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2016 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）
一、选择题:本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的.
1．（5 分）设集合S={x|（x
2
﹣）（x
3
﹣）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（ ）
A．[2，3]
B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）
C．[3，+∞）
D．
（0，2]∪[3，+∞）
2．（5 分）若z=1+2i，则
=（ ）
A．1
B．﹣1
C．i
D．﹣i
3．（5 分）已知向量
=（
，
），
=（
，
），则∠ABC=（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．120°
4．（5 分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气
温的雷达图，图中A 点表示十月的平均最高气温约为15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为
5℃，下面叙述不正确的是（ ）
A．各月的平均最低气温都在0℃以上
B．七月的平均温差比一月的平均温差大
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同
D．平均最高气温高于20℃的月份有5 个
5．（5 分）若tanα=
，则cos2α+2sin2α=（ ）
A．
B．
C．1
D．
6．（5 分）已知a=
，b=
，c=
，则（ ）
A．b＜a＜c
B．a＜b＜c
C．b＜c＜a
D．c＜a＜b
7．（5 分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
8．（5 分）在△ABC 中，B=
，BC 边上的高等于
BC，则cosA 等于（ ）
A．
B．
C．﹣
D．﹣
9．（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表
第1页（共18页）
面积为（ ）
A．18+36
B．54+18
C．90
D．81
10．（5 分）在封闭的直三棱柱ABC
A
﹣
1B1C1内有一个体积为V 的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，
则V 的最大值是（ ）
A．4π
B．
C．6π
D．
11．（5 分）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B 分别为C 的左，右顶
点．P 为C 上一点，且PF⊥x 轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M，与y 轴交于点E．若直线BM
经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（5 分）定义“规范01 数列”{an}如下：{an}共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意
k≤2m，a1，a2，…，ak中0 的个数不少于1 的个数，若m=4，则不同的“规范01 数列”共有（ ）
A．18 个
B．16 个
C．14 个
D．12 个
二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分.
13．（5 分）若x，y 满足约束条件
，则z=x+y 的最大值为 ．
14．（5 分）函数y=sinx﹣
cosx 的图象可由函数y=sinx+
cosx 的图象至少向右平移 个单位
长度得到．
15．（5 分）已知f（x）为偶函数，当x＜0 时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线
方程是 ．
16．（5 分）已知直线l：mx+y+3m﹣
=0 与圆x2+y2=12 交于A，B 两点，过A，B 分别作l 的垂线与x 轴
交于C，D 两点，若|AB|=2
，则|CD|= ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（12 分）已知数列{an}的前n 项和Sn=1+λan，其中λ≠0．
（1）证明{an}是等比数列，并求其通项公式；
（2）若S5=
，求λ．
第2页（共18页）
18．（12 分）如图是我国2008 年至2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．
注：年份代码1
7
﹣分别对应年份2008
2014
﹣
．
（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以证明；
（Ⅱ）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016 年我国生活垃圾无害化处理量．
附注：
参考数据：
yi=9.32，
tiyi=40.17，
=0.55，
≈2.646．
参考公式：相关系数r=
，
回归方程= + t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
=
，= ﹣
．
19．（12 分）如图，四棱锥P
ABCD
﹣
中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 为线段
AD 上一点，AM=2MD，N 为PC 的中点．
（1）证明：MN∥平面PAB；
（2）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．
20．（12 分）已知抛物线C：y2=2x 的焦点为F，平行于x 轴的两条直线l1，l2分别交C 于A，B 两点，交C
的准线于P，Q 两点．
（Ⅰ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR∥FQ；
（Ⅱ）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．
第3页（共18页）
21．（12 分）设函数f（x）=acos2x+（a
1
﹣）（cosx+1），其中a＞0，记|f（x）|的最大值为A．
（Ⅰ）求f′（x）；
（Ⅱ）求A；
（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．
请考生在第22-24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]
22．（10 分）如图，⊙O 中
的中点为P，弦PC，PD 分别交AB 于E，F 两点．
（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD 的大小；
（2）若EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为
（α 为参数），以坐标原点为极点，以x
轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+
）=2
．
（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（2）设点P 在C1上，点Q 在C2上，求|PQ|的最小值及此时P 的直角坐标．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|2x
a
﹣|+a．
（1）当a=2 时，求不等式f（x）≤6 的解集；
（2）设函数g（x）=|2x
1
﹣|，当x∈R 时，f（x）+g（x）≥3，求a 的取值范围．
第4页（共18页）
2016 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的.
