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2016 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷(文史类)
（满分150 分，考试时间120 分钟）
考生注意
1.本场考试时间120 分钟，试卷共4 页，满分150 分，答题纸共2 页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸
指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一
律不得分.
4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一、填空题（本大题共有14 题，满分56 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，
每个空格填对得4 分，否则一律得零分.
1．设
，则不等式
的解集为_______.
2．设
，其中为虚数单位，则z 的虚部等于______________________.
3．已知平行直线
，则
的距离是_______________.[来
4．某次体检，5 位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.80，1.69，1.76，则这组数据的中
位数是_________（米）.
5．若函数
的最大值为5，则常数
______.
6．已知点
在函数
的图像上，则
.
7．若
满足
则
的最大值为_______.
8．方程
在区间
上的解为___________.[来
9．在
的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________.
10．已知△ABC 的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________.
11．某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果
相同的概率为______.[
12．如图，已知点O(0,0),A(1.0),B(0,−1),P 是曲线
上一个动点，则
的取值范
围是 .
13．设a>0,b>0. 若关于x,y 的方程组
无解，则
的取值范围是 .
14．无穷数列{an}由k 个不同的数组成，Sn为{an}的前n 项和.若对任意
，
，则k
的最大值为 .
二、选择题（本大题共有4 小题，满分20 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸
的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5 分，否则一律得零分.
15．设
，则“
”是“
”的（ ）.
（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件
（C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件
16．如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F 分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线
EF 相交的是（ ）.
(A)直线AA1
(B)直线A1B1
(C)直线A1D1
(D)直线B1C1
17．设
，
.若对任意实数x 都有
，则满足条件的有序实
数对(a,b)的对数为（ ）.
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
18．设
、
、
是定义域为
的三个函数．对于命题：①若
、
、
均是增函数，则
、
、
均是增函数；②若
、
、
均是以
为周期的函数，则
、
、
均
是以
为周期的函数，下列判断正确的是（ ）.
(A)①和②均为真命题 (B)①和②均为假命题
(C)①为真命题，②为假命题 (D)①为假命题，②为真命题
三、解答题（本题共有5 题，满分74 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内
写出必要的步骤.
19．（本题满分12 分）本题共有2 个小题，第1 个小题满分6 分，第2 个小题满分6 分.
将边长为1 的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，
长为
，
长为
，其中B1与C 在平面AA1O1O 的同侧.
（1）求圆柱的体积与侧面积；
（2）求异面直线O1B1与OC 所成的角的大小.
20．（本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 个小题满分6 分，第2 个小题满分8 分.
有一块正方形菜地
,
所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到
点或河边运
走.于是，菜地分为两个区域
和
，其中
中的蔬菜运到河边较近，
中的蔬菜运到
点
较近，而菜地内
和
的分界线
上的点到河边与到
点的距离相等，现建立平面直角坐
标系，其中原点
为
的中点，点
的坐标为（1,0），如图.
（1）求菜地内的分界线
的方程；
（2）菜农从蔬菜运量估计出
面积是
面积的两倍，由此得到
面积的“经验值”为
.
设
是
上纵坐标为1 的点，请计算以
为一边、另一边过点
的矩形的面积，及五边
形
的面积，并判断哪一个更接近于
面积的“经验值”.
21．（本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分6 分，第2 小题满分8 分.
双曲线
的左、右焦点分别为F1、F2，直线l 过F2且与双曲线交于A、B 两
点.
（1）若l 的倾斜角为
，
是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
（2）设
，若l 的斜率存在，且|AB|=4，求l 的斜率.
22．（本题满分16 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分4 分，第2 小题满分6 分，第3 小题满
分6 分.
对于无穷数列{
}与{
}，记A={
|
=
，
}，B={
|
=
，
}，若同时
满足条件：①{
}，{
}均单调递增；②
且
，则称{
}与{
}
是无穷互补数列.
（1）若
=
，
=
，判断{
}与{
}是否为无穷互补数列，并说明理由；
（2）若
=
且{
}与{
}是无穷互补数列，求数列{
}的前16 项的和；
（3）若{
}与{
}是无穷互补数列，{
}为等差数列且
=36，求{
}与{
}的通项
公式.
23．（本题满分18 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分4 分，第2 小题满分6 分，第3 小题满
分8 分.
已知
R，函数
=
.
（1）当
时，解不等式
>1；
（2）若关于
的方程
+
=0 的解集中恰有一个元素，求
的值；
（3）设
>0，若对任意
，函数
在区间
上的最大值与最小值的差不
超过1，求
的取值范围.
