文档文本内容
2015 年北京市高考数学试卷（理科）
一、选择题（每小题5 分，共40 分）
1．（5 分）（2015•北京）复数i（2
i
﹣）=（ ）
A．1+2i
B．1
2i
﹣
C．
1+2i
﹣
D．
1
2i
﹣﹣
2．（5 分）（2015•北京）若x，y 满足
，则z=x+2y 的最大值为（ ）
A．0
B．1
C．
D．2
3．（5 分）（2015•北京）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）
A．（﹣2，2）
B．（﹣4，0）
C．（﹣4，﹣4）
D．（0，﹣8）
4．（5 分）（2015•北京）设α，β 是两个不同的平面，m 是直线且m⊂α，“m β“
∥
是“α β”
∥
的（
）21 世纪教育网版权所有
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分不要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（5 分）（2015•北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）
A．2+
B．4+
C．2+2
D．5
6．（5 分）（2015•北京）设{an}是等差数列，下列结论中正确的是（ ）
A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0
B．若a1+a3＜0，则若a1+a2＜0，
C．若若0＜a1＜a2，则a2
D．若a1＜0，则（a2
a
﹣1）（a2
a
﹣3）＞0
7．（5 分）（2015•北京）如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x+1）的解
集是（ ）21 教育网
A．{x|
1
﹣＜x≤0}
B．{x|
1≤x≤1}
﹣
C．{x|
1
﹣＜x≤1}
D．{x|
1
﹣＜x≤2}
8．（5 分）（2015•北京）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 升汽油行驶的里程，如图描述
了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（ ）
A．消耗1 升汽油，乙车最多可行驶5 千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以80 千米/小时的速度行驶1 小时，消耗10 升汽油
D．某城市机动车最高限速80 千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
二、填空题（每小题5 分，共30 分）
9．（5 分）（2015•北京）在（2+x）5的展开式中，x3的系数为 （用数字作答）
10．（5 分）（2015•北京）已知双曲线
﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线为
x+y=0，则a=
．21·世纪*教育网
11．（5 分）（2015•北京）在极坐标系中，点（2，
）到直线ρ（cosθ+
sinθ）=6 的距离为
．www-2-1-cnjy-com
12．（5 分）（2015•北京）在△ABC 中，a=4，b=5，c=6，则
= ．
13．（5 分）（2015•北京）在△ABC 中，点M，N 满足
=2
，
=
，若
=x
+y
，则x=
，y= ．2-1-c-n-j-y
14．（5 分）（2015•北京）设函数f（x）=
，
①若a=1，则f（x）的最小值为 ；
②若f（x）恰有2 个零点，则实数a 的取值范围是 ．
三、解答题（共6 小题，共80 分）
15．（13 分）（2015•北京）已知函数f（x）=
sin cos ﹣
sin
．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[
π
﹣，0]上的最小值．
16．（13 分）（2015•北京）A，B 两组各有7 位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：
天）记录如下： 21*cnjy*com
A 组：10，11，12，13，14，15，16
B 组；12，13，15，16，17，14，a
假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B 两组随机各选1 人，A 组选出的人记为甲，B 组
选出的人记为乙．
（Ⅰ）求甲的康复时间不少于14 天的概率；
（Ⅱ）如果a=25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；
