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2016 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）
一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）
1．（5 分）设集合A={0，2，4，6，8，10}，B={4，8}，则∁AB=（ ）
A．{4，8}
B．{0，2，6}
C．{0，2，6，10} D．{0，2，4，6，8，10}
2．（5 分）若z=4+3i，则
=（ ）
A．1
B．﹣1
C．
+
i
D．
﹣
i
3．（5 分）已知向量
=（
，
），
=（
，
），则∠ABC=（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．120°
4．（5 分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高
气温和平均最低气温的雷达图，图中A 点表示十月的平均最高气温约为
15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（ ）
A．各月的平均最低气温都在0℃以上
B．七月的平均温差比一月的平均温差大
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同
D．平均最高气温高于20℃的月份有5 个
5．（5 分）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N
第1页（共32页）
中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5 中的一个数字，则小敏输入一次密码能
够成功开机的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（5 分）若tanθ=
，则cos2θ=（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（5 分）已知a=
，b=
，c=
，则（ ）
A．b＜a＜c
B．a＜b＜c
C．b＜c＜a
D．c＜a＜b
8．（5 分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
9．（5 分）在△ABC 中，B=
，BC 边上的高等于
BC，则sinA=（ ）
A．
B．
C．
D．
第2页（共32页）
10．（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视
图，则该多面体的表面积为（ ）
A．18+36
B．54+18
C．90
D．81
11．（5 分）在封闭的直三棱柱ABC
A
﹣
1B1C1内有一个体积为V 的球，若AB⊥BC，
AB=6，BC=8，AA1=3，则V 的最大值是（ ）
A．4π
B．
C．6π
D．
12．（5 分）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B 分
别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF⊥x 轴，过点A 的直线l 与线段PF 交
于点M，与y 轴交于点E．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（共4 小题，每小题5 分，满分20 分）
13．（5 分）设x，y 满足约束条件
，则z=2x+3y
5
﹣的最小值为 ．
14．（5 分）函数y=sinx﹣
cosx 的图象可由函数y=2sinx 的图象至少向右平移
个单位长度得到．
第3页（共32页）
15．（5 分）已知直线l：x﹣
y+6=0 与圆x2+y2=12 交于A，B 两点，过A，B 分别作l
的垂线与x 轴交于C，D 两点．则|CD|= ．
16．
（5 分）已知f（x）为偶函数，当x≤0 时，f（x）=e
x
1
﹣﹣
x
﹣，则曲线y=f（x）在点（1，
2）处的切线方程是 ．
三、解答题（共5 小题，满分60 分）
17．（12 分）已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1，an
2﹣（2an+1
1
﹣）an
2a
﹣
n+1=0．
（1）求a2，a3；
（2）求{an}的通项公式．
18．
（12 分）如图是我国2008 年至2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的
折线图．
注：年份代码1
7
﹣分别对应年份2008
2014
﹣
．
（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以证
明；
（Ⅱ）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016 年我国生活垃圾无
害化处理量．
附注：
参考数据：
yi=9.32，
tiyi=40.17，
=0.55，
≈2.646．
参考公式：相关系数r=
，
第4页（共32页）
回归方程= + t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
=
，= ﹣
．
19．（12 分）如图，四棱锥P
ABCD
﹣
中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，
PA=BC=4，M 为线段AD 上一点，AM=2MD，N 为PC 的中点．
（Ⅰ）证明MN∥平面PAB；
（Ⅱ）求四面体N
BCM
﹣
的体积．
第5页（共32页）
20．（12 分）已知抛物线C：y2=2x 的焦点为F，平行于x 轴的两条直线l1，l2分别交C
于A，B 两点，交C 的准线于P，Q 两点．
（Ⅰ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR∥FQ；
（Ⅱ）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．
21．（12 分）设函数f（x）=lnx
x