1．（5 分）设集合S={x|（x
2
﹣）（x
3
﹣）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（ ）
A．[2，3]
B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）
C．[3，+∞）D．
（0，2]∪[3，+∞）
【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．
【分析】求出S 中不等式的解集确定出S，找出S 与T 的交集即可．
【解答】解：由S 中不等式解得：x≤2 或x≥3，即S=（﹣∞，2]∪[3，+∞），
∵T=（0，+∞），
∴S∩T=（0，2]∪[3，+∞），
故选：D．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．（5 分）若z=1+2i，则
=（ ）
A．1
B．﹣1
C．i
D．﹣i
【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5N：数系的扩充和复数．
【分析】利用复数的乘法运算法则，化简求解即可．
【解答】解：z=1+2i，则
=
=
=i．
故选：C．
【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．
3．（5 分）已知向量
=（
，
），
=（
，
），则∠ABC=（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．120°
【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；41：向量法；49：综合法；5A：平面向量及应用．
【分析】根据向量
的坐标便可求出
，及
的值，从而根据向量夹角余弦公式
即可求出cos∠ABC 的值，根据∠ABC 的范围便可得出∠ABC 的值．
【解答】解：
，
；
∴
；
又0°≤∠ABC≤180°；
∴∠ABC=30°．
故选：A．
【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，
向量夹角的范围，已知三角函数值求角．
4．（5 分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气
温的雷达图，图中A 点表示十月的平均最高气温约为15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为
5℃，下面叙述不正确的是（ ）
第5页（共18页）
A．各月的平均最低气温都在0℃以上
B．七月的平均温差比一月的平均温差大
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同
D．平均最高气温高于20℃的月份有5 个
【考点】F4：进行简单的合情推理．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合；4A：数学模型法；5M：推理和证明．
【分析】根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图进行推理判断即可．
【解答】解：A．由雷达图知各月的平均最低气温都在0℃以上，正确
B．七月的平均温差大约在10°左右，一月的平均温差在5°左右，故七月的平均温差比一月的平均温
差大，正确
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为10°，正确
D．平均最高气温高于20℃的月份有7，8 两个月，故D 错误，
故选：D．
【点评】本题主要考查推理和证明的应用，根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图，利用图象法
进行判断是解决本题的关键．
5．（5 分）若tanα=
，则cos2α+2sin2α=（ ）
A．
B．
C．1
D．
【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．
【分析】将所求的关系式的分母“1”化为（cos2α+sin2α），再将“弦”化“切”即可得到答案．
【解答】解：∵tanα=
，
∴cos2α+2sin2α=
=
=
=
．
故选：A．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，“弦”化“切”是关键，是基础题．
6．（5 分）已知a=
，b=
，c=
，则（ ）
A．b＜a＜c
B．a＜b＜c
C．b＜c＜a
D．c＜a＜b
【考点】4Y：幂函数的单调性、奇偶性及其应用．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．
【分析】b=
=
，c=
=
，结合幂函数的单调性，可比较a，b，c，进而得到答案．
【解答】解：∵a=
=
，
b=
，
c=
=
，
综上可得：b＜a＜c，
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，
第6页（共18页）
难度中档．
7．（5 分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图．
【分析】模拟执行程序，根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的a，b，s，n 的值，当s=20 时满
足条件s＞16，退出循环，输出n 的值为4．
【解答】解：模拟执行程序，可得
a=4，b=6，n=0，s=0
执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=6，n=1
不满足条件s＞16，执行循环体，a=
2
﹣，b=6，a=4，s=10，n=2
不满足条件s＞16，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=16，n=3
不满足条件s＞16，执行循环体，a=
2
﹣，b=6，a=4，s=20，n=4
满足条件s＞16，退出循环，输出n 的值为4．
故选：B．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的a，b，s 的值是
解题的关键，属于基础题．
8．（5 分）在△ABC 中，B=
，BC 边上的高等于
BC，则cosA 等于（ ）
A．
B．
C．﹣
D．﹣
