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绝密★启用前
2015 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷(文史类)
（满分150 分，考试时间120 分钟）
考生注意
1.本场考试时间120 分钟，试卷共4 页，满分150 分，答题纸共2 页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸
指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一
律不得分.
4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一．填空题（本大题共14 小题，满分56 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直
接填写结果，每个空格填对得4 分，否则一律零分）
1.函数
的最小正周期为 .
2.设全集
.若集合
，
，则
.
3.若复数
满足
，其中是虚数单位，则
.
4.设
为
的反函数，则
.
5.若线性方程组的增广矩阵为
解为
，则
.
6.若正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为
，则
.
7.抛物线上的动点
到焦点的距离的最小值为1，则 .
8. 方程
的解为 .
9. 若
满足
，则目标函数
的最大值为
.
10. 在报名的3 名男教师和6 名女教师中，选取5 人参加义务献血，要求男、女教师都有，则
不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）.
11.在
的二项式中，常数项等于 （结果用数值表示）.
12.已知双曲线
、
的顶点重合，
的方程为
，若
的一条渐近线的斜率是
的一条渐近线的斜率的2 倍，则
的方程为 .
13.已知平面向量
、
、
满足
，且
，则
的最
大值是 .
14.已知函数
.若存在
，
，
，
满足
，且
，则
的最小值为 .
二．选择题（本大题共4 小题，满分20 分）每题有且只有一个正确答案案，考生应
在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5 分，否则一律零分.
15. 设
、
，则“
、
均为实
数”是“ 是实数”的（ ）.
A. 充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
16. 下列不等式中，与不等式
解集相同的是（ ）.
A.
B.
C.
D .
17. 已知点
的坐标为
，将
绕坐标原点
逆时针旋转
至
，则点
的纵坐标为（ ）.
A.
B.
C.
D.
18. 设
是直线
与圆
在第一象限的交点，则极
限
( ).
A.
B.
C. D.
三．解答题（本大题共5 题，满分74 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的
规定区域内写出必要的步骤.
19.（本题满分12 分）
如图，圆锥的顶点为
，底面的一条直径为
，为半圆弧
的中点，为劣弧
的
中点.已知
，
，求三棱锥
的体积，并求异面直线
与
所成角的大
小.
20.（本题满分14 分）本题共2 小题，第1 小题6 分，第2 小题8 分.
已知函数
，其中
为实数.
（1）根据的不同取值，判断函数
的奇偶性，并说明理由；
（2）若
，判断函数
在
上的单调性，并说明理由.
21.（本小题14 分）本题共2 小题，第1 小题6 分，第2 小题8 分.
如图，
三地有直道相通，
千米，
千米，
千米.现甲、乙两警员
同时从
地出发匀速前往
地，经过小时，他们之间的距离为
（单位：千米）.甲的路线
是
，速度为5 千米/小时，乙的路线是
，速度为8 千米/小时.乙到达
地后原地等待.
设
时乙到达
地；
时，乙到达
地.
（1）求
与
的值；
（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3 千米.当
时，求
的表达式，并判
断
在
上得最大值是否超过3？说明理由.
22.（本题满分14 分）本题共3 个小题，第1 小题4 分，第2 小题6 分，第3 小题6 分.[ ZXXK]
已知椭圆
，过原点的两条直线
和
分别于椭圆交于
、
和
、
，设
的面积为
.
（1）设
，
，用
、
的坐标表示点
到直线
的距离，并证明；
（2）设，，
，求
的值；
（3）设
与
的斜率之积为
，求
的值，使得无论
与
如何变动，面积保持
不变.
23.（本题满分16 分）本题共3 小题.第1 小题4 分，第2 小题6 分，第3 小题6 分.
已知数列
与
满足
，
.
（1）若
，且
，求数列
}
{
n
a
的通项公式；
（2）设
}
{
n
a
的第
项是最大项，即
，求证：数列
的第
项是最大
项；
（3）设
，
)
N
(
n
，求
的取值范围，使得对任意
，
，
，且
.