﹣+1．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）证明当x∈（1，+∞）时，1＜
＜x；
（3）设c＞1，证明当x∈（0，1）时，1+（c
1
﹣）x＞cx．
请考生在第22-24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修
4-1：几何证明选讲]
22．（10 分）如图，⊙O 中
的中点为P，弦PC，PD 分别交AB 于E，F 两点．
（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD 的大小；
（2）若EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．
第6页（共32页）
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为
（α 为参数），以坐标
原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为
ρsin（θ+
）=2
．
（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（2）设点P 在C1上，点Q 在C2上，求|PQ|的最小值及此时P 的直角坐标．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|2x
a
﹣|+a．
（1）当a=2 时，求不等式f（x）≤6 的解集；
（2）设函数g（x）=|2x
1
﹣|，当x∈R 时，f（x）+g（x）≥3，求a 的取值范围．
第7页（共32页）
2016 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）
1．（5 分）设集合A={0，2，4，6，8，10}，B={4，8}，则∁AB=（ ）
A．{4，8}
B．{0，2，6}
C．{0，2，6，10} D．{0，2，4，6，8，
10}
【考点】1H：交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；29：规律型；5J：集合．
【分析】根据全集A 求出B 的补集即可．
【解答】解：集合A={0，2，4，6，8，10}，B={4，8}，则∁AB={0，2，6，10}．
故选：C．
【点评】本题考查集合的基本运算，是基础题．
2．（5 分）若z=4+3i，则
=（ ）
A．1
B．﹣1
C．
+
i
D．
﹣
i
【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5N：数系的扩充和复数．
【分析】利用复数的除法以及复数的模化简求解即可．
【解答】解：z=4+3i，则
=
=
=
﹣
i．
故选：D．
【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．
3．（5 分）已知向量
=（
，
），
=（
，
），则∠ABC=（ ）
第8页（共32页）
A．30°
B．45°
C．60°
D．120°
【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；41：向量法；49：综合法；5A：平面向量及应用．
【分析】根据向量
的坐标便可求出
，及
的值，从而根据
向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC 的值，根据∠ABC 的范围便可得出
∠ABC 的值．
【解答】解：
，
；
∴
；
又0°≤∠ABC≤180°；
∴∠ABC=30°．
故选：A．
【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量
夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．
4．（5 分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高
气温和平均最低气温的雷达图，图中A 点表示十月的平均最高气温约为
15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（ ）
第9页（共32页）
A．各月的平均最低气温都在0℃以上
B．七月的平均温差比一月的平均温差大
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同
D．平均最高气温高于20℃的月份有5 个
【考点】F4：进行简单的合情推理．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合；4A：数学模型法；5M：推理和证明．
【分析】根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图进行推理判断即可．
【解答】解：A．由雷达图知各月的平均最低气温都在0℃以上，正确
B．七月的平均温差大约在10°左右，一月的平均温差在5°左右，故七月的平均温
差比一月的平均温差大，正确
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为10°，正确
D．平均最高气温高于20℃的月份有7，8 两个月，故D 错误，
故选：D．
【点评】本题主要考查推理和证明的应用，根据平均最高气温和平均最低气温的
雷达图，利用图象法进行判断是解决本题的关键．
5．（5 分）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N
中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5 中的一个数字，则小敏输入一次密码能
够成功开机的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；38：对应思想；4B：试验法；5I：概率与统计．
【分析】列举出从M，I，N 中任取一个字母，再从1，2，3，4，5 中任取一个数字的基
本事件数，然后由随机事件发生的概率得答案．
【解答】解：从M，I，N 中任取一个字母，再从1，2，3，4，5 中任取一个数字，取法总
