an）=an+1
2
a
﹣
n
2=（an+1+an）（an+1
a
﹣
n），
∵an＞0，∴an+1
a
﹣
n=2，
∵a1
2+2a1=4a1+3，
∴a1=
1
﹣（舍）或a1=3，
则{an}是首项为3，公差d=2 的等差数列，
∴{an}的通项公式an=3+2（n
1
﹣）=2n+1：
（Ⅱ）∵an=2n+1，
∴bn=
=
=
（
﹣
），
第23页（共35页）
∴数列{bn}的前n 项和Tn= （
﹣
+…+
﹣
）= （
﹣
）=
．
【点评】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决
本题的关键．
18．（12 分）如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E，F 是平面ABCD 同一侧的
两点，BE 丄平面ABCD，DF 丄平面 ABCD，BE=2DF，AE 丄EC．
（Ⅰ）证明：平面AEC 丄平面AFC
（Ⅱ）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值．
【考点】LM：异面直线及其所成的角；LY：平面与平面垂直．菁优网版权所有
【专题】5F：空间位置关系与距离；5G：空间角；5H：空间向量及应用．
【分析】（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG、EF、FG，运用线面垂直的判定定理
得到EG⊥平面AFC，再由面面垂直的判定定理，即可得到；
（Ⅱ）以G 为坐标原点，分别以GB，GC 为x 轴，y 轴，|GB|为单位长度，建立空间直
角坐标系G
xyz
﹣
，求得A，E，F，C 的坐标，运用向量的数量积的定义，计算即可
得到所求角的余弦值．
【解答】解：（Ⅰ）连接BD，
设BD∩AC=G，
连接EG、EF、FG，
在菱形ABCD 中，
不妨设BG=1，
由∠ABC=120°，
第24页（共35页）
可得AG=GC=
，
BE⊥平面ABCD，AB=BC=2，
可知AE=EC，又AE⊥EC，
所以EG=
，且EG⊥AC，
在直角△EBG 中，可得BE=
，故DF=
，
在直角三角形FDG 中，可得FG=
，
在直角梯形BDFE 中，由BD=2，BE=
，FD=
，可得EF=
=
，
从而EG2+FG2=EF2，则EG⊥FG，
（或由tan∠EGB•tan∠FGD=
•
=
•
=1，
可得∠EGB+∠FGD=90°，则EG⊥FG）
AC∩FG=G，可得EG⊥平面AFC，
由EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC；
（Ⅱ）如图，以G 为坐标原点，分别以GB，GC 为x 轴，y 轴，|GB|为单位长度，
建立空间直角坐标系G
xyz
﹣
，由（Ⅰ）可得A（0，﹣
，0），E（1，0，
），
F（﹣1，0，
），C（0，
，0），
即有
=（1，
，
），
=（﹣1，﹣
，
），
故cos＜
，
＞=
=
=﹣
．
则有直线AE 与直线CF 所成角的余弦值为
．
第25页（共35页）
【点评】本题考查空间直线和平面的位置关系和空间角的求法，主要考查面面垂
直的判定定理和异面直线所成的角的求法：向量法，考查运算能力，属于中档
题．
19．（12 分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x
（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8 年
的年宣传费xi和年销售量yi（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点
图及一些统计量的值．
（xi﹣）2
（wi﹣
）2
（xi﹣）
（yi﹣）
（wi﹣
）（yi﹣）
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1469
108.8
表中wi=
i，=
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx 与y=c+d
哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传
费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
第26页（共35页）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利润z 与x、y 的关系为z=0.2y
x
﹣．根据（Ⅱ）的结果回答
下列问题：
（i）年宣传费x=49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ii）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据（u1 v1），
（u2 v2）…..（un vn），其回归线v=α+βu 的斜率和截距的最
小二乘估计分别为：
=
，
= ﹣
．
【考点】BK：线性回归方程．菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】（Ⅰ）根据散点图，即可判断出，
（Ⅱ）先建立中间量w=
，建立y 关于w 的线性回归方程，根据公式求出w，问题
得以解决；
（Ⅲ）（i）年宣传费x=49 时，代入到回归方程，计算即可，
（ii）求出预报值得方程，根据函数的性质，即可求出．
【解答】解：（Ⅰ）由散点图可以判断，y=c+d
适宜作为年销售量y 关于年宣传费
x 的回归方程类型；
（Ⅱ）令w=
，先建立y 关于w 的线性回归方程，由于=
=68，
= ﹣
=563
68
﹣
×6.8=100.6，
所以y 关于w 的线性回归方程为=100.6+68w，
因此y 关于x 的回归方程为=100.6+68
，
（Ⅲ）（i）由（Ⅱ）知，当x=49 时，年销售量y 的预报值=100.6+68
