2015 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的
姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑，如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。写在本试卷上无效。
3．答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、 选择题：本大题共12 小题。每小题5 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项
是符合要求的。
1.已知集合
}
2
1
|
{
x
x
A
，
}
3
0
|
{
x
x
B
，则A∪B=
A.
)
3,1
(
B.
)
0,1
(
C.
)
2,0
(
D.
)
3,2
(
2.若a 为实数，且
i
i
ai
3
1
2
，则
a
A.
4
B.
3
C. 3 D. 4
3. 根据下面给出的2004 年至2013 年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图，以下
结论中不正确的是
2700
2600
2500
2400
2300
2200
2100
2000
1900
2013(年)
2012
2011
2010
2009
2008
2007
2006
2005
2004
A.逐年比较，2008 年减少二氧化碳排放量的效果显著
B.2007 年我国治理二氧化碳排放显现成效
C.2006 年以来我国二氧化碳年排放量呈逐渐减少趋势
D.2006 年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关
4.向量a=(1，-1) b=(-1，2)，则（2a +b）.a=
A. 1
B. 0 C. 1 D.2
5. 设
n
S 是数列
}
{
n
a
的前n 项和，若
3
5
3
1
a
a
a
，则
5
S
A. 5 B. 7 C. 9 D. 11
6. 一个正方体被一个平面截取一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余
部分体积的比值为
A. 8
1
B. 7
1
C. 6
1
D. 5
1
7.已知三点
)
0,1(
A
，
)
3
,0
(
B
，
)
3
,2
(
C
，则ABC
外接圆的圆心到原点的距离为
A. 3
5
B.
3
21
C.
3
5
2
D. 3
4
8.右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中“更相减损术”.执行该
程序框图，若输入的a 、b 分别为14、18，则输出的
a
A. 0 B. 2 C. 4 D. 14
9.已知等比数列
}
{
n
a
满足
4
1
1
a
，
)1
(
4
4
5
3
a
a
a
，则
2a
A. 2 B. 1 C. 2
1
D. 8
1
10.已知A 、B 是球O 的球面上两点，
90
AOB
，C 为该球面上的动点.若三棱锥
ABC
O
体积的最大值为36，则球O 的表面积为
A.
36
B.
64
C.
144
D.
256
11.如图，长方形ABCD 的边
2
AB
，
1
BC
，O 是AB 的中点，点P 沿着BC 、CD
与DA 运动，记
x
BOP
.将动点P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数
)
(x
f
，则
)
(x
f
y
的图象大致为
12. 设函数
2
1
1
|)
|
1
ln(
)
(
x
x
x
f
，则使得
)1
2
(
)
(
x
f
x
f
成立的x 的取值范围是
A.
)1,
3
1
(
B.
)
,1(
)
3
1
,
(
U
C.
)
3
1
,
3
1
(
D.
)
,
3
1
(
)
3
1
,
(
U
二．填空题：共4 小题，每小题5 分.
13. 已知函数
x
ax
x
f
2
)
(
3
的图象过点
)
4,1
(
，则
a
.
14.若x 、y 满足约束条件
0
1
2
0
1
2
0
5
y
x
y
x
y
x
，则
y
x
z
2
的最大值为 .
15.已知双曲线过点
)
3
,4
(
，且渐近线方程为
x
y
2
1
，则该双曲线的标准方程为
.
16.已知曲线
x
x
y
ln
在点
)1,1(
处的切线与曲线
1
)
2
(
2
x
a
ax
y
相切，则
a
.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17、（本小题满分12 分）
ΔABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC，BD=2DC.
（I）
求
sin
sin
B
C
；
（II）
若∠BAC=60°,求∠B.
18、（本小题满分12 分）
某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B 两地区分别随机调查了40 个用户，根据用
户对产品的满意度评分，得分A 地区用户满意评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度
评分的频数分布表.
B 地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评分分组
[50,60)
[60，70)
[70，80)
[80，90)
[90，100)
频数
2
8
14
10
6
(I)
在答题卡上作出B 地区用户满意度评分的频数分布直方图，并通过直方图比较
两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）
(II)
根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级；
满意度评分
低于70 分
70 分到80 分
不低于90 分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由.
19、（本小题满分12 分）
如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，AB=16，BC=10，AA1=8,点E，分别在A1B1, D1C1 上，
A1E= D1F=4.过点E,F 的平面α 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.
（I）
在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）
（II）
求平面α 把该长方体分成的两部分体积的比值.
20、（本小题满分12 分）
已知椭圆C：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（a >b >0）的离心率为
2
2 ，点（2，
2 ）在C 上.
（I）
求C 的方程.
（II）
直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A，B，线段AB 的
中点为M.直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.
21、（本小题满分12 分）
已知函数f（x）=ln x +a（1- x）
（I）
讨论f（x）的单调性；
（II）
当f（x）有最大值，且最大值大于2a-2 时，求a 的取值范围.
请考生在第22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请
写清题号。
22、（本小题满分10 分）选修4-1，几何证明选择
如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，圆O 与ΔABC 的底边BC 交于M,N 两点，与底边上的高
AD 交于G,且与AB，AC 分别相切于E,F 两点.
（I）
证明：EF//BC;
（II）
若AG 等于圆O 的半径，且AE=MN=2 3 ，求四边形EBCF 的面积
23、（本小题满分10 分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直线坐标系xOy 中，曲线C1：
cos
sin
x t
y t
α
α
｛
（t 为参数，t0）其中0α.在以O
为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：p=2sin，C3：p=2 3 cos。
（I）
求C1 与C3 交点的直角坐标；
（II）
若C1 与C2 相交于点A，C1 与C3 相交于点B，求|AB|的最大值.
