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2015 年浙江省高考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分2015 年普通高等学校招生全国统一考试
（浙江卷）数学（理科）
1．（5 分）（2015•浙江）已知集合P={x|x2
2x≥0}
﹣
，Q={x|1＜x≤2}，则（∁RP）∩Q=（ ）
A．[0，1）
B．（0，2]
C．（1，2）
D．[1，2]
2．（5 分）（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（ ）
A．8cm3
B．12cm3
C．
D．
3．（5 分）（2015•浙江）已知{an}是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是Sn，若a3，a4，a8成等
比数列，则（ ）
A．a1d＞0，dS4＞0 B．a1d＜0，dS4＜0 C．a1d＞0，dS4＜0 D．a1d＜0，dS4＞0
4．（5 分）（2015•浙江）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（ ）
A．
∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n
B．
∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n
C．
∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0
D．
∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0
5．（5 分）（2015•浙江）如图，设抛物线y2=4x 的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的
点A，B，C，其中点A，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是
（ ）
第1页（共15页）
A．
B．
C．
D．
6．（5 分）（2015•浙江）设A，B 是有限集，定义：d（A，B）=card（A B
∪）﹣card（A∩B），其中
card（A）表示有限集A 中的元素个数（ ）
命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；
命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）
A．
命题①和命题②都成立
B．
命题①和命题②都不成立
C．
命题①成立，命题②不成立
D．
命题①不成立，命题②成立
7．（5 分）（2015•浙江）存在函数f（x）满足，对任意x∈R 都有（ ）
A．f（sin2x）=sinxB．f（sin2x）=x2+xC．f（x2+1）=|x+1|D．f（x2+2x）=|x+1|
8．（5 分）（2015•浙江）如图，已知△ABC，D 是AB 的中点，沿直线CD 将△ACD 折成
△A′CD，所成二面角A′
CD
B
﹣
﹣
的平面角为α，则（ ）
A．A′DB≤α
∠
B．A′DB≥α
∠
C．A′CB≤α
∠
D．A′CB≥α
∠
二、填空题：本大题共7 小题，多空题每题6 分，单空题每题4 分，共36 分．
9．（6 分）（2015•浙江）双曲线
=1 的焦距是 ，渐近线方程是
．
10．（6 分）（2015•浙江）已知函数f（x）=
，则f（f（﹣3））=
，f（x）的最小值是 ．
11．（6 分）（2015•浙江）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1 的最小正周期是 ，单调递
减区间是 ．
12．（4 分）（2015•浙江）若a=log43，则2a+2
a
﹣= ．
13．（4 分）（2015•浙江）如图，三棱锥A
BCD
﹣
中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N
分别是AD，BC 的中点，则异面直线AN，CM 所成的角的余弦值是 ．
第2页（共15页）
14．（4 分）（2015•浙江）若实数x，y 满足x2+y2≤1，则|2x+y
2|+|6
x
3y|
﹣
﹣﹣
的最小值是
．
15．（6 分）（2015•浙江）已知
是空间单位向量，
，若空间向量满足
，且对于任意x，y∈R，
，则x0=
，y0= ，
|= ．
三、解答题：本大题共5 小题，共74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．
（14 分）
（2015•浙江）在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知A=
，b2﹣
a2= c2．
（1）求tanC 的值；
（2）若△ABC 的面积为3，求b 的值．
17．（15 分）（2015•浙江）如图，在三棱柱ABC
A
﹣
1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，
A1在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 是B1C1的中点．
（1）证明：A1D⊥平面A1BC；
