文档文本内容
2013 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数 学（文史类）
第Ⅰ卷 （选择题 共50 分）
注意事项：
必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要
求的。
1、设集合
，集合
，则
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
2、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（ ）
（A）棱柱 （B）棱台
（C）圆柱 （D）圆台
3、如图，在复平面内，点
表示复数
，则图中表示
的共轭复数的点是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
4、设
，集合
是奇数集，集合
是偶数集。若命题
，则（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
5、抛物线
的焦点到直线
的距离是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
6、函数
的部分图象如图所示，则
的值分别是（ ）
（A）
（B）
数学（文史类） 第 1 页 （共 17 页）
y
x
D
B
A
O
C
11π
12
5π
12
2
-2
O
（C）
（D）
7、某学校随机抽取
个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得
数据的茎叶图如图所示。以组距为
将数据分组成
，
，…，
，
时，所作的频率分布直方图是（ ）
8、若变量
满足约束条件
且
的最大值为
，最小值为
，则
的值是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
9、从椭圆
上一点
向
轴作垂线，垂足恰为左焦点
，
是椭圆与
轴正半轴的
交点，
是椭圆与
轴正半轴的交点，且
（
是坐标原点），则该椭圆的离心率是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
10、设函数
（
，为自然对数的底数）。若存在
使
成立，则
的取值范围是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
第二部分 （非选择题 共100 分）
注意事项：
必须使用0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答。作图题可先用铅笔绘出，确认
后再用0.5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷上无效。
二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共25 分。
11、
的值是____________。
12 、如图，在平行四边形
中，对角线
与
交于点
，
，则
____________。
数学（文史类） 第 2 页 （共 17 页）
O
C
A
B
D
13、已知函数
在
时取得最小值，则
____________。
14、设
，
，则
的值是____________。
15、在平面直角坐标系内，到点
，
，
，
的距离之和最小的点的坐标是_______。
三、解答题：本大题共6 小题，共75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16、(本小题满分12 分)
在等比数列
中，
，且
为
和
的等差中项，求数列
的首项、公比及前
项和。
17、(本小题满分12 分)
在
中，角
的对边分别为
，且
。
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）若
，
，求向量
在
方向上的投影。
18、(本小题满分12 分)
某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量
在
这
个整数中等可能随机产生。
（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出
的值为的概率
；
（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行
次后，统计记录了输出
的值为
的频数。以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据。
数学（文史类） 第 3 页 （共 17 页）
甲的频数统计表（部分）
乙的频数统计表（部分）
运行
次数
输出
的值
为的频数
输出
的值
为
的频数
输出
的值
为
的频数
…
…
…
…
当
时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出
的值为
的频率（用
分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大。
19、(本小题满分12 分)
如图，在三棱柱
中，侧棱
底面
，
，
，
分别是线段
的中点，
是线段