（Ⅲ）当a 为何值时，A，B 两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）
17．（14 分）（2015•北京）如图，在四棱锥A
EFCB
﹣
中，△AEF 为等边三角形，平面AEF⊥平
面EFCB，EF BC
∥
，BC=4，EF=2a，∠EBC= FCB=60°
∠
，O 为EF 的中点．
（Ⅰ）求证：AO BE
⊥
．
（Ⅱ）求二面角F
AE
B
﹣
﹣
的余弦值；
（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，求a 的值．
18．（13 分）（2015•北京）已知函数f（x）=ln
，
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）求证，当x∈（0，1）时，f（x）
；
（Ⅲ）设实数k 使得f（x）
对x∈（0，1）恒成立，求k 的最大值．
19．（14 分）（2015•北京）已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，点P（0，1）和点A
（m，n）（m≠0）都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m，n 表示）；
（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N，问：y 轴上是否存在点
Q，使得∠OQM= ONQ
∠
？若存在，求点Q 的坐标，若不存在，说明理由．
20．（13 分）（2015•北京）已知数列{an}满足：a1∈N*，a1≤36，且an+1=
（n=1，2，…），记集合M={an|n∈N *}．
（Ⅰ）若a1=6，写出集合M 的所有元素；
（Ⅱ）如集合M 存在一个元素是3 的倍数，证明：M 的所有元素都是3 的倍数；
（Ⅲ）求集合M 的元素个数的最大值．
2015 年北京市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5 分，共40 分）
1．（5 分）（2015•北京）复数i（2
i
﹣）=（ ）
A．1+2i
B．1
2i
﹣
C．
1+2i
﹣
D．
1
2i
﹣﹣
考点：复数代数形式的乘除运算．
专题：数系的扩充和复数．
分析：利用复数的运算法则解答．
解答：解：原式=2i
i
﹣2=2i﹣（﹣1）=1+2i；
故选：A．
点评：本题考查了复数的运算；关键是熟记运算法则．注意i2=
1
﹣．
2．（5 分）（2015•北京）若x，y 满足
，则z=x+2y 的最大值为（ ）
A．0
B．1
C．
D．2
考点：简单线性规划．
专题：不等式的解法及应用．
分析：作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z=x+2y 对应的直线进行平移，即可
求出z 取得最大值．
解答：
解：作出不等式组
表示的平面区域，
得到如图的三角形及其内部阴影部分，由
解得A（，），目标函数z=x+2y，将直线z=x+2y 进行平移，
当l 经过点A 时，目标函数z 达到最大值
z
∴
最大值=
=
故选：C．
点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x+2y 的最大值，着重考查了二元一次不等
式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．
3．（5 分）（2015•北京）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）
A．（﹣2，2）
B．（﹣4，0）
C．（﹣4，﹣4）
D．（0，﹣8）
考点：程序框图．
专题：图表型；算法和程序框图．
分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y，k 的值，当k=3 时满足条件k≥3，退
出循环，输出（﹣4，0）．
解答：解：模拟执行程序框图，可得
x=1，y=1，k=0
s=0，i=2
x=0，y=2，k=1
不满足条件k≥3，s=
2
﹣，i=2，x=
2
﹣，y=2，k=2
不满足条件k≥3，s=
4
﹣，i=0，x=
4
﹣，y=0，k=3
满足条件k≥3，退出循环，输出（﹣4，0），
故选：B．
点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的x，y，k 的值是解题的
关键，属于基础题．
4．（5 分）（2015•北京）设α，β 是两个不同的平面，m 是直线且m⊂α，“m β“
∥
是“α β”
