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2015 年重庆市高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1．（5 分）（2015•重庆）已知集合A={1，2，3}，B={1，3}，则A∩B=（ ）
A
．
{2}
B
．
{1，2}
C
．
{1，3}
D
．
{1，2，3}
2．（5 分）（2015•重庆）“x=1”是“x2
2x+1=0”
﹣
的（ ）
A
．
充要条件
B
．
充分而不必要条件
C
．
必要而不充分条件
D
．
既不充分也不必要条件
3．（5 分）（2015•重庆）函数f（x）=log2（x2+2x
3
﹣）的定义域是（ ）
A
．
[
3
﹣，1]
B
．
（﹣3，1）
C
．
（﹣∞，﹣
3]
[1
∪
，+∞）
D
．
（﹣∞，﹣3）∪
（1，+∞）
4．（5 分）（2015•重庆）重庆市2013 年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的
中位数是（ ）
A
．
19
B
．
20
C
．
21.5
D
．
23
5．（5 分）（2015•重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
1
6．（5 分）（2015•重庆）若tanα= ，tan（α+β）= ，则tanβ=（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
7．（5 分）（2015•重庆）已知非零向量
满足|
|=4|
|，且
⊥（
）则
的
夹角为（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
8．（5 分）（2015•重庆）执行如图所示的程序框图，则输出s 的值为（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
9．（5 分）（2015•重庆）设双曲线
=1（a＞0，b＞0）的右焦点是F，左、右顶点分别是
A1，A2，过F 做A1A2的垂线与双曲线交于B，C 两点，若A1B A
⊥
2C，则该双曲线的渐近线的斜
率为（ ）
A
．±
B
．±
C
．
±1
D
．
±
2
10．（5 分）（2015•重庆）若不等式组
，表示的平面区域为三角形，且其面积等
于，则m 的值为（ ）
A
．
3
﹣
B
．
1
C
．
D
．
3
二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共25 分.把答案填写在答题卡相应位置上.
11．（5 分）（2015•重庆）复数（1+2i）i 的实部为 ．
12．（5 分）（2015•重庆）若点P（1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方
程为 ．
13．（5 分）（2015•重庆）设△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且a=2，cosC=﹣，
3sinA=2sinB，则c= ．
14．（5 分）（2015•重庆）设a，b＞0，a+b=5，则
的最大值为 ．
15．（5 分）（2015•重庆）在区间[0，5]上随机地选择一个数p，则方程x2+2px+3p
2=0
﹣
有两个
负根的概率为 ．
三、解答题：本大题共6 小题，共75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（12 分）（2015•重庆）已知等差数列{an}满足a3=2，前3 项和S3= ．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设等比数列{bn}满足b1=a1，b4=a15，求{bn}前n 项和Tn．
17．（13 分）（2015•重庆）随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居
民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：
年份
2010
2011
2012
2013
2014
时间代号t
1
2
3
4
5
储蓄存款y（千亿元）
5
6
7
8
10
（Ⅰ）求y 关于t 的回归方程= t+ ．
（Ⅱ）用所求回归方程预测该地区2015 年（t=6）的人民币储蓄存款．
3
附：回归方程= t+ 中
．
