文档文本内容
2013 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
参考公式：
样本数据
的方差
，其中
。
棱锥的体积公式：
，其中
是锥体的底面积，
为高。
棱柱的体积公式：
，其中
是柱体的底面积，
为高。
一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共计70 分，请把答案填写在答题卡的相应位置
上。
1、函数
的最小正周期为
▲
。
2、设
( 为虚数单位)，则复数
的模为
▲
。
3、双曲线
的两条渐近线的方程为
▲
。
4、集合{-1，0，1}共有
▲
个子集。
5、右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是
▲
。
6、抽样统计甲、乙两位射击运动员的5 次训练成绩（单位：环），结果如
下：
则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为
▲
。
7、现有某类病毒记作为
，其中正整数
可以任意选
取，则
都取到奇数的概率为
▲
。
8、如图，在三棱柱A1B1C1 -ABC 中，D、E、F 分别为AB、AC、A A1的中点，设三
棱锥F-ADE 的体积为
，三棱柱A1B1C1 -ABC 的体积为
，则
：
=
▲
。
9、抛物线
在
处的切线与坐标轴围成三角形区域为D(包含三角
运动
员
第1 次
第2 次
第3 次
第4 次
第5 次
甲
87
91
90
89
93
乙
89
90
91
88
92
形内部与边界)。若点P(x，y)是区域D 内的任意一点，则
的取值范围是
▲
。
10 、设D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，且
。若
(
、
均为实数)，则
+
的值为
▲
。
11、已知
是定义在R 上的奇函数。当
时，
，则不等式
的
解集用区间表示为
▲
。
12、在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C 的方程为
，右焦点为F，右准线
为，短轴的一个端点为B。设原点到直线BF 的距离为
，F 到的距离为
。若
，
则椭圆C 的离心率为
▲
。
13、在平面直角坐标系xoy 中，设定点A(a,a)，P 是函数
图象上的一动点。若点
P、A 之间的最短距离为
，则满足条件的实数a 的所有值为=
▲
。
14、在正项等比数列
中，
，则满足
的
最大正整数n 的值为
▲
。
二、解答题：本大题共6 小题，共计90 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、
证明或演算步骤.
15、（本小题满分14 分）
已知向量
。
（1）若
，求证：
；
（2）设
，若
，求
的值。
16、（本小题满分14 分）
如图，在三棱锥S-ABC 中，平面
平面SBC,
，
AS=AB。过A 作
，垂足为F，点E、G 分别为线段SA、SC 的中点。
求证：（1）平面EFG//平面ABC；
（2）
。
17、（本小题满分14 分）
如图，在平面直角坐标系xoy 中，点A(0,3)，直线
，设圆C 的半径为1，圆心在直
线上。
（1）若圆心C 也在直线
上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；
（2）若圆C 上存在点M，使MA=2MO，求圆心C 的横坐标的取值范围。
18、（本小题满分16 分）
如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径。一种是从A 沿直线步行到C，另
一种是先从A 沿索道乘缆车到B，然后从B 沿直线步行到C。
现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 米/分钟。在甲出发2 分钟后，
乙从A 乘坐缆车到B，在B 处停留1 分钟后，再从B 匀速步行到C。假设缆车速度为130 米/分
钟，山路AC 的长为1260 米，经测量，
。
（1）求索道AB 的长；
（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
19、（本小题满分16 分）
设
是首项为、公差为的等差数列
，
为其前项和。记
，
其中c 为实数。
（1）若c=0，且
成等比数列，证明：
（2）若
为等差数列，证明：c=0。
20、（本小题满分16 分）
设函数
，其中为实数。
（1）若
在
上是单调减函数，且
在
上有最小值，求的取值范围；
（2）若
在
上是单调增函数，试求
的零点个数，并证明你的结论。
