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2015 年高考天津市理科数学真题
一、选择题
1 ．已知全集
，集合
，集合
，则集合
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．设变量
满足约束条件
则目标函数
的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
3．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．如图，在圆
中，
是弦
的三等分点，弦
，
分别经过点
，若
，
，
，则线段
的长为（ ）
A．
B．3
C．
D．
6．已知双曲线
（
）的一条渐近线过点（
），且双曲线的一个焦点在抛物线
的准线上，则双曲线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知定义在
上的函数
（
为实数）为偶函数，记
，
，
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知函数
函数
，其中
，若函数
恰
有
个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
9．是虚数单位，若复数
是纯虚数，则实数
的值为 ．
10．一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体
的体积为
．
11．曲线
与直线
所围成的封闭图形的面积为
．
12．在
的展开式中，
的系数为 ．
13 ．在
中，内角
所对的边分别为
. 已知
的面积为
，
，则
的值为 ．
14．在等腰梯形
中，已知
。动点
和
分别在线段
和
上，且
，则
的最小值为 ．
三、解答题
15．已知函数
，
．
（Ⅰ）求
的最小正周期；
（Ⅱ）求
在区间
内的最大值和最小值．
16．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加。现有来自甲协会的运动员
名，其中种子选手
名；乙协会的运动员
名，其中种子选手
名。从这
名运动员中随机选择
人
参加比赛。
（Ⅰ）设
为事件“选出的
人中恰有
名种子选手，且这
名种子选手来自同一个协会”，求事件
发生的概率；
（Ⅱ）设
为选出的
人中种子选手的人数，求随机变量
的分布列和数学期望．
17 ．如图，在四棱柱
中，侧棱
底面
，
，
，
，
，且点
和
分别为
和
的中点．
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的正弦值；
（Ⅲ）设
为棱
上的点。若直线
和平面
所成角的正弦值为
，求线段
的长。
18．已知数列
满足
（
为实数，且
），
，
，
，且
，
，
成等差数列。
（Ⅰ）求
的值和
的通项公式；
（Ⅱ）设
，
，求数列
的前
项和．
19．已知椭圆
的左焦点为
，离心率为
，点
在椭圆上且位于第一象
限，直线
被圆
截得的线段的长为
，
．
（Ⅰ）求直线
的斜率；
（Ⅱ）求椭圆的方程；
（Ⅲ）设动点
在椭圆上，若直线
的斜率大于
，求直线
（
为原点）的斜率的取值范围。
20．已知函数
其中
，且
.
（Ⅰ）讨论
的单调性；
（Ⅱ）设曲线
与
轴正半轴的交点为
，曲线在点
处的切线方程为
，
求证：对于任意的正实数
，都有
；
（Ⅲ）若关于
的方程
（
为实数）有两个正实数根
，求证：
．
2015 年高考天津市理科数学真题答案
一、选择题
1．答案：A
解析过程：
,所以
，选A
2．答案：C
解析过程：
不等式
所表示的平面区域如下图所示，
当
所表示直线经过点
时，
有最大值
，选C
3．答案：B
解析过程：
输入
；
不成立；
不成立
成立
输出
,选B
4．答案：A
解析过程：
，
所以“
”是“
”的充分不必要条件，选A
5．答案：A
解析过程：
由相交弦定理可知，
，
又因为
是弦
的三等分点，
所以
，
所以
，选A
6．答案：D
解析过程：
双曲线
（
）的渐近线方程为
，
由点
在渐近线上，所以
，
双曲线的一个焦点在抛物线
准线方程
上，
所以
，由此可解得
，
所以双曲线方程为
，选D
7．答案：C
解析过程：
因为函数
为偶函数，所以
，即
，
所以
所以
，选C
8．答案：D
解析过程：
由
得
，
所以
，
即
,
所以
恰有4 个零点等价于方程
有4 个不同的解，
即函数
与函数
的图象的4 个公共点，
由图象可知
.选D
二、填空题
9．答案：-2
解析过程：
是纯虚数，
所以
，即
10．答案：
解析过程：
由三视图可知，该几何体是中间为一个底面半径为，
高为
的圆柱，两端是底面半径为，高为的圆锥，
所以该几何体的体积
.
11．答案：
解析过程：
两曲线的交点坐标为
，
所以它们所围成的封闭图形的面积
.