（2）求二面角A1
BD
B
﹣
﹣
1的平面角的余弦值．
18．（15 分）（2015•浙江）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[
1
﹣，
1]上的最大值．
（1）证明：当|a|≥2 时，M（a，b）≥2；
（2）当a，b 满足M（a，b）≤2 时，求|a|+|b|的最大值．
第3页（共15页）
19．（15 分）（2015•浙江）已知椭圆
上两个不同的点A，B 关于直线y=mx+ 对称．
（1）求实数m 的取值范围；
（2）求△AOB 面积的最大值（O 为坐标原点）．
20．（15 分）（2015•浙江）已知数列{an}满足a1= 且an+1=an
a
﹣n
2（n∈N*）
（1）证明：1≤
≤2（n∈N*）；
（2）设数列{an
2}的前n 项和为Sn，证明
（n∈N*）．
第4页（共15页）
2015 年浙江省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分2015 年普通高等学校招生全国统一考试
（浙江卷）数学（理科）
1．（5 分）
考点：
交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有
专题：
集合．
分析：
求出P 中不等式的解集确定出P，求出P 补集与Q 的交集即可．
解答：
解：由P 中不等式变形得：x（x
2
﹣）≥0，
解得：x≤0 或x≥2，即P=（﹣∞，0] [2
∪
，+∞），
∴∁RP=（0，2），
Q=
∵
（1，2]，
∴（∁RP）∩Q=（1，2），
故选：C．
点评：
此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（5 分）
考点：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
专题：空间位置关系与距离．
分析：判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可．
解答：解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2 的正方体，上部是底面为边长2 的正方形奥为2 的
正四棱锥，
所求几何体的体积为：23+ ×2×2×2=
．
故选：C．
点评：本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力．
3．（5 分）
考点：等差数列与等比数列的综合．菁优网版权所有
专题：等差数列与等比数列．
分析：由a3，a4，a8成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断a1d 和dS4的符号．
解答：解：设等差数列{an}的首项为a1，则a3=a1+2d，a4=a1+3d，a8=a1+7d，
由a3，a4，a8成等比数列，得
，整理得：
．
d≠0
∵
，∴
，
∴
，
第5页（共15页）
=
＜0．
故选：B．
点评：本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n 项和，是基础题．
4．（5 分）
考点：命题的否定．菁优网版权所有
专题：简易逻辑．
分析：根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．
解答：解：命题为全称命题，
则命题的否定为：∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0，
故选：D．
点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
5．（5 分）
考点：直线与圆锥曲线的关系．菁优网版权所有
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转化为
的关系进行求解即可．
解答：解：如图所示，抛物线的准线DE 的方程为x=
1
﹣，
过A，B 分别作AE DE
⊥
于E，交y 轴于N，BD DE
⊥
于E，交y 轴于M，
由抛物线的定义知BF=BD，AF=AE，
则|BM|=|BD|
1=|BF|
1
﹣
﹣，
|AN|=|AE|
1=|AF|
1
﹣
﹣，
则
=
=
=
，
故选：A
点评：本题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键．
6．（5 分）
考点：复合命题的真假．菁优网版权所有
专题：集合；简易逻辑．
分析：命题①根据充要条件分充分性和必要性判断即可，
③借助新定义，根据集合的运算，判断即可．
解答：解：命题①：对任意有限集A，B，若“A≠B”，则A B≠A∩B
∪
，则card（A B
∪）＞card（A∩B），故“d
第6页（共15页）
（A，B）＞0”成立，
若d（A，B）＞0”，则card（A B
∪）＞card（A∩B），则A B≠A∩B
∪
，故A≠B 成立，故命题①成立，
命题②，d（A，B）=card（A B
∪）﹣card（A∩B），d（B，C）=card（B C
∪）﹣card（B∩C），
d
∴（A，B）+d（B，C）=card（A B
∪）﹣card（A∩B）+card（B C
∪）﹣card（B∩C）=[card（A B
∪）+card
（B C
∪）]
[card
﹣
（A∩B）+card（B∩C）]
≥card（A C