21．[选做题]本题包括A、B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，
则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修4 - 1：几何证明选讲]（本小题满分10 分）
如图，AB 和BC 分别与圆O 相切于点D、C，AC 经过圆心O，且BC=2OC。
求证：AC=2AD。
B．[选修4 - 2：矩阵与变换]（本小题满分10 分）
已知矩阵
，求矩阵
．
C．[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10 分）
在平面直角坐标系
中，直线的参数方程为
（为参数），曲线C 的参数方程为
（
为参数）。试求直线和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标。
D．[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10 分）
已知
≥
＞0，求证：
≥
。
【必做题】第22 题、第23 题，每题10 分，共计20 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出
文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10 分）
如图，在直三棱柱
中，AB⊥AC，AB=AC=2，
=4，点D 是BC 的中点。
（1）求异面直线
与
所成角的余弦值；
（2）求平面
与平面
所成二面角的正弦值。
23．（本小题满分10 分）
设数列
：1，-2，-2，3，3，3，-4，-4，-4，-4，…，
，…
即当
时，
。记
。
对于
，定义集合
=﹛
|
为
的整数倍，
且1≤
≤}
(1)求
中元素个数；
(2)求集合
中元素个数。
参考答案
1．【答案】π
【解析】T＝||＝||＝π．
2．【答案】5
【解析】z＝3－4i，i2＝－1，| z |＝
＝5．
3．【答案】
【解析】令：
，得
．
4．【答案】8
【解析】23＝8．
5．【答案】3
【解析】n＝1，a＝2，a＝4，n＝2；a＝10，n＝3；a＝28，n＝4．
6．【答案】2
【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为：
．
方差为：
．
7．
【答案】
【解析】m 取到奇数的有1，3，5，7 共4 种情况；n 取到奇数的有1，3，5，7，9 共5 种情况，则
都取到奇数的概率为
．
8．
【答案】1：24
【解析】三棱锥
与三棱锥
的相似比为1：2，故体积之比为1：
8．又因三棱锥
与三棱柱
的体积之比为1：3．所以，三
棱锥
与三棱柱
的体积之比为1：24．
9．
【答案】[—2，]
【解析】抛物线
在
处的切线易得为y＝2x—1，令z＝
，y＝—x＋．
画出可行域如下，易得过点(0，—1)时，zmin＝—2，过点(，0)时，zmax＝．
10．
【答案】
【解析】
所以，
，
，
．
11．
【答案】(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)
【解析】做出
(
)的图像，如下图所示。由于
是定义在
上的奇函数，
y
x
O
y ＝2x —
1
y ＝— x
A
B
C
1A
D
E
F
1B
1C
y
x
l
B
F
O
c
b
a
利用奇函数图像关于原点对称做出x＜0 的图像。不等式
，表示函数y＝
的图像
在y＝x 的上方，观察图像易得：解集为(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)。
12． 【答案】
【解析】如图，l：x＝
，＝
－c＝
，由等面积得：
＝
。若
，则
＝
，整理得：
，两边同除以：
，得：
，解之得：＝
，所以，离
心率为：
．
13．
【答案】1 或
【解析】
14．
【答案】12
【解析】设正项等比数列
首项为a1，公比为q，则：
，得：a1＝，q＝2，an
＝26 －n ．记
，
．
，则
，化简得：
，当
时，
．
当n＝12 时，
，当n＝13 时，
，故nmax＝12．
二、解答题：本大题共6 小题，共计90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说
x
y
y ＝
x
y ＝x2 — 4
x
P(5,5)
Q( ﹣5, ﹣
5)
明、证明过程或演算步骤．
15．
解：（1）a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)，
