2013 年普通高等学校招生全国统一考试数学
理工农医类(四川卷)
第Ⅰ卷(选择题 共50 分)
一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个
是符合题目要求的．
1．(2013 四川，理1)设集合A＝{x|x＋2＝0}，集合B＝{x|x2－4＝0}，则A∩B＝( )．
A．{－2} B．{2}
C．{－2,2} D．
2．(2013 四川，理2)如图，在复平面内，点A 表示复数z，则图中表示z 的共轭复数的
点是( )．
A．A B．B
C．C D．D
3．(2013 四川，理3)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是(
)．
4．(2013 四川，理4)设x∈Z，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p：x∈A,2x∈B，则
( )．
A．
p：
x∈A,2x
B B．
p：
x
A,2x
B
C．
p：
x
A,2x∈B D．
p：
x∈A,2x
B
5．(2013 四川，理5)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)
的部分图象如图所示，
则ω，φ 的值分别是( )．
A．2，
B．2，
C．4，
D．4，
6．(2013 四川，理6)抛物线y2＝4x 的焦点到双曲线x2－
＝1 的渐近线的距离是( )．
A．
B．
C．1 D．
7．(2013 四川，理7)函数
的图象大致是( )．
1
8．(2013 四川，理8)从1,3,5,7,9 这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得
到lg a－lg b 的不同值的个数是( )．
A．9 B．10 C．18 D．20
9．(2013 四川，理9)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪
亮相互独立，且都在通电后的4 秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4 秒为间隔
闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2 秒的概率是(
)．
A．
B．
C．
D．
10．(2013 四川，理10)设函数f(x)＝
(a∈R，e 为自然对数的底数)，若曲线y＝
sin x 上存在点(x0，y0)使得f(f(y0))＝y0，则a 的取值范围是( )．
A．[1，e] B．[e－1－1,1]
C．[1，e＋1] D．[e－1－1，e＋1]
第Ⅱ卷(非选择题 共100 分)
二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共25 分．
11．(2013 四川，理11)二项式(x＋y)5的展开式中，含x2y3的项的系数是__________．(用数字
作答)
12．(2013 四川，理12)在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O，
＋
＝λ
，则λ＝__________.
13．(2013 四川，理13)设sin 2α＝－sin α，α∈
，则tan 2α 的值是__________．
14．(2013 四川，理14)已知f(x)是定义域为R 的偶函数，当x≥0 时，f(x)＝x2－4x，那么，不
等式f(x＋2)＜5 的解集是__________．
15．(2013 四川，理15)设P1，P2，…，Pn为平面α 内的n 个点，在平面α 内的所有点中，若点P
到点P1，P2，…，Pn的距离之和最小，则称点P 为点P1，P2，…，Pn的一个“中位点”，例如，
线段AB 上的任意点都是端点A，B 的中位点，现有下列命题：
①若三个点A，B，C 共线，C 在线段AB 上，则C 是A，B，C 的中位点；
②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；
③若四个点A，B，C，D 共线，则它们的中位点存在且唯一；
④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．
其中的真命题是__________．(写出所有真命题的序号)
三、解答题：本大题共6 小题，共75 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．(2013 四川，理16)(本小题满分12 分)在等差数列{an}中，a1＋a3＝8，且a4为a2和a9的等
比中项，求数列{an}的首项、公差及前n 项和．
2
17．(2013 四川，理17)(本小题满分12 分)在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且2
cos B－sin(A－B)sin B＋cos(A＋C)＝
，
(1)求cos A 的值；
(2)若
，b＝5，求向量
在
方向上的投影．
18．(2013 四川，理18)(本小题满分12 分)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在
1,2,3，…，24 这24 个整数中等可能随机产生．
(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率Pi(i＝1,2,3)；
(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n 次后，统计记录了输
出y 的值为i(i＝1,2,3)的频数，以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．
甲的频数统计表(部分)
运行
次数n
输出y 的值
为1 的频数
输出y 的值
为2 的频数
输出y 的值
为3 的频数
30
14
6
10
…
…
…
…
2 100
1 027
376
697
乙的频数统计表(部分)
运行
次数n
输出y 的值
为1 的频数
输出y 的值
为2 的频数
输出y 的值
为3 的频数
30
12
11
7
3
…
…
…
…
2 100
1 051
696
353
当n＝2 100 时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y 的值为i(i＝1,2,3)
的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大；
(3)将按程序框图正确编写的程序运行3 次，求输出y 的值为2 的次数ξ 的分布列及数学期
望．
4
19．(2013 四川，理19)(本小题满分12 分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面
ABC，AB＝AC＝2AA1，∠BAC＝120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P 是线段AD 的中点．
(1)在平面ABC 内，试作出过点P 与平面A1BC 平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面
ADD1A1；
(2)设(1)中的直线l 交AB 于点M，交AC 于点N，求二面角A－A1M－N 的余弦值．
5
20．(2013 四川，理20)(本小题满分13 分)已知椭圆C：
(a＞b＞0)的两个焦
点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，且椭圆C 经过点P
.
