文档文本内容
绝密★启用前
2017 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷
（满分150 分，考试时间120 分钟）
1、考生注意
2、1.本场考试时间120 分钟，试卷共4 页，满分150 分，答题纸共2 页.
3、2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答
题纸指定位置.
4、3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作
答一律不得分.
5、4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一. 填空题（本大题共12 题，满分54 分，第1~6 题每题4 分，第7~12 题每题5 分）
1. 已知集合
，集合
，则
2. 若排列数
，则
3. 不等式
的解集为
4. 已知球的体积为
，则该球主视图的面积等于
5. 已知复数
满足
，则
6. 设双曲线
的焦点为
、
，
为该
双曲线上的一点，若
，则
7. 如图，以长方体
的顶点
为坐标原点，过
的三条棱所在的直线为坐
标轴，建立空间直角坐标系，若
的坐标为
，则
的坐标为
8. 定义在
上的函数
的反函数为
，若
为
奇函数，则
的解为
9. 已知四个函数：①
；②
；③
；④
. 从中任选2 个，则事
件“所选2 个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为
10. 已知数列
和
，其中
，
，
的项是互不相等的正整数，若对于
任意
，
的第
项等于
的第
项，则
11. 设
、
，且
，则
的最小值等于
12. 如图，用35 个单位正方形拼成一个矩形，点
、
、
、
以及四个标记为“”的
点在正方形的顶点处，设集合
，点
，过
作直线
，使得不在
上的“”的点
分布在
的两侧. 用
和
分别表示
一侧
和另一侧的“”的点到
的距离之和. 若过
的直
线
中有且只有一条满足
，则
中
所有这样的
为
二. 选择题（本大题共4 题，每题5 分，共20 分）
13. 关于
、
的二元一次方程组
的系数行列式
为（ ）
A.
B.
C.
D.
14. 在数列
中，
，
，则
（ ）
A. 等于
B. 等于0 C. 等于
D. 不存在
15. 已知
、、为实常数，数列
的通项
，
，则“存在
，
使得
、
、
成等差数列”的一个必要条件是（ ）
A.
B.
C.
D.
16. 在平面直角坐标系
中，已知椭圆
和
.
为
上的动
点，
为
上的动点，
是
的最大值. 记
在
上，
在
上，且
，则
中元素个数为（ ）
A. 2 个 B. 4 个 C. 8 个 D. 无穷个
三. 解答题（本大题共5 题，共14+14+14+16+18=76 分）
17. 如图，直三棱柱
的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4 和
2，侧棱
的长为5.
（1）求三棱柱
的体积；
（2）设M 是BC 中点，求直线
与平面
所成角的大小.
18. 已知函数
，
.
（1）求
的单调递增区间；
（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边
，角B 所对边
，若
，求△ABC
的面积.
19. 根据预测，某地第
个月共享单车的投放量和损失量分别为
和（单位：辆）
其中
，
，第
个月底的共享单车的保有量是前
个月的
累计投放量与累计损失量的差.
（1）求该地区第4 个月底的共享单车的保有量；
（2）已知该地共享单车停放点第
个月底的单车容纳量
（单位：辆）.
设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？
20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆
，
为
的上顶点，
为
上异于
上、下顶点的动点，
为x 正半轴上的动点.
（1）若
在第一象限，且
，求
的坐标；
（2）设
，若以A、P、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标；
（3）若
，直线AQ 与
交于另一点C，且
，
，
求直线
的方程.
21. 设定义在
上的函数
满足：对于任意的
、
，当
时，都有
.
（1）若
，求
的取值范围；
（2）若
为周期函数，证明：
是常值函数；
（3）设
恒大于零，
是定义在
上、恒大于零的周期函数，
是
的最大值.
函数
. 证明：“
是周期函数”的充要条件是“
是常值函数”.
2017 年普通高等学校招生全国统一考试上海--数学试卷
考生注意
1.本场考试时间120 分钟，试卷共4 页，满分150 分，答题纸共2 页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸
指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一
律不得分.
4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一、填空题（本大题共有12 题，满分54 分，第1-6 题每题4 分，第7-
12 题每题5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1.已知集合
,则
.
【解析】本题考查集合的运算，交集，属于基础题
【答案】
2.若排列数
,则
.
【解析】本题考查排列的计算，属于基础题
【答案】3
3.不等式
的解集为.
【解析】本题考查分式不等式的解法，属于基础题
【答案】
4.已知球的体积为
，则该球主视图的面积等于.
【解析】本题考查球的体积公式和三视图的概念，
,
所以
，属于基础题
【答案】
5.已知复数
满足
，则
.
【解析】本题考查复数的四则运算和复数的模，
设
，
则
,
，属于基础题
【答案】
6.设双曲线
的焦点为
,
为该双曲线上的一点.若
,则
.
【解析】本题考查双曲线的定义和性质，
（舍），
【答案】11
7.如图，以长方体
的顶点
为坐标原点，过
的三条棱所在的直线为坐
标轴，建立空间直角坐标系.若
的坐标为
,则
的坐标是.
【解析】本题考查空间向量，可得
,属于基础题
【答案】
8.定义在
上的函数
的反函数
.若
为奇函数，
则
的解为.
【解析】本题考查函数基本性质和互为反函数的两个函数之间的关系，属于中档题
,所以
,
当
时，
,所以
【答案】
9.已知四个函数：①
；②
；③
；④
.从中任选2 个，则事件“所选
2 个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为.
