2012 年普通高等学校招生统一考试数学天津
（理科）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）i 是虚数单位，复数
i
i
3
7
=
（A） 2 + i （B）2 – i
（C）-2 + i （D）-2 – i
（2）设
,
R
则“
0
”是“
)
)(
cos(
)
(
R
x
x
x
f
为偶函
数”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分与不必要条件
（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值
为-25 时，输出x 的值为
（A）-1 （B）1
（C）3 （D）9
（4）函数
2
2
)
(
3
x
x
f
x
在区间(0,1)内的零点个数是
（A）0 （B）1
（C）2 （D）3
（5）在
5
2
)
1
2
(
x
x
的二项展开式中，x 的系数为
（A）10 （B）-10
（C）40 （D）-40
（6）在ABC
中，内角A，B，C 所对的边分别是
c
b
a
,
,
，已知8b=5c，C=2B，则cosC=
（A）25
7 （B）
25
7
1 / 22
（C）
25
7
（D）25
24
（7）已知ABC
为等边三角形，AB=2，设点P，Q 满足
AB
AP
，
AC
AQ
)
1(
，
R
，若
，则=
（A）
2
1 （B）
2
2
1
（C）
2
10
1
（D）
2
2
2
3
（8）设
R
n
m
,
，若直线
0
2
)1
(
)1
(
y
n
x
m
与圆
1
)1
(
)1
(
2
2
y
x
相切，则m +
n 的取值范围是
（A）
]
3
1,3
1[
（B）
)
,3
1[
]
3
1,
(
（C）
]
2
2
2,
2
2
2
[
（D）
)
,
2
2
2
[
]
2
2
2,
(
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分.
（9）某地区有小学150 所，中学75 所，大学25 所.
现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30 所学校
对学生进行视力调查，应从小学中抽取_________所
学校，中学中抽取________所学校.
（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），
则该几何体的体积为_________m3.
（11）已知集合
，集合
},
0
)
2
)(
(|
{
x
m
x
R
x
B
且
),
,1
(
n
B
A
则m =__________，n = __________.
（12）已知抛物线的参数方程为
pt
y
pt
x
2
,
2
2
（t 为参数）,其中p>0，焦点为F，准线为l . 过抛物
2 / 22
线上一点M 作l 的垂线，垂足为E. 若|EF|=|MF|，点M 的横坐标是3，则p = _________.
（13）如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D. 过
点C 作BD 的平行线与圆相交于点E，与AB 相交于点F，AF=3，
FB=1，EF= 2
3 ，则线段CD 的长为____________.
（14）已知函数
1
1
2
x
x
y
的图象与函数
2
kx
y
的图象恰有两个交点，则实数k 的取值
范围是_________.
三．解答题：本大题共6 小题,共80 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（15）（本小题满分13 分）
已知函数
.
,1
cos
2
)
3
2
sin(
)
3
2
sin(
)
(
2
R
x
x
x
x
x
f
（Ⅰ）求函数
)
(x
f
的最小正周期；
（Ⅱ）求函数
)
(x
f
在区间
]
4
,
4
[
上的最大值和最小值.
（16）（本小题满分13 分）
现有4 个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约
定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1 或2 的人去
参加甲游戏，掷出点数大于2 的人去参加乙游戏.
（Ⅰ）求这4 个人中恰有2 人去参加甲游戏的概率；
（Ⅱ）求这4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；
（Ⅲ）用X，Y 分别表示这4 个人中去参加甲、乙游戏的人数，记
Y
X
，求随机变量的
分布列与数学期望
E
.
（17）（本小题满分13 分）
如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，
AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.
（Ⅰ）证明PC⊥AD；
（Ⅱ）求二面角A-PC-D 的正弦值；
（Ⅲ）设E 为棱PA 上的点，满足异面
3 / 22
直线BE 与CD 所成的角为30°，求AE 的长.
（18）（本小题满分13 分）
已知
}
{
n
a
是等差数列，其前n 项和为Sn，
}
{ nb
是等比数列，且
27
,2
4
4
1
1
b
a
b
a
，
10
4
4
b
S
.