(1)求椭圆C 的离心率；
(2)设过点A(0,2)的直线l 与椭圆C 交于M，N 两点，点Q 是线段MN 上的点，且
，求点Q 的轨迹方程．
6
21．(2013 四川，理21)(本小题满分14 分)已知函数f(x)＝
其中a 是实
数．设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))为该函数图象上的两点，且x1＜x2.
(1)指出函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)的图象在点A，B 处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2－x1的最小值；
(3)若函数f(x)的图象在点A，B 处的切线重合，求a 的取值范围．
7
2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
(四川卷)
第Ⅰ卷(选择题 共50 分)
一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个
是符合题目要求的．
1．
答案：A
解析：由题意可得，A＝{－2}，B＝{－2,2}，
∴A∩B＝{－2}．故选A．
2．
答案：B
解析：复数z 表示的点与其共轭复数表示的点关于实轴对称．
3．
答案：D
解析：由三视图可知该几何体为一个上部为圆台、下部为圆柱的组合体，故选D．
4．
答案：D
5．
答案：A
解析：由图象可得，
，
∴T＝π，则ω＝
＝2，再将点
代入f(x)＝2sin(2x＋φ)中得，
，
令
＋φ＝2kπ＋
，k∈Z，
解得，φ＝2kπ－
，k∈Z，
又∵φ∈
，则取k＝0，
∴φ＝
.故选A．
6．
答案：B
解析：由题意可得，抛物线的焦点为(1,0)，双曲线的渐近线方程为
，即
x－y
＝0，由点到直线的距离公式可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离
.
7．
答案：C
解析：由函数解析式可得，该函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故排除A；取x＝－1，y＝
＝
＞0，故再排除B；当x→＋∞时，3x－1 远远大于x3的值且都为正，故
→0 且大于0，故排除D，选C．
8．
答案：C
解析：记基本事件为(a，b)，则基本事件空间Ω＝{(1,3)，(1,5)，(1,7)，(1,9)，(3,1)，
(3,5)，(3,7)，(3,9)，(5,1)，(5,3)，(5,7)，(5,9)，(7,1)，(7,3)，(7,5)，(7,9)，(9,1)，
(9,3)，(9,5)，(9,7)}共有20 个基本事件，而lg a－lg b＝
，其中基本事件(1,3)，
8
(3,9)和(3,1)，(9,3)使
的值相等，则不同值的个数为20－2＝18(个)，故选C．
9．
答案：C
解析：设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，则由题意可得，0≤x≤4,0≤y≤4；而所求
事件“两串彩灯同时通电后，第一次闪亮相差不超过2 秒”＝{(x，y)||x－y|≤2}，由
图示得，该事件概率
.
10．
答案：A
解析：由题意可得，y0＝sin x0∈[－1,1]，
而由f(x)＝
可知y0∈[0,1]，
当a＝0 时，f(x)＝
为增函数，
∴y0∈[0,1]时，f(y0)∈[1，
]．
∴f(f(y0))≥
＞1.
∴不存在y0∈[0,1]使f(f(y0))＝y0成立，故B，D 错；
当a＝e＋1 时，f(x)＝
，当y0∈[0,1]时，只有y0＝1 时f(x)才有意义，而f(1)
＝0，
∴f(f(1))＝f(0)，显然无意义，故C 错．故选A．
第Ⅱ卷(非选择题 共100 分)
注意事项：
必须使用0.5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用
铅笔绘出，确认后再用0.5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效．
二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共25 分．
11．答案：10
解析：由二项式展开系数可得，x2y3的系数为
＝
＝10.
12．答案：2
解析：如图所示，在平行四边形ABCD 中，
＋
＝
＝2
，
∴λ＝2.
13．答案：
解析：∵sin 2α＝－sin α，
∴2sin αcos α＝－sin α.
9
又∵α∈
，∴cos α＝
.
∴sin α＝
.
∴sin 2α＝
，cos 2α＝2cos2α－1＝
.
∴tan 2α＝
＝
.
14．答案：(－7,3)
解析：当x≥0 时，令x2－4x＜5，解得，0≤x＜5.
