2016 年普通高等学校招生全国统一考试 (山东卷)
文科数学
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共10 小题；每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．(2016·山东，1)设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，则∁U(A∪B)等于(
)
A．{2,6} B．{3,6} C．{1,3,4,5}
D．{1,2,4,6}
2．(2016·山东，2)若复数z＝，其中i 为虚数单位，则＝( )
A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i
3．(2016·山东，3)某高校调查了200 名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示
的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，
[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据直方图，这200 名学生中每周的自习时间不
少于22.5 小时的人数是( )
A．56 B．60 C．120 D．140
4．(2016·山东，4)若变量x，y 满足则x2＋y2的最大值是( )
A．4 B．9 C．10 D．12
5．(2016·山东，5)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的
体积为( )
A.＋π
B.＋π
C.＋π
D．1＋π
6．(2016·山东，6)已知直线a，b 分别在两个不同的平面α ，β 内，则“直线a 和直线b 相
交”是“平面α 和平面β 相交”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．(2016·山东，7)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0 所得线段的长度是2，
则圆M 与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1 的位置关系是( )
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
8．(2016·山东，8)△ABC 中，角A，B，C 的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－
sin A)，则A 等于( )
A. B. C. D.
9．(2016·山东，9)已知函数f(x)的定义域为R.当x＜0 时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1 时，f
(－x)＝－f (x)；当x＞时，f ＝f .则f (6)等于( )
A．－2 B．－1 C．0 D．2
10．(2016·山东，10)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线
互相垂直，则称y＝f(x)具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是( )
A．y＝sin x
B．y＝ln x
C．y＝ex
D．y＝x3
第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共5 小题，每小题5 分，共25 分．)
11．(2016·山东，11)执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出的S 的值为
________．
12．(2016·山东，12)观察下列等式：
－2＋－2＝×1×2；
－2＋－2＋－2＋－2＝×2×3；
－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×3×4；
－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×4×5；
…
照此规律，－2＋－2＋－2＋…＋－2＝__________.
13．(2016·山东，13)已知向量a＝(1，－1)，b＝(6，－4)．若a⊥(ta＋b)，则实数t 的值为
________．
14．(2016·山东，14)已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)．矩形ABCD 的四个顶点在E 上，
AB，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E 的离心率是________．
15．(2016·山东，15)已知函数f(x)＝ 其中m＞0.若存在实数b，使得关于x 的方程f(x)＝b 有
三个不同的根，则m 的取值范围是________．
三、解答题本大题共6 小题，共75 分．
16．(2016·山东，16)(本小题满分12 分)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．
参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针
所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：
①若xy≤3，则奖励玩具一个；
②若xy≥8，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶．
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动．
(1)求小亮获得玩具的概率；
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．
17．(2016·山东，17)(本小题满分12 分)设f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向
左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g 的值．
18．(2016·山东，18)(本小题满分12 分)在如图所示的几何体中，D 是AC 的中点，EF∥DB.
(1)已知AB＝BC，AE＝EC.求证：AC⊥FB；
(2)已知G，H 分别是EC 和FB 的中点．求证：GH∥平面ABC.
19．(2016·山东，19)(本小题满分12 分)已知数列{an}的前n 项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差
数列，且an＝bn＋bn＋1.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)令cn＝.求数列{cn}的前n 项和Tn.
20．(2016·山东，20)(本小题满分13 分)设f(x)＝xln x－ax2＋(2a－1)x，a∈R.
(1)令g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间；
(2)已知f(x)在x＝1 处取得极大值．求实数a 的取值范围．
21．(2016·山东，21)(本小题满分14 分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的长轴长为4，焦距为
2.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过动点M(0，m)(m＞0)的直线交x 轴于点N，交C 于点A，P(P 在第一象限)，且M 是线
段PN 的中点．过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q，延长QM 交C 于点B.
①设直线PM、QM 的斜率分别为k、k′，证明为定值．
②求直线AB 的斜率的最小值．
答案解析
1.解析 ∵A∪B＝{1,3,4,5}，∴∁U(A∪B)＝{2,6}，故选A.
答案 A
2.解析 ∵z＝＝1＋i，∴＝1－i，故选B.
答案 B
3.解析 由题图知，组距为2.5，故每周的自习时间不少于22.5 小时的频率为：(0.16＋0.08
＋0.04)×2.5＝0.7，
∴人数是200×0.7＝140，故选D.
