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2015 年浙江省高考数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1．（5 分）（2015•浙江）已知集合P={x|x2
2x≥3}
﹣
，Q={x|2＜x＜4}，则P∩Q=（ ）
A．[3，4）
B．（2，3]
C．（﹣1，2）
D．（﹣1，3]
2．（5 分）（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（ ）
A．8cm3
B．12cm3
C．
D．
3．（5 分）（2015•浙江）设a，b 是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的（ ）
A．充分不必要条
件
B．必要不充分条
件
C．充分必要条件
D．既不充分也不
必要条件
4．（5 分）（2015•浙江）设α，β 是两个不同的平面，l，m 是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，（
）
A．若l β
⊥，则α β
⊥B．若α β
⊥，则l m
⊥C．若l β
∥，则α β
∥
D．若α β
∥，则l m
∥
5．（5 分）（2015•浙江）函数f（x）=（x﹣）cosx（﹣π≤x≤π 且x≠0）的图象可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（5 分）（2015•浙江）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个
房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：m2）分别为x，y，z，且x＜y＜z，三种颜
第1页（共18页）
色涂料的粉刷费用（单位：元/m2）分别为a，b，c，且a＜b＜c．在不同的方案中，最低的总费用
（单位：元）是（ ）
A．ax+by+cz
B．az+by+cx
C．ay+bz+cx
D．ay+bx+cz
7．（5 分）（2015•浙江）如图，斜线段AB 与平面α 所成的角为60°，B 为斜足，平面α 上的动点
P 满足∠PAB=30°，则点P 的轨迹是（ ）
A．直线
B．抛物线
C．椭圆
D．双曲线的一支
8．（5 分）（2015•浙江）设实数a，b，t 满足|a+1|=|sinb|=t．（ ）
A．若t 确定，则b2
唯一确定
B．若t 确定，则
a2+2a 唯一确定
C．若t 确定，则sin
唯一确定
D．若t 确定，则
a2+a 唯一确定
二、填空题（本大题共7 小题，多空题每题6 分，单空题每题4 分，共36 分）
9．（6 分）（2015•浙江）计算：log2
= ，2
= ．
10．（6 分）（2015•浙江）已知{an}是等差数列，公差d 不为零，若a2，a3，a7成等比数列，且
2a1+a2=1，则a1= ，d= ．
11．（6 分）（2015•浙江）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1 的最小正周期是 ，最小值
是 ．
12．（6 分）（2015•浙江）已知函数f（x）=
，则f（f（﹣2））= ，f
（x）的最小值是 ．
13．（4 分）（2015•浙江）已知
1，2是平面向量，且
1•
2= ，若平衡向量满足•
1= •
=1，则| |= ．
14．（4 分）（2015•浙江）已知实数x，y 满足x2+y2≤1，则|2x+y
4|+|6
x
3y|
﹣
﹣﹣
的最大值是
．
第2页（共18页）
15．（4 分）（2015•浙江）椭圆
+
=1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）关于直线y= x 的对称点
Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是 ．
三、解答题：本大题共5 小题，共74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．
（14 分）
（2015•浙江）在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知tan（
+A）
=2．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）若B=
，a=3，求△ABC 的面积．
17．（15 分）（2015•浙江）已知数列{an}和{bn}满足a1=2，b1=1，an+1=2an（n∈N*），b1+ b2+