∪）﹣card（A∩C）=d（A，C），故命题②成立，
故选：A
点评：本题考查了，元素和集合的关系，以及逻辑关系，分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的
关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数
不能判断集合间的关系，属于基础题．
7．（5 分）
考点：函数解析式的求解及常用方法．菁优网版权所有
专题：函数的性质及应用．
分析：利用x 取特殊值，通过函数的定义判断正误即可．
解答：解：A．取x=0，则sin2x=0，∴f（0）=0；
取x=
，则sin2x=0，∴f（0）=1；
f
∴（0）=0，和1，不符合函数的定义；
∴不存在函数f（x），对任意x∈R 都有f（sin2x）=sinx；
B．取x=0，则f（0）=0；
取x=π，则f（0）=π2+π；
f
∴（0）有两个值，不符合函数的定义；
∴该选项错误；
C．取x=1，则f（2）=2，取x=
1
﹣，则f（2）=0；
这样f（2）有两个值，不符合函数的定义；
∴该选项错误；
D．令|x+1|=t，t≥0，则f（t2
1
﹣）=t；
令t2
1=x
﹣
，则t=
；
∴
；
即存在函数f（x）=
，对任意x∈R，都有f（x2+2x）=|x+1|；
∴该选项正确．
故选：D．
点评：本题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解决问题的方法比较难．
8．（5 分）
考点：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
专题：创新题型；空间角．
分析：解：画出图形，分AC=BC，AC≠BC 两种情况讨论即可．
解答：解：①当AC=BC 时，∠A′DB=α；
②当AC≠BC 时，如图，点A′投影在AE 上，
α= A′OE
∠
，连结AA′，
易得∠ADA′＜∠AOA′，
A′DB
∴∠
＞∠A′OE，即∠A′DB＞α
综上所述，∠A′DB≥α，
故选：B．
第7页（共15页）
点评：本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题．
二、填空题：本大题共7 小题，多空题每题6 分，单空题每题4 分，共36 分．
9．（6 分）
考点：双曲线的简单性质．菁优网版权所有
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程．
解答：
解：双曲线
=1 中，a=
，b=1，c=
，
∴焦距是2c=2
，渐近线方程是y=±
x．
故答案为：2
；y=±
x．
点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．
10．（6 分）
考点：函数的值．菁优网版权所有
专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：根据已知函数可先求f（﹣3）=1，然后代入可求f（f（﹣3））；由于x≥1 时，f（x）=
，当
x＜1 时，f（x）=lg（x2+1），分别求出每段函数的取值范围，即可求解
解答：
解：∵f（x）=
，
f
∴（﹣3）=lg10=1，
则f（f（﹣3））=f（1）=0，
当x≥1 时，f（x）=
，即最小值
，
当x＜1 时，x2+1≥1，（x）=lg（x2+1）≥0 最小值0，
故f（x）的最小值是
．
故答案为：0；
．
点评：本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题．
第8页（共15页）
11．（6 分）
考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．菁优网版权所有
专题：三角函数的求值．
分析：由三角函数公式化简可得f（x）=
sin（2x﹣
）+ ，易得最小正周期，解不等式2kπ+
≤2x﹣
≤2kπ+
可得函数的单调递减区间．
解答：解：化简可得f（x）=sin2x+sinxcosx+1
= （1
cos2x
﹣
）+ sin2x+1
=
sin（2x﹣
）+ ，
∴原函数的最小正周期为T=
=π，
由2kπ+
≤2x﹣
≤2kπ+
可得kπ+
≤x≤kπ+
，
∴函数的单调递减区间为[kπ+
，kπ+
]（k∈Z）
故答案为：π；[kπ+
，kπ+
]（k∈Z）
点评：本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题．
12．（4 分）
考点：对数的运算性质．菁优网版权所有
专题：函数的性质及应用．
分析：直接把a 代入2a+2
a
﹣，然后利用对数的运算性质得答案．
解答：解：∵a=log43，可知4a=3，
即2a=
，
所以2a+2
a
﹣=
+
=
．
故答案为：
．
点评：本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．
13．（4 分）
考点：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有
专题：空间角．
分析：连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME 说明异面直线AN，CM 所成的角就是∠EMC 通过解
三角形，求解即可．