数为：
（M，1），
（M，2），
（M，3），
（M，4），
（M，5），
（I，1），
（I，2），
（I，3），
（I，4），
（I，5），
第10页（共32页）
（N，1），（N，2），（N，3），（N，4），（N，5）共15 种．
其中只有一个是小敏的密码前两位．
由随机事件发生的概率可得，小敏输入一次密码能够成功开机的概率是
．
故选：C．
【点评】本题考查随机事件发生的概率，关键是列举基本事件总数时不重不漏，是
基础题．
6．（5 分）若tanθ=
，则cos2θ=（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；56：三角函数的求值．
【分析】原式利用二倍角的余弦函数公式变形，再利用同角三角函数间的基本关
系化简，将tanθ 的值代入计算即可求出值．
【解答】解：∵tanθ=
，
∴cos2θ=2cos2θ
1=
﹣
1=
﹣
1=
﹣
．
故选：D．
【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟
练掌握公式是解本题的关键．
7．（5 分）已知a=
，b=
，c=
，则（ ）
A．b＜a＜c
B．a＜b＜c
C．b＜c＜a
D．c＜a＜b
【考点】4Y：幂函数的单调性、奇偶性及其应用．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．
第11页（共32页）
【分析】b=
=
，c=
=
，结合幂函数的单调性，可比较a，b，c，进而得到答
案．
【解答】解：∵a=
=
，
b=
，
c=
=
，
综上可得：b＜a＜c，
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图象和
性质的综合应用，难度中档．
8．（5 分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
第12页（共32页）
【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图．
【分析】模拟执行程序，根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的a，b，s，n
的值，当s=20 时满足条件s＞16，退出循环，输出n 的值为4．
【解答】解：模拟执行程序，可得
a=4，b=6，n=0，s=0
执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=6，n=1
不满足条件s＞16，执行循环体，a=
2
﹣，b=6，a=4，s=10，n=2
不满足条件s＞16，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=16，n=3
不满足条件s＞16，执行循环体，a=
2
﹣，b=6，a=4，s=20，n=4
满足条件s＞16，退出循环，输出n 的值为4．
故选：B．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得
到的a，b，s 的值是解题的关键，属于基础题．
9．（5 分）在△ABC 中，B=
，BC 边上的高等于
BC，则sinA=（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】HT：三角形中的几何计算；HU：解三角形．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；58：解三角形．
【分析】由已知，结合勾股定理和余弦定理，求出AB，AC，再由三角形面积公式，可
得sinA．
【解答】解：∵在△ABC 中，B=
，BC 边上的高等于
BC，
∴AB=
BC，
由余弦定理得：AC=
=
=
BC，
第13页（共32页）
故
BC•
BC=
AB•AC•sinA=
•
BC•
BC•sinA，
∴sinA=
，
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是三角形中的几何计算，熟练掌握正弦定理和余弦定
理，是解答的关键．
10．（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视
图，则该多面体的表面积为（ ）
A．18+36
B．54+18
C．90
D．81
【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何．
【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，进
而得到答案．
【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，
其底面面积为：3×6=18，
侧面的面积为：（3×3+3×
）×2=18+18
，
第14页（共32页）
故棱柱的表面积为：18×2+18+18
=54+18
．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判
断几何体的形状是解答的关键．
11．（5 分）在封闭的直三棱柱ABC
A
﹣
1B1C1内有一个体积为V 的球，若AB⊥BC，
AB=6，BC=8，AA1=3，则V 的最大值是（ ）
A．4π
B．
C．6π
D．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何．
【分析】根据已知可得直三棱柱ABC
A
﹣
1B1C1的内切球半径为
，代入球的体积公
式，可得答案．
【解答】解：∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，
∴AC=10．
故三角形ABC 的内切圆半径r=
=2，
又由AA1=3，
故直三棱柱ABC
A
﹣
1B1C1的内切球半径为
，
此时V 的最大值
=
，
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，根据已知求出球的半径，是解答的
关键．
12．（5 分）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B 分