【考点】HT：三角形中的几何计算．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；44：数形结合法；58：解三角形．
【分析】作出图形，令∠DAC=θ，依题意，可求得cosθ=
=
=
，sinθ=
，利用两角
和的余弦即可求得答案．
【解答】解：设△ABC 中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC 于D，令∠DAC=θ，
∵在△ABC 中，B=
，BC 边上的高AD=h=
BC=
a，
∴BD=AD=
a，CD=
a，
在Rt△ADC 中，cosθ=
=
=
，故sinθ=
，
第7页（共18页）
∴cosA=cos（
+θ）=cos
cosθ
sin
﹣
sinθ=
×
﹣
×
=﹣
．
故选：C．
【点评】本题考查解三角形中，作出图形，令∠DAC=θ，利用两角和的余弦求cosA 是关键，也是亮点，
属于中档题．
9．（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表
面积为（ ）
A．18+36
B．54+18
C．90
D．81
【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何．
【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，进而得到答案．
【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，
其底面面积为：3×6=18，
侧面的面积为：（3×3+3×
）×2=18+18
，
故棱柱的表面积为：18×2+18+18
=54+18
．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是
解答的关键．
10．（5 分）在封闭的直三棱柱ABC
A
﹣
1B1C1内有一个体积为V 的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，
则V 的最大值是（ ）
A．4π
B．
C．6π
D．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何．
【分析】根据已知可得直三棱柱ABC
A
﹣
1B1C1的内切球半径为
，代入球的体积公式，可得答案．
【解答】解：∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，
∴AC=10．
故三角形ABC 的内切圆半径r=
=2，
又由AA1=3，
故直三棱柱ABC
A
﹣
1B1C1的内切球半径为
，
此时V 的最大值
=
，
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，根据已知求出球的半径，是解答的关键．
11．（5 分）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B 分别为C 的左，右顶
点．P 为C 上一点，且PF⊥x 轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M，与y 轴交于点E．若直线BM
经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）
第8页（共18页）
A．
B．
C．
D．
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由题意可得F，A，B 的坐标，设出直线AE 的方程为y=k（x+a），分别令x=
c
﹣，x=0，可得M，E 的
坐标，再由中点坐标公式可得H 的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可
得到所求值．
【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），
设直线AE 的方程为y=k（x+a），
令x=
c
﹣，可得M（﹣c，k（a
c
﹣）），令x=0，可得E（0，ka），
设OE 的中点为H，可得H（0，
），
由B，H，M 三点共线，可得kBH=kBM，
即为
=
，
化简可得
=
，即为a=3c，
可得e=
=
．
另解：由△AMF∽△AEO，
可得
=
，
由△BOH∽△BFM，
可得
=
=
，
即有
=
即a=3c，
可得e=
=
．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共
线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
12．（5 分）定义“规范01 数列”{an}如下：{an}共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意
k≤2m，a1，a2，…，ak中0 的个数不少于1 的个数，若m=4，则不同的“规范01 数列”共有（ ）
A．18 个
B．16 个
C．14 个
D．12 个
【考点】8B：数列的应用．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题；23：新定义；38：对应思想；4B：试验法．
【分析】由新定义可得，“规范01 数列”有偶数项2m 项，且所含0 与1 的个数相等，首项为0，末项
为1，当m=4 时，数列中有四个0 和四个1，然后一一列举得答案．
【解答】解：由题意可知，“规范01 数列”有偶数项2m 项，且所含0 与1 的个数相等，首项为0，末
项为1，若m=4，说明数列有8 项，满足条件的数列有：
0，0，0，0，1，1，1，1； 0，0，0，1，0，1，1，1； 0，0，0，1，1，0，1，1； 0，0，0，1，1，1，0，1； 0，
0，1，0，0，1，1，1；
0，0，1，0，1，0，1，1； 0，0，1，0，1，1，0，1； 0，0，1，1，0，1，0，1； 0，0，1，1，0，0，1，1； 0，
1，0，0，0，1，1，1；
0，1，0，0，1，0，1，1； 0，1，0，0，1，1，0，1； 0，1，0，1，0，0，1，1； 0，1，0，1，0，1，0，1．共14
个．
故选：C．
【点评】本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不漏，是压轴题．
二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分.