18．（13 分）（2015•重庆）已知函数f（x）= sin2x﹣
cos2x．
（Ⅰ）求f（x）的最小周期和最小值；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g（x）
的图象．当x∈
时，求g（x）的值域．
19．（12 分）（2015•重庆）已知函数f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=
处取得极值．
（Ⅰ）确定a 的值；
（Ⅱ）若g（x）=f（x）ex，讨论g（x）的单调性．
20．（12 分）（2015•重庆）如题图，三棱锥P
ABC
﹣
中，平面PAC⊥平面ABC，∠ABC=
，点
D、E 在线段AC 上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F 在线段AB 上，且EF BC
∥
．
（Ⅰ）证明：AB⊥平面PFE．
（Ⅱ）若四棱锥P
DFBC
﹣
的体积为7，求线段BC 的长．
21．（13 分）（2015•重庆）如题图，椭圆
=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，且过F2
的直线交椭圆于P，Q 两点，且PQ PF
⊥
1．
（Ⅰ）若|PF1|=2+
，|PF2|=2﹣
，求椭圆的标准方程．
4
（Ⅱ）若|PQ|=λ|PF1|，且≤λ＜，试确定椭圆离心率e 的取值范围．
2015 年重庆市高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1．（5 分）（2015•重庆）已知集合A={1，2，3}，B={1，3}，则A∩B=（ ）
A
．
{2}
B
．
{1，2}
C
．
{1，3}
D
．
{1，2，3}
考点：交集及其运算．菁优网版权所有
专题：集合．
分析：直接利用集合的交集的求法求解即可．
解答：解：集合A={1，2，3}，B={1，3}，则A∩B={1，3}．
故选：C．
点评：本题考查交集的求法，考查计算能力．
2．（5 分）（2015•重庆）“x=1”是“x2
2x+1=0”
﹣
的（ ）
A
．
充要条件
B
．
充分而不必要条件
C
．
必要而不充分条件
D
．
既不充分也不必要条件
考点：充要条件．菁优网版权所有
专题：简易逻辑．
分析：先求出方程x2
2x+1=0
﹣
的解，再和x=1 比较，从而得到答案．
解答：解：由x2
2x+1=0
﹣
，解得：x=1，
故“x=1”是“x2
2x+1=0”
﹣
的充要条件，
故选：A．
5
点评：本题考察了充分必要条件，考察一元二次方程问题，是一道基础题．
3．（5 分）（2015•重庆）函数f（x）=log2（x2+2x
3
﹣）的定义域是（ ）
A
．
[
3
﹣，1]
B
．
（﹣3，1）
C
．
（﹣∞，﹣
3]
[1
∪
，+∞）
D
．
（﹣∞，﹣3）∪
（1，+∞）
考点：一元二次不等式的解法；对数函数的定义域．菁优网版权所有
专题：函数的性质及应用；不等式．
分析：利用对数函数的真数大于0 求得函数定义域．
解答：解：由题意得：x2+2x
3
﹣＞0，即（x
1
﹣）（x+3）＞0
解得x＞1 或x＜﹣3
所以定义域为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）
故选D．
点评：本题主要考查函数的定义域的求法．属简单题型．高考常考题型．
4．（5 分）（2015•重庆）重庆市2013 年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的
中位数是（ ）
A
．
19
B
．
20
C
．
21.5
D
．
23
考点：茎叶图．菁优网版权所有
专题：概率与统计．
分析：根据中位数的定义进行求解即可．
解答：解：样本数据有12 个，位于中间的两个数为20，20，
则中位数为
，
故选：B
点评：本题主要考查茎叶图的应用，根据中位数的定义是解决本题的关键．比较基础．
5．（5 分）（2015•重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
考点：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
专题：空间位置关系与距离．
分析：利用三视图判断直观图的形状，结合三视图的数据，求解几何体的体积即可．
解答：解：由题意可知几何体的形状是放倒的圆柱，底面半径为1，高为2，左侧与一个底面半
径为1，高为1 的半圆锥组成的组合体，
6
几何体的体积为：
=
．
故选：B．