别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF⊥x 轴，过点A 的直线l 与线段PF 交
第15页（共32页）
于点M，与y 轴交于点E．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由题意可得F，A，B 的坐标，设出直线AE 的方程为y=k（x+a），分别令x=﹣
c，x=0，可得M，E 的坐标，再由中点坐标公式可得H 的坐标，运用三点共线的
条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值．
【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），
设直线AE 的方程为y=k（x+a），
令x=
c
﹣，可得M（﹣c，k（a
c
﹣）），令x=0，可得E（0，ka），
设OE 的中点为H，可得H（0，
），
由B，H，M 三点共线，可得kBH=kBM，
即为
=
，
化简可得
=
，即为a=3c，
可得e=
=
．
另解：由△AMF∽△AEO，
可得
=
，
由△BOH∽△BFM，
可得
=
=
，
即有
=
即a=3c，
可得e=
=
．
故选：A．
第16页（共32页）
【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方
程的运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档
题．
二、填空题（共4 小题，每小题5 分，满分20 分）
13．（5 分）设x，y 满足约束条件
，则z=2x+3y
5
﹣的最小值为 ﹣
10
．
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；44：数形结合法；59：不等式的解法及应用．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到
最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件
作出可行域如图，
联立
，解得
，即A（﹣1，﹣1）．
化目标函数z=2x+3y
5
﹣为
．
由图可知，当直线
过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为
2×（﹣1）+3×（﹣1）﹣5=
10
﹣
．
故答案为：﹣10．
第17页（共32页）
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
14．（5 分）函数y=sinx﹣
cosx 的图象可由函数y=2sinx 的图象至少向右平移
个单位长度得到．
【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有
【专题】39：运动思想；49：综合法；57：三角函数的图像与性质．
【分析】令f（x）=2sinx，则f（x
φ
﹣）=2in（x
φ
﹣），依题意可得2sin（x
φ
﹣）=2sin（x﹣
），由﹣φ=2kπ﹣
（k∈Z），可得答案．
【解答】解：∵y=sinx﹣
cosx=2sin（x﹣
），
令f（x）=2sinx，
则f（x
φ
﹣）=2in（x
φ
﹣）（φ＞0），
依题意可得2sin（x
φ
﹣）=2sin（x﹣
），
故﹣φ=2kπ﹣
（k∈Z），
即φ=
2kπ
﹣
+
（k∈Z），
当k=0 时，正数φmin=
，
故答案为：
．
【点评】本题考查函数y=sinx 的图象变换得到y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象，
得到﹣φ=2kπ﹣
（k∈Z）是关键，属于中档题．
15．（5 分）已知直线l：x﹣
y+6=0 与圆x2+y2=12 交于A，B 两点，过A，B 分别作l
的垂线与x 轴交于C，D 两点．则|CD|=
4
．
第18页（共32页）
【考点】J8：直线与圆相交的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5B：直线与圆．
【分析】先求出|AB|，再利用三角函数求出|CD|即可．
【解答】解：由题意，圆心到直线的距离d=
=3，
∴|AB|=2
=2
，
∵直线l：x﹣
y+6=0
∴直线l 的倾斜角为30°，
∵过A，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C，D 两点，
∴|CD|=
=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能力，
比较基础．
16．
（5 分）已知f（x）为偶函数，当x≤0 时，f（x）=e
x
1
﹣﹣
x
﹣，则曲线y=f（x）在点（1，
2）处的切线方程是
y=2x
．
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；33：函数思想；4A：数学模型法；53：导数的综合应用．
【分析】由已知函数的奇偶性结合x≤0 时的解析式求出x＞0 时的解析式，求出导
函数，得到f′（1），然后代入直线方程的点斜式得答案．
【解答】解：已知f（x）为偶函数，当x≤0 时，f（x）=e
x
1
﹣﹣
x
﹣，
设x＞0，则﹣x＜0，
∴f（x）=f（﹣x）=ex
1
﹣+x，
则f′（x）=ex
1
﹣+1，
f′（1）=e0+1=2．
∴曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是y
2=2
﹣
（x
1
﹣）．
即y=2x．
故答案为：y=2x．
第19页（共32页）
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了函数解析式
的求解及常用方法，是中档题．
三、解答题（共5 小题，满分60 分）
17．（12 分）已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1，an
2﹣（2an+1
1
﹣）an
2a
﹣
n+1=0．
（1）求a2，a3；
（2）求{an}的通项公式．