∥
的（
）2·1·c·n·j·y
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分不要条件
D．既不充分也不必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：简易逻辑．
分析：m β
∥并得不到α∥β，根据面面平行的判定定理，只有α 内的两相交直线都平行于β，而
α β
∥，并且m⊂α，显然能得到m β
∥，这样即可找出正确选项．
解答：解：m⊂α，m β
∥得不到α β
∥，因为α，β 可能相交，只要m 和α，β 的交线平行即可得到
m β
∥；
α β
∥，m⊂α，∴m 和β 没有公共点，∴m β
∥，即α β
∥能得到m β
∥；
“m β”
∴
∥
是“α β”
∥
的必要不充分条件．
故选B．
点评：考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，
以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念．
5．（5 分）（2015•北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）
A．2+
B．4+
C．2+2
D．5
考点：由三视图求面积、体积．
专题：空间位置关系与距离．
分析：根据三视图可判断直观图为：A⊥面ABC，AC=AB，E 为BC 中点，EA=2，EA=EB=1，
OA=1，：BC⊥面AEO，AC=
，OE=
判断几何体的各个面的特点，计算边长，求解面积．
解答：解：根据三视图可判断直观图为：
OA⊥面ABC，AC=AB，E 为BC 中点，
EA=2，EC=EB=1，OA=1，
∴可得AE BC
⊥
，BC OA
⊥
，
运用直线平面的垂直得出：BC⊥面AEO，AC=
，OE=
S
∴
ABC
△
=
2×2=2，S
OAC
△
=S
OAB
△
=
×1=
．
S
BCO
△
=
2×
=
．
故该三棱锥的表面积是2
，
故选：C．
点评：本题考查了空间几何体的三视图的运用，空间想象能力，计算能力，关键是恢复直观
图，得出几何体的性质．
6．（5 分）（2015•北京）设{an}是等差数列，下列结论中正确的是（ ）
A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0
B．若a1+a3＜0，则若a1+a2＜0，
C．若若0＜a1＜a2，则a2
D．若a1＜0，则（a2
a
﹣1）（a2
a
﹣3）＞0
考点：等差数列的性质．
专题：计算题；等差数列与等比数列．
分析：对选项分别进行判断，即可得出结论．
解答：解：若a1+a2＞0，则2a1+d＞0，a2+a3=2a1+3d＞2d，d＞0 时，结论成立，即A 不正确；
若a1+a2＜0，则2a1+d＜0，a2+a3=2a1+3d＜2d，d＜0 时，结论成立，即B 不正确；
{an}是等差数列，0＜a1＜a2，2a2=a1+a3＞2
，∴a2＞
，即C 正确；
若a1＜0，则（a2
a
﹣1）（a2
a
﹣3）=
d
﹣2＜0，即D 不正确．
故选：C．
点评：本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础．
7．（5 分）（2015•北京）如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x+1）的解
集是（ ）21cnjy.com
A．{x|
1
﹣＜x≤0}
B．{x|
1≤x≤1}
﹣
C．{x|
1
﹣＜x≤1}
D．{x|
1
﹣＜x≤2}
考点：指、对数不等式的解法．
专题：不等式的解法及应用．
分析：在已知坐标系内作出y=log2（x+1）的图象，利用数形结合得到不等式的解集．
解答：解：由已知f（x）的图象，在此坐标系内作出y=log2（x+1）的图象，如图
满足不等式f（x）≥log2（x+1）的x 范围是﹣1＜x≤1；所以不等式f（x）≥log2（x+1）的解
集是{x|
1
﹣＜x≤1}；
故选C．
点评：本题考查了数形结合求不等式的解集；用到了图象的平移．
8．（5 分）（2015•北京）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 升汽油行驶的里程，如图描述
了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（ ）
A．消耗1 升汽油，乙车最多可行驶5 千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以80 千米/小时的速度行驶1 小时，消耗10 升汽油