点评：本题考查三视图的作法，组合体的体积的求法，考查计算能力．
6．（5 分）（2015•重庆）若tanα= ，tan（α+β）= ，则tanβ=（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
考点：两角和与差的正切函数．菁优网版权所有
专题：三角函数的求值．
分析：由条件利用查两角差的正切公式，求得tanβ=tan[（α+β）﹣α]的值．
解答：
解：∵tanα= ，tan（α+β）= ，则tanβ=tan[（α+β）﹣α]=
=
= ，
故选：A．
点评：本题主要考查两角差的正切公式的应用，属于基础题．
7．（5 分）（2015•重庆）已知非零向量
满足|
|=4|
|，且
⊥（
）则
的
夹角为（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
考点：数量积表示两个向量的夹角．菁优网版权所有
专题：平面向量及应用．
分析：由已知向量垂直得到数量积为0，于是得到非零向量
的模与夹角的关系，求出
夹角的余弦值．
解答：解：由已知非零向量
满足|
|=4|
|，且
⊥（
），设两个非零向量
的夹角为θ，
所以
•（
）=0，即2
=0，所以cosθ=
，θ∈[0，π]，所以
；
故选C．
点评：本题考查了向量垂直的性质运用以及利用向量的数量积求向量的夹角；熟练运用公式
是关键．
8．（5 分）（2015•重庆）执行如图所示的程序框图，则输出s 的值为（ ）
7
A
．
B
．
C
．
D
．
考点：循环结构．菁优网版权所有
专题：图表型；算法和程序框图．
分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，s 的值，当k=8 时不满足条件k＜8，退
出循环，输出s 的值为
．
解答：解：模拟执行程序框图，可得
s=0，k=0
满足条件k＜8，k=2，s=
满足条件k＜8，k=4，s= +
满足条件k＜8，k=6，s= + +
满足条件k＜8，k=8，s= + + + =
不满足条件k＜8，退出循环，输出s 的值为
．
故选：D．
点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．
9．（5 分）（2015•重庆）设双曲线
=1（a＞0，b＞0）的右焦点是F，左、右顶点分别是
A1，A2，过F 做A1A2的垂线与双曲线交于B，C 两点，若A1B A
⊥
2C，则该双曲线的渐近线的斜
率为（ ）
A
．±
B
．±
C
．
±1
D
．
±
考点：双曲线的简单性质．菁优网版权所有
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
求得A1（﹣a，0），A2（a，0），B（c，
），C（c，﹣
），利用A1B A
⊥
2C，可得
8
，求出a=b，即可得出
双曲线的渐近线的斜率．
解答：
解：由题意，A1（﹣a，0），A2（a，0），B（c，
），C（c，﹣
），
A
∵
1B A
⊥
2C，
∴
，
a=b
∴
，
∴双曲线的渐近线的斜率为±1．
故选：C．
点评：本题考查双曲线的性质，考查斜率的计算，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
10．（5 分）（2015•重庆）若不等式组
，表示的平面区域为三角形，且其面积等
于，则m 的值为（ ）
A
．
3
﹣
B
．
1
C
．
D
．
3
考点：二元一次不等式（组）与平面区域．菁优网版权所有
专题：开放型；不等式的解法及应用．
分析：作出不等式组对应的平面区域，求出三角形各顶点的坐标，利用三角形的面积公式进
行求解即可．
解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：
若表示的平面区域为三角形，
由
，得
，即C（2，0），
则C（2，0）在直线x
y+2m=0
﹣
的下方，
即2+2m＞0，
则m＞﹣1，
则C（2，0），F（0，1），
由
，解得
，即A（1
m
﹣，1+m），
由
，解得
，即B（
，
）．
|AF|=1+m
1=m
﹣
，
则三角形ABC 的面积S= ×m×2+
（﹣
）= ，
即m2+m
2=0
﹣
，
解得m=1 或m=
2
﹣（舍），
故选：B
9
点评：本题主要考查线性规划以及三角形面积的计算，求出交点坐标，结合三角形的面积公
式是解决本题的关键．
二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共25 分.把答案填写在答题卡相应位置上.