【考点】8H：数列递推式．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．
【分析】（1）根据题意，由数列的递推公式，令n=1 可得a1
2﹣（2a2
1
﹣）a1
2a
﹣
2=0，
将a1=1 代入可得a2的值，进而令n=2 可得a2
2﹣（2a3
1
﹣）a2
2a
﹣
3=0，将a2=
代
入计算可得a3的值，即可得答案；
（2）根据题意，将an
2﹣（2an+1
1
﹣）an
2a
﹣
n+1=0 变形可得（an
2a
﹣
n+1）（an+an+1）=0，进
而分析可得an=2an+1或an=
a
﹣
n+1，结合数列各项为正可得an=2an+1，结合等比数
列的性质可得{an}是首项为a1=1，公比为
的等比数列，由等比数列的通项公
式计算可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，an
2﹣（2an+1
1
﹣）an
2a
﹣
n+1=0，
当n=1 时，有a1
2﹣（2a2
1
﹣）a1
2a
﹣
2=0，
而a1=1，则有1﹣（2a2
1
﹣）﹣2a2=0，解可得a2=
，
当n=2 时，有a2
2﹣（2a3
1
﹣）a2
2a
﹣
3=0，
又由a2=
，解可得a3=
，
故a2=
，a3=
；
（2）根据题意，an
2﹣（2an+1
1
﹣）an
2a
﹣
n+1=0，
变形可得（an
2a
﹣
n+1）（an+1）=0，
即有an=2an+1或an=
1
﹣，
第20页（共32页）
又由数列{an}各项都为正数，
则有an=2an+1，
故数列{an}是首项为a1=1，公比为
的等比数列，
则an=1×（
）n
1
﹣=（
）n
1
﹣，
故an=（
）n
1
﹣．
【点评】本题考查数列的递推公式，关键是转化思路，分析得到an与an+1的关系．
18．
（12 分）如图是我国2008 年至2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的
折线图．
注：年份代码1
7
﹣分别对应年份2008
2014
﹣
．
（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以证
明；
（Ⅱ）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016 年我国生活垃圾无
害化处理量．
附注：
参考数据：
yi=9.32，
tiyi=40.17，
=0.55，
≈2.646．
参考公式：相关系数r=
，
回归方程= + t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
=
，= ﹣
．
第21页（共32页）
【考点】BK：线性回归方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；5I：概率与统计．
【分析】（1）由折线图看出，y 与t 之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入
相关系数方程，可得答案；
（2）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2016 年对应的t 值为9，
代入可预测2016 年我国生活垃圾无害化处理量．
【解答】解：（1）由折线图看出，y 与t 之间存在较强的正相关关系，理由如下：
∵r=
=
≈
≈
≈0.993，
∵0.993＞0.75，
故y 与t 之间存在较强的正相关关系；
（2）=
=
≈
≈0.103，
= ﹣
≈1.331
0.103
﹣
×4≈0.92，
第22页（共32页）
∴y 关于t 的回归方程=0.10t+0.92，
2016 年对应的t 值为9，
故=0.10×9+0.92=1.82，
预测2016 年我国生活垃圾无害化处理量为1.82 亿吨．
【点评】本题考查的知识点是线性回归方程，回归分析，计算量比较大，计算时要
细心．
19．（12 分）如图，四棱锥P
ABCD
﹣
中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，
PA=BC=4，M 为线段AD 上一点，AM=2MD，N 为PC 的中点．
（Ⅰ）证明MN∥平面PAB；
（Ⅱ）求四面体N
BCM
﹣
的体积．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行．菁优网版权所有
【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】（Ⅰ）取BC 中点E，连结EN，EM，得NE 是△PBC 的中位线，推导出四边形
ABEM 是平行四边形，由此能证明MN∥平面PAB．
（Ⅱ）取AC 中点F，连结NF，NF 是△PAC 的中位线，推导出NF⊥面ABCD，延长BC
至G，使得CG=AM，连结GM，则四边形AGCM 是平行四边形，由此能求出四面
体N
BCM
﹣
的体积．
【解答】证明：（Ⅰ）取BC 中点E，连结EN，EM，
∵N 为PC 的中点，∴NE 是△PBC 的中位线
∴NE∥PB，
又∵AD∥BC，∴BE∥AD，
第23页（共32页）
∵AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 为线段AD 上一点，AM=2MD，
∴BE=
BC=AM=2，
∴四边形ABEM 是平行四边形，
∴EM∥AB，∴平面NEM∥平面PAB，
∵MN⊂平面NEM，∴MN∥平面PAB．
解：（Ⅱ）取AC 中点F，连结NF，
∵NF 是△PAC 的中位线，
∴NF∥PA，NF=
=2，
又∵PA⊥面ABCD，∴NF⊥面ABCD，
如图，延长BC 至G，使得CG=AM，连结GM，
∵AM
CG，∴四边形AGCM 是平行四边形，
∴AC=MG=3，
又∵ME=3，EC=CG=2，
∴△MEG 的高h=
，
∴S△BCM=
=
=2
，
∴四面体N
BCM
﹣
的体积VN
BCM
﹣
=
=
=
．
【点评】本题考查线面平行的证明，考查四面体的体积的求法，是中档题，解题时
要认真审题，注意空间思维能力的培养．
20．（12 分）已知抛物线C：y2=2x 的焦点为F，平行于x 轴的两条直线l1，l2分别交C