b3+…+ bn=bn+1
1
﹣（n∈N*）
（Ⅰ）求an与bn；
（Ⅱ）记数列{anbn}的前n 项和为Tn，求Tn．
18．（15 分）（2015•浙江）如图，在三棱柱ABC
A
﹣
1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，
A1在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 是B1C1的中点．
（Ⅰ）证明：A1D⊥平面A1BC；
（Ⅱ）求直线A1B 和平面BB1C1C 所成的角的正弦值．
19．
（15 分）
（2015•浙江）如图，已知抛物线C1：y= x2，圆C2：x2+（y
1
﹣）2=1，过点P（t，0）
（t＞
0）作不过原点O 的直线PA，PB 分别与抛物线C1和圆C2相切，A，B 为切点．
（Ⅰ）求点A，B 的坐标；
（Ⅱ）求△PAB 的面积．
注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线
相切，称该公共点为切点．
第3页（共18页）
20．（15 分）（2015•浙江）设函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）当b=
+1 时，求函数f（x）在[
1
﹣，1]上的最小值g（a）的表达式．
（Ⅱ）已知函数f（x）在[
1
﹣，1]上存在零点，0≤b
2a≤1
﹣
，求b 的取值范围．
第4页（共18页）
2015 年浙江省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1．（5 分）（2015•浙江）已知集合P={x|x2
2x≥3}
﹣
，Q={x|2＜x＜4}，则P∩Q=（ ）
A．[3，4）
B．（2，3]
C．（﹣1，2）
D．（﹣1，3]
考点：
交集及其运算．菁优网版权所有
专题：
集合．
分析：
求出集合P，然后求解交集即可．
解答：
解：集合P={x|x2
2x≥3}={x|x≤
1
﹣
﹣或x≥3}，
Q={x|2＜x＜4}，
则P∩Q={x|3≤x＜4}=[3，4）．
故选：A．
点评：
本题考查二次不等式的解法，集合的交集的求法，考查计算能力．
2．（5 分）（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（ ）
A．8cm3
B．12cm3
C．
D．
考点：
由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
专题：
空间位置关系与距离．
分析：
判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可．
解答：
解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2 的正方体，上部是底面为边长2 的正
方形奥为2 的正四棱锥，
所求几何体的体积为：23+ ×2×2×2=
．
故选：C．
点评：
本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力．
3．（5 分）（2015•浙江）设a，b 是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的（ ）
A．充分不必要条
B．必要不充分条
第5页（共18页）
件
件
C．充分必要条件
D．既不充分也不
必要条件
考点：
必要条件、充分条件与充要条件的判断．菁优网版权所有
专题：
简易逻辑．
分析：
利用特例集合充要条件的判断方法，判断正确选项即可．
解答：
解：a，b 是实数，如果a=
1
﹣，b=2 则“a+b＞0”，则“ab＞0”不成立．
如果a=
1
﹣，b=
2
﹣，ab＞0，但是a+b＞0 不成立，
所以设a，b 是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
点评：
本题考查充要条件的判断与应用，基本知识的考查．
4．（5 分）（2015•浙江）设α，β 是两个不同的平面，l，m 是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，（
）
A．若l β
⊥，则α β
⊥B．若α β
⊥，则l m
⊥C．若l β
∥，则α β
∥
D．若α β
∥，则l m
∥
考点：
空间中直线与平面之间的位置关系．菁优网版权所有
专题：
综合题；空间位置关系与距离．
分析：
A 根据线面垂直的判定定理得出A 正确；
B 根据面面垂直的性质判断B 错误；