答案 D
4.解析 满足条件的可行域如下图阴影部分(包括边界)．x2＋y2是可行域上动点(x，y)到原点
(0,0)距离的平方，显然当x＝3，y＝－1 时，x2＋y2取最大值，最大值为10.故选C.
答案 C
5.解析 由三视图知，半球的半径R＝，四棱锥为底面边长为1，高为1 的正四棱锥，∴V＝
×1×1×1＋×π×3＝＋π，故选C.
答案 C
6.解析 若直线a 和直线b 相交，则平面α 和平面β 相交；
若平面α 和平面β 相交，那么直线a 和直线b 可能平行或异面或相交，故选A.
答案 A
7.解析 ∵圆M：x2＋(y－a)2＝a2，∴圆心坐标为M(0，a)，半径r1为a，
圆心M 到直线x＋y＝0 的距离d＝，由几何知识得2＋()2＝a2，解得a＝2.
∴M(0,2)，r1＝2.
又圆N 的圆心坐标N(1,1)，半径r2＝1，
∴|MN|＝＝，r1＋r2＝3，r1－r2＝1.
∴r1－r2＜|MN|＜r1＋r2，∴两圆相交，故选B.
答案 B
8.解析 在△ABC 中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，
∵b＝c，∴a2＝2b2(1－cos A)，又∵a2＝2b2(1－sin A)，
∴cos A＝sin A，∴tan A＝1，
∵A∈(0，π)，∴A＝，故选C.
答案 C
9.解析 当x＞时，f＝f，
即f(x)＝f(x＋1)，∴T＝1，
∴f(6)＝f(1)．
当x＜0 时，f(x)＝x3－1 且－1≤x≤1，f(－x)＝－f(x)，
∴f(6)＝f(1)＝－f(－1)＝[(－1)3－1]＝2，故选D.
答案 D
10.解析 对于函数y＝sin x，得y′＝cos x，当x＝0 时，该点处切线l1的斜率k1＝1；当x
＝π 时，该点处切线l2的斜率k2＝－1，∴k1·k2＝－1，∴l1⊥l2；
对于y＝ln x，y′＝恒大于0，斜率之积不可能为－1；
对于y＝ex，y′＝ex恒大于0，斜率之积不可能为－1；
对于y＝x3，y′＝2x2恒大于等于0，斜率之积不可能为－1.故选A.
答案 A
11.解析 输入n 的值为3，
第1 次循环：i＝1，S＝－1，i＜n；
第2 次循环：i＝2，S＝－1，i＜n；
第3 次循环：i＝3，S＝1，i＝n.
输出S 的值为1.
答案 1
12.解析 观察等式右边的规律：第1 个数都是，第2 个数对应行数n，第3 个数为n＋1.
答案 ×n×(n＋1)
13.解析 ∵a⊥(ta＋b)，∴ta2＋a·b＝0，
又∵a2＝2，a·b＝10，∴2t＋10＝0，∴t＝－5.
答案 －5
14.解析 由已知得|AB|＝，|BC|＝2c，
∴2×＝3×2c.
又∵b2＝c2－a2，整理得：2c2－3ac－2a2＝0，两边同除以a2得22－3－2＝0，即2e2－3e－2
＝0，解得e＝2.
答案 2
15.解析 如图，当x≤m 时，f(x)＝|x|.
当x＞m 时，f(x)＝x2－2mx＋4m，
在(m，＋∞)为增函数．
若存在实数b，使方程f(x)＝b 有三个不同的根，
则m2－2m·m＋4m＜|m|.
∵m＞0，∴m2－3m＞0，解得m＞3.
答案 (3，＋∞)
16.解 (1)用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω 与点集S＝
{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应．
因为S 中元素的个数是4×4＝16.
所以基本事件总数n＝16.
记“xy≤3”为事件A，
则事件A 包含的基本事件数共5 个，
即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)，
所以P(A)＝，即小亮获得玩具的概率为.
(2)记“xy≥8”为事件B，“3＜xy＜8”为事件C.
则事件B 包含的基本事件数共6 个．
即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．
所以P(B)＝＝.