13．（5 分）若x，y 满足约束条件
，则z=x+y 的最大值为
．
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
第9页（共18页）
【专题】59：不等式的解法及应用．
【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y 轴的截距最大值．
【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D 点时，z 最大，
由
得D（1，
），
所以z=x+y 的最大值为1+
；
故答案为：
．
【点评】本题考查了简单线性规划；一般步骤是：①画出平面区域；②分析目标函数，确定求最值的条
件．
14．（5 分）函数y=sinx﹣
cosx 的图象可由函数y=sinx+
cosx 的图象至少向右平移
个单
位长度得到．
【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质．
【分析】令f（x）=sinx+
cosx=2sin（x+
），则f（x
φ
﹣）=2sin（x+
φ
﹣），依题意可得2sin（x+
φ
﹣）
=2sin（x﹣
），由
﹣φ=2kπ﹣
（k∈Z），可得答案．
【解答】解：∵y=f（x）=sinx+
cosx=2sin（x+
），y=sinx﹣
cosx=2sin（x﹣
），
∴f（x
φ
﹣）=2sin（x+
φ
﹣）（φ＞0），
令2sin（x+
φ
﹣）=2sin（x﹣
），
则
﹣φ=2kπ﹣
（k∈Z），
即φ=
2kπ
﹣
（k∈Z），
当k=0 时，正数φmin=
，
故答案为：
．
【点评】本题考查函数y=sinx 的图象变换得到y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象，得到
﹣φ=2kπ
﹣
（k∈Z）是关键，也是难点，属于中档题．
15．（5 分）已知f（x）为偶函数，当x＜0 时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线
方程是
2x
+ y + 1=0
．
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；51：函数的性质及应用；52：导数的概念及应用．
【分析】由偶函数的定义，可得f（﹣x）=f（x），即有x＞0 时，f（x）=lnx
3x
﹣
，求出导数，求得切线的斜率，
由点斜式方程可得切线的方程．
【解答】解：f（x）为偶函数，可得f（﹣x）=f（x），
当x＜0 时，f（x）=ln（﹣x）+3x，即有
x＞0 时，f（x）=lnx
3x
﹣
，f′（x）=
3
﹣，
第10页（共18页）
可得f（1）=ln1
3=
3
﹣
﹣，f′（1）=1
3=
2
﹣
﹣，
则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程为y﹣（﹣3）=
2
﹣（x
1
﹣），
即为2x+y+1=0．
故答案为：2x+y+1=0．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，同时考查函数的奇偶性的定义和运用，考查运算能力，
属于中档题．
16．（5 分）已知直线l：mx+y+3m﹣
=0 与圆x2+y2=12 交于A，B 两点，过A，B 分别作l 的垂线与x 轴
交于C，D 两点，若|AB|=2
，则|CD|=
4
．
【考点】J8：直线与圆相交的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5B：直线与圆．
【分析】先求出m，可得直线l 的倾斜角为30°，再利用三角函数求出|CD|即可．
【解答】解：由题意，|AB|=2
，∴圆心到直线的距离d=3，
∴
=3，
∴m=﹣
∴直线l 的倾斜角为30°，
∵过A，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C，D 两点，
∴|CD|=
=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能力，比较基础．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（12 分）已知数列{an}的前n 项和Sn=1+λan，其中λ≠0．
（1）证明{an}是等比数列，并求其通项公式；
（2）若S5=
，求λ．
【考点】87：等比数列的性质；8H：数列递推式．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．
【分析】（1）根据数列通项公式与前n 项和公式之间的关系进行递推，结合等比数列的定义进行证
