2015 年高考天津市文科数学真题
一、选择题
1．已知全集
，集合
，集合
，则集合
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．设变量
满足约束条件
，则目标函数的最大值为
（ ）
A．7
B．8
C．9
D．14
3．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
4．设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．已知双曲线
的一个焦点为
，且双曲线的渐近线与圆
相切，则双曲线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如图，在圆O 中，M，N 是弦AB 的三等分点，弦CD，CE 分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，
CN=3，则线段NE 的长为（ ）
A．
B．3
C．
D．
7．已知定义在R 上的函数
为偶函数，
记
，则
,的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知函数
，函数
，则函数
的零点的个数为
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
二、填空题
9．i 是虚数单位，计算
的结果为 ．
10．一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为 ．
11．已知函数
，其中a 为实数，
为
的导函数，若
，则
a 的值为 ．
12．已知
则当a 的值为 时
取得最大值。
13．在等腰梯形ABCD 中，已知
，
点E 和点F 分别在线段BC 和
CD 上，且
则
的值为 ．
14．已知函数
若函数
在区间
内单调递增，且函数
的图像关于直线
对称，则
的值为 ．
三、解答题
15．设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18，先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽
取6 名运动员参加比赛。
（Ⅰ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数；
（Ⅱ）将抽取的6 名运动员进行编号，编号分别为
，从这6 名运动员中随机抽取2 名
参加双打比赛。
（i）用所给编号列出所有可能的结果；
（ii）设A 为事件“编号为
的两名运动员至少有一人被抽到”，求事件A 发生的概率。
16 ．△ABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为
，
（Ⅰ）求a 和sinC 的值；
（Ⅱ）求
的值。
17．如图，已知
平面ABC，
AB=AC=3，
,，
点E，
F 分别是BC，
的中点，
（Ⅰ）求证：EF 平面
；（Ⅱ）求证：平面
平面
。
（Ⅲ）求直线
与平面
所成角的大小。
18．已知
是各项均为正数的等比数列，
是等差数列，且
,
.
（Ⅰ）求
和
的通项公式；
（Ⅱ）设
,求数列
的前n 项和.
19．已知椭圆
的上顶点为B，左焦点为
,离心率为
.
（Ⅰ）求直线BF 的斜率；
（Ⅱ）设直线BF 与椭圆交于点P（P 异于点B），故点B 且垂直于BF 的直线与椭圆交于点Q（Q 异于点
B）直线PQ 与x 轴交于点M，
.
（i）求
的值；
（ii）若
，求椭圆的方程.
20．已知函数
其中
，且
.
（Ⅰ）求
的单调区间；
（Ⅱ）设曲线
与
轴正半轴的交点为P，曲线在点P 处的切线方程为
，求证：对于任意
的实数
，都有
;
（Ⅲ）若方程
有两个正实数根
且
，求证：
.
2015 年高考天津市文科数学真题
一、选择题
1．答案：B
解析过程：
，
，则
，选B
2．答案： C
解析过程：
当
时取得最大值
，选C
3．答案：C
解析过程：
由程序框图可知：
；
；
，选C
4．答案：A
解析过程：
由
,
可知“
”是“
”的充分而不必要条件,选A.
5．答案：D
解析过程：
双曲线的渐近线为
，由题意得
，
又
，解得
，
，选D
6．答案：A
解析过程：
由相交弦定理可得
选A.
7．答案：B
解析过程：
由
为偶函数得
,所以
,选B.
8．答案：A
解析过程：
当
时，
，
此时方程
的小于零的零点为
；
当
时，
，
方程
无零点；
当
时，
，
方程
大于
的零点有一个
选A
二、填空题
9．答案：-i
解析过程：
10．答案：
解析过程：
该几何体是由两个高为1 的圆锥与一个高为2 圆柱组合而成,
所以该几何体的体积为
11．答案：3
解析过程：
因为
,所以
.
12．答案：4
解析过程：
当
时取等号,结合
可得
13．答案：
解析过程：
在等腰梯形ABCD 中,由
,
得
,
,
,
所以
14．答案：
解析过程：
由
在区间
内单调递增,且
的图像关于直线
对称,
可得
,且
,
所以
15．答案：见解析
解析过程：
（I）应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为3,1,2；
（II）（i）从这6 名运动员中随机抽取2 名参加双打比赛,所有可能的结果为
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,共15 种.
（ii）编号为
的两名运动员至少有一人被抽到的结果为
,
,
,
,
,
,
,
,
,共9 种,
所以事件A 发生的概率
16 ．△ABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为
，
（Ⅰ）求a 和sinC 的值；
（Ⅱ）求
的值。
答案：见解析
解析过程：
（Ⅰ）
中，由
，得
，
由
，得
，
又由
，解得
。
由
，可得
.
由
，得
（Ⅱ）
17．答案：见解析
解析过程：
（I）证明：如图,连接
,
在△
中,因为E 和F 分别是BC,
的中点,
所以
,又因为EF
平面
,
所以EF 平面
.
（II）因为AB=AC,E 为BC 中点,所以
,
因为
平面ABC,
所以
平面ABC,从而
,
又
,所以
平面
,
又因为
平面
,所以平面
平面
.
（Ⅲ）取
中点
和
中点
，连接
，
，
因为
和
分别为
，
中点，
所以
，
，
故
，
，
所以
，
，
又因为
平面
，所以
平面
，
从而
就是直线
与平面
所成角，
在
中，可得
，所以
，
因为
，
，所以
，
，
又由
，有
，
在
中，可得
，
在
中，
，
因此
，所以，直线
与平面
所成角为
.
18．答案：见解析
解析过程：
（I）设
的公比为q,
的公差为d,
由题意
,由已知,有
消去d 得
解得
,
所以
的通项公式为
,
的通项公式为
.
（II）由（I）有
,设
的前n 项和为
,
则
两式相减得
所以
.
19．答案：见解析
解析过程：
（I）
,由已知
及
可得
,又因为
,
故直线BF 的斜率
.
（II）设点
,
（i）由（I）可得椭圆方程为
直线BF 的方程为
,
两方程联立消去y 得
解得
.
因为
,所以直线BQ 方程为
,
与椭圆方程联立消去y 得
,
解得
.又因为
,
及
得
（ii）由（i）得
,
所以
,即
,
又因为
,
所以
=
.
又因为
,
所以
,
因此
所以椭圆方程为
20．答案：见解析
解析过程：
（I）由
,可得
,
当
,即
时,函数
单调递增；
当
,即
时,函数
单调递减.
所以函数
的单调递增区间是
,单调递减区间是
.
（II）设
,则
,
曲线
在点P 处的切线方程为
,
即
,令
即
则
.
由于
在
单调递减,
故
在
单调递减,又因为
,
所以当
时,
,当
时,
,
所以
在
单调递增,在
单调递减,
所以对任意的实数x,
,
对于任意的正实数
,都有
.
（Ⅲ）由（II）知
，
设方程
的根为
，可得
，
因为
在
单调递减，
又由（II）知
，所以
。
类似的，设曲线
在原点处的切线为
，可得
，
对任意的
，有
即
。
设方程
的根为
，可得
，
因为
在
单调递增，且
，
因此，
，所以