=576.6，
年利润z 的预报值=576.6×0.2
49=66.32
﹣
，
第27页（共35页）
（ii）根据（Ⅱ）的结果可知，年利润z 的预报值=0.2（100.6+68
）﹣x=
x
﹣+13.6
+20.12，
当
=
=6.8 时，即当x=46.24 时，年利润的预报值最大．
【点评】本题主要考查了线性回归方程和散点图的问题，准确的计算是本题的关
键，属于中档题．
20．（12 分）在直角坐标系xOy 中，曲线C：y=
与直线l：y=kx+a（a＞0）交于M，N
两点．
（Ⅰ）当k=0 时，分別求C 在点M 和N 处的切线方程．
（Ⅱ）y 轴上是否存在点P，使得当k 变动时，总有∠OPM=∠OPN？（说明理由）
【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【分析】（I）联立
，可得交点M，N 的坐标，由曲线C：y=
，利用导数的运
算法则可得：y′=
，利用导数的几何意义、点斜式即可得出切线方程．
（II）存在符合条件的点（0，﹣a），设P（0，b）满足∠OPM=∠OPN．M（x1，y1），N（x2，
y2），直线PM，PN 的斜率分别为：k1，k2．直线方程与抛物线方程联立化为x2﹣
4kx
4a=0
﹣
，利用根与系数的关系、斜率计算公式可得k1+k2=
．k1+k2=0⇔
直线PM，PN 的倾斜角互补⇔∠OPM=∠OPN．即可证明．
【解答】解：（I）联立
，不妨取M
，N
，
由曲线C：y=
可得：y′=
，
∴曲线C 在M 点处的切线斜率为
=
，其切线方程为：y
a=
﹣
，化
第28页（共35页）
为
．
同理可得曲线C 在点N 处的切线方程为：
．
（II）存在符合条件的点（0，﹣a），下面给出证明：
设P（0，b）满足∠OPM=∠OPN．M（x1，y1），N（x2，y2），直线PM，PN 的斜率分别为：
k1，k2．
联立
，化为x2
4kx
4a=0
﹣
﹣
，
∴x1+x2=4k，x1x2=
4a
﹣
．
∴k1+k2=
+
=
=
．
当b=
a
﹣时，k1+k2=0，直线PM，PN 的倾斜角互补，
∴∠OPM=∠OPN．
∴点P（0，﹣a）符合条件．
【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、直线与
抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式，考查了
推理能力与计算能力，属于中档题．
21．（12 分）已知函数f（x）=x3+ax+
，g（x）=
lnx
﹣
（i）当a 为何值时，x 轴为曲线y=f（x）的切线；
（ii）用min{m，n}表示m，n 中的最小值，设函数h（x）=min{f（x），g（x）}（x＞0），
讨论h（x）零点的个数．
【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
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【专题】2：创新题型；53：导数的综合应用．
【分析】（i）f′（x）=3x2+a．设曲线y=f（x）与x 轴相切于点P（x0，0），则f（x0）=0，f′
（x0）=0 解出即可．
（ii）对x 分类讨论：当x∈（1，+∞）时，g（x）=
lnx
﹣
＜0，可得函数h（x）=min { f（x），
g（x）}≤g（x）＜0，即可得出零点的个数．
第29页（共35页）
当x=1 时，对a 分类讨论：a≥﹣
，a＜﹣
，即可得出零点的个数；
当x∈（0，1）时，g（x）=
lnx
﹣
＞0，因此只考虑f（x）在（0，1）内的零点个数即可．对a
分类讨论：①当a≤﹣3 或a≥0 时，②当﹣3＜a＜0 时，利用导数研究其单调性
极值即可得出．
【解答】解：（i）f′（x）=3x2+a．
设曲线y=f（x）与x 轴相切于点P（x0，0），则f（x0）=0，f′（x0）=0，
∴
，解得
，a=
．
因此当a=﹣
时，x 轴为曲线y=f（x）的切线；
（ii）当x∈（1，+∞）时，g（x）=
lnx
﹣
＜0，
∴函数h（x）=min { f（x），g（x）}＜0，
故h（x）在x∈（1，+∞）时无零点．
当x=1 时，若a≥﹣
，则f（1）=a+
≥0，
∴h（x）=min { f（1），g（1）}=g（1）=0，故x=1 是函数h（x）的一个零点；
若a＜﹣
，则f（1）=a+
＜0，∴h（x）=min { f（1），g（1）}=f（1）＜0，故x=1 不是函
数h（x）的零点；
当x∈（0，1）时，g（x）=
lnx
﹣
＞0，因此只考虑f（x）在（0，1）内的零点个数即可．
①当a≤﹣3 或a≥0 时，f′（x）=3x2+a 在（0，1）内无零点，因此f（x）在区间（0，1）内
单调，
而f（0）=
，f（1）=a+
，∴当a≤﹣3 时，函数f（x）在区间（0，1）内有一个零点，
当a≥0 时，函数f（x）在区间（0，1）内没有零点．
②当﹣3＜a＜0 时，函数f（x）在
内单调递减，在
内单调递增，
故当x=
时，f（x）取得最小值
=
．
第30页（共35页）
若
＞0，即
，则f（x）在（0，1）内无零点．
若
=0，即a=﹣
，则f（x）在（0，1）内有唯一零点．
若
＜0，即
，由f（0）=
，f（1）=a+
，
∴当
时，f（x）在（0，1）内有两个零点．当﹣3＜a
时，f（x）在（0，
1）内有一个零点．
综上可得：a＜
时，函数h（x）有一个零点．
当
时，h（x）有一个零点；
当a=
或
时，h（x）有两个零点；
当
时，函数h（x）有三个零点．
【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、利用导
数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，
属于难题．
选修4 一1:几何证明选讲