明求解即可．
（2）根据条件建立方程关系进行求解就可．
【解答】解：（1）∵Sn=1+λan，λ≠0．
∴an≠0．
当n≥2 时，an=Sn
S
﹣n
1
﹣=1+λan
1
λa
﹣﹣
n
1
﹣=λan
λa
﹣
n
1
﹣，
即（λ
1
﹣）an=λan
1
﹣，
∵λ≠0，an≠0．∴λ
1
﹣≠0．即λ≠1，
即
=
，（n≥2），
∴{an}是等比数列，公比q=
，
当n=1 时，S1=1+λa1=a1，
即a1=
，
∴an=
•（
）n
1
﹣．
（2）若S5=
，
则若S5=1+λ[
•（
）4]=
，
即（
）5=
1=
﹣
﹣
，
则
=﹣
，得λ=
1
﹣．
【点评】本题主要考查数列递推关系的应用，根据n≥2 时，an=Sn
S
﹣n
1
﹣的关系进行递推是解决本题的
第11页（共18页）
关键．考查学生的运算和推理能力．
18．（12 分）如图是我国2008 年至2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．
注：年份代码1
7
﹣分别对应年份2008
2014
﹣
．
（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以证明；
（Ⅱ）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016 年我国生活垃圾无害化处理量．
附注：
参考数据：
yi=9.32，
tiyi=40.17，
=0.55，
≈2.646．
参考公式：相关系数r=
，
回归方程= + t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
=
，= ﹣
．
【考点】BK：线性回归方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；5I：概率与统计．
【分析】（1）由折线图看出，y 与t 之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得
答案；
（2）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2016 年对应的t 值为9，代入可预测2016 年
我国生活垃圾无害化处理量．
【解答】解：（1）由折线图看出，y 与t 之间存在较强的正相关关系，理由如下：
∵r=
=
≈
≈
≈0.993，
∵0.993＞0.75，
故y 与t 之间存在较强的正相关关系；
（2）=
=
≈
≈0.103，
= ﹣
≈1.331
0.103
﹣
×4≈0.92，
∴y 关于t 的回归方程=0.10t+0.92，
2016 年对应的t 值为9，
故=0.10×9+0.92=1.82，
预测2016 年我国生活垃圾无害化处理量为1.82 亿吨．
【点评】本题考查的知识点是线性回归方程，回归分析，计算量比较大，计算时要细心．
19．（12 分）如图，四棱锥P
ABCD
﹣
中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 为线段
AD 上一点，AM=2MD，N 为PC 的中点．
（1）证明：MN∥平面PAB；
（2）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．
第12页（共18页）
【考点】LS：直线与平面平行；MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；35：转化思想；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．
【分析】（1）法一、取PB 中点G，连接AG，NG，由三角形的中位线定理可得NG∥BC，且NG=
，再
由已知得AM∥BC，且AM=
BC，得到NG∥AM，且NG=AM，说明四边形AMNG 为平行四边形，可
得NM∥AG，由线面平行的判定得到MN∥平面PAB；
法二、证明MN∥平面PAB，转化为证明平面NEM∥平面PAB，在△PAC 中，过N 作NE⊥AC，垂足为
E，连接ME，由已知PA⊥底面ABCD，可得PA∥NE，通过求解直角三角形得到ME∥AB，由面面平
行的判定可得平面NEM∥平面PAB，则结论得证；
（2）连接CM，证得CM⊥AD，进一步得到平面PNM⊥平面PAD，在平面PAD 内，过A 作AF⊥PM，交
PM 于F，连接NF，则∠ANF 为直线AN 与平面PMN 所成角．然后求解直角三角形可得直线AN 与
平面PMN 所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：法一、如图，取PB 中点G，连接AG，NG，
∵N 为PC 的中点，