|a－b|2＝(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝2－2(cosα·cosβ＋sinα·sinβ)＝2，
所以，cosα·cosβ＋sinα·sinβ＝0，
所以，
．
（2）
，①2＋②2得：cos(α－β)＝－．
所以，α－β＝
，α＝
＋β，
带入②得：sin(
＋β)＋sinβ＝
cosβ＋sinβ＝sin(
＋β)＝1，
所以，
＋β＝
．
所以，α＝
，β＝
．
16．
证：（1）因为SA＝AB 且AF⊥SB，
所以F 为SB 的中点．
又E，G 分别为SA，SC 的中点，
所以，EF∥AB，EG∥AC．
又AB∩AC＝A，AB
面SBC，AC
面ABC，
所以，平面
平面
．
（2）因为平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝BC，
AF
平面ASB，AF⊥SB．
所以，AF⊥平面SBC．
又BC
平面SBC，
所以，AF⊥BC．
又AB⊥BC，AF∩AB＝A，
所以，BC⊥平面SAB．
又SA
平面SAB，
所以，
．
17． 解：（1）联立：
，得圆心为：C(3，2)．
设切线为：
，
d＝
，得：
．
故所求切线为：
．
（2）设点M(x，y)，由
，知：
，
A
B
C
S
G
F
E
x
y
A
l
O
化简得：
，
即：点M 的轨迹为以(0，1)为圆心，2 为半径的圆，可记为圆D．
又因为点
在圆
上，故圆C 圆D 的关系为相交或相切．
故：1≤|CD|≤3，其中
．
解之得：0≤a≤．
18．
解：（1）如图作BD⊥CA 于点D，
设BD＝20k，则DC＝25k，AD＝48k，
AB＝52k，由AC＝63k＝1260m，
知：AB＝52k＝1040m．
（2）设乙出发x 分钟后到达点M，
此时甲到达N 点，如图所示．
则：AM＝130x，AN＝50(x＋2)，
由余弦定理得：MN2＝AM2＋AN2－2 AM·ANcosA＝7400 x2－14000 x＋10000，
其中0≤x≤8，当x＝(min)时，MN 最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短．
（3）由（1）知：BC＝500m，甲到C 用时：＝(min)．
若甲等乙3 分钟，则乙到C 用时：＋3＝ (min)，在BC 上用时： (min) ．
此时乙的速度最小，且为：500÷＝m/min．
若乙等甲3 分钟，则乙到C 用时：－3＝ (min)，在BC 上用时： (min) ．
此时乙的速度最大，且为：500÷＝m/min．
故乙步行的速度应控制在[，]范围内．
19．
证：（1）若
，则
，
，
．
当
成等比数列，
，
即：
，得：
，又
，故
．
由此：
，
，
．
故：
（
）．
（2）
，
． (※)
C
B
A
D
M
N
若
是等差数列，则
型．
观察(※)式后一项，分子幂低于分母幂，
故有：
，即
，而
≠0，
故
．
经检验，当
时
}
{ nb
是等差数列．
20．
解：（1）
a
x
x
f
1
)
(
≤0 在
)
,1( 上恒成立，则a ≥
x
1 ，
)
1(
，
x
．
故：a ≥1．
a
x
g
x
e
)
(
，
若1≤a ≤e，则
a
x
g
x
e
)
(
≥0 在
)
,1( 上恒成立，
此时，
ax
e
x
g
x
)
(
在
)
,1( 上是单调增函数，无最小值，不合；
若a ＞e，则
ax
e
x
g
x
)
(
在
)
ln
1(
a
，
上是单调减函数，在
)
(ln
，
a
上是单调
增函数，
)
ln
(
)
(
min
a
g
x
g
，满足．
故a 的取值范围为：a ＞e．
（2）
a
x
g
x
e
)
(
≥0 在
)
,1
(
上恒成立，则a ≤ex，
故：a ≤．
)
0
(
1
1
)
(
x
x
ax
a
x
x
f
．
(ⅰ)若0＜a ≤，令
)
(x
f
＞0 得增区间为(0，)；
令
)
(x
f
＜0 得减区间为(，﹢∞)．
当x→0 时，f(x)→﹣∞；当x→﹢∞时，f(x)→﹣∞；
当x＝时，f()＝﹣lna－1≥0，当且仅当a ＝时取等号．
故：当a ＝时，f(x)有1 个零点；当0＜a ＜时，f(x)有2 个零点．
(ⅱ)若a＝0，则f(x)＝﹣lnx，易得f(x)有1 个零点．
(ⅲ)若a＜0，则
0
1
)
(
a
x
x
f
在
)
0
(
，
上恒成立，
即：
ax
x
x
f
ln
)
(
在
)
0
(
，
上是单调增函数，
当x→0 时，f(x)→﹣∞；当x→﹢∞时，f(x)→﹢∞．
此时，f(x)有1 个零点．
综上所述：当a ＝或a＜0 时，f(x)有1 个零点；当0＜a ＜时，f(x)有2 个零点．
