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绝密★启用前
2016 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷（理工农医类）
（满分150 分，考试时间120 分钟）
考生注意
1.本场考试时间120 分钟，试卷共4 页，满分150 分，答题纸共2 页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸
指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一
律不得分.
4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一、填空题（本大题共有14 题，满分56 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，
每个空格填对得4 分，否则一律得零分.
1．设x
,则不等式
的解集为_____________．
2．设
，其中为虚数单位，则
=_____________．
3．已知平行直线
，则l1与l2的距离是_____________．
4．某次体检，6 位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据
的中位数是_________（米）．
5．已知点
在函数
的图像上，则
．
6．如图，在正四棱柱
中，底面
的边长为3，
与底面所成的角的
大小为
，则该正四棱柱的高等于____________．
7．方程
在区间
上的解为___________ .
8．在
的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于
_________．
9．已知
的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________．
10．设
若关于
的方程组
，无解，则
的取值范围是
____________．
11．无穷数列
由k 个不同的数组成，
为
的前n 项和.若对任意
，
，
则k 的最大值为________.
12．在平面直角坐标系中，已知A（1,0），B（0，-1），P 是曲线
上一个动点，则
的取值范围是_____________.
13.设
.若对任意实数
都有
，则满足条件
的有序实数组
的组数为 .
14.如图，在平面直角坐标系
中，O 为正八边形
的中心，
.任取不同的
两点
，点P 满足
，则点P 落在第一象限的概率是_____________.
二、选择题（本大题共有4 题，满分20 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的
相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得五分，否则一律得零分.
15.设
，则“
”是“
”的（ ）.
（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件
（C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件
16.下列极坐标方程中，对应的曲线为如图的是（ ）.
（A）
（B）
（C）
（D）
17.已知无穷等比数列
的公比为
，前n 项和为
，且
.下列条件中，使得
恒成立的是（ ）.
（A）
（B）
（C）
（D）
18．设
、
、
是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若
、
、
均是增函数，则
、
、
中至少有一个增函数；②若
、
、
均是以
为周期的函数，则
、
、
均
是以
为周期的函数，下列判断正确的是（ ）.
（A）①和②均为真命题 （B）①和②均为假命题
（C）①为真命题，②为假命题 （D）①为假命题，②为真命题
三、解答题（本大题共有5 题，满分74 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域
内写出必要的步骤.
19. （本题满分12 分）本题共有2 个小题，第一小题满分6 分，第二小题满分6 分.将边长为1
的正方形
（及其内部）绕的
旋转一周形成圆柱，如图，
长为
，
长为
，其中
与
在平面
的同侧.
（1）求三棱锥
的体积；
（2）求异面直线
与
所成的角的大小.
20．（本题满分14）本题共有2 个小题，第1 小题满分6 分，第2 小题满分8 分.
有一块正方形菜地
,
所在直线是一条小河.收获的蔬菜可送到
点或河边运走.
于是，菜地分为两个区域
和
，其中
中的蔬菜运到河边较近，
中的蔬菜运到
点较
近，而菜地内
和
的分界线
上的点到河边与到
点的距离相等，现建立平面直角坐标
系，其中原点
为
的中点，点
的坐标为（1,0），如图.
[
（1）求菜地内的分界线
的方程;
（2）菜农从蔬菜运量估计出
面积是
面积的两倍，由此得到
面积的“经验值”为
.
设
是
上纵坐标为1 的点，请计算以
为一边、另有一边过点
的矩形的面积，及五
边形
的面积，并判断哪一个更接近于
面积的经验值.
21.（本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分6 分，第2 小题满分8 分.
双曲线
的左、右焦点分别为
，直线过
且与双曲线交于
两点.
（1）若的倾斜角为
，
是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
（2）设
，若的斜率存在，且
，求的斜率.
22.（本题满分16 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分4 分，第2 小题满分6 分，第3 小题满
分6 分.
已知
，函数
.
（1）当
时，解不等式
；
（2）若关于
的方程
的解集中恰好有一个元素，求
的
取值范围；
（3）设
，若对任意
，函数
在区间
上的最大值与最小值的差不超
过1，求
的取值范围.
23.（本题满分18 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分4 分，第2 小题满分6 分，第3 小题满
分8 分.
若无穷数列
满足：只要
，必有
，则称
具有性质
.
（1）若
具有性质
，且
，
，求
；
（2）若无穷数列
是等差数列，无穷数列
是公比为正数的等比数列，
，
，
，判断
是否具有性质
，并说明理由；
（3）设
是无穷数列，已知
.求证：“对任意
都具有性质
”的充要条件为“
是常数列”.