∴NG∥BC，且NG=
，
又AM=
，BC=4，且AD∥BC，
∴AM∥BC，且AM=
BC，
则NG∥AM，且NG=AM，
∴四边形AMNG 为平行四边形，则NM∥AG，
∵AG⊂平面PAB，NM⊄平面PAB，
∴MN∥平面PAB；
法二、
在△PAC 中，过N 作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，
在△ABC 中，由已知AB=AC=3，BC=4，得cos∠ACB=
，
∵AD∥BC，
∴cos
，则sin∠EAM=
，
在△EAM 中，
∵AM=
，AE=
，
由余弦定理得：EM=
=
，
∴cos∠AEM=
，
而在△ABC 中，cos∠BAC=
，
∴cos∠AEM=cos∠BAC，即∠AEM=∠BAC，
∴AB∥EM，则EM∥平面PAB．
由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AC，又NE⊥AC，
∴NE∥PA，则NE∥平面PAB．
∵NE∩EM=E，
∴平面NEM∥平面PAB，则MN∥平面PAB；
（2）解：在△AMC 中，由AM=2，AC=3，cos∠MAC=
，得CM2=AC2+AM2
2AC•AM•cos
﹣
∠MAC=
．
∴AM2+MC2=AC2，则AM⊥MC，
第13页（共18页）
∵PA⊥底面ABCD，PA⊂平面PAD，
∴平面ABCD⊥平面PAD，且平面ABCD∩平面PAD=AD，
∴CM⊥平面PAD，则平面PNM⊥平面PAD．
在平面PAD 内，过A 作AF⊥PM，交PM 于F，连接NF，则∠ANF 为直线AN 与平面PMN 所成角．
在Rt△PAC 中，由N 是PC 的中点，得AN=
=
，
在Rt△PAM 中，由PA•AM=PM•AF，得AF=
，
∴sin
．
∴直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值为
．
【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的求法，考查数学转化思想方法，
考查了空间想象能力和计算能力，是中档题．
20．（12 分）已知抛物线C：y2=2x 的焦点为F，平行于x 轴的两条直线l1，l2分别交C 于A，B 两点，交C
的准线于P，Q 两点．
（Ⅰ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR∥FQ；
（Ⅱ）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．
【考点】J3：轨迹方程；K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（Ⅰ）连接RF，PF，利用等角的余角相等，证明∠PRA=∠PQF，即可证明AR∥FQ；
（Ⅱ）利用△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求出N 的坐标，利用点差法求AB 中点的轨迹方程．
【解答】（Ⅰ）证明：连接RF，PF，
由AP=AF，BQ=BF 及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=90°，
∴∠PFQ=90°，
∵R 是PQ 的中点，
∴RF=RP=RQ，
∴△PAR≌△FAR，
∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，
∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR，
∴∠FQB=∠PAR，
∴∠PRA=∠PQF，
∴AR∥FQ．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），
F（
，0），准线为 x=﹣
，
S△PQF=
|PQ|=
|y1
y
﹣2|，
设直线AB 与x 轴交点为N，
∴S△ABF=
|FN||y1
y
﹣2|，
∵△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，
∴2|FN|=1，∴xN=1，即N（1，0）．
设AB 中点为M（x，y），由
得
=2（x1
x
﹣2），
又
=
，
∴
=
，即y2=x
1
﹣．
第14页（共18页）
∴AB 中点轨迹方程为y2=x
1
﹣．
【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题．
21．（12 分）设函数f（x）=acos2x+（a
1
﹣）（cosx+1），其中a＞0，记|f（x）|的最大值为A．
（Ⅰ）求f′（x）；
（Ⅱ）求A；