24、（本小题满分10 分）选修4-5：不等式选讲
设a，b，c，d 均为正数，且a+b=c+d.证明：
（I）
若ab>cd，则
a
b
>
c
d
;
（II）
a
b
>
c
d
是|a-b|<|c-d|的充要条件.
2015 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学试题答案
一.选择题
（1 ）A （2 ）D （3 ）D （4 ）C （5 ） A （6 ）D
（7 ）B （8 ）B （9 ）C （10 ）C （11 ）B （12 ）A
二.选择题
（13 ）-2 （14 ）8 （15 ）
2
2
1
4
x
y
（16 ）8
三.解答题
（17）解：
（Ⅰ）由正弦定理得
,
.
sin
sin
sin
sin
AD
BD
AD
DC
B
BAD
C
CAD
因为AD 平分
,
2
,
BAC DB
DC
所以
sin
1 .
sin
2
B
DC
C
BD
（Ⅱ）因为
所以
由（Ⅰ）知
所以
即
。
（18）解：
（Ⅰ）
通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B 地区用户满意度评分的平
均值高于A 地区用户满意度评分的平均值；B 地区用户满意度评分比较集中，而A 地区用户
满意度评分比较分散。
（Ⅱ）A 地区用户满意度等级为不满意的概率大。
记CA表示事件：“A 地区用户满意度等级为不满意”；CB表示事件：“B 地区用户满意
度等级为不满意”。
由直方图得P(CA)的估计值为（0.01+0.02+0.03）×10=0.6，
P(CB) 的估计值为（0.005+0.02）×10=0.25.
所以A 地区用户满意度等级为不满意的概率大。
（19）解：
（Ⅰ）交线围成的正方形EHGF 如图：
（Ⅱ）作EM⊥AB,垂足为M，则AM=A1E=4，EB1=12，EM=AA1=8.因为EHGF 为正方形，
所以EH=EF=BC=10.于是MH=
.因为长方体被平面
分
为两个高为10 的直棱柱，所以其体积的比值为
（
也正确）
（20）解：
（Ⅰ）由题意有
，
解得
。所以C 的方程为
（Ⅱ）设直线
将
代入
得
故
于是直线OM 的斜率
所以直线OM 的斜率与直线的斜率的乘积为定值。
（21）解：
（Ⅰ）f（x）的定义域为
若
则
所以
单调递增。
若
，则当
时，
当
时，
所以
在
单调递增，在
单调递减。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当
时，
无最大值；当
时，
在
取得最大值，最大值为
。
因此
等价于
令
，则
在
单调递增，
于是，当
时
；当
时，
因此，
的取值范围是
（22）解：
（Ⅰ）由于
是等腰三角形，
,所以
是
的平行线。又因为
分别于
，
相切于点
，
，所以
，故
从而
。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，
，故
是
的垂直平分线，又
为
的弦，所以
在
上。
连接
,
,则
由
等于
的半径得
,所以
.
因此
和
都是等边三角形。
因为
，所以
，
。
因为
，
，所以
于是
所以四边形
的面积为
（23）解：
（Ⅰ）曲线C2 的直角坐标方程为
曲线C3 的直角坐标方程为
联立
解得
或
所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和
（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为
因此A 的极坐标为
B 的极坐标为
所以
当
时，
取得最大值，最大值为
4.
（24）解：
（Ⅰ）因为
由题设
，
得
。
因此
。
（Ⅱ）（i）若
则
，即
因为
，所以
由（Ⅰ）得
（ii）若
，则
，即
因为
，所以
.于是
因此
综上，
是
的充要条件
选择填空解析
1.【答案】A
【解析】
因为
,
,所以
故选A.
2．【答案】D
【解析】由题意可得
,故选D.
3．【答案】 D
【解析】由柱形图可知2006 年以来,我国二氧化碳排放量基本成递减趋势,所以二氧化碳排
放量与年份负相关,故选D.
4．【答案】C
【解析】
试
题
分
析
：
由
题
意
可
得
,
所
以
.故选C.
5．【答案】A
【解析】
试题解析：由
,所有
.故选A.
6．【答案】D
【解析】
试题分析：如图所示，截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的
,剩余部分体
积是正方体体积的
,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为
,故选D.
7．【答案】B
【解析】
试题分析：△
外接圆圆心在直线BC 垂直平分线上即直线
上,设圆心D
,由
DA=DB
得
, 所以圆心到原点的距离
. 故选B.
8．【答案】B
【解析】
试题分析：由题意可知输出的a 是18,14 的最大公约数2,故选B.
9．【答案】C
【解析】
试题分析：由题意可得
,所以
,故
,选C.
10．【答案】C
【解析】
试题分析：设球的半径为R,则△AOB 面积为
,三棱锥
体积最大时,C 到平面
AOB 距离最大且为R,此时
,所以球O 的表面积
.
故选C.
11．【答案】B
【解析】
试题分析：由题意可得
,由此可排除
C,D；当
时点
在边
上，
，
，
所以
,可知
时图像不是线段,可排除A,故选B.
12．【答案】A
【解析】
试题分析：由
可知
是偶函数,且在
是增函数,所以
故选A.
13．【答案】-2
【解析】
试题分析：由
可得
.
14．【答案】8
【解析】
试题分析：不等式组
表示的可行域是以
为顶点的三角形
区域,
的最大值必在顶点处取得,经验算,
时
.
15．【答案】
【解析】
试题分析：根据双曲线渐近线方程为
,可设双曲线的方程为
,把
代入
得
.所以双曲线的方程为
.
16．【答案】8
【解析】
试题分析：由
可得曲线
在点
处的切线斜率为2,故切线方程为
, 与
联立得
, 显然
, 所以由
.