上异于端点的点。
（Ⅰ）在平面
内，试作出过点
与平面
平行的直线，说
明理由，并证明直线
平面
；
（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线交
于点
，求三棱锥
的体积。
（锥体体积公式：
，其中
为底面面积，
为高）
20、(本小题满分13 分)
已知圆
的方程为
，点
是坐标原点。直线
与圆
交于
两点。
（Ⅰ）求
的取值范围；
（Ⅱ）设
是线段
上的点，且
。请将
表示为
的函数。
21、(本小题满分14 分)
数学（文史类） 第 4 页 （共 17 页）
运行
次数
输出
的值
为的频数
输出
的值
为
的频数
输出
的值
为
的频数
…
…
…
…
D1
D
C
B
A1
B1
C1
A
P
已知函数
，其中
是实数。设
，
为该函数图象上
的两点，且
。
（Ⅰ）指出函数
的单调区间；
（Ⅱ）若函数
的图象在点
处的切线互相垂直，且
，证明：
；
（Ⅲ）若函数
的图象在点
处的切线重合，求
的取值范围。
答案：
2013 年四川省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要
求的．
1．（5 分）（2013•四川）设集合A={1，2，3}，集合B={
2
﹣，2}，则A∩B=（ ）
A
．
∅
B
．
{2}
C
．
{
2
﹣，2}
D
．
{
2
﹣，1，2，3}
考点：交集及其运算．菁优网版权所有
专题：计算题．
分析：找出A 与B 的公共元素即可求出交集．
解答：解：∵集合A={1，2，3}，集合B={
2
﹣，2}，
A∩B={2}
∴
．
故选B
点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．（5 分）（2013•四川）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（ ）
A
．
棱柱
B
．
棱台
C
．
圆柱
D
．
圆台
考点：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
专题：空间位置关系与距离．
分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
解答：解：由三视图知，从正面和侧面看都是梯形，
从上面看为圆形，下面看是圆形，并且可以想象到该几何体是圆台，
则该几何体可以是圆台．
故选D．
点评：考查学生对圆锥三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
数学（文史类） 第 5 页 （共 17 页）
3．（5 分）（2013•四川）如图，在复平面内，点A 表示复数z 的共轭复数，则复数z 对应的点是（ ）
A
．
A
B
．
B
C
．
C
D
．
D
考点：复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义．菁优网版权所有
专题：计算题．
分析：直接利用共轭复数的定义，找出点A 表示复数z 的共轭复数的点即可．
解答：解：两个复数是共轭复数，两个复数的实部相同，虚部相反，对应的点关于x 轴对称．
所以点A 表示复数z 的共轭复数的点是B．
故选B．
点评：本题考查复数与共轭复数的关系，复数的几何意义，基本知识的考查．
4．（5 分）（2013•四川）设x∈Z，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则（ ）
A
．
￢p：∃x∈A，2x∈B
B
．
￢p：∃x∉A，2x∈B
C
．
￢p：∃x∈A，2x∉B
D
．
￢p：∀x∉A，2x∉B
考点：命题的否定；特称命题．菁优网版权所有
专题：规律型．
分析：“全称命题”的否定一定是“存在性命题”据此可解决问题．
解答：解：∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，
∴命题p：∀x∈A，2x∈B 的否定是：
￢p：∃x∈A，2x∉B．
故选C．
点评：本小题主要考查命题的否定、命题的否定的应用等基础知识．属于基础题．命题的否定即命题的对
立面．“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述．如“对所有的…都成立”与“至
少有一个…不成立”；“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命
题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”．
5．（5 分）（2013•四川）抛物线y2=8x 的焦点到直线
的距离是（ ）
A
．
B
．
2
C
．
D
．
1
考点：抛物线的简单性质；点到直线的距离公式．菁优网版权所有
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：由抛物线y2=8x 得焦点F（2，0），再利用点到直线的距离公式可得点F（2，0）到直线
的距
离．
解答：解：由抛物线y2=8x 得焦点F（2，0），
∴点F（2，0）到直线
的距离d=
=1．
故选D．
点评：熟练掌握抛物线的性质和点到直线的距离公式是解题的关键．