11．（5 分）（2015•重庆）复数（1+2i）i 的实部为 ﹣
2
．
考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．菁优网版权所有
专题：数系的扩充和复数．
分析：利用复数的运算法则化简为a+bi 的形式，然后找出实部；注意i2=
1
﹣．
解答：解：（1+2i）i=i+2i2=
2+i
﹣
，所以此复数的实部为﹣2；
故答案为：﹣2．
点评：本题考查了复数的运算以及复数的认识；注意i2=
1
﹣．属于基础题．
12．（5 分）（2015•重庆）若点P（1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方
程为
x+2y
5=0
﹣
．
考点：圆的切线方程；直线与圆的位置关系．菁优网版权所有
专题：直线与圆．
分析：由条件利用直线和圆相切的性质，两条直线垂直的性质求出切线的斜率，再利用点斜
式求出该圆在点P 处的切线的方程．
解答：
解：由题意可得OP 和切线垂直，故切线的斜率为﹣
=
=﹣，
故切线的方程为y
2=
﹣
﹣（x
1
﹣），即 x+2y
5=0
﹣
，
故答案为：x+2y
5=0
﹣
．
点评：本题主要考查直线和圆相切的性质，两条直线垂直的性质，用点斜式求直线的方程，属
于基础题．
13．（5 分）（2015•重庆）设△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且a=2，cosC=﹣，
3sinA=2sinB，则c=
4
．
考点：正弦定理的应用．菁优网版权所有
专题：解三角形．
分析：由3sinA=2sinB 即正弦定理可得3a=2b，由a=2，即可求得b，利用余弦定理结合已知即
可得解．
解答：解：∵3sinA=2sinB，
10
∴由正弦定理可得：3a=2b，
a=2
∵
，
∴可解得b=3，
又∵cosC=﹣，
∴由余弦定理可得：c2=a2+b2
2abcosC=4+9
2×
﹣
﹣
=16，
∴解得：c=4．
故答案为：4．
点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
14．（5 分）（2015•重庆）设a，b＞0，a+b=5，则
的最大值为
3
．
考点：函数最值的应用．菁优网版权所有
专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：利用柯西不等式，即可求出
的最大值．
解答：解：由题意，（
）2≤（1+1）（a+1+b+3）=18，
∴
的最大值为3
，
故答案为：3
．
点评：本题考查函数的最值，考查柯西不等式的运用，正确运用柯西不等式是关键．
15．（5 分）（2015•重庆）在区间[0，5]上随机地选择一个数p，则方程x2+2px+3p
2=0
﹣
有两个
负根的概率为 ．
考点：几何概型．菁优网版权所有
专题：开放型；概率与统计．
分析：由一元二次方程根的分布可得p 的不等式组，解不等式组，由长度之比可得所求概率．
解答：
解：方程x2+2px+3p
2=0
﹣
有两个负根等价于
，
解关于p 的不等式组可得＜p≤1 或p≥2，
∴所求概率P=
=
故答案为：
点评：本题考查几何概型，涉及一元二次方程根的分布，属基础题．
三、解答题：本大题共6 小题，共75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（12 分）（2015•重庆）已知等差数列{an}满足a3=2，前3 项和S3= ．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设等比数列{bn}满足b1=a1，b4=a15，求{bn}前n 项和Tn．
考点：等差数列与等比数列的综合．菁优网版权所有
专题：等差数列与等比数列．
11
分析：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，则由已知条件列式求得首项和公差，代入等差数列的
通项公式得答案；
（Ⅱ）求出
，再求出等比数列的公比，由等比数列的前n 项
和公式求得{bn}前n 项和Tn．
解答：解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，则由已知条件得：
，解得
．
代入等差数列的通项公式得：
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
．
设{bn}的公比为q，则
，从而q=2，
故{bn}的前n 项和
．
点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了等差数列和等比数列的前n 项
和，是中档题．
17．（13 分）（2015•重庆）随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居