22．（10 分）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC 交⊙O 于点E．
（Ⅰ）若D 为AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线；
（Ⅱ）若OA=
CE，求∠ACB 的大小．
【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明．菁优网版权所有
第31页（共35页）
【专题】5B：直线与圆．
【分析】（Ⅰ）连接AE 和OE，由三角形和圆的知识易得∠OED=90°，可得DE 是⊙O
的切线；
（Ⅱ）设CE=1，AE=x，由射影定理可得关于x 的方程x2=
，解方程可得x 值，
可得所求角度．
【解答】解：（Ⅰ）连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB，
在RT△ABC 中，由已知可得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，
连接OE，则∠OBE=∠OEB，
又∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°，
∴∠OED=90°，∴DE 是⊙O 的切线；
（Ⅱ）设CE=1，AE=x，
由已知得AB=2
，BE=
，
由射影定理可得AE2=CE•BE，
∴x2=
，即x4+x2
12=0
﹣
，
解方程可得x=
∴∠ACB=60°
【点评】本题考查圆的切线的判定，涉及射影定理和三角形的知识，属基础题．
选修4 一4：坐标系与参数方程
23．（10 分）在直角坐标系xOy 中，直线C1：x=
2
﹣，圆C2：（x
1
﹣）2+（y
2
﹣）2=1，以
坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；
第32页（共35页）
（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=
（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求
△C2MN 的面积．
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有
【专题】5S：坐标系和参数方程．
【分析】（Ⅰ）由条件根据x=ρcosθ，y=ρsinθ 求得C1，C2的极坐标方程．
（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程代入ρ2
3
﹣
ρ+4=0，求得ρ1和ρ2的值，结合圆的半
径可得C2M⊥C2N，从而求得△C2MN 的面积
•C2M•C2N 的值．
【解答】解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C1：x=
2
﹣的
极坐标方程为 ρcosθ=
2
﹣，
故C2：（x
1
﹣）2+（y
2
﹣）2=1 的极坐标方程为：
（ρcosθ
1
﹣）2+（ρsinθ
2
﹣）2=1，
化简可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0．
（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程θ=
（ρ∈R）代入
圆C2：（x
1
﹣）2+（y
2
﹣）2=1，
可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0，
求得ρ1=2
，ρ2=
，
∴|MN|=|ρ1
ρ
﹣
2|=
，由于圆C2的半径为1，∴C2M⊥C2N，
△C2MN 的面积为
•C2M•C2N=
•1•1=
．
第33页（共35页）
【点评】本题主要考查简单曲线的极坐标方程，点的极坐标的定义，属于基础题．
选修4 一5：不等式选讲
24．（10 分）已知函数f（x）=|x+1|
2
﹣|x
a
﹣|，a＞0．
（Ⅰ）当a=1 时，求不等式f（x）＞1 的解集；
（Ⅱ）若f（x）的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．
【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】59：不等式的解法及应用．
【分析】（Ⅰ）当a=1 时，把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式
组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）化简函数f（x）
的解析式，求得它的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点的坐标，从而求得f
（x）的图象与x 轴围成的三角形面积；再根据f（x）的图象与x 轴围成的三角形
面积大于6，从而求得a 的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）当a=1 时，不等式f（x）＞1，即|x+1|
2
﹣|x
1
﹣|＞1，
即
①，或
②，
或
③．
解①求得x∈∅，解②求得
＜x＜1，解③求得1≤x＜2．
第34页（共35页）
综上可得，原不等式的解集为（
，2）．
（Ⅱ）函数f（x）=|x+1|
2
﹣|x
a
﹣|=
，
由此求得f（x）的图象与x 轴的交点A （
，0），
B（2a+1，0），
故f（x）的图象与x 轴围成的三角形的第三个顶点C（a，a+1），
由△ABC 的面积大于6，
可得
[2a+1﹣
]•（a+1）＞6，求得a＞2．
故要求的a 的范围为（2，+∞）．
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，
属于中档题．
第35页（共35页）