解答：解：连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME，则ME AN
∥
，异面直线AN，CM 所成的角就是
∠EMC，
AN=2
∵
，
ME=
∴
=EN，MC=2
，
又∵EN NC
⊥
，∴EC=
=
，
cos EMC=
∴
∠
=
= ．
故答案为：．
第9页（共15页）
点评：本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
14．（4 分）
考
点：
函数的最值及其几何意义．菁优网版权所有
专
题：
不等式的解法及应用；直线与圆．
分
析：
根据所给x，y 的范围，可得|6
x
3y|=6
x
3y
﹣﹣
﹣﹣
，再讨论直线2x+y
2=0
﹣
将圆x2+y2=1 分成两部
分，分别去绝对值，运用线性规划的知识，平移即可得到最小值．
解
答：
解：由x2+y2≤1，可得6
x
3y
﹣﹣
＞0，即|6
x
3y|=6
x
3y
﹣﹣
﹣﹣
，
如图直线2x+y
2=0
﹣
将圆x2+y2=1 分成两部分，
在直线的上方（含直线），即有2x+y
2≥0
﹣
，即|2+y
2|=2x+y
2
﹣
﹣，
此时|2x+y
2|+|6
x
3y|=
﹣
﹣﹣
（2x+y
2
﹣）+（6
x
3y
﹣﹣
）=x
2y+4
﹣
，
利用线性规划可得在A（，）处取得最小值3；
在直线的下方（含直线），即有2x+y
2≤0
﹣
，
即|2+y
2|=
﹣
﹣（2x+y
2
﹣），
此时|2x+y
2|+|6
x
3y|=
﹣
﹣﹣
﹣（2x+y
2
﹣）+（6
x
3y
﹣﹣
）=8
3x
4y
﹣
﹣
，
利用线性规划可得在A（，）处取得最小值3．
综上可得，当x= ，y= 时，|2x+y
2|+|6
x
3y|
﹣
﹣﹣
的最小值为3．
故答案为：3．
点
评：
本题考查直线和圆的位置关系，主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法，属于中档题．
15．（6 分）
考点：空间向量的数量积运算；平面向量数量积的运算．菁优网版权所有
专题：创新题型；空间向量及应用．
分析：由题意和数量积的运算可得＜
•
＞=
，不妨设
=（，
，0），
=（1，0，0），由已知可
解=（，
，t），可得| ﹣（
|2=（x+
）2+ （y
2
﹣）2+t2，由题意可得当x=x0=1，
第10页（共15页）
y=y0=2 时，（x+
）2+ （y
2
﹣）2+t2取最小值1，由模长公式可得
|．
解答：解：∵
•
=|
||
|cos＜
•
＞=cos＜
•
＞= ，
∴＜
•
＞=
，不妨设
=（，
，0），
=（1，0，0），=（m，n，t），
则由题意可知
= m+
n=2，
=m= ，解得m= ，n=
，∴=（，
，t），
∵﹣（
）=（﹣x
y
﹣，
，t），
|
∴
﹣（
|2=（﹣x
y
﹣）2+（
）2+t2
=x2+xy+y2
4x
5y+t
﹣
﹣
2+7=（x+
）2+ （y
2
﹣）2+t2，
由题意当x=x0=1，y=y0=2 时，（x+
）2+ （y
2
﹣）2+t2取最小值1，
此时t2=1，故
|=
=2
故答案为：1；2；2
点评：本题考查空间向量的数量积，涉及向量的模长公式，属中档题．
三、解答题：本大题共5 小题，共74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（14 分）
考点：余弦定理．菁优网版权所有
专题：解三角形．
分析：（1）由余弦定理可得：
，已知b2
a
﹣2= c2．可得
，a=
．利用
余弦定理可得cosC．可得sinC=
，即可得出tanC=
．
（2）由
=
×
=3，可得c，即可得出b．
解答：解：（1）∵A=
，∴由余弦定理可得：
，∴b2
a
﹣2=
bc
c
﹣2，
又b2
a
﹣2= c2．∴
bc
c
﹣2= c2．∴
b= c．可得
，
a
∴2=b2﹣
=
，即a=
．
cosC=
∴
=
=
．
C
∵∈（0，π），
sinC=
∴
=
．
tanC=
∴
=2．
（2）∵
=
×
=3，
解得c=2
．
第11页（共15页）
∴
=3．
点评：本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与
计算能力，属于中档题．
17．（15 分）
考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．菁优网版权所有
专题：空间位置关系与距离；空间角．
分析：（1）以BC 中点O 为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z 轴建系，通过
•
=
•
=0 及线面垂直的判定定理即得结论；
（2）所求值即为平面A1BD 的法向量与平面B1BD 的法向量的夹角的余弦值的绝对值
的相反数，计算即可．
解答：（1）证明：如图，以BC 中点O 为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z 轴
建系．
则BC=
AC=2
，A1O=
=
，
易知A1（0，0，
），B（
，0，0），C（﹣
，0，0），
A（0，
，0），D（0，﹣
，
），B1（
，﹣
，
），
=（0，﹣
，0），
=（﹣
，﹣
，
），
=（﹣
，0，0），
=（﹣2
，0，0），
=（0，0，
），
∵
•
=0，∴A1D OA
⊥
1，
又∵
•
=0，∴A1D BC
⊥
，
