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2015 年普通高等学校招生全国统一考试
山东卷文科数学试题
第Ⅰ卷（共50 分）
一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合要求的．
1. 已知集合
，则
( )
（A）
（B）
（C）
（D）
2. 若复数Z 满足
，其中为虚数单位，则Z=( )
（A）
（B）
（C）
（D）
3. 设
则
的大小关系是( )
（A）
（B）
（C）
（
D）
[来源:学|科|网]
4. 要得到函数
的图象，只需要将函数
的图象（ ）
（A）向左平移
个单位 （B）向右
平移
个单位
（C）向左平移
个单位 （D）向右平移
个单位
5. 设
,命题“若
,则方程
有实根”的逆否命题是( )
（A）若方程
有实根，则
2
(B) 若方程
有实根，则
(C) 若方程
没有实
根，则
(D) 若方程
没有实根，则
6. 为比较甲、乙两地某月1
4
时的气温状况，随机选取该月中的5 天，将这5 天中14 时的气温数据（单位：℃）制成如图所
示的茎叶图.考虑以下结
论：
①甲地该月14 时的平均气温低于乙地该月14 时的平均气温；
②甲地该月14 时的平均气温高于乙地该月14 时的平均气温；
③甲地该月14 时的平均气温的标准差小于乙地该月14 时的气温的标准差；
④甲地该月14 时的平均气温的标准差大于乙地该月14 时的气温的标准差.
其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为( )
（A）①③ (B) ①④ (C) ②③ (D) ②④
7. 在区间
上随机地取一个数
,则事件“
”发生的概率为(
)
（A）
（B）
（C）
（D）
8. 若函数
是奇函数，则使
成立的
的取值范围为( )
（A）( 错误: 引用源未找到) (B)(错误: 引用源未找到) （C）
（D）
3
9. 已知等腰直角三角形的直角边的长为，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形
成的曲面所
围成的几何体的
体积为( )
（A）
（B）
（C）
（D）
10.设函数
，若
，则
( )
（A） （B）
（C）
(D)
第Ⅱ卷（共100 分）
二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共25 分．
11. 执行右边的程序框图，若输入的
的值为，则输出的
的值
是
.
12. 若
满足约束条件
则
的最大值为
.
13. 过点
作圆错误: 引用源未找到的两条切线，切点分别为
，则错误: 引用源
未找到=
.
14. 定义运算“
”：
（
）.当
时，
的最小值是
.
4
15. 过双曲线
的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交
于点
.若点
的横
坐标为
,则
的离心率为
.
三、解答题：本大题共6 小题，共75 分．
16. （本小题满分12 分）[来源:Z*xx*k.Com]
某中学调查了某班全部
名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）
[来源:学|科|网]
参加书法社团
未参加书法社团
参加演讲社团
未参加演讲社团
（1）从该班随机选名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；
（2）在既参加书法社团又参加演讲
社团的
名同学中，有5 名男
同学
名女同学
现从这
名男同学和
名女同学中各随
机选人，求
被选中且
未被选中的概率.
17. (本小题满分12 分)
中，角
所对的边分别为
.已知
5
求
和
的值.
18. 如图，三棱台
中，
分别为
的中点.
（I）求证：
平面
；
（II
）若
求证：平面
平面
.
19. （本小题满分12 分）
6
已知数列
是首项为正数的等差数列，数列
的前
项和为
.
（I）求数列
的通项公式；
（II）设
，求数列
的前
项和
.
20. (本小题满分13 分)
设函数错误: 引用源未找到. 已知曲线错误: 引用源未找到 在点
处的切线与直线
错误: 引用源未找到平行.
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）是否存在自然数
，使得方程错误: 引用源未找到在
内存在唯一的根？
如果存在，求出
；如果不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设函数错误: 引用源未找到（
表示，
中的较小值），求
的最大值.
21. (本小题满分14 分)[来源:学科网ZXXK]
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平面直角坐标系
中，已知椭圆
：
的离心率为
，且点（
，
）在椭圆
上.
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）设椭圆
：
，
为椭圆
上任意一点，过点
的直线
交椭
圆
于
两点，射线
交椭圆
于点
.
（i）求
的值；
(ii)求
面积的最大值.
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2015 年普通高等学校招生全国统一考试
山东卷文科数学试题答案
一、选择题：
CACBD BACBD
二、填空题：
（11）
；（12）
；（13）
；（14）
；（15）
；
三、解答题：
（16）参考答案：
（1）由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有
人，故至少参加上述一个
社团的共有
人，所以从该班级随机选名同学，该同学至少参加上述一个社团的
概率为
(2)从这
名男同学和
名女同学中各随机选人，其一切可能的结果组成的基本事件有：
，共
个. 学科网
根据题意，这些基本事件的出现是等可能的.
事件“
被选中且
未被选中”所包含的基本事件有：
，共
个.
因此
被选中且
未被选中的概率为
.
（17）参考答案：
在
中，由
，得
.
因为
，所以
，
9
因为
，所以
，
为锐角，
，
因此
.
由
可得
，又
，所以
.
（18）参考答案：
（I）证法一：连接
设
,连接
，在三棱台
中，
分别为
的中点，可得
，所以四边形
是平行
四边形，则
为
的中点，又
是
的中点，所以
,
又
平面
，
平面
，所以
平面
.
证法二：在三棱台
中，由
为
的中点，
可得
所以
为平行四边形，可得
在
中，
分别为
的中点，
所以
又
，
所以平面
平面
，
因为
平面
，
所以
平面
.
(II)证明：连接
.因为
分别为
的中点，所以
由
得
，又
为
的中点，所以
因此四边形
是平行四
边形，所以
又
，所以
.
10
又
平面
，
，所以
平面
，
又
平面
，所以平面
平面
（19）参考答案：
（I）设数列
的公差为
，
令
得
，所以
.
令
得
，所以
.
解得
，所以
（II）由（I）知
所以
所以
两式相减，得
所以
（20）参考答案：
（I）由题意知，曲线
在点
处的切线斜率为
，所以
，
又
所以
.
（
II）
时，方程
在
内存在唯一的根.
11
设
当
时，
.
又
所以存在
，使
.
因为
所以当
时，
，当
时，
，
所以当
时，
单调递增.
所以
时，方程
在
内存在唯一的根.
（III）由（II）知，方程
在
内存在唯一的根
，且
时，
，
时，
，所以
.
当
时，若
若
由
可知
故
当
时，由
可得
时，
单调递增；
时，
单调递减；[来源:学科网]
可知
且
.
综上可得函数
的最大值为
.
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（16）参考答案：
（I）由题意知
又
，解得
，
所以椭圆
的方程为
（II）由（I）知椭圆
的方程为
.
（i）设
由题意知
.
因为
又
，即
所以
，即
（ii）设
将
代入椭圆
的方程，可得
，由
可得
………………①
则有
所以
因为直线
与
轴交点的坐标为
，所以
的面积
EMBED
Equation.DSMT4
2
2
2
2
2 (4
)
.
1
4
1
4
m
m
k
k
13
设
将直线
代入椭圆
的方程，可得
，由
可得
………………②
由①②可知
故
.
当且仅当
，即
时取得最大值
由（i）知，
的面积为
，所以
面积的最大值为