民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：
年份
2010
2011
2012
2013
2014
时间代号t
1
2
3
4
5
储蓄存款y（千亿元）
5
6
7
8
10
（Ⅰ）求y 关于t 的回归方程= t+ ．
（Ⅱ）用所求回归方程预测该地区2015 年（t=6）的人民币储蓄存款．
附：回归方程= t+ 中
．
考
点：
回归分析的初步应用．菁优网版权所有
专
题：
计算题；概率与统计．
分
析：
（Ⅰ）利用公式求出a，b，即可求y 关于t 的回归方程= t+ ．
（Ⅱ）t=6，代入回归方程，即可预测该地区2015 年的人民币储蓄存款．
解
答：
解：（Ⅰ）
12
由题意，=3，=7.2，
=55
5×3
﹣
2=10，
=120
5×3×7.2=12
﹣
，
∴=1.2，=7.2
1.2×3=3.6
﹣
，
y
∴关于t 的回归方程=1.2t+3.6．
（Ⅱ）t=6 时，=1.2×6+3.6=10.8（千亿元）．
点
评：
本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，属于中档题．
18．（13 分）（2015•重庆）已知函数f（x）= sin2x﹣
cos2x．
（Ⅰ）求f（x）的最小周期和最小值；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g（x）
的图象．当x∈
时，求g（x）的值域．
考点：三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有
专题：三角函数的图像与性质．
分析：（Ⅰ）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x﹣
）﹣
，从
而可求最小周期和最小值；
（Ⅱ）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得g（x）=sin（x﹣
）﹣
，由x∈[
，π]时，
可得x﹣
的范围，即可求得g（x）的值域．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）= sin2x﹣
cos2x= sin2x﹣
（1+cos2x）=sin（2x﹣
）﹣
，
f
∴（x）的最小周期T=
=π，最小值为：﹣1﹣
=﹣
．
（Ⅱ）由条件可知：g（x）=sin（x﹣
）﹣
当x∈[
，π]时，有x﹣
∈[
，
]，从而sin（x﹣
）的值域为[ ，1]，那么sin（x﹣
）﹣
的值域为：[
，
]，
故g（x）在区间[
，π]上的值域是[
，
]．
13
点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，属于基
本知识的考查．
19．（12 分）（2015•重庆）已知函数f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=
处取得极值．
（Ⅰ）确定a 的值；
（Ⅱ）若g（x）=f（x）ex，讨论g（x）的单调性．
考点：函数在某点取得极值的条件．菁优网版权所有
专题：综合题；导数的综合应用．
分析：（Ⅰ）求导数，利用f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=
处取得极值，可得f′（﹣）=0，即可确
定a 的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得g（x）=（x3+x2）ex，利用导数的正负可得g（x）的单调性．
解答：解：（Ⅰ）对f（x）求导得f′（x）=3ax2+2x．
f
∵（x）=ax3+x2（a∈R）在x=
处取得极值，
f′
∴（﹣）=0，
3a•
∴
+2•（﹣）=0，
a=
∴
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得g（x）=（x3+x2）ex，
g′
∴（x）=（x2+2x）ex+（x3+x2）ex= x（x+1）（x+4）ex，
令g′（x）=0，解得x=0，x=
1
﹣或x=
4
﹣，
当x＜﹣4 时，g′（x）＜0，故g（x）为减函数；
当﹣4＜x＜﹣1 时，g′（x）＞0，故g（x）为增函数；
当﹣1＜x＜0 时，g′（x）＜0，故g（x）为减函数；
当x＞0 时，g′（x）＞0，故g（x）为增函数；
综上知g（x）在（﹣∞，﹣4）和（﹣1，0）内为减函数，在（﹣4，﹣1）和（0，+∞）内为增函
数．
点评：本题考查导数的运用：求单调区间和极值，考查分类讨论的思想方法，以及函数和方程
的转化思想，属于中档题．
20．（12 分）（2015•重庆）如题图，三棱锥P
ABC
﹣
中，平面PAC⊥平面ABC，∠ABC=
，点
D、E 在线段AC 上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F 在线段AB 上，且EF BC