又因为f(x)为定义域为R 的偶函数，则不等式f(x＋2)＜5 等价于－5＜x＋2＜5，即－7＜x
＜3；故解集为(－7,3)．
15．
答案：①④
解析：由“中位点”可知，若C 在线段AB 上，则线段AB 上任一点都为“中位点”，C 也不例
外，故①正确；
对于②假设在等腰Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，如图所示，点P 为斜边AB 中点，设腰长为2，
则|PA|＋|PB|＋|PC|＝
|AB|＝
，而若C 为“中位点”，则|CB|＋|CA|＝4＜
，故②错；
对于③，若B，C 三等分AD，若设|AB|＝|BC|＝|CD|＝1，则|BA|＋|BC|＋|BD|＝4＝|CA|＋|
CB|＋|CD|，故③错；
对于④，在梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 的交点为O，在梯形ABCD 内任取不同于点O 的一点
M，则在△MAC 中，|MA|＋|MC|＞|AC|＝|OA|＋|OC|，
同理在△MBD 中，|MB|＋|MD|＞|BD|＝|OB|＋|OD|，
则得，
|MA|＋|MB|＋|MC|＋|MD|＞|OA|＋|OB|＋|OC|＋|OD|，
故O 为梯形内唯一中位点是正确的．
三、解答题：本大题共6 小题，共75 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．解：设该数列公差为d，前n 项和为Sn.
由已知，可得2a1＋2d＝8，(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋8d)．
所以，a1＋d＝4，d(d－3a1)＝0，解得a1＝4，d＝0，或a1＝1，d＝3，即数列{an}的首项为4，公
差为0，或首项为1，公差为3.
所以，数列的前n 项和Sn＝4n 或Sn＝
.
17．
10
解：(1)由2
cos B－sin(A－B)sin B＋cos(A＋C)＝
，得[cos(A－B)＋1]cos
B－sin(A－B)sin B－cos B＝
，
即cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝
.
则cos(A－B＋B)＝
，即cos A＝
.
(2)由cos A＝
，0＜A＜π，得sin A＝
，
由正弦定理，有
，
所以，sin B＝
.
由题知a＞b，则A＞B，故
.
根据余弦定理，有
＝52＋c2－2×5c×
，解得c＝1 或c＝－7(舍去)．
故向量
在
方向上的投影为|
|cos B＝
.
18．
解：(1)变量x 是在1,2,3，…，24 这24 个整数中随机产生的一个数，共有24 种可能．
当x 从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23 这12 个数中产生时，输出y 的值为1，故P1＝
；
当x 从2,4,8,10,14,16,20,22 这8 个数中产生时，输出y 的值为2，故P2＝
；
当x 从6,12,18,24 这4 个数中产生时，输出y 的值为3，故P3＝
.
所以，输出y 的值为1 的概率为
，输出y 的值为2 的概率为
，输出y 的值为3 的概率为
.
(2)当n＝2 100 时，甲、乙所编程序各自输出y 的值为i(i＝1,2,3)的频率如下：
输出y 的值
为1 的频率
输出y 的值
为2 的频率
输出y 的值
为3 的频率
甲
乙
比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大．
(3)随机变量ξ 可能的取值为0,1,2,3.
P(ξ＝0)＝
，
P(ξ＝1)＝
，
11
P(ξ＝2)＝
，
P(ξ＝3)＝
，
故ξ 的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
所以，Eξ＝0×
＋1×
＋2×
＋3×
＝1.
即ξ 的数学期望为1.
19．
解：(1)如图，在平面ABC 内，过点P 作直线l∥BC，
因为l 在平面A1BC 外，BC 在平面A1BC 内，由直线与平面平行的判定定理可知，l∥平面A1BC．
由已知，AB＝AC，D 是BC 的中点，
所以，BC⊥AD，则直线l⊥AD．
因为AA1⊥平面ABC，
所以AA1⊥直线l.
又因为AD，AA1在平面ADD1A1内，且AD 与AA1相交，
所以直线l⊥平面ADD1A1.
(2)解法一：
连接A1P，过A 作AE⊥A1P 于E，过E 作EF⊥A1M 于F，连接AF.
由(1)知，MN⊥平面AEA1，
所以平面AEA1⊥平面A1MN.
所以AE⊥平面A1MN，则A1M⊥AE.
所以A1M⊥平面AEF，则A1M⊥AF.
故∠AFE 为二面角A－A1M－N 的平面角(设为θ)．
设AA1＝1，则由AB＝AC＝2AA1，∠BAC＝120°，有∠BAD＝60°，AB＝2，AD＝1.
又P 为AD 的中点，
所以M 为AB 中点，且AP＝
，AM＝1，
所以，在Rt△AA1P 中，A1P＝
；在Rt△A1AM 中，A1M＝
.
从而
，
.