（Ⅰ）求数列
}
{
n
a
与
}
{ nb
的通项公式；
（Ⅱ）记
n
n
n
n
b
a
b
a
b
a
T
1
2
1
1
，
*
N
n
，证明
n
n
n
b
a
T
10
2
12
（
*
N
n
）.
（19）（本小题满分14 分）
设椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
的左、右顶点分别为
，点
在椭圆上且异于
两
点，
为坐标原点.
（Ⅰ）若直线
与
的斜率之积为
2
1
，求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若
，证明直线
的斜率 满足
（20）（本小题满分14 分）
已知函数
)
ln(
)
(
a
x
x
x
f
的最小值为0，其中
.0
a
（Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）若对任意的
),
,0
[
x
有
)
(x
f
≤
2
kx 成立，求实数k 的最小值；
（Ⅲ）证明
n
i
n
i
1
2
)1
2
ln(
1
2
2
（
*
N
n
）.
4 / 22
试卷解析
【试卷总评】今年天津市高考理科数学试卷所涉及的考点较去年变化不大，试题难度较去年
有一定的下滑，着重考查学生的基础知识的掌握以及推导、运算和数形结合的能力。有如下
特点：1.2012 年的数学试题考点与去年几乎相同，而仅有的几处不同的考点在2007-2010 年
也相继考过，明细如下： 零点存在定理（小题）——2009 年、2010 年 线线垂直——2007 年
错位相减法——2007 年 ，解析几何之斜率问题（大题）。
2.2012 年削弱了对数列的考察，小题不再涉及数列。而解答题18 题是数列中极为传 统的考
法——求等差等比数列的通项公式与错位相减法;而在第20 题的第三问继续考查数列不等
式的内容。
3.三角函数解答题在2011 年考查了正切函数的性质和运算，而今年则回归了以往的考查方
式，考查了正余弦函数的性质。
4.加大了解析几何的难度，在考查题数不变的情况下，将直线和圆放在了选择压轴题的位置，
椭圆大题放在第数第二题(第19 题)的位置。
5.函数大题难度与去年基本持平。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）i 是虚数单位，复数
i
i
3
7
=
（A） 2 + i （B）2 – i
（C）-2 + i （D）-2 – i
（2）设
,
R
则“
0
”是“
)
)(
cos(
)
(
R
x
x
x
f
为偶函数”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分与不必要条件
5 / 22
（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值
为-25 时，输出x 的值为
（A）-1 （B）1
（C）3 （D）9
（4）函数
2
2
)
(
3
x
x
f
x
在区间(0,1)内的零点个数是
（A）0 （B）1
（C）2 （D）3
（5）在
5
2
)
1
2
(
x
x
的二项展开式中，x 的系数为
（A）10 （B）-10
（C）40 （D）-40
6 / 22
（6）在ABC
中，内角A，B，C 所对的边分别是
c
b
a
,
,
，已知8b=5c，C=2B，则cosC=
（A）25
7 （B）
25
7
（C）
25
7
（D）25
24
（7）已知ABC
为等边三角形，AB=2，设点P，Q 满足
AB
AP
，
AC
AQ
)
1(
，
R
，若
，则=
（A）
2
1 （B）
2
2
1
（C）
2
10
1
（D）
2
2
2
3
7 / 22
（8）设
R
n
m
,
，若直线
0
2
)1
(
)1
(
y
n
x
m
与圆
1
)1
(
)1
(
2
2
y
x
相切，则m +
n 的取值范围是
（A）
]
3
1,3
1[
（B）
)
,3
1[
]
3
1,
(
（C）
]
2
2
2,
2
2
2
[
（D）
)
,
2
2
2
[
]
2
2
2,
(
应用.
第Ⅱ卷
8 / 22
二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分.
（9）某地区有小学150 所，中学75 所，大学25 所.
现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30 所学校
对学生进行视力调查，应从小学中抽取_________所
学校，中学中抽取________所学校.
（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为_________m3.
（11）已知集合
，集合
},
0
)
2
)(
(|
{
x
m
x
R
x
B
且
),
,1
(
n
B
A
则m =__________，n = __________.