数学（文史类） 第 6 页 （共 17 页）
6．（5 分）（2013•四川）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣
＜φ＜
）的部分图象如图所示，则ω，φ 的值分
别是（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
考点：y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．菁优网版权所有
专题：三角函数的图像与性质．
分析：根据函数在同一周期内的最大值、最小值对应的x 值，求出函数的周期T=
=π，解得ω=2．由函数
当x=
时取得最大值2，得到
+φ=
+kπ（k∈Z），取k=0 得到φ=﹣
．由此即可得到本题的答
案．
解答：解：∵在同一周期内，函数在x=
时取得最大值，x=
时取得最小值，
∴函数的周期T 满足=
﹣
=
，
由此可得T=
=π，解得ω=2，
得函数表达式为f（x）=2sin（2x+φ）
又∵当x=
时取得最大值2，
2sin
∴
（2•
+φ）=2，可得
+φ=
+2kπ（k∈Z）
∵
，∴取k=0，得φ=﹣
故选：A．
点评：本题给出y=Asin（ωx+φ）的部分图象，求函数的表达式．着重考查了三角函数的图象与性质、函数
y=Asin（ωx+φ）的图象变换等知识，属于基础题．
7．（5 分）（2013•四川）某学校随机抽取20 个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如
图所示．以组距为5 将数据分组成[0，5），[5，10），…，[30，35），[35，40]时，所作的频率分布直方图是（ ）
数学（文史类） 第 7 页 （共 17 页）
A
．
B
．
C
．
D
．
考点：频率分布直方图；茎叶图．菁优网版权所有
专题：概率与统计．
分析：根据题意，由频率与频数的关系，计算可得各组的频率，进而可以做出频率分布表，结合分布表，进
而可以做出频率分布直方图．
解答：解：根据题意，频率分布表可得：
分组
频数
频率
[0，5）
1
0.05
[5，10）
1
0.05
[10，15）
4
0.20
…
…
…
[30，35）
3
0.15
[35，40）
2
0.10
合计
100
1.00
进而可以作频率直方图可得：
故选：A．
点评：本题考查频率分布直方图的作法与运用，关键是正确理解频率分布表、频率分步直方图的意义并运
用．
8．（5 分）（2013•四川）若变量x，y 满足约束条件
且z=5y
x
﹣的最大值为a，最小值为b，则a
b
﹣
的值是（ ）
A
．
48
B
．
30
C
．
24
D
．
16
考点：简单线性规划．菁优网版权所有
专题：计算题；不等式的解法及应用．
分析：先根据条件画出可行域，设z=5y
x
﹣，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y 轴上的截距最大，
只需求出直线，过可行域内的点B（8，0）时的最小值，过点A（4，4）时，5y
x
﹣最大，从而得到a
b
﹣的
值．
数学（文史类） 第 8 页 （共 17 页）
解答：
解：满足约束条件
的可行域如图所示
在坐标系中画出可行域，
平移直线5y
x=0
﹣
，经过点B（8，0）时，5y
x
﹣最小，最小值为：﹣8，
则目标函数z=5y
x
﹣的最小值为﹣8．
经过点A（4，4）时，5y
x
﹣最大，最大值为：16，
则目标函数z=5y
x
﹣的最大值为16．
z=5y
x
﹣的最大值为a，最小值为b，则a
b
﹣的值是：24．
故选C．
点评：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最
优解，通常是利用平移直线法确定．
9．（5 分）（2013•四川）从椭圆
上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A 是椭
圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB OP
∥
（O 是坐标原点），则该椭圆的离心率是（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
考点：椭圆的简单性质．菁优网版权所有
专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
依题意，可求得点P 的坐标P（﹣c，
），由AB OP
∥
⇒kAB=kOP⇒b=c，从而可得答案．
解答：解：依题意，设P（﹣c，y0）（y0＞0），
则
+
=1，
y
∴0=
，
P
∴（﹣c，
），
又A（a，0），B（0，b），AB OP
∥
，
k
∴AB=kOP，即
=
=
，
b=c
∴
．
设该椭圆的离心率为e，则e2=
=
=
= ，
数学（文史类） 第 9 页 （共 17 页）
∴椭圆的离心率e=
．
故选C．
点评：
本题考查椭圆的简单性质，求得点P 的坐标（﹣c，
）是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．
10．（5 分）（2013•四川）设函数
（a∈R，e 为自然对数的底数）．若存在b∈[0，1]使f（f
