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2017 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1．
（5 分）已知集合A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|y=x}，则A∩B 中元素的个数为
（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0
2．（5 分）设复数z 满足（1+i）z=2i，则|z|=（ ）
A．
B．
C．
D．2
3．（5 分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了
2014 年1 月至2016 年12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下
面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是（ ）
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8 月
D．各年1 月至6 月的月接待游客量相对于7 月至12 月，波动性更小，变化比
较平稳
4．（5 分）（x+y）（2x
y
﹣）5的展开式中的x3y3系数为 （ ）
A．﹣80
B．﹣40
C．40
D．80
5．
（5 分）已知双曲线C：
﹣
=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=
x，且
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与椭圆
+
=1 有公共焦点，则C 的方程为（ ）
A．
﹣
=1
B．
﹣
=1
C．
﹣
=1
D．
﹣
=1
6．（5 分）设函数f（x）=cos（x+
），则下列结论错误的是（ ）
A．f（x）的一个周期为﹣2π
B．y=f（x）的图象关于直线x=
对称
C．f（x+π）的一个零点为x=
D．f（x）在（
，π）单调递减
7．（5 分）执行如图的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最
小值为（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
8．（5 分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2 的同一个球的球面
上，则该圆柱的体积为（ ）
A．π
B．
C．
D．
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9．（5 分）等差数列{an}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前
6 项的和为（ ）
A．﹣24
B．﹣3
C．3
D．8
10．（5 分）已知椭圆C：
=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段
A1A2为直径的圆与直线bx
ay
﹣
+2ab=0 相切，则C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（5 分）已知函数f（x）=x2
2x
﹣
+a（ex
1
﹣+e
x
﹣+1）有唯一零点，则a=（ ）
A．﹣
B．
C．
D．1
12．
（5 分）在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆
上．若
=λ
+μ
，则λ+μ 的最大值为（ ）
A．3
B．2
C．
D．2
二、填空题:本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．（5 分）若x，y 满足约束条件
，则z=3x
4y
﹣
的最小值为 ．
14．（5 分）设等比数列{an}满足a1+a2=
1
﹣，a1
a
﹣
3=
3
﹣，则a4= ．
15．（5 分）设函数f（x）=
，则满足f（x）+f（x﹣
）＞1 的x 的取值范围
是 ．
16．（5 分）a，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC
所在直线与a，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角；
②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角；
③直线AB 与a 所成角的最小值为45°；
④直线AB 与a 所成角的最小值为60°；
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其中正确的是 ．（填写所有正确结论的编号）
三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21 题为
必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：60 分。
17．（12 分）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知sinA+
cosA=0，a=2
，b=2．
（1）求c；
（2）设D 为BC 边上一点，且AD⊥AC，求△ABD 的面积．
18．（12 分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4 元，
售价每瓶6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2 元的价格当天全部处理完．
根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气
温不低于25，需求量为500 瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300
瓶；如果最高气温低于20，需求量为200 瓶．为了确定六月份的订购计划，统计
了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天
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的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？
19．（12 分）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，
∠ABD=∠CBD，AB=BD．
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）过AC 的平面交BD 于点E，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部
分，求二面角D
AE
C
﹣
﹣的余弦值．
20．（12 分）已知抛物线C：y2=2x，过点（2，0）的直线l 交C 于A，B 两点，圆M 是以
线段AB 为直径的圆．
（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；
（2）设圆M 过点P（4，﹣2），求直线l 与圆M 的方程．
21．（12 分）已知函数f（x）=x
1
alnx
﹣﹣
．
（1）若f（x）≥0，求a 的值；
（2）设m 为整数，且对于任意正整数n，（1+
）（1+
）…（1+
）＜m，求m 的最
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小值．
（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所
做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10 分）在直角坐标系xOy 中，直线l1的参数方程为
，（t 为参数），直线
l2的参数方程为
，（m 为参数）．设l1与l2的交点为P，当k 变化时，P 的
轨迹为曲线C．
（1）写出C 的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（cosθ+sinθ）﹣
=0，M 为l3与C 的交点，求M 的极径．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x
2
﹣|．
（1）求不等式f（x）≥1 的解集；
（2）若不等式f（x）≥x2
x
﹣+m 的解集非空，求m 的取值范围．
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