D．某城市机动车最高限速80 千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
考点：函数的图象与图象变化．
专题：创新题型；函数的性质及应用．
分析：根据汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 升汽油行驶的里程，以及图象，分别判断
各个选项即可．
解答：解：对于选项A，消耗1 升汽油，乙车行驶的距离比5 小的很多，故A 错误；
对于选项B，以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最小，故B 错误，
对于选项C，甲车以80 千米/小时的速度行驶1 小时，里程为80 千米，燃油效率为10，
故消耗8 升汽油，故C 错误，
对于选项D，因为在速度低于80 千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，故D 正
确．
点评：本题考查了函数图象的识别，关键掌握题意，属于基础题．
二、填空题（每小题5 分，共30 分）
9．（5 分）（2015•北京）在（2+x）5的展开式中，x3的系数为
40
（用数字作答）
考点：二项式定理的应用．
专题：二项式定理．
分析：写出二项式定理展开式的通项公式，利用x 的指数为3，求出r，然后求解所求数值．
解答：解：（2+x）5的展开式的通项公式为：Tr+1=
25
r
﹣xr，
所求x3的系数为：
=40．
故答案为：40．
点评：本题考查二项式定理的应用，二项式系数的求法，考查计算能力．
10．（5 分）（2015•北京）已知双曲线
﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线为
x+y=0，则a=
．21·cn·jy·com
考点：双曲线的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：运用双曲线的渐近线方程为y=± ，结合条件可得=
，即可得到a 的值．
解答：
解：双曲线
﹣y2=1 的渐近线方程为y=± ，
由题意可得=
，
解得a=
．
故答案为：
．
点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题．
11．（5 分）（2015•北京）在极坐标系中，点（2，
）到直线ρ（cosθ+
sinθ）=6 的距离为
1
．【来源：21cnj*y.co*m】
考点：简单曲线的极坐标方程．
专题：坐标系和参数方程．
分析：化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式距离公式即可得出．
解答：解：点P（2，
）化为P
．
直线ρ（cosθ+
sinθ）=6 化为
．
∴点P 到直线的距离d=
=1．
故答案为：1．
点评：本题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算
能力，属于中档题．
12．（5 分）（2015•北京）在△ABC 中，a=4，b=5，c=6，则
=
1
．
考点：余弦定理；二倍角的正弦；正弦定理．
专题：计算题；解三角形．
分析：利用余弦定理求出cosC，cosA，即可得出结论．
解答：解：∵△ABC 中，a=4，b=5，c=6，
cosC=
∴
= ，cosA=
=
sinC=
∴
，sinA=
，
∴
=
=1．
故答案为：1．
点评：本题考查余弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．
13．（5 分）（2015•北京）在△ABC 中，点M，N 满足
=2
，
=
，若
=x
+y
，则x=
，y= ﹣ ．www.21-cn-jy.com
考点：平面向量的基本定理及其意义．
专题：平面向量及应用．
分析：首先利用向量的三角形法则，将所求用向量
表示，然后利用平面向量基本定
理得到x，y 值．
解答：解：由已知得到
=
=
=
；
由平面向量基本定理，得到x= ，y=
；
故答案为：
．
点评：本题考查了平面向量基本定理的运用，一个向量用一组基底表示，存在唯一的实数对
（x，y）使，向量等式成立．
14．（5 分）（2015•北京）设函数f（x）=
，
①若a=1，则f（x）的最小值为 ﹣
1
；
②若f（x）恰有2 个零点，则实数a 的取值范围是 ≤
a ＜
1 或
a≥2
．
考点：函数的零点；分段函数的应用．
专题：创新题型；函数的性质及应用．
分析：①分别求出分段的函数的最小值，即可得到函数的最小值；
②分别设h（x）=2x
a
﹣，g（x）=4（x
a
﹣）（x
2a
﹣
），分两种情况讨论，即可求出a 的范围．