（b））=b 成立，则a 的取值范围是（ ）
A
．
[1，e]
B
．
[1，1+e]
C
．
[e，1+e]
D
．
[0，1]
考点：函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有
专题：计算题；压轴题；函数的性质及应用．
分析：根据题意，问题转化为“存在b∈[0，1]，使f（b）=f
1
﹣（b）”，即y=f（x）的图象与函数y=f
1
﹣（x）的图象
有交点，且交点的横坐标b∈[0，1]．由y=f（x）的图象与y=f
1
﹣（x）的图象关于直线y=x 对称，得到函
数y=f（x）的图象与y=x 有交点，且交点横坐标b∈[0，1]．因此，将方程
化简整理得
ex=x2
x+a
﹣
，记F（x）=ex，G（x）=x2
x+a
﹣
，由零点存在性定理建立关于a 的不等式组，解之即可得到
实数a 的取值范围．
解答：解：由f（f（b））=b，可得f（b）=f
1
﹣（b）
其中f
1
﹣（x）是函数f（x）的反函数
因此命题“存在b∈[0，1]使f（f（b））=b 成立”，转化为
“存在b∈[0，1]，使f（b）=f
1
﹣（b）”，
即y=f（x）的图象与函数y=f
1
﹣（x）的图象有交点，
且交点的横坐标b∈[0，1]，
y=f
∵
（x）的图象与y=f
1
﹣（x）的图象关于直线y=x 对称，
y=f
∴
（x）的图象与函数y=f
1
﹣（x）的图象的交点必定在直线y=x 上，
由此可得，y=f（x）的图象与直线y=x 有交点，且交点横坐标b∈[0，1]，
根据
，化简整理得ex=x2
x+a
﹣
记F（x）=ex，G（x）=x2
x+a
﹣
，在同一坐标系内作出它们的图象，
可得
，即
，解之得1≤a≤e
即实数a 的取值范围为[1，e]
故选：A
点评：本题给出含有根号与指数式的基本初等函数，在存在b∈[0，1]使f（f（b））=b 成立的情况下，求参数a
的取值范围．着重考查了基本初等函数的图象与性质、函数的零点存在性定理和互为反函数的两个
函数的图象特征等知识，属于中档题．
二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共25 分．
11．（5 分）（2013•四川）lg
+lg
的值是
1
．
数学（文史类） 第 10 页 （共 17 页）
考点：对数的运算性质．菁优网版权所有
专题：计算题．
分析：直接利用对数的运算性质求解即可．
解答：解：
=
=1．
故答案为：1．
点评：本题考查对数的运算性质，基本知识的考查．
12．（5 分）（2013•四川）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O，
，则λ=
2
．
考点：平面向量的基本定理及其意义．菁优网版权所有
专题：计算题；平面向量及应用．
分析：依题意，
+
=
，而
=2
，从而可得答案．
解答：解：∵四边形ABCD 为平行四边形，对角线AC 与BD 交于点O，
∴
+
=
，
又O 为AC 的中点，
∴
=2
，
∴
+
=2
，
∵
+
=λ
，
λ=2
∴
．
故答案为：2．
点评：本题考查平面向量的基本定理及其意义，属于基础题．
13．（5 分）（2013•四川）已知函数
在x=3 时取得最小值，则a=
36
．
考点：函数在某点取得极值的条件．菁优网版权所有
专题：导数的概念及应用；不等式的解法及应用．
分析：由题设函数
在x=3 时取得最小值，可得 f′（3）=0，解此方程即可得
出a 的值．
解答：解：由题设函数
在x=3 时取得最小值，
x
∵∈（0，+∞），
∴得x=3 必定是函数
的极值点，
f′
∴（3）=0，
f′（x）=4﹣
，
即4﹣
=0，
解得a=36．
故答案为：36．
点评：本题考查利用导数求函数的最值及利用导数求函数的极值，解题的关键是理解“函数在x=3 时取得
最小值”，将其转化为x=3 处的导数为0 等量关系．
14．（5 分）（2013•四川）设sin2α=
sinα
﹣
，α∈（
，π），则tan2α 的值是
．
考点：二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系；二倍角的正切．菁优网版权所有
专题：压轴题；三角函数的求值．
分析：已知等式左边利用二倍角的正弦函数公式化简，根据sinα 不为0 求出cosα 的值，由α 的范围，利用
数学（文史类） 第 11 页 （共 17 页）
同角三角函数间的基本关系求出sinα 的值，进而求出tanα 的值，所求式子利用二倍角的正切函数公
式化简后，将tanα 的值代入计算即可求出值．
解答：解：∵sin2α=2sinαcosα=
sinα
﹣
，α∈（
，π），
cosα=
∴
﹣，sinα=
=
，
tanα=
∴
﹣
，
则tan2α=
=
=
．
故答案为：
点评：此题考查了二倍角的正弦、正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本
题的关键．
15．（5 分）（2013•四川）在平面直角坐标系内，到点A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，﹣1）的距离之和最小
的点的坐标是 （
2 ，
4 ）
．
考点：一般形式的柯西不等式．菁优网版权所有