（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4J：换元法；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用；56：三
角函数的求值．
【分析】（Ⅰ）根据复合函数的导数公式进行求解即可求f′（x）；
（Ⅱ）讨论a 的取值，利用分类讨论的思想方法，结合换元法，以及一元二次函数的最值的性质进行
求解；
（Ⅲ）由（I），结合绝对值不等式的性质即可证明：|f′（x）|≤2A．
【解答】（I）解：f′（x）=
2asin2x
﹣
﹣（a
1
﹣）sinx．
（II）当a≥1 时，|f（x）|=|acos2x+（a
1
﹣）（cosx+1）|≤a|cos2x|+（a
1
﹣）|（cosx+1）|≤a|cos2x|+（a﹣
1）（|cosx|+1）|≤a+2（a
1
﹣）=3a
2=f
﹣
（0），因此A=3a
2
﹣．
当0＜a＜1 时，f（x）=acos2x+（a
1
﹣）（cosx+1）=2acos2x+（a
1
﹣）cosx
1
﹣，
令g（t）=2at2+（a
1
﹣）t
1
﹣，
则A 是|g（t）|在[
1
﹣，1]上的最大值，g（﹣1）=a，g（1）=3a
2
﹣，
且当t=
时，g（t）取得极小值，极小值为g（
）=﹣
1=
﹣
﹣
，（二次函数在对称
轴处取得极值）
令﹣1＜
＜1，得a＜
（舍）或a＞
．
①当0＜a≤
时，g（t）在（﹣1，1）内无极值点，|g（﹣1）|=a，|g（1）|=2
3a
﹣
，|g（﹣1）|＜|g（1）|，
∴A=2
3a
﹣
，
②当
＜a＜1 时，由g（﹣1）﹣g（1）=2（1
a
﹣）＞0，得g（﹣1）＞g（1）＞g（
），
又|g（
）|﹣|g（﹣1）|=
＞0，
∴A=|g（
）|=
，
综上，A=
．
（III）证明：由（I）可得：|f′（x）|=|
2asin2x
﹣
﹣（a
1
﹣）sinx|≤2a+|a
1
﹣|，
当0＜a≤
时，|f′（x）|＜1+a≤2
4a
﹣
＜2（2
3a
﹣
）=2A，
当
＜a＜1 时，A=
=
+
+
＞1，
∴|f′（x）|≤1+a≤2A，
当a≥1 时，|f′（x）|≤3a
1
﹣≤6a
4=2A
﹣
，
综上：|f′（x）|≤2A．
【点评】本题主要考查函数的导数以及函数最值的应用，求函数的导数，以及换元法，转化法转化为
一元二次函数是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．
请考生在第22-24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]
22．（10 分）如图，⊙O 中
的中点为P，弦PC，PD 分别交AB 于E，F 两点．
（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD 的大小；
第15页（共18页）
（2）若EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．
【考点】NC：与圆有关的比例线段．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；49：综合法；5M：推理和证明．
【分析】（1）连接PA，PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，运用圆
的性质和四点共圆的判断，可得E，C，D，F 共圆，再由圆内接四边形的性质，即可得到所求∠PCD
的度数；
（2）运用圆的定义和E，C，D，F 共圆，可得G 为圆心，G 在CD 的中垂线上，即可得证．
【解答】（1）解：连接PB，BC，
设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，
∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，
由⊙O 中
的中点为P，可得∠4=∠5，
在△EBC 中，∠1=∠2+∠3，
又∠D=∠3+∠4，∠2=∠5，
即有∠2=∠4，则∠D=∠1，
则四点E，C，D，F 共圆，
可得∠EFD+∠PCD=180°，
由∠PFB=∠EFD=2∠PCD，
即有3∠PCD=180°，
可得∠PCD=60°；
（2）证明：由C，D，E，F 共圆，
由EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G
可得G 为圆心，即有GC=GD，
则G 在CD 的中垂线，又CD 为圆G 的弦，
则OG⊥CD．
【点评】本题考查圆内接四边形的性质和四点共圆的判断，以及圆的垂径定理的运用，考查推理能力
属于中档题．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为