所以sin θ＝
.
12
所以cos θ＝
.
故二面角A－A1M－N 的余弦值为
.
解法二：设A1A＝1.如图，过A1作A1E 平行于B1C1，以A1为坐标原点，分别以
，
，
的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz(点O 与点A1重合)．
则A1(0,0,0)，A(0,0,1)．
因为P 为AD 的中点，
所以M，N 分别为AB，AC 的中点．
故M
，N
.
所以
＝
，
＝(0,0,1)，
＝(
，0,0)．
设平面AA1M 的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则
即
故有
从而
取x1＝1，则y1＝
，
所以n1＝(1，
，0)．
设平面A1MN 的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则
即
故有
从而
取y2＝2，则z2＝－1，所以n2＝(0,2，－1)．
设二面角A－A1M－N 的平面角为θ，
又θ 为锐角，
则cos θ＝
13
＝
.
故二面角A－A1M－N 的余弦值为
.
20．
解：(1)由椭圆定义知，
2a＝|PF1|＋|PF2|＝
，
所以
.
又由已知，c＝1.
所以椭圆C 的离心率
.
(2)由(1)知，椭圆C 的方程为
＋y2＝1.
设点Q 的坐标为(x，y)．
(1)当直线l 与x 轴垂直时，直线l 与椭圆C 交于(0,1)，(0，－1)两点，此时点Q 的坐标为
.
(2)当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y＝kx＋2.
因为M，N 在直线l 上，可设点M，N 的坐标分别为(x1，kx1＋2)，(x2，kx2＋2)，
则|AM|2＝(1＋k2)x1
2，|AN|2＝(1＋k2)x2
2.
又|AQ|2＝x2＋(y－2)2＝(1＋k2)x2.
由
，得
，
即
.①
将y＝kx＋2 代入
＋y2＝1 中，得
(2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0.②
由Δ＝(8k)2－4×(2k2＋1)×6＞0，得k2＞
.
由②可知，x1＋x2＝
，x1x2＝
，
代入①中并化简，得
.③
因为点Q 在直线y＝kx＋2 上，
所以
，代入③中并化简，得10(y－2)2－3x2＝18.
由③及k2＞
，可知0＜x2＜
，即x∈
∪
.
14
又
满足10(y－2)2－3x2＝18，
故x∈
.
由题意，Q(x，y)在椭圆C 内，
所以－1≤y≤1.
又由10(y－2)2＝18＋3x2有(y－2)2∈
且－1≤y≤1，
则y∈
.
所以，点Q 的轨迹方程为10(y－2)2－3x2＝18，其中x∈
，y∈
.
21．
解：(1)函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为[－1,0)，(0，＋∞)．
(2)由导数的几何意义可知，点A 处的切线斜率为f′(x1)，点B 处的切线斜率为f′(x2)，
故当点A 处的切线与点B 处的切线垂直时，有f′(x1)f′(x2)＝－1.
当x＜0 时，对函数f(x)求导，得f′(x)＝2x＋2.
因为x1＜x2＜0，
所以，(2x1＋2)(2x2＋2)＝－1.
所以2x1＋2＜0,2x2＋2＞0.
因此x2－x1＝
[－(2x1＋2)＋2x2＋2]≥
＝1，当且仅当－(2x1＋2)
＝2x2＋2＝1，即
且
时等号成立．
所以，函数f(x)的图象在点A，B 处的切线互相垂直时，x2－x1的最小值为1.
(3)当x1＜x2＜0 或x2＞x1＞0 时，f′(x1)≠f′(x2)，故x1＜0＜x2.
当x1＜0 时，函数f(x)的图象在点(x1，f(x1))处的切线方程为y－(x1
2＋2x1＋a)＝(2x1＋2)(x
－x1)，即y＝(2x1＋2)x－x1
2＋a.
当x2＞0 时，函数f(x)的图象在点(x2，f(x2))处的切线方程为y－ln x2＝
(x－x2)，即y＝
·x＋ln x2－1.
两切线重合的充要条件是
由①及x1＜0＜x2知，－1＜x1＜0.
由①②得，a＝x1
2＋
－1＝x1
2－ln(2x1＋2)－1.
设h(x1)＝x1
2－ln(2x1＋2)－1(－1＜x1＜0)，
则h′(x1)＝2x1－
＜0.
所以，h(x1)(－1＜x1＜0)是减函数．
则h(x1)＞h(0)＝－ln 2－1，
所以a＞－ln 2－1.
又当x1∈(－1,0)且趋近于－1 时，h(x1)无限增大，
15
所以a 的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．
故当函数f(x)的图象在点A，B 处的切线重合时，a 的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．
16