C 根据面面平行的判断定理得出C 错误；
D 根据面面平行的性质判断D 错误．
解答：
解：对于A，∵l β
⊥，且l⊂α，根据线面垂直的判定定理，得α β
⊥，∴A 正确；
对于B，当α β
⊥，l⊂α，m⊂β 时，l 与m 可能平行，也可能垂直，∴B 错误；
对于C，当l β
∥，且l⊂α 时，α 与β 可能平行，也可能相交，∴C 错误；
对于D，当α β
∥，且l⊂α，m⊂β 时，l 与m 可能平行，也可能异面，∴D 错误．
故选：A．
点评：
本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了数学符号语言的应
用问题，是基础题目．
5．（5 分）（2015•浙江）函数f（x）=（x﹣）cosx（﹣π≤x≤π 且x≠0）的图象可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
函数的图象．菁优网版权所有
专题：
函数的性质及应用．
分析：
由条件可得函数f（x）为奇函数，故它的图象关于原点对称；再根据在（0，1）上，
f（x）＜0，结合所给的选项，得出结论．
解答：
解：对于函数f（x）=（x﹣）cosx（﹣π≤x≤π 且x≠0），由于它的定义域关于原点
对称，
且满足f（﹣x）=（﹣x）cosx=
f
﹣（x），故函数f（x）为奇函数，故它的图象关于
原点对称．
故排除A、B．
第6页（共18页）
再根据在（0，1）上，＞x，cosx＞0，f（x）=（x﹣）cosx＜0，故排除C，
故选：D．
点评：
本题主要考查函数的奇偶性的判断，奇函数的图象特征，函数的定义域和值域，
属于中档题．
6．（5 分）（2015•浙江）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个
房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：m2）分别为x，y，z，且x＜y＜z，三种颜
色涂料的粉刷费用（单位：元/m2）分别为a，b，c，且a＜b＜c．在不同的方案中，最低的总费用
（单位：元）是（ ）
A．ax+by+cz
B．az+by+cx
C．ay+bz+cx
D．ay+bx+cz
考点：
函数的最值及其几何意义．菁优网版权所有
专题：
函数的性质及应用．
分析：
作差法逐个选项比较大小可得．
解答：
解：∵x＜y＜z 且a＜b＜c，
ax+by+cz
∴
﹣（az+by+cx）
=a（x
z
﹣）+c（z
x
﹣）
=（x
z
﹣）（a
c
﹣）＞0，
ax+by+cz
∴
＞az+by+cx；
同理ay+bz+cx﹣（ay+bx+cz）
=b（z
x
﹣）+c（x
z
﹣）
=（z
x
﹣）（b
c
﹣）＞0，
ay+bz+cx
∴
＞ay+bx+cz；
同理az+by+cx﹣（ay+bz+cx）
=a（z
y
﹣）+b（y
z
﹣）
=（z
y
﹣）（a
b
﹣）＜0，
az+by+cx
∴
＜ay+bz+cx，
∴最低费用为az+by+cx
故选：B
点评：
本题考查函数的最值，涉及作差法比较不等式的大小，属中档题．
7．（5 分）（2015•浙江）如图，斜线段AB 与平面α 所成的角为60°，B 为斜足，平面α 上的动点
P 满足∠PAB=30°，则点P 的轨迹是（ ）
A．直线
B．抛物线
C．椭圆
D．双曲线的一支
考点：
圆锥曲线的轨迹问题．菁优网版权所有
专题：
圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
根据题意，∠PAB=30°为定值，可得点P 的轨迹为一以AB 为轴线的圆锥侧面
与平面α 的交线，则答案可求．
解答：
解：用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭
圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线．
第7页（共18页）
此题中平面α 上的动点P 满足∠PAB=30°，可理解为P 在以AB 为轴的圆锥的
侧面上，
再由斜线段AB 与平面α 所成的角为60°，可知P 的轨迹符合圆锥曲线中椭圆
定义．
故可知动点P 的轨迹是椭圆．
故选：C．
点评：
本题考查椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
8．（5 分）（2015•浙江）设实数a，b，t 满足|a+1|=|sinb|=t．（ ）
A．若t 确定，则b2
唯一确定
B．若t 确定，则
a2+2a 唯一确定
C．若t 确定，则sin
唯一确定
D．若t 确定，则
a2+a 唯一确定
考点：
四种命题．菁优网版权所有