解答：
解：①当a=1 时，f（x）=
，
当x＜1 时，f（x）=2x
1
﹣为增函数，f（x）＞﹣1，
当x＞1 时，f（x）=4（x
1
﹣）（x
2
﹣）=4（x2
3x+2
﹣
）=4（x﹣）2
1
﹣，
当1＜x＜时，函数单调递减，当x＞时，函数单调递增，
故当x= 时，f（x）min=f（）=
1
﹣，
②设h（x）=2x
a
﹣，g（x）=4（x
a
﹣）（x
2a
﹣
）
若在x＜1 时，h（x）=与x 轴有一个交点，
所以a＞0，并且当x=1 时，h（1）=2
a
﹣＞0，所以0＜a＜2，
而函数g（x）=4（x
a
﹣）（x
2a
﹣
）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，
所以≤a＜1，
若函数h（x）=2x
a
﹣在x＜1 时，与x 轴没有交点，
则函数g（x）=4（x
a
﹣）（x
2a
﹣
）有两个交点，
当a≤0 时，h（x）与x 轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），
当h（1）=2
a≤
﹣
时，即a≥2 时，g（x）的两个交点为x1=a，x2=2a，都是满足题意的，
综上所述a 的取值范围是≤a＜1，或a≥2．
点评：本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能
力以及分类能力，属于中档题．
三、解答题（共6 小题，共80 分）
15．（13 分）（2015•北京）已知函数f（x）=
sin cos ﹣
sin
．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[
π
﹣，0]上的最小值．
考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．
专题：计算题；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．
分析：（Ⅰ）运用二倍角公式和两角和的正弦公式，化简f（x），再由正弦喊话说的周期，即可
得到所求；
（Ⅱ）由x 的范围，可得x+
的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可求得最小值．
解答：解：（Ⅰ）f（x）=
sin cos ﹣
sin
=
sinx﹣
（1
cosx
﹣
）
=sinxcos
+cosxsin
﹣
=sin（x+
）﹣
，
则f（x）的最小正周期为2π；
（Ⅱ）由﹣π≤x≤0，可得
﹣
≤x+
≤
，
即有﹣1
，
则当x=﹣
时，sin（x+
）取得最小值﹣1，
则有f（x）在区间[
π
﹣，0]上的最小值为﹣1﹣
．
点评：本题考查二倍角公式和两角和的正弦公式，同时考查正弦函数的周期和值域，考查运
算能力，属于中档题．
16．（13 分）（2015•北京）A，B 两组各有7 位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：
天）记录如下：【来源：21·世纪·教育·网】
A 组：10，11，12，13，14，15，16
B 组；12，13，15，16，17，14，a
假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B 两组随机各选1 人，A 组选出的人记为甲，B 组
选出的人记为乙．
（Ⅰ）求甲的康复时间不少于14 天的概率；
（Ⅱ）如果a=25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；
（Ⅲ）当a 为何值时，A，B 两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）
考点：极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式．
专题：概率与统计．
分析：设事件Ai为“甲是A 组的第i 个人”，事件Bi为“乙是B 组的第i 个人”，由题意可
知P（Ai）=P（Bi）= ，i=1，2，••，7
（Ⅰ）事件等价于“甲是A 组的第5 或第6 或第7 个人”，由概率公式可得；
（Ⅱ）设事件“甲的康复时间比乙的康复时间
长”C=A4B1 A
∪
5B1 A
∪
6B1 A
∪
7B1 A
∪
5B2 A
∪
6B2 A
∪
7B2 A
∪
7B3 A
∪
6B6 A
∪
7B6，易得P（C）
=10P（A4B1），易得答案；
（Ⅲ）由方差的公式可得．
解答：解：设事件Ai为“甲是A 组的第i 个人”，事件Bi为“乙是B 组的第i 个人”，
由题意可知P（Ai）=P（Bi）= ，i=1，2，••，7