12．答案：
解析过程：
展开式的通项为
，
由
得r=2，
所以
，所以该项系数为
13．答案：
解析过程：
因为
，所以
，
又
，
解方程组
得
，由余弦定理得
，
所以
.
14．答案：
解析过程：
因为
，
，
，
，
三、解答题
15．答案：（Ⅰ）
；（Ⅱ）最大值
，最小值
解析过程：
（Ⅰ）解：由题意得
=
所以，
的最小正周期
（Ⅱ）解：因为
在区间
上是减函数，
在区间
上是增函数，
，
，
.
所以，
在区间
上的最大值为
，最小值为
.21
16．答案：（Ⅰ）
；（Ⅱ）见解析
解析过程：
（Ⅰ）解：由题意得
所以，事件
发生的概率为
.
（Ⅱ）解：随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4.
所以，随见变量
的分布列为
随机变量
的数学期望
17．答案：
见解析
解析过程：
如图，以
为原点建立空间直角坐标系，
依题意可得
,
,
,
,
.
又因为M,N 分别为
和
的中点，得
,
.
（Ⅰ）证明：依题意，可得
为平面
的一个法向量.
=
.由此可得
，
又因为直线
平面
，所以
平面
．
（Ⅱ）解：
，
．
设
为平面
的法向量，则
即
不妨设
，可得
.．
设
为平面
的法向量，则
又
，得
不妨设
，可得
．
因此有
，于是
．
所以，二面角
的正弦值为
。
（Ⅲ）解：依题意，可设
，其中
，
则
，从而
．
又
为平面
的一个法向量，
由已知，得
=
，
整理得
，又因为
，解得
．
所以，线段
的长为
．
18．答案：
见解析
解析过程：
（Ⅰ）解：由已知，有
，
即
，所以
．
又因为
，故
，由
，得
．
当
时，
；
当
时，
．
所以，
的通项公式为
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得
.设
的前n 项和为
，
则
，
，
上述两式相减，得
整理得，
.
所以，数列
的前n 项和为
，
．
19．答案：
（Ⅰ）
；（Ⅱ）
；（Ⅲ）
解析过程：
（Ⅰ）解：由已知有
，又由
，可得
.
设直线
的斜率为
，则直线
的方程为
．
由已知，有
+
，解得
．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得椭圆方程为
，
直线
的方程为
，
两个方程联立，消去y，整理得
，
解得
，或
.
因为点M 在第一象限，可得M 的坐标为
.有
，
解得
，所以椭圆的方程为
.
（Ⅲ）解：设点P 的坐标为
，直线FP 的斜率为，
得
，即
，
与椭圆方程联立
消去
，
整理得
．
又由已知，得
，
解得
，或
．
设直线
的斜率为
，得
，即
，
与椭圆方程联立，整理可得
.
①当
时，有
，
因此
，于是
，得
.
②当
时，有
，
因此
，于是
，得
.
综上，直线
的斜率的取值范围是
.
20．答案：见解析
解析过程：
（Ⅰ）解：由
=
，
可得
=
=
，
其中
，且
.
下面分两种情况讨论：
（1）当
为奇数时.
令
=0，解得
，或
.
当
变化时，
，
的变化情况如下表：
↘
↗
↘
所以，
在
，
上单调递减，在
内单调递增。
（2）当
为偶数时.
当
，即
时，函数
单调递增；
当
，即
时，函数
单调递减.
所以，
在
上单调递增，在
上单调递减.
（Ⅱ）证明：设点
的坐标为
，
则
，
.
曲线
在点
处的切线方程为
，
即
，
令
，即
，
则
．
由于
在
上单调递减，
故
在
上单调递减，
又因为
，
所以当
时，
，当
时，
，
所以
在
内单调递增，在
上单调递减，
所以对于任意的正实数
，都有
，
即对于任意的正实数
，都有
．
（Ⅲ）证明：不妨设
．
由（Ⅱ）知
，
设方程
的根为
，可得
，
当
时，在
上单调递减．
又由（Ⅱ）知
，可得
．
类似地，设曲线
在原点处的切线方程为
，
可得
，
当
，
，
即对于任意的
，
．
设方程
的根为
，可得
．
因为
在
上单调递增，
且
，因此
．
由此可得
．
因为
，所以
，
故
.所以，
．
