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绝密★启用前
2015 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷（理工农医类）
（满分150 分，考试时间120 分钟）
考生注意
1.本场考试时间120 分钟，试卷共4 页，满分150 分，答题纸共2 页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸
指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一
律不得分.
4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共25 分.
1、设全集
．若集合
，
，则
．
2、若复数
满足
，其中为虚数单位，则
．
3、若线性方程组的增广矩阵为
、解为
，则
．
4、若正三棱柱的所有棱长均为
，且其体积为
，则
．
5、抛物线
（
）上的动点
到焦点的距离的最小值为，则
．
6、若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为
，则其母线与轴的夹角的大小为 ．
7、方程
的解为 ．
8、在报名的
名男教师和
名女教师中，选取
人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不
同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）．
9、已知点
和
的横坐标相同，的纵坐标是
的纵坐标的
倍，和
的轨迹分别为双曲
线
和
．若
的渐近线方程为
，则
的渐近线方程为 ．
10、设
为
，
的反函数，则
的最大值为
．
11、在
的展开式中，
项的系数为 （结果用数值表示）．
12、赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有，，，，的卡片中随机摸取
一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张
卡片上数字之差的绝对值的
倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量
和
分别表示赌客
在一局赌博中的赌金和奖金，则
（元）．
13、已知函数
．若存在
，
，
，
满足
，且
（
，
），则
的最小值
为 ．
14、在锐角三角形
中，
，
为边
上的点，
与
的面积分别
为
和
．过
作
于
，
于
，则
．
二、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
15、设
，
，则“
、
中至少有一个数是虚数”是“
是虚数”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
16、已知点
的坐标为
，将
绕坐标原点
逆时针旋转
至
，则点
的纵坐
标为（ ）
A ．
B ．
C ．
D．
17、记方程①：
，方程②：
，方程③：
，其中
，
，
是正实数．当
，
，
成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（
）
A．方程①有实根，且②有实根 B．方程①有实根，且②无实根
C．方程①无实根，且②有实根 D．方程①无实根，且②无实根
18、设
是直线
（
）与圆
在第一象限的交点，则极
限
（ ）
A．
B．
C．
D．
三、解答题：本大题共6 小题，共75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19、
（本题满分12 分）如图，在长方体
中，
，
，、
分别是
、
的中点．证明
、
、、四点共面，并求直线
与平面
所
成的角的大小.
20、（本题满分14 分）本题共有2 小题，第小题满分6 分，第小题满分8 分
如图，
，
，
三地有直道相通，
千米，
千米，
千米.现甲、乙两警
员同时从
地出发匀速前往
地，经过小时，他们之间的距离为
（单位：千米）.甲的
路线是
，速度为
千米/小时，乙的路线是
，速度为
千米/小时.乙到达
地后原
地等待.设
时乙到达
地.
（1）求
与
的值；
（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是
千米.当
时，求
的表达式，并判断
在
上得最大值是否超过
？说明理由.
21、（本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 小题6 分，第2 小题8 分.
已知椭圆
，过原点的两条直线
和
分别于椭圆交于
、
和
、
，记得到
的平行四边形
的面积为
.
（1）设
，
，用
、
的坐标表示点
到直线
的距离，并证明
；
（2）设
与
的斜率之积为
，求面积
的值.
22、
（本题满分16 分）本题共有3 个小题.第1 小题满分4 分，第2 小题满分6 分，第3 小题满
分6 分.
已知数列
与
满足
，
.
（1）若
，且
，求数列
的通项公式；
（2）设
的第
项是最大项，即
（
），求证：数列
的第
项是最大项；
（3）设
，
（
），求
的取值范围，使得
有最大值
与最小值
，
且
.
23、
（本题满分18 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分4 分，第2 小题满分6 分，第3 小题满
分8 分.
对于定义域为
的函数
，若存在正常数
，使得
是以
为周期的函数，则称
为余弦周期函数，且称
为其余弦周期.已知
是以
为余弦周期的余弦周期函
数，其值域为
.设
单调递增，
，
.
（1）验证
是以
为周期的余弦周期函数；
（2）设
．证明对任意
，存在
，使得
；
（3）证明：“
为方程
在
上得解”的充要条件是“
为方程
在
上有解”，并证明对任意
都有
.