（Ⅰ）事件“甲的康复时间不少于14 天”等价于“甲是A 组的第5 或第6 或第7 个
人”
∴甲的康复时间不少于14 天的概率P（A5 A
∪
6 A
∪
7）=P（A5）+P（A6）+P（A7）= ；
（Ⅱ）设事件C 为“甲的康复时间比乙的康复时间长”，
则C=A4B1 A
∪
5B1 A
∪
6B1 A
∪
7B1 A
∪
5B2 A
∪
6B2 A
∪
7B2 A
∪
7B3 A
∪
6B6 A
∪
7B6，
P
∴（C）=P（A4B1）+P（A5B1）+P（A6B1）P+（A7B1）+P（A5B2）+P（A6B2）+P（A7B2）+P
（A7B 3）+P（A6B6）+P（A7B6）
=10P（A4B1）=10P（A4）P（B1）=
（Ⅲ）当a 为11 或18 时，A，B 两组病人康复时间的方差相等．
点评：本题考查古典概型及其概率公式，涉及概率的加法公式和方差，属基础题．
17．（14 分）（2015•北京）如图，在四棱锥A
EFCB
﹣
中，△AEF 为等边三角形，平面AEF⊥平
面EFCB，EF BC
∥
，BC=4，EF=2a，∠EBC= FCB=60°
∠
，O 为EF 的中点．
（Ⅰ）求证：AO BE
⊥
．
（Ⅱ）求二面角F
AE
B
﹣
﹣
的余弦值；
（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，求a 的值．
考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质．
专题：空间位置关系与距离；空间角．
分析：（Ⅰ）根据线面垂直的性质定理即可证明AO BE
⊥
．
（Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角F
AE
B
﹣
﹣
的余弦值；
（Ⅲ）利用线面垂直的性质，结合向量法即可求a 的值
解答：证明：（Ⅰ）∵△AEF 为等边三角形，O 为EF 的中点，
AO EF
∴
⊥
，
∵平面AEF⊥平面EFCB，AO⊂平面AEF，
AO
∴
⊥平面EFCB
AO BE
∴
⊥
．
（Ⅱ）取BC 的中点G，连接OG，
EFCB
∵
是等腰梯形，
OG EF
∴
⊥
，
由（Ⅰ）知AO⊥平面EFCB，
OG
∵
⊂平面EFCB，∴OA OG
⊥
，
建立如图的空间坐标系，
则OE=a，BG=2，GH=a，BH=2
a
﹣，EH=BHtan60°=
，
则E（a，0，0），A（0，0，
a），B（2，
，0），
=（﹣a，0，
a），
=（a
2
﹣，﹣
，0），
设平面AEB 的法向量为=（x，y，z），
则
，即
，
令z=1，则x=
，y=
1
﹣，
即=（
，﹣1，1），
平面AEF 的法向量为
，
则cos＜
＞=
=
即二面角F
AE
B
﹣
﹣
的余弦值为
；
（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，
则BE OC
⊥
，
即
=0，
∵
=（a
2
﹣，﹣
，0），
=（﹣2，
，0），
∴
=
2
﹣（a
2
﹣）﹣3（a
2
﹣）2=0，
解得a= ．
点评：本题主要考查空间直线和平面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐标系利用向量法
是解决空间角的常用方法．
18．（13 分）（2015•北京）已知函数f（x）=ln
，
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）求证，当x∈（0，1）时，f（x）
；
（Ⅲ）设实数k 使得f（x）
对x∈（0，1）恒成立，求k 的最大值．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．
专题：导数的综合应用．
分析：（1）利用函数的导数求在曲线上某点处的切线方程．
（2）构造新函数利用函数的单调性证明命题成立．
（3）对k 进行讨论，利用新函数的单调性求参数k 的取值范围．
解答：解答：（1）因为f（x）=ln（1+x）﹣ln（1
x
﹣）所以
又因为f（0）=0，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=2x．
（2）证明：令g（x）=f（x）﹣2（x+
），则
g'（x）=f'（x）﹣2（1+x2）=
，
因为g'（x）＞0（0＜x＜1），所以g（x）在区间（0，1）上单调递增．
所以g（x）＞g（0）=0，x∈（0，1），
即当x∈（0，1）时，f（x）＞2（x+
）．
（3）由（2）知，当k≤2 时，f（x）＞
对x∈（0，1）恒成立．
当k＞2 时，令h（x）=f（x）﹣
，则
h'（x）=f'（x）﹣k（1+x2）=
，
所以当