（12）已知抛物线的参数方程为
pt
y
pt
x
2
,
2
2
（t 为参数）,其中p>0，焦点为F，准线为l . 过抛物
线上一点M 作l 的垂线，垂足为E. 若|EF|=|MF|，点M 的横坐标是3，则p = _________.
【答案】2
【解析】由抛物线的参数方程可知其普通方程为
9 / 22
为等边三角形，E 的横坐标为
的横坐标为3，
【考点定位】本题考查抛物线的方程、定义和其几何性质，考查学生的转化能力和计算能力.
（13）如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作
圆的切线与AC 的延长线相交于点D. 过点C 作BD 的
平行线与圆相交于点E，与AB 相交于点F，AF=3，
FB=1，EF= 2
3 ，则线段CD 的长为____________.
（14）已知函数
1
1
2
x
x
y
的图象与函数
2
kx
y
的图象恰有两个交点，则实数k 的取值
10 / 22
F
E
C
D
B
A
范围是_________.
三．解答题：本大题共6 小题,共80 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（15）（本小题满分13 分）
已知函数
.
,1
cos
2
)
3
2
sin(
)
3
2
sin(
)
(
2
R
x
x
x
x
x
f
（Ⅰ）求函数
)
(x
f
的最小正周期；
（Ⅱ）求函数
)
(x
f
在区间
]
4
,
4
[
上的最大值和最小值.
（16）（本小题满分13 分）
现有4 个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约
定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1 或2 的人去
参加甲游戏，掷出点数大于2 的人去参加乙游戏.
（Ⅰ）求这4 个人中恰有2 人去参加甲游戏的概率；
（Ⅱ）求这4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；
（Ⅲ）用X，Y 分别表示这4 个人中去参加甲、乙游戏的人数，记
Y
X
，求随机变量的
分布列与数学期望
E
.
11 / 22
【解析】依题意，这4 个人中，每个人去参加甲游戏的概率为
，去参加乙游戏的概率为
.
设“这4 个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件
则
.
12 / 22
（17）（本小题满分13 分）
如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，
AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.
（Ⅰ）证明PC⊥AD；
（Ⅱ）求二面角A-PC-D 的正弦值；
（Ⅲ）设E 为棱PA 上的点，满足异面
直线BE 与CD 所成的角为30°，求AE 的长.
13 / 22
14 / 22
15 / 22
【考点定位】本小题主要考查空间两条直线的位置关系、二面角、异面直线所成德角、直线与
平面垂直等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能
力和推理论证能力.试题从命题的角度来看，整体上题目与我们平时练习的试题相似，但底面
是非特殊的四边形，一直线垂直于底面的四棱锥问题，那么创新的地方就是第三问中点E 的
位置是不确定的，需要学生根据已知条件进行确定，如此说来就有难度，因此最好使用空间
16 / 22
直角坐标系解决该问题为好.
（18）（本小题满分13 分）
已知
}
{
n
a
是等差数列，其前n 项和为Sn，
}
{ nb
是等比数列，且
27
,2
4
4
1
1
b
a
b
a
，
10
4
4
b
S
.
（Ⅰ）求数列
}
{
n
a
与
}
{ nb
的通项公式；
（Ⅱ）记
n
n
n
n
b
a
b
a
b
a
T
1
2
1
1
，
*
N
n
，证明
n
n
n
b
a
T
10
2
12
（
*
N
n
）.
17 / 22
（19）（本小题满分14 分）
设椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
的左、右顶点分别为
，点
在椭圆上且异于
两
点，
为坐标原点.
（Ⅰ）若直线
与
的斜率之积为
2
1
，求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若
，证明直线
的斜率 满足
18 / 22
（20）（本小题满分14 分）
已知函数
)
ln(
)
(
a
x
x
x
f
的最小值为0，其中
.0
a
（Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）若对任意的
),
,0
[
x
有
)
(x
f
≤
2
kx 成立，求实数k 的最小值；
19 / 22
（Ⅲ）证明
n
i
n
i
1
2
)1
2
ln(
1
2
2
（
*
N
n
）.
20 / 22
21 / 22
22 / 22