专题：
简易逻辑．
分析：
根据代数式得出a2+2a=t2
1
﹣，sin2b=t2，运用条件，结合三角函数可判断答案．
解答：
解：∵实数a，b，t 满足|a+1|=t，
∴（a+1）2=t2，
a2+2a=t2
1
﹣，
t 确定，则t2
1
﹣为定值．
sin2b=t2，
A，C 不正确，
∴若t 确定，则a2+2a 唯一确定，
故选：B
点评：
本题考查了命题的判断真假，属于容易题，关键是得出a2+2a=t2
1
﹣，即可判断．
二、填空题（本大题共7 小题，多空题每题6 分，单空题每题4 分，共36 分）
9．（6 分）（2015•浙江）计算：log2
=
，2
=
．
考点：
对数的运算性质．菁优网版权所有
专题：
函数的性质及应用．
分析：
直接利用对数运算法则化简求值即可．
第8页（共18页）
解答：
解：log2
=log2
=﹣；
2
=
=
=3
．
故答案为：
；
．
点评：
本题考查导数的运算法则的应用，基本知识的考
查．
10．（6 分）（2015•浙江）已知{an}是等差数列，公差d 不为零，若a2，a3，a7成等比数列，且
2a1+a2=1，则a1= ，d= ﹣
1
．
考点：
等比数列的性质．菁优网版权所有
专题：
等差数列与等比数列．
分析：
运用等比数列的性质，结合等差数列的通项公式，计算可得d=﹣a1，再由条件
2a1+a2=1，运用等差数列的通项公式计算即可得到首项和公差．
解答：
解：由a2，a3，a7成等比数列，
则a3
2=a2a7，
即有（a1+2d）2=（a1+d）（a1+6d），
即2d2+3a1d=0，
由公差d 不为零，
则d=﹣a1，
又2a1+a2=1，
即有2a1+a1+d=1，
即3a1﹣a1=1，
第9页（共18页）
解得a1= ，d=
1
﹣．
故答案为：，﹣1．
点评：
本题考查等差数列首项和公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差
数列和等比数列的性质的合理运用．
11．（6 分）（2015•浙江）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1 的最小正周期是
π
，最小值是
．
考点：
二倍角的余弦；三角函数的最值．菁优网版权所有
专题：
三角函数的图像与性质．
分析：
由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）=
sin（2x﹣
）+ ，由正弦函数的图
象和性质即可求得最小正周期，最小值．
解答：
解：∵f（x）=sin2x+sinxcosx+1
=
+ sin2x+1
=
sin（2x﹣
）+ ．
∴最小正周期T=
，最小值为：
．
故答案为：π，
．
点评：
本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于基
本知识的考查．
12．（6 分）（2015•浙江）已知函数f（x）=
，则f（f（﹣2））=
，f（x）的
最小值是
2
6
﹣
．
考点：
函数的最值及其几何意义．菁优网版权所有
专题：
函数的性质及应用．
分析：
由分段函数的特点易得f（f（﹣2））=的值；分别由二次函数和基本不等式可得各
段的最小值，比较可得．
解答：
解：由题意可得f（﹣2）=（﹣2）2=4，
f
∴（f（﹣2））=f（4）=4+
6=
﹣
﹣；
∵当x≤1 时，f（x）=x2，
由二次函数可知当x=0 时，函数取最小值0；
当x＞1 时，f（x）=x+
6
﹣，
由基本不等式可得f（x）=x+
6≥2
﹣
6=2
﹣
6
﹣，
当且仅当x= 即x=
时取到等号，即此时函数取最小值2
6
﹣；
第10页（共18页）
2
∵
6
﹣＜0，∴f（x）的最小值为2
6
﹣
故答案为：﹣；2
6
﹣
点评：
本题考查函数的最值，涉及二次函数的性质和基本不等式，属中档题．
13．（4 分）（2015•浙江）已知
1，2是平面向量，且
1•
2= ，若平衡向量满足•
1= •
=1，则| |=
．
考点：
平面向量数量积的性质及其运算律．菁优网版权所有
专题：
平面向量及应用．
分析：
根据数量积得出
1，2夹角为60°，＜，1＞=＜，2＞=30°，运用数量积的定
义判断求解即可．
解答：
解：∵
1，
2是平面单位向量，且
1•
2= ，
∴
1，
2夹角为60°，
∵平衡向量满足•
1= •
=1
∴与
1，
2夹角相等，且为锐角，
∴应该在
1，
2夹角的平分线上，
即＜，
1＞=＜，
2＞=30°，
| |×1×cos30°=1，
|
∴
|=
故答案为：
点评：
本题简单的考查了平面向量的运算，数量积的定义，几何图形的运用，属于容易