事件C 包含的基本事件数共5 个，
即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)．
所以P(C)＝.因为＞，
所以小亮获得的水杯的概率大于获得饮料的概率．
17.解 (1)由f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2
＝2sin2x－(1－2sin xcos x)
＝(1－cos 2x)＋sin 2x－1
＝sin 2x－cos 2x＋－1
＝2sin＋－1.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z).
(2)由(1)知f(x)＝2sin＋－1，
把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍(纵坐标不变)．
得到y＝2sin＋－1 的图象．
再把得到的图象向左平移个单位，
得到y＝2sin x＋－1 的图象，
即g(x)＝2sin x＋－1.
所以g＝2sin ＋－1＝.
18.证明 (1)因为EF∥DB，所以EF 与DB 确定平面BDEF，
如图，连接DE.因为AE＝EC，D 为AC 的中点，
所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC.
又BD∩DE＝D，所以AC⊥平面BDEF.
因为FB⊂平面BDEF，所以AC⊥FB.
(2)设FC 的中点为I，连接GI，HI.
在△CEF 中，因为G 是CE 的中点，
所以GI∥EF.又EF∥DB，
所以GI∥DB.
在△CFB 中，因为H 是FB 的中点，所以HI∥BC.
又HI∩GI＝I，
所以平面GHI∥平面ABC，
因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC.
19.解 (1)由题意知，当n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5.
当n＝1 时，a1＝S1＝11，符合上式．
所以an＝6n＋5.
设数列{bn}的公差为d，
由即
可解得b1＝4，d＝3.所以bn＝3n＋1.
(2)由(1)知cn＝＝3(n＋1)·2n＋1..
又Tn＝c1＋c2＋…＋cn.
得Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]．
2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]．
两式作差，得
－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2]
＝3×＝－3n·2n＋2.
所以Tn＝－3n·2n＋2.
20.解 (1)由f′(x)＝ln x－2ax＋2a.
可得g(x)＝ln x－2ax＋2a，x∈(0，＋∞)，
则g′(x)＝－2a＝.
当a≤0 时，x∈(0，＋∞)时，g′(x)＞0，函数g(x)单调递增；
当a＞0 时，x∈时，g′(x)＞0 时，函数g(x)单调递增，x∈时，g′(x)＜0，函数g(x)单调递
减．
所以当a≤0 时，g(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；
当a＞0 时，g(x)的单调增区间为，单调减区间为.
(2)由(1)知，f′(1)＝0.
①当a≤0 时，f′(x)单调递增，
所以当x∈(0,1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，
所以f(x)在x＝1 处取得极小值，不合题意．
②当0＜a＜时，＞1，由(1)知f′(x)在内单调递增．
可得当x∈(0,1)时，f′(x)＜0，
x∈时，f′(x)＞0.
所以f(x)在(0,1)内单调递减，在内单调递增．
所以f(x)在x＝1 处取得极小值，不合题意．
③当a＝时，＝1，f′(x)在(0,1)内单调递增，
在(1，＋∞)内单调递减．
所以当x∈(0，＋∞)时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，不合题意．
④当a＞时，0＜＜1，当x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．
所以f(x)在x＝1 处取极大值，符合题意 .
综上可知，实数a 的取值范围为a＞.
21.(1)解 设椭圆的半焦距为c.
由题意知2a＝4,2c＝2.
所以a＝2，b＝＝.
所以椭圆C 的方程为＋＝1.
(2)①证明 设P(x0，y0)(x0＞0，y0＞0)．
由M(0，m)，可得P(x0，2m)，Q(x0，－2m)．
所以直线PM 的斜率k＝＝.
直线QM 的斜率k′＝＝－.
此时＝－3.所以为定值－3.
②解 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
直线PA 的方程为y＝kx＋m.
直线QB 的方程为y＝－3kx＋m.
联立
整理得(2k2＋1)x2＋4mkx＋2m2－4＝0，
由x0x1＝，可得x1＝，
所以y1＝kx1＋m＝＋m.
同理x2＝，y2＝＋m.
所以x2－x1＝－
＝，
y2－y1＝＋m－－m
＝，
所以kAB＝＝＝，
由m＞0，x0＞0，可知k＞0，
所以6k＋≥2，当且仅当k＝时取“＝”．
因为P(x0，2m)在椭圆＋＝1 上，
所以x0＝，故此时＝，
即m＝，符合题意．
所以直线AB 的斜率的最小值为.