专题：压轴题；直线与圆．
分析：如图，设平面直角坐标系中任一点P，利用三角形中两边之和大于第三边得
PA+PB+PC+PD=PB+PD+PA+PC≥BD+AC=QA+QB+QC+QD，从而得到四边形ABCD 对角线的交点
Q 即为所求距离之和最小的点．再利用两点式方程求解对角线所在的直线方程，联立方程组求交点
坐标即可．
解答：解：如图，设平面直角坐标系中任一点P，
P 到点A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，﹣1）的距离之和为：
PA+PB+PC+PD=PB+PD+PA+PC≥BD+AC=QA+QB+QC+QD，
故四边形ABCD 对角线的交点Q 即为所求距离之和最小的点．
A
∵（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，﹣1），
AC
∴
，BD 的方程分别为：
，
，
即2x
y=0
﹣
，x+y
6=0
﹣
．
解方程组
得Q（2，4）．
故答案为：（2，4）．
点评：本小题主要考查直线方程的应用、三角形的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思
想、化归与转化思想．属于基础题．
三、解答题：本大题共6 小题，共75 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
数学（文史类） 第 12 页 （共 17 页）
16．（12 分）（2013•四川）在等比数列{an}中，a2
a
﹣1=2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项、公
比及前n 项和．
考点：等比数列的前n 项和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．菁优网版权所有
专题：计算题；等差数列与等比数列．
分析：等比数列的公比为q，由已知可得，a1q
a
﹣1=2，4
，解方程可求q，a1，然后代入等比
数列的求和公式可求
解答：解：设等比数列的公比为q，
由已知可得，a1q
a
﹣1=2，4
联立可得，a1（q
1
﹣）=2，q2
4q+3=0
﹣
∴
或q=1（舍去）
∴
=
点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及等差中项等基础知识，考查运算求解的能力
17．（12 分）（2013•四川）在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且cos（A
B
﹣）cosB
sin
﹣
（A
B
﹣）sin
（A+C）=﹣．
（Ⅰ）求sinA 的值；
（Ⅱ）若a=4
，b=5，求向量
在
方向上的投影．
考点：两角和与差的正弦函数；平面向量数量积的含义与物理意义；正弦定理．菁优网版权所有
专题：解三角形．
分析：（Ⅰ）由已知条件利用三角形的内角和以及两角差的余弦函数，求出A 的余弦值，然后求sinA 的值；
（Ⅱ）利用
，b=5，结合正弦定理，求出B 的正弦函数，求出B 的值，利用余弦定理求出c 的大
小，然后求解向量
在
方向上的投影．
解答：解：（Ⅰ）由
，
可得
，
即
，
即
，
因为0＜A＜π，
所以
．
（Ⅱ）由正弦定理，
，所以
=
，
由题意可知a＞b，即A＞B，所以B=
，
由余弦定理可知
．
解得c=1，c=
7
﹣（舍去）．
向量
在
方向上的投影：
=ccosB=
．
点评：本题考查两角和的余弦函数，正弦定理以及余弦定理同角三角函数的基本关系式等基本知识，考查
计算能力转化思想．
数学（文史类） 第 13 页 （共 17 页）
18．（12 分）（2013•四川）某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1，2，3，…，24 这24 个整数中等
可能随机产生．
（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率Pi（i=1，2，3）；
（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n 次后，统计记录了输出y 的值为i
（i=1，2，3）的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．
甲的频数统计表（部分）
运行
次数n
输出y 的值
为1 的频数
输出y 的值
为2 的频数
输出y 的值
为3 的频数
30
14
6
10
…
…
…
…
2100 1027
376
697
乙的频数统计表（部分）
运行
次数n
输出y 的值
为1 的频数
输出y 的值
为2 的频数
输出y 的值
为3 的频数
30
12
11
7
…
…
…
…
2100 1051
696
353
当n=2100 时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y 的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表
示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大．