【解析】本题考查事件的概率，幂函数的图像画法和特征，属于基础题
总的情况有：
种，符合题意的就两种：①和③，①和④
【答案】
10.已知数列
和
,其中
，
的项是互不相等的正整数.若对于任意
中的第
项等于
中的第
项，则
.
【解析】本题考查数列概念的理解，对数的运算，属于中档题
由题意可得：
，
所以
【答案】2
11.设
,且
，则
的最小值等于.
【解析】考查三角函数的性质和值域，
，
要使
，
则
,当
时成立
【答案】
12.如图，用35 个单位正方形拼成一个矩形，点
以及四个标记为“▲”的点在正
方形的顶点处.设集合
，点
.过
作直线
，使得不在
上的“▲”
的点分布在
的两侧.用
和
分别表示
一侧和另一侧的“▲”的点到
的距
离之和.若过
的直线
中有且只有一条满足
，则
中所有这样的
为.
【解析】本题考查有向距离，以左下角的顶点为原点建立直角坐标系。四个标记为“▲”的点
的坐标分别为
,设过
点的直线为：
,
此时有向距离
且由
则
过
的
直
线
满
足
;
此
时
,
直
线
为
：
：
所以此时满足题意的直线为：
则过
的直线满足
;此时有无数组解，例如：直线
，直线
等都满足
题意.
则过
的直线满足
;此时
，直线为：
,
所以此时满足题意的直线为：
.
则
过
的
直
线
满
足
;
此
时
,
直
线
为
：
：
所以此时满足题意的直线为：
【答案】
二、选择题（本大题共有4 题，满分20 分，每题5 分）每题有且只有一
个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格
涂黑.
13.关于
的二元一次方程组
的系数行列式
为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
14.在数列
，
则
（）.
A．等于
B．等于0C．等于
D．不存在
【答案】B
15．已知
为实常数，数列
的通项
，则“存在
,
使得
成等差数列”的一个必要条件是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
16．在平面直角坐标系
中，已知椭圆
和
.
为
上的
动点，为
上的动点，是
的最大值.记
在
上，在
上，且
，则
中（）
A．元素个数为2
B．元素个数为4 C．元素个数为8 D．含有无穷个元素
【答案】D
17．（本题满分14 分，第1 小题满分6 分，第2 小题满分8 分）
如图，直三棱柱
的底面为直角三角形，两直角边
和
的长分别为4 和
三、解答题（本大题共有5 题，满分76 分）解答下列各题必须在答题纸
的相应位置写出必要的步骤.
2，侧棱
的长为5.
（1）求三棱柱
的体积；
（2）设
是
中点，求直线
与平面
所成角的大小。
【答案】（1）
（2）
18．（本题满分14 分，第1 小题满分6 分，第2 小题满分8 分）
已知函数
.
（1）求
的单调递增区间；
（2）设
为锐角三角形，角
所对的边
，角
所对的边
.若
，求
的面积.
【答案】（1）
（2）
19．（本题满分14 分，第1 小题满分6 分，第2 小题满分8 分）
根据预测，某地第
个月共享单车的投放量和损失量分别为
和
（单位：辆），
其中
.第
个月底的共享单车的保有量是前
个月的累
计投放量与累计损失量的差.
（1）求该地第4 个月底的共享单车的保有量；
（2）已知该地共享单车停放点第
个月底的单车容纳量
（单位：
辆）.设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳
量？
【答案】（1）935
（2）
，所以当
时
取最大值，为8782
此时
，所以当
取最大值时，停放点不
能容纳
20．（本题满分16 分，第1 小题满分4 分，第2 小题满分5 分，第3 小题满分7 分）
在平面直角坐标系
中，已知椭圆
，
为
的上顶点，
为
上异于上、
下顶点的动点.
为
正半轴上的动点.
（1）若
在第一象限，且
，求
的坐标；
（2）设
.若以
为顶点的三角形是直角三角形，求
的横坐标；
（3）若
,直线
与
交于另一点C，且
，
，求直线
的方程.
【答案】（1）
；
（2）
或
或
；
（3）
解析（3）∵点
是
上一动点，设
，
，
，
，
，且
。
记线段
中点为点
，则
∵
，
∴
，
∴
，
；
又
，∴
，∴
是
中点，∴
又∵C 是
上的一点，∴
∵
，∴
为等腰三角形，
为底边
中点，∴
∵
，
，
∴
（1）若
，则
，由
不在上顶点可知，
，
为下顶点，
，
∴
，无解；
（2）
，则
，∴
∴
∴
或（舍），∴
，∴
∴
，∴
，∴直线AQ 方程
21．（本题满分18 分，第1 小题满分4 分，第2 小题满分6 分，第3 小题满分8 分）
设定义在
上的函数
满足：对于任意的
，当
时，都有
.
（1）若
，求
的取值范围；
（2）若
是周期函数，求证：
是常值函数；
（3）若
恒大于零.
是定义在
上的、恒大于零的周期函数，
是
的最大值.
函数
，证明：“
是周期函数”的充要条件是“
是常值函数”.
【答案】（1）记
，若
，
则
，∵
，∴
，∴
（2）若
是周期函数，记其周期为
，任取
，则有
又由题意，对任意
,
，∴
又∵
，并且
所以对任意
，
，为常数，证毕。
（3）充分性：若
是常值函数，记
，设
的一个周期为
，则
，则对任意
，
，故
是周期函数成立。
必要性：若
是周期函数，记其一个周期为
。集合
任取
，则必存在
，使得
，即
，
∴
因为
，
，因此若
必有
，且
，而由第（2）问证明可知对
任意
，
，为常数。必要性证毕。