于A，B 两点，交C 的准线于P，Q 两点．
第24页（共32页）
（Ⅰ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR∥FQ；
（Ⅱ）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．
【考点】J3：轨迹方程；K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（Ⅰ）连接RF，PF，利用等角的余角相等，证明∠PRA=∠PQF，即可证明
AR∥FQ；
（Ⅱ）利用△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求出N 的坐标，利用点差法求AB
中点的轨迹方程．
【解答】（Ⅰ）证明：连接RF，PF，
由AP=AF，BQ=BF 及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=90°，
∴∠PFQ=90°，
∵R 是PQ 的中点，
∴RF=RP=RQ，
∴△PAR≌△FAR，
∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，
∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR，
∴∠FQB=∠PAR，
∴∠PRA=∠PQF，
∴AR∥FQ．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），
F（
，0），准线为 x=﹣
，
S△PQF=
|PQ|=
|y1
y
﹣2|，
设直线AB 与x 轴交点为N，
∴S△ABF=
|FN||y1
y
﹣2|，
∵△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，
∴2|FN|=1，∴xN=1，即N（1，0）．
第25页（共32页）
设AB 中点为M（x，y），由
得
=2（x1
x
﹣2），
又
=
，
∴
=
，即y2=x
1
﹣．
∴AB 中点轨迹方程为y2=x
1
﹣．
【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属
于中档题．
21．（12 分）设函数f（x）=lnx
x
﹣+1．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）证明当x∈（1，+∞）时，1＜
＜x；
（3）设c＞1，证明当x∈（0，1）时，1+（c
1
﹣）x＞cx．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；48：分析法；53：导数的综合应用；59：不等式的解法及应用．
【分析】（1）求出导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意
函数的定义域；
（2）由题意可得即证lnx＜x
1
﹣＜xlnx．运用（1）的单调性可得lnx＜x
1
﹣，设F（x）
=xlnx
x
﹣+1，x＞1，求出单调性，即可得到x
1
﹣＜xlnx 成立；
（3）设G（x）=1+（c
1
﹣）x
c
﹣x，求G（x）的二次导数，判断G′（x）的单调性，进而证
明原不等式．
第26页（共32页）
【解答】解：（1）函数f（x）=lnx
x
﹣+1 的导数为f′（x）=
1
﹣，
由f′（x）＞0，可得0＜x＜1；由f′（x）＜0，可得x＞1．
即有f（x）的增区间为（0，1）；减区间为（1，+∞）；
（2）证明：当x∈（1，+∞）时，1＜
＜x，即为lnx＜x
1
﹣＜xlnx．
由（1）可得f（x）=lnx
x
﹣+1 在（1，+∞）递减，
可得f（x）＜f（1）=0，即有lnx＜x
1
﹣；
设F（x）=xlnx
x
﹣+1，x＞1，F′（x）=1+lnx
1=lnx
﹣
，
当x＞1 时，F′（x）＞0，可得F（x）递增，即有F（x）＞F（1）=0，
即有xlnx＞x
1
﹣，则原不等式成立；
（3）证明：设G（x）=1+（c
1
﹣）x
c
﹣x，
则需要证明：当x∈（0，1）时，G（x）＞0（c＞1）；
G′（x）=c
1
c
﹣﹣xlnc，G′′（x）=﹣（lnc）2cx＜0，
∴G′（x）在（0，1）单调递减，而G′（0）=c
1
lnc
﹣﹣
，G′（1）=c
1
clnc
﹣﹣
，
由（1）中f（x）的单调性，可得G′（0）=c
1
lnc
﹣﹣
＞0，由（2）可得G′（1）=c
1
﹣﹣
clnc=c（1
lnc
﹣
）﹣1＜0，
∴∃t∈（0，1），使得G′（t）=0，即x∈（0，t）时，G′（x）＞0，x∈（t，1）时，G′（x）＜0；
即G（x）在（0，t）递增，在（t，1）递减；
又因为：G（0）=G（1）=0，
∴x∈（0，1）时G（x）＞0 成立，不等式得证；
即c＞1，当x∈（0，1）时，1+（c
1
﹣）x＞cx．
【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查不等式的证明，注意
运用构造函数法，求出导数判断单调性，考查推理和运算能力，属于中档题．
请考生在第22-24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修
4-1：几何证明选讲]
22．（10 分）如图，⊙O 中
的中点为P，弦PC，PD 分别交AB 于E，F 两点．
（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD 的大小；
（2）若EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．
第27页（共32页）
【考点】NC：与圆有关的比例线段．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；49：综合法；5M：推理和证明．
【分析】（1）连接PA，PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，
∠PAB=∠5，运用圆的性质和四点共圆的判断，可得E，C，D，F 共圆，再由圆内
接四边形的性质，即可得到所求∠PCD 的度数；