∥
．
（Ⅰ）证明：AB⊥平面PFE．
（Ⅱ）若四棱锥P
DFBC
﹣
的体积为7，求线段BC 的长．
14
考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有
专题：开放型；空间位置关系与距离．
分析：（Ⅰ）由等腰三角形的性质可证PE AC
⊥
，可证PE AB
⊥
．又EF BC
∥
，可证AB EF
⊥
，从而
AB 与平面PEF 内两条相交直线PE，EF 都垂直，可证AB⊥平面PEF．
（Ⅱ）设BC=x，可求AB，S
ABC
△
，由EF BC
∥
可得△AFE
ABC
△
≌
，求得S
AFE
△
= S
ABC
△
，由
AD= AE，可求S
AFD
△
，从而求得四边形DFBC 的面积，由（Ⅰ）知PE 为四棱锥P﹣
DFBC 的高，求得PE，由体积VP
DFBC
﹣
=
SDFBC•PE=7，即可解得线段BC 的长．
解答：解：（Ⅰ）如图，由DE=EC，PD=PC 知，E 为等腰△PDC 中DC 边的中点，故PE AC
⊥
，
又平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，PE⊂平面PAC，PE AC
⊥
，
所以PE⊥平面ABC，从而PE AB
⊥
．
因为∠ABC=
，EF BC
∥
，
故AB EF
⊥
，
从而AB 与平面PEF 内两条相交直线PE，EF 都垂直，
所以AB⊥平面PEF．
（Ⅱ）设BC=x，则在直角△ABC 中，AB=
=
，
从而S
ABC
△
= AB•BC= x
，
由EF BC
∥
知
，得△AFE
ABC
≌△
，
故
=（）2= ，即S
AFE
△
= S
ABC
△
，
由AD= AE，S
AFD
△
=
=
S
ABC
△
= S
ABC
△
= x
，
从而四边形DFBC 的面积为：SDFBC=S
ABC
△
S
﹣
AFD= x
﹣x
=
x
．
由（Ⅰ）知，PE⊥平面ABC，所以PE 为四棱锥P
DFBC
﹣
的高．
在直角△PEC 中，PE=
=
=2
，
故体积VP
DFBC
﹣
=
SDFBC•PE=
x
=7，
故得x4
36x
﹣
2+243=0，解得x2=9 或x2=27，由于x＞0，可得x=3 或x=3
．
所以：BC=3 或BC=3
．
15
点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积的求法，考查了空间
想象能力和推理论证能力，考查了转化思想，属于中档题．
21．（13 分）（2015•重庆）如题图，椭圆
=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，且过F2
的直线交椭圆于P，Q 两点，且PQ PF
⊥
1．
（Ⅰ）若|PF1|=2+
，|PF2|=2﹣
，求椭圆的标准方程．
（Ⅱ）若|PQ|=λ|PF1|，且≤λ＜，试确定椭圆离心率e 的取值范围．
考点：椭圆的简单性质．菁优网版权所有
专题：开放型；圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析：（I）由椭圆的定义可得：2a=|PF1|+|PF2|，解得a．设椭圆的半焦距为c，由于PQ PF
⊥
1，利
用勾股定理可得2c=|F1F2|=
，解得c．利用b2=a2
c
﹣2．即可得出椭
圆的标准方程．
（II）如图所示，由PQ PF
⊥
1，|PQ|=λ|PF1|，可得|QF1|=
，由椭圆的定义可
得：|PF1|+|PQ|+|QF1|=4a，解得|PF1|=
．|PF2|=2a
|PF
﹣
1|，由勾股定理可得：
2c=|F1F2|=
，代入化简．令t=1+λ
，则上式化为e2=
，解出即可．
解答：解：（I）由椭圆的定义可得：2a=|PF1|+|PF2|=（2+
）+（2﹣
）=4，解得a=2．
设椭圆的半焦距为c，∵PQ PF
⊥
1，
2c=|F
∴
1F2|=
=
=2
，
c=
∴
．
b
∴2=a2
c
﹣2=1．
∴椭圆的标准方程为
．
（II）如图所示，由PQ PF
⊥
1，|PQ|=λ|PF1|，
16
|QF
∴
1|=
=
，
由椭圆的定义可得：2a=|PF1|+|PF2|=|QF1|+|QF2|，
|PF
∴
1|+|PQ|+|QF1|=4a，
∴
|PF1|=4a，解得|PF1|=
．
|PF2|=2a
|PF
﹣
1|=
，
由勾股定理可得：2c=|F1F2|=
，
∴
+
=4c2，
∴
+
=e2．
令t=1+λ
，则上式化为
=
，
t=1+λ
∵
，且≤λ＜，
t
∴关于λ 单调递增，∴3≤t＜4．∴
，
∴
，解得
．
∴椭圆离心率的取值范围是
．
点评：本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、勾股定理、不等式的性质、“换元法”，考
查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17