（α 为参数），以坐标原点为极点，以x
轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+
）=2
．
（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（2）设点P 在C1上，点Q 在C2上，求|PQ|的最小值及此时P 的直角坐标．
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程；5S：坐标系和参数方程．
【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C1的普通方程，运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及
两角和的正弦公式，化简可得C2的直角坐标方程；
（2）由题意可得当直线x+y
4=0
﹣
的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y
4=0
﹣
平行的
直线方程为x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行线的距离公式，可得|PQ|
的最小值，解方程可得P 的直角坐标．
另外：设P（
cosα，sinα），由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到
所求最小值和P 的坐标．
第16页（共18页）
【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为
（α 为参数），
移项后两边平方可得
+y2=cos2α+sin2α=1，
即有椭圆C1：
+y2=1；
曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+
）=2
，
即有ρ（
sinθ+
cosθ）=2
，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y
4=0
﹣
，
即有C2的直角坐标方程为直线x+y
4=0
﹣
；
（2）由题意可得当直线x+y
4=0
﹣
的平行线与椭圆相切时，
|PQ|取得最值．
设与直线x+y
4=0
﹣
平行的直线方程为x+y+t=0，
联立
可得4x2+6tx+3t2
3=0
﹣
，
由直线与椭圆相切，可得△=36t2
16
﹣
（3t2
3
﹣）=0，
解得t=±2，
显然t=
2
﹣时，|PQ|取得最小值，
即有|PQ|=
=
，
此时4x2
12x
﹣
+9=0，解得x=
，
即为P（
，
）．
另解：设P（
cosα，sinα），
由P 到直线的距离为d=
=
，
当sin（α+
）=1 时，|PQ|的最小值为
，
此时可取α=
，即有P（
，
）．
【点评】本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化，同时考查直线与椭圆的位
置关系，主要是相切，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|2x
a
﹣|+a．
（1）当a=2 时，求不等式f（x）≤6 的解集；
（2）设函数g（x）=|2x
1
﹣|，当x∈R 时，f（x）+g（x）≥3，求a 的取值范围．
【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；59：不等式的解法及应用．
【分析】（1）当a=2 时，由已知得|2x
2
﹣|+2≤6，由此能求出不等式f（x）≤6 的解集．
（2）由f（x）+g（x）=|2x
1
﹣|+|2x
a
﹣|+a≥3，得|x﹣
|+|x﹣
|≥
，由此能求出a 的取值范围．
【解答】解：（1）当a=2 时，f（x）=|2x
2
﹣|+2，
∵f（x）≤6，∴|2x
2
﹣|+2≤6，
|2x
2
﹣|≤4，|x
1
﹣|≤2，
∴﹣2≤x
1
﹣≤2，
解得﹣1≤x≤3，
∴不等式f（x）≤6 的解集为{x|
1
﹣≤x≤3}．
（2）∵g（x）=|2x
1
﹣|，
∴f（x）+g（x）=|2x
1
﹣|+|2x
a
﹣|+a≥3，
2|x﹣
|+2|x﹣
|+a≥3，
|x﹣
|+|x﹣
|≥
，
当a≥3 时，成立，
第17页（共18页）
当a＜3 时，|x﹣
|+|x﹣
|≥
|a
1
﹣|≥
＞0，
∴（a
1
﹣）2≥（3
a
﹣）2，
解得2≤a＜3，
∴a 的取值范围是[2，+∞）．
【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审
题，注意不等式性质的合理运用．
第18页（共18页）