又∵OA1∩BC=O，∴A1D⊥平面A1BC；
（2）解：设平面A1BD 的法向量为=（x，y，z），
由
，得
，
取z=1，得=（
，0，1），
设平面B1BD 的法向量为=（x，y，z），
由
，得
，
取z=1，得=（0，
，1），
cos
∴
＜，＞=
=
= ，
又∵该二面角为钝角，
∴二面角A1
BD
B
﹣
﹣
1的平面角的余弦值为﹣．
点评：本题考查空间中线面垂直的判定定理，考查求二面角的三角函数值，注意解题方法的
积累，属于中档题．
第12页（共15页）
18．（15 分）
考点：
二次函数在闭区间上的最值．菁优网版权所有
专题：
函数的性质及应用．
分析：
（1）明确二次函数的对称轴，区间的端点值，由a
的范围明确函数的单调性，结合已知以及三角不
等式变形所求得到证明；
（2）讨论a=b=0 以及分析M（a，b）≤2 得到﹣
3≤a+b≤1 且﹣3≤b
a≤1
﹣
，进一步求出|a|+|b|的求
值．
解答：
解：（1）由已知可得f（1）=1+a+b，f（﹣1）=1﹣
a+b，对称轴为x=﹣，
因为|a|≥2，所以
或
≥1，
所以函数f（x）在[
1
﹣，1]上单调，
所以M（a，b）=max{|f（1），|f（﹣1）|}=max{|
1+a+b|，|1
a+b|}
﹣
，
所以M（a，b）≥（|1+a+b|+|1
a+b|
﹣
）≥|
（1+a+b）﹣（1
a+b
﹣
）|≥|2a|≥2；
（2）当a=b=0 时，|a|+|b|=0 又|a|+|b|≥0，所以0 为最
小值，符合题意；
又对任意x∈[
1
﹣，1]．有﹣2≤x2+ax+b≤2 得到﹣
3≤a+b≤1 且﹣3≤b
a≤1
﹣
，易知|a|+|b|=max{|a
b|
﹣，|
a+b|}=3，在b=
1
﹣，a=2 时符合题意，
所以|a|+|b|的最大值为3．
点评：
本题考查了二次函数闭区间上的最值求法；解答
本题的关键是正确理解M（a，b）是|f（x）|在区间
[
1
﹣，1]上的最大值，以及利用三角不等式变形．
19．（15 分）
考点：直线与圆锥曲线的关系．菁优网版权所有
专题：创新题型；圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析：（1）由题意，可设直线AB 的方程为x=
my+n
﹣
，代入椭圆方程可得（m2+2）y2
2mny+n
﹣
2
2=0
﹣
，
设A（x1，y1），B（x2，y2）．可得△＞0，设线段AB 的中点P（x0，y0），利用中点坐标公式及其根与
系数的可得P，代入直线y=mx+ ，可得
，代入△＞0，即可解出．
（2）直线AB 与x 轴交点横坐标为n，可得S
OAB
△
=
，再利用均值不等式即可得
出．
解答：
解：（1）由题意，可设直线AB 的方程为x=
my+n
﹣
，代入椭圆方程
，可得（m2+2）y2﹣
2mny+n2
2=0
﹣
，
设A（x1，y1），B（x2，y2）．由题意，△=4m2n2
4
﹣（m2+2）（n2
2
﹣）=8（m2
n
﹣2+2）＞0，
设线段AB 的中点P（x0，y0），则
．x0=
m×
﹣
+n=
，
第13页（共15页）
由于点P 在直线y=mx+ 上，∴
=
+ ，
∴
，代入△＞0，可得3m4+4m2
4
﹣＞0，
解得m2
，∴
或m
．
（2）直线AB 与x 轴交点纵坐标为n，
S
∴
OAB
△
=
= |n|•
=
，
由均值不等式可得：n2（m2
n
﹣2+2）
=
，
S
∴
AOB
△
=
，当且仅当n2=m2
n
﹣2+2，即2n2=m2+2，又∵
，解得m=
，
当且仅当m=
时，S
AOB
△
取得最大值为
．
点评：本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数
的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的
性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
20．（15 分）
考点：数列的求和；数列与不等式的综合．菁优网版权所有
专题：创新题型；点列、递归数列与数学归纳法．
分析：
（1）通过题意易得0＜an≤（n∈N*），利用an
a
﹣n+1=
可得
≥1，利用
=
=
≤2，即得结论；
（2）通过
=an
a
﹣n+1累加得Sn=
a
﹣n+1，利用数学归纳法可证明
≥an≥
（n≥2），从而
≥
≥
，化简即得结论．
解答：证明：（1）由题意可知：0＜an≤（n∈N*），
又∵a2=a1﹣
=
，∴
= =2，
又∵an
a
﹣n+1=
，∴an＞an+1，∴
≥1，
∴
=
=
≤2，
1≤
∴
≤2（n∈N*）；
（2）由已知，
=an
a
﹣n+1，
=an
1
﹣
a
﹣n，…，
=a1
a
﹣2，
第14页（共15页）
累加，得Sn=
+
+…+
=a1
a
﹣n+1=
a
﹣n+1，
易知当n=1 时，要证式子显然成立；
当n≥2 时，
=
．
下面证明：
≥an≥
（n≥2）．
易知当n=2 时成立，假设当n=k 时也成立，则ak+1=﹣
+ ，
由二次函数单调性知：an+1≥﹣
+ =
≥
，
an+1≤﹣
+ =
≤
，
∴
≤
≤
，即当n=k+1 时仍然成立，
故对n≥2，均有
≥an≥
，
∴
=
≥
≥
=
，
即
（n∈N*）．
点评：本题是一道数列与不等式的综合题，考查数学归纳法，对表达式的灵活变形是解决本题的关
键，注意解题方法的积累，属于难题．
第15页（共15页）