时，h'（x）＜0，因此h（x）在区间（0，
）上单调递减．
当
时，h（x）＜h（0）=0，即f（x）＜
．
所以当k＞2 时，f（x）＞
并非对x∈（0，1）恒成立．
综上所知，k 的最大值为2．
点评：本题主要考查切线方程的求法及新函数的单调性的求解证明．在高考中属常考题型，
难度适中．
19．（14 分）（2015•北京）已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，点P（0，1）和点A
（m，n）（m≠0）都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m，n 表示）；
（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N，问：y 轴上是否存在点
Q，使得∠OQM= ONQ
∠
？若存在，求点Q 的坐标，若不存在，说明理由．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
专题：创新题型；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析：
（I）根据椭圆的几何性质得出
求解即可．
（II）求解得出M（
，0），N（
，0），运用图形得出tan OQM=tan ONQ
∠
∠
，
=
，求解即可得出即yQ
2=xM•xN，
+n2，根据m，m 的关系整体求解．
解答：
解：（Ⅰ）由题意得出
解得：a=
，b=1，c=1
∴
+y2=1，
P
∵（0，1）和点A（m，n），﹣1＜n＜1
PA
∴
的方程为：y
1=
﹣
x，y=0 时，xM=
M
∴
（
，0）
（II）∵点B 与点A 关于x 轴对称，点A（m，n）（m≠0）
∴点B（m，﹣n）（m≠0）
∵直线PB 交x 轴于点N，
N
∴（
，0），
∵存在点Q，使得∠OQM= ONQ
∠
，Q（0，yQ），
tan OQM=tan ONQ
∴
∠
∠
，
∴
=
，即yQ
2=xM•xN，
+n2=1
yQ
2=
=2，
y
∴Q=
，
故y 轴上存在点Q，使得∠OQM= ONQ
∠
，Q（0，
）或Q（0，﹣
）
点评：本题考查了直线圆锥曲线的方程，位置关系，数形结合的思想的运用，运用代数的方法
求解几何问题，难度较大，属于难题．
20．（13 分）（2015•北京）已知数列{an}满足：a1∈N*，a1≤36，且an+1=
（n=1，2，…），记集合M={an|n∈N*}．
（Ⅰ）若a1=6，写出集合M 的所有元素；
（Ⅱ）如集合M 存在一个元素是3 的倍数，证明：M 的所有元素都是3 的倍数；
（Ⅲ）求集合M 的元素个数的最大值．
考点：数列递推式．
专题：创新题型；点列、递归数列与数学归纳法．
分析：
（Ⅰ）a1=6，利用an+1=
可求得集合M 的所有元素为6，12，24；
（Ⅱ）因为集合M 存在一个元素是3 的倍数，所以不妨设ak是3 的倍数，由an+1=
（n=1，2，…），可归纳证明对任意n≥k，an是3 的倍数；
（Ⅲ）分a1是3 的倍数与a1不是3 的倍数讨论，即可求得集合M 的元素个数的最大值．
解答：
解：（Ⅰ）若a1=6，由于an+1=
（n=1，2，…），M={an|n∈N*}．
故集合M 的所有元素为6，12，24；
（Ⅱ）因为集合M 存在一个元素是3 的倍数，所以不妨设ak是3 的倍数，由an+1=
（n=1，2，…），可归纳证明对任意n≥k，an是3 的倍数．
如果k=1，M 的所有元素都是3 的倍数；
如果k＞1，因为ak=2ak
1
﹣，或ak=2ak
1
﹣
36
﹣
，所以2ak
1
﹣是3 的倍数；于是ak
1
﹣是3 的倍
数；
类似可得，ak
2
﹣，…，a1都是3 的倍数；
从而对任意n≥1，an是3 的倍数；
综上，若集合M 存在一个元素是3 的倍数，则集合M 的所有元素都是3 的倍数
（Ⅲ）对a1≤36，an=
（n=1，2，…），可归纳证明对任意n≥k，an
＜36（n=2，3，…）
因为a1是正整数，a2=
，所以a2是2 的倍数．
从而当n≥3 时，an是2 的倍数．
如果a1是3 的倍数，由（Ⅱ）知，对所有正整数n，an是3 的倍数．
因此当n≥3 时，an∈{12，24，36}，这时M 的元素个数不超过5．
如果a1不是3 的倍数，由（Ⅱ）知，对所有正整数n，an不是3 的倍数．
因此当n≥3 时，an∈{4，8，16，20，28，32}，这时M 的元素个数不超过8．
当a1=1 时，M={1，2，4，8，16，20，28，32}，有8 个元素．
综上可知，集合M 的元素个数的最大值为8．
点评：本题考查数列递推关系的应用，突出考查分类讨论思想与等价转化思想及推理、运算
能力，属于难题．