考点：程序框图；古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有
专题：图表型；算法和程序框图．
分析：（I）由题意可知，当x 从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23 这12 个数中产生时，输出y 的值为1，
当x 从2，4，8，10，14，16，20，22 这8 个数中产生时，输出y 的值为2，当x 从6，12，18，24 这4 个数
中产生时，输出y 的值为3，从而得出输出y 的值为1 的概率为；输出y 的值为2 的概率为；输出y
的值为3 的概率为；
（II）当n=2100 时，列出甲、乙所编程序各自输出y 的值为i（i=1，2，3）的频率的表格，再比较频率趋
势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性大．
解答：解：（I）当x 从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23 这12 个数中产生时，输出y 的值为1，故P1= ；
当x 从2，4，8，10，14，16，20，22 这8 个数中产生时，输出y 的值为2，故P2= ；
数学（文史类） 第 14 页 （共 17 页）
当x 从6，12，18，24 这4 个数中产生时，输出y 的值为3，故P3= ；
∴输出y 的值为1 的概率为；输出y 的值为2 的概率为；输出y 的值为3 的概率为；
（II）当n=2100 时，甲、乙所编程序各自输出y 的值为i（i=1，2，3）的频率如下：
输出y 的值为1 的频
率
输出y 的值为2 的频
率
输出y 的值为3 的频
率
甲
乙
比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性大．
点评：本题综合考查程序框图、古典概型及其概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
19．（12 分）（2013•四川）如图，在三棱柱ABC
A
﹣
1B1C 中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=2AA1=2，
∠BAC=120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P 是线段AD 上异于端点的点．
（Ⅰ）在平面ABC 内，试作出过点P 与平面A1BC 平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；
（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l 交AC 于点Q，求三棱锥A1
QC
﹣
1D 的体积．（锥体体积公式：
，其中S 为底面
面积，h 为高）
考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有
专题：空间位置关系与距离．
分析：（Ⅰ）在平面ABC 内，过点P 作直线l 和BC 平行，根据直线和平面平行的判定定理可得直线l 与平
面A1BC 平行．
等腰三角形ABC 中，根据等腰三角形中线的性质可得AD BC
⊥
，故l AD
⊥
．再由AA1⊥底面ABC，可
得 AA1 l
⊥．再利用直线和平面垂直的判定定理可得直线l⊥平面ADD1A1 ．
（Ⅱ）过点D 作DE AC
⊥
，证明DE⊥平面AA1C1C．直角三角形ACD 中，求出AD 的值，可得 DE 的
值，从而求得
=
的值，再根据三棱锥A1
QC
﹣
1D 的体积
=
= •
•DE，运算求得结果．
解答：解：（Ⅰ）在平面ABC 内，过点P 作直线l 和BC 平行，由于直线l 不在平面A1BC 内，而BC 在平面
A1BC 内，
故直线l 与平面A1BC 平行．
三角形ABC 中，∵AB=AC=2AA1=2，∠BAC=120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，∴AD BC
⊥
，
∴l AD
⊥
．
再由AA1⊥底面ABC，可得 AA1 l
⊥．
而AA1∩AD=A，
∴直线l⊥平面ADD1A1 ．
（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l 交AC 于点Q，过点D 作DE AC
⊥
，
∵侧棱AA1⊥底面ABC，故三棱柱ABC
A
﹣
1B1C 为直三棱柱，
故DE⊥平面AA1C1C．
直角三角形ACD 中，∵AC=2，∠CAD=60°，∴AD=AC•cos60°=1，∴DE=AD•sin60°=
．
数学（文史类） 第 15 页 （共 17 页）
∵
=
=
=1，
∴三棱锥A1
QC
﹣
1D 的体积
=
= •
•DE= ×1×
=
．
点评：本题主要考查直线和平面平行、垂直的判定定理的应用，用等体积法求三棱锥的体积，属于中档题．
20．
（13 分）
（2013•四川）已知圆C 的方程为x2+（y
4
﹣）2=4，点O 是坐标原点．直线l：y=kx 与圆C 交于M，N
两点．
（Ⅰ）求k 的取值范围；
（Ⅱ）设Q（m，n）是线段MN 上的点，且
．请将n 表示为m 的函数．