（2）运用圆的定义和E，C，D，F 共圆，可得G 为圆心，G 在CD 的中垂线上，即可得
证．
【解答】（1）解：连接PB，BC，
设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，
∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，
由⊙O 中
的中点为P，可得∠4=∠5，
在△EBC 中，∠1=∠2+∠3，
又∠D=∠3+∠4，∠2=∠5，
即有∠2=∠4，则∠D=∠1，
则四点E，C，D，F 共圆，
可得∠EFD+∠PCD=180°，
由∠PFB=∠EFD=2∠PCD，
即有3∠PCD=180°，
可得∠PCD=60°；
（2）证明：由C，D，E，F 共圆，
由EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G
可得G 为圆心，即有GC=GD，
则G 在CD 的中垂线，又CD 为圆G 的弦，
第28页（共32页）
则OG⊥CD．
【点评】本题考查圆内接四边形的性质和四点共圆的判断，以及圆的垂径定理的
运用，考查推理能力，属于中档题．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为
（α 为参数），以坐标
原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为
ρsin（θ+
）=2
．
（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（2）设点P 在C1上，点Q 在C2上，求|PQ|的最小值及此时P 的直角坐标．
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程；5S：坐标系
和参数方程．
【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C1的普通方程，运用
x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及两角和的正弦公式，化简可得C2的直角坐标方程；
（2）由题意可得当直线x+y
4=0
﹣
的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直
线x+y
4=0
﹣
平行的直线方程为x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得
t，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得P 的直角坐标．
另外：设P（
cosα，sinα），由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数
的值域，即可得到所求最小值和P 的坐标．
【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为
（α 为参数），
第29页（共32页）
移项后两边平方可得
+y2=cos2α+sin2α=1，
即有椭圆C1：
+y2=1；
曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+
）=2
，
即有ρ（
sinθ+
cosθ）=2
，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y
4=0
﹣
，
即有C2的直角坐标方程为直线x+y
4=0
﹣
；
（2）由题意可得当直线x+y
4=0
﹣
的平行线与椭圆相切时，
|PQ|取得最值．
设与直线x+y
4=0
﹣
平行的直线方程为x+y+t=0，
联立
可得4x2+6tx+3t2
3=0
﹣
，
由直线与椭圆相切，可得△=36t2
16
﹣
（3t2
3
﹣）=0，
解得t=±2，
显然t=
2
﹣时，|PQ|取得最小值，
即有|PQ|=
=
，
此时4x2
12x
﹣
+9=0，解得x=
，
即为P（
，
）．
另解：设P（
cosα，sinα），
由P 到直线的距离为d=
=
，
当sin（α+
）=1 时，|PQ|的最小值为
，
第30页（共32页）
此时可取α=
，即有P（
，
）．
【点评】本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化，同时考
查直线与椭圆的位置关系，主要是相切，考查化简整理的运算能力，属于中档
题．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|2x
a
﹣|+a．
（1）当a=2 时，求不等式f（x）≤6 的解集；
（2）设函数g（x）=|2x
1
﹣|，当x∈R 时，f（x）+g（x）≥3，求a 的取值范围．
【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；59：不等式的解法及应用．
【分析】（1）当a=2 时，由已知得|2x
2
﹣|+2≤6，由此能求出不等式f（x）≤6 的解
集．
（2）由f（x）+g（x）=|2x
1
﹣|+|2x
a
﹣|+a≥3，得|x﹣
|+|x﹣
|≥
，由此能求
出a 的取值范围．
【解答】解：（1）当a=2 时，f（x）=|2x
2
﹣|+2，
∵f（x）≤6，∴|2x
2
﹣|+2≤6，
|2x
2
﹣|≤4，|x
1
﹣|≤2，
∴﹣2≤x
1
﹣≤2，
解得﹣1≤x≤3，
∴不等式f（x）≤6 的解集为{x|
1
﹣≤x≤3}．
（2）∵g（x）=|2x
1
﹣|，
∴f（x）+g（x）=|2x
1
﹣|+|2x
a
﹣|+a≥3，
2|x﹣
|+2|x﹣
|+a≥3，
|x﹣
|+|x﹣
|≥
，
当a≥3 时，成立，
第31页（共32页）
当a＜3 时，|x﹣
|+|x﹣
|≥
|a
1
﹣|≥
＞0，
∴（a
1
﹣）2≥（3
a
﹣）2，
解得2≤a＜3，
∴a 的取值范围是[2，+∞）．
【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，
解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．
第32页（共32页）