题，关键是判断夹角即可．
14．（4 分）（2015•浙江）已知实数x，y 满足x2+y2≤1，则|2x+y
4|+|6
x
3y|
﹣
﹣﹣
的最大值是
15
．
考点：
简单线性规划．菁优网版权所有
专题：
不等式的解法及应用．
分析：
由题意可得2x+y
4
﹣＜0，6
x
3y
﹣﹣
＞0，去绝对值后得到目标函数z=
3x
﹣
﹣
4y+10，然后结合圆心到直线的距离求得|2x+y
4|+|6
x
3y|
﹣
﹣﹣
的最大值．
解答：
解：如图，
第11页（共18页）
由x2+y2≤1，
可得2x+y
4
﹣＜0，6
x
3y
﹣﹣
＞0，
则|2x+y
4|+|6
x
3y|=
2x
y+4+6
x
3y=
3x
4y+10
﹣
﹣﹣
﹣
﹣
﹣﹣
﹣
﹣
，
令z=
3x
4y+10
﹣
﹣
，得
，
如图，
要使z=
3x
4y+10
﹣
﹣
最大，则直线
在y 轴上的截距最小，
由z=
3x
4y+10
﹣
﹣
，得3x+4y+z
10=0
﹣
．
则
，即z=15 或z=5．
由题意可得z 的最大值为15．
故答案为：15．
点评：
本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转
化思想方法，是中档题．
15．（4 分）（2015•浙江）椭圆
+
=1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）关于直线y= x 的对称点
Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是
．
考点：
椭圆的简单性质．菁优网版权所有
专题：
圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
设出Q 的坐标，利用对称知识，集合椭圆方程推出椭圆几何量之间的关系，然后求
解离心率即可．
第12页（共18页）
解答：
解：不妨令c=1，设Q（m，n），由题意可得
，即：
，
由①②可得：m=
，n=
，代入③可得：
，
解得e2（4e4
4e
﹣
2+1）+4e2=1，
可得，4e6+e2
1=0
﹣
．
即4e6
2e
﹣
4+2e4
e
﹣2+2e2
1=0
﹣
，
可得（2e2
1
﹣）（2e4+e2+1）=0
解得e=
．
故答案为：
．
点评：
本题考查椭圆的方程简单性质的应用，考查对称知识以及计算能力．
三、解答题：本大题共5 小题，共74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．
（14 分）
（2015•浙江）在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知tan（
+A）
=2．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）若B=
，a=3，求△ABC 的面积．
考点：
二倍角的余弦；两角和与差的正切函数．菁优网版权所有
专题：
解三角形．
分析：
（Ⅰ）由两角和与差的正切函数公式及已知可得tanA，由倍角公式及同角三角
函数关系式即可得解．
（Ⅱ）由tanA= ，A∈（0，π），可得sinA，cosA．又由正弦定理可得b，由sinC=sin
（A+B）=sin（A+
），可得sinC，利用三角形面积公式即可得解．
第13页（共18页）
解答：
解：（Ⅰ）由tan（
+A）=2．可得tanA= ，
所以
=
= ．
（Ⅱ）由tanA= ，A∈（0，π），可得sinA=
，cosA=
．
又由a=3，B=
及正弦定理
，可得b=3
，
由sinC=sin（A+B）=sin（A+
），可得sinC=
．
设△ABC 的面积为S，则S= absinC=9．
点评：
本题主要考查了三角函数及其变换、正弦定理和余弦定理等基本知识的应用，
同时考查了运算求解能力，属于中档题．
17．（15 分）（2015•浙江）已知数列{an}和{bn}满足a1=2，b1=1，an+1=2an（n∈N*），b1+ b2+
b3+…+ bn=bn+1
1
﹣（n∈N*）
（Ⅰ）求an与bn；
（Ⅱ）记数列{anbn}的前n 项和为Tn，求Tn．
考点：
数列的求和．菁优网版权所有
专题：
等差数列与等比数列．
分析：
（Ⅰ）直接由a1=2，an+1=2an，可得数列{an}为等比数列，由等比数列的通项公式
求得数列{an}的通项公式；
再由b1=1，b1+ b2+ b3+…+ bn=bn+1
1
﹣，取n=1 求得b2=2，当n≥2 时，得另一
递推式，作差得到
，整理得数列{
}为常数列，由此可得
{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求出