考点：直线与圆的位置关系；函数与方程的综合运用．菁优网版权所有
专题：直线与圆．
分析：（Ⅰ）将直线l 方程与圆C 方程联立消去y 得到关于x 的一元二次方程，根据两函数图象有两个交
点，得到根的判别式的值大于0，列出关于k 的不等式，求出不等式的解集即可得到k 的取值范围；
（Ⅱ）由M、N 在直线l 上，设点M、N 坐标分别为（x1，kx1），（x2，kx2），利用两点间的距离公式表示
出|OM|2与|ON|2，以及|OQ|2，代入已知等式中变形，再利用根与系数的关系求出x1+x2与x1x2，用k 表
示出m，由Q 在直线y=kx 上，将Q 坐标代入直线y=kx 中表示出k，代入得出的关系式中，用m 表示
出n 即可得出n 关于m 的函数解析式，并求出m 的范围即可．
解答：解：（Ⅰ）将y=kx 代入x2+（y
4
﹣）2=4 中，得：（1+k2）x2
8kx+12=0
﹣
（*），
根据题意得：△=（﹣8k）2
4
﹣（1+k2）×12＞0，即k2＞3，
则k 的取值范围为（﹣∞，﹣
）∪（
，+∞）；
（Ⅱ）由M、N、Q 在直线l 上，可设M、N 坐标分别为（x1，kx1），（x2，kx2），
|OM|
∴
2=（1+k2）x1
2，|ON|2=（1+k2）x2
2，|OQ|2=m2+n2=（1+k2）m2，
代入
=
+
得：
=
+
，
即
=
+
=
，
由（*）得到x1+x2=
，x1x2=
，
代入得：
=
，即m2=
，
∵点Q 在直线y=kx 上，∴n=km，即k= ，代入m2=
，化简得5n2
3m
﹣
2=36，
由m2=
及k2＞3，得到0＜m2＜3，即m∈（﹣
，0）∪（0，
），
根据题意得点Q 在圆内，即n＞0，
n=
∴
=
，
则n 与m 的函数关系式为n=
（m∈（﹣
，0）∪（0，
））．
点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：根的判别式，根与系数的关系，两点间的距离公
式，以及函数与方程的综合运用，本题计算量较大，是一道综合性较强的中档题．
数学（文史类） 第 16 页 （共 17 页）
21．（14 分）（2013•四川）已知函数
，其中a 是实数．设A（x1，f（x1）），B（x2，f
（x2））为该函数图象上的两点，且x1＜x2．
（Ⅰ）指出函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象在点A，B 处的切线互相垂直，且x2＜0，证明：x2
x
﹣1≥1；
（Ⅲ）若函数f（x）的图象在点A，B 处的切线重合，求a 的取值范围．
考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
专题：压轴题；导数的综合应用．
分析：（I）根据分段函数中两段解析式，结合二次函数及对数函数的性质，即可得出函数f（x）的单调区间；
（II）由导数的几何意义知，点A 处的切线的斜率为f′（x1），点B 处的切线的斜率为f′（x2），再利用f
（x）的图象在点A，B 处的切线互相垂直时，斜率之积等于﹣1，得出（2x1+2）（2x2+2）=
1
﹣，最后利用
基本不等式即可证得x2
x
﹣1≥1；
（III）先根据导数的几何意义写出函数f（x）在点A、B 处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件
列出关系式，从而得出a=lnx2+（
）2
1
﹣，最后利用导数研究它的单调性和最值，即可得出a
的取值范围．
解答：解：（I）函数f（x）的单调减区间（﹣∞，﹣1），函数f（x）的单调增区间[
1
﹣，0），（0，+∞）；
（II）由导数的几何意义知，点A 处的切线的斜率为f′（x1），点B 处的切线的斜率为f′（x2），
函数f（x）的图象在点A，B 处的切线互相垂直时，有f′（x1）f′（x2）=
1
﹣，
当x＜0 时，（2x1+2）（2x2+2）=
1
﹣，∵x1＜x2＜0，∴2x1+2＜0，2x2+2＞0，
x
∴2
x
﹣1= [﹣（2x1+2）+（2x2+2）]≥
=1，
∴若函数f（x）的图象在点A，B 处的切线互相垂直，有x2
x
﹣1≥1；
（III）当x1＜x2＜0，或0＜x1＜x2时，f′（x1）≠f′（x2），故x1＜0＜x2，
当x1＜0 时，函数f（x）在点A（x1，f（x1））处的切线方程为y﹣（x
+2x1+a）=（2x1+2）（x
x
﹣1）；
当x2＞0 时，函数f（x）在点B（x2，f（x2））处的切线方程为y
lnx
﹣
2=
（x
x
﹣2）；
两直线重合的充要条件是
，
由①及x1＜0＜x2得0＜
＜2，由①②得a=lnx2+（
）2
1=
ln
﹣
﹣
+ （
）2
1
﹣，
令t=
，则0＜t＜2，且a= t2
t
lnt
﹣﹣
，设h（t）= t2
t
lnt
﹣﹣
，（0＜t＜2）
则h′（t）= t
1
﹣﹣=
，∴h（t）在（0，2）为减函数，
则h（t）＞h（2）=
ln2
1
﹣
﹣，∴a＞﹣ln2
1
﹣，
∴若函数f（x）的图象在点A，B 处的切线重合，a 的取值范围（﹣ln2
1
﹣，+∞）．
点评：本题以函数为载体，考查分段函数的解析式，考查函数的单调性，考查直线的位置关系的处理，注意
利用导数求函数的最值．
数学（文史类） 第 17 页 （共 17 页）