，然后利用错位相减法求数列{anbn}的前n 项和为Tn．
解答：
解：（Ⅰ）由a1=2，an+1=2an，得
．
由题意知，当n=1 时，b1=b2
1
﹣，故b2=2，
当n≥2 时，b1+ b2+ b3+…+
=bn
1
﹣，和原递推式作差得，
，整理得：
，
∴
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，
因此
，
两式作差得：
，
（n∈N*）．
第14页（共18页）
点评：
本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列和等比数列等基础知识，同时
考查数列求和等基本思想方法，以及推理论证能力，是中档题．
18．（15 分）（2015•浙江）如图，在三棱柱ABC
A
﹣
1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，
A1在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 是B1C1的中点．
（Ⅰ）证明：A1D⊥平面A1BC；
（Ⅱ）求直线A1B 和平面BB1C1C 所成的角的正弦值．
考点：
直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．菁优网版权所有
专题：
空间位置关系与距离；空间角．
分析：
（I）连接AO，A1D，根据几何体的性质得出A1O A
⊥
1D，A1D BC
⊥
，利用直线平
面的垂直定理判断．
（II）利用空间向量的垂直得出平面BB1C1C 的法向量=（
，0，1），|根据与
数量积求解余弦值，即可得出直线A1B 和平面BB1C1C 所成的角的正弦
值．
解答：
证明：（I）∵AB=AC=2，D 是B1C1的中点．
A
∴
1D B
⊥
1C1，
BC B
∵
∥
1C1，
A
∴
1D BC
⊥
，
A
∵
1O⊥面ABC，A1D AO
∥
，
A
∴
1O AO
⊥
，A1O BC
⊥
BC∩AO=O
∵
，A1O A
⊥
1D，A1D BC
⊥
A
∴
1D⊥平面A1BC
解：（II）
建立坐标系如图
∵在三棱柱ABC
A
﹣
1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4
O
∴（0，0，0），B（0，
，0），B1（﹣
，
，
），A1（0，0
）
即
=（0，
，
），
=（0，
，0），
=（
，0，
），
设平面BB1C1C 的法向量为=（x，y，z），
第15页（共18页）
即得出
得出=（
，0，1），|
|=4，| |=
∵
=
，
cos
∴
＜，
＞=
=
，
可得出直线A1B 和平面BB1C1C 所成的角的正弦值为
点评：
本题考查了空间几何体的性质，直线平面的垂直问题，空间向量的运用，空间
想象能力，计算能力，属于中档题．
19．
（15 分）
（2015•浙江）如图，已知抛物线C1：y= x2，圆C2：x2+（y
1
﹣）2=1，过点P（t，0）
（t＞
0）作不过原点O 的直线PA，PB 分别与抛物线C1和圆C2相切，A，B 为切点．
（Ⅰ）求点A，B 的坐标；
（Ⅱ）求△PAB 的面积．
注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线
相切，称该公共点为切点．
考点：
直线与圆锥曲线的综合问题．菁优网版权所有
专题：
圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析：
（I）由直线PA 的斜率存在，设切线PA 的方程为：y=k（x
t
﹣）（k≠0），与抛物线
方程联立化为x2
4kx+4kt=0
﹣
，利用△=0，解得k=t，可得A 坐标．圆C2的圆心
D（0，1），设B（x0，y0），由题意可知：点B 与O 关于直线PD 得出，可得
，解得B 坐标．
（II）由（I）可得：（t2
1
﹣）x
2ty+2t=0
﹣
，可得点P 到直线AB 的距离d，又|AB|=
第16页（共18页）
．即可得出S
PAB
△
=
．
解答：
解：（I）由直线PA 的斜率存在，设切线PA 的方程为：y=k（x
t
﹣）（k≠0），联立
，
化为x2
4kx+4kt=0
﹣
，
=16k
∵△
2
16kt=0
﹣
，解得k=t，
x=2t
∴
，∴A（2t，t2）．
圆C2的圆心D（0，1），设B（x0，y0），由题意可知：点B 与O 关于直线PD 得
出，
∴
，解得
．
B
∴
．
（II）由（I）可得：kAB=
=
，直线AB 的方程为：y
t
﹣2=
，化为（t2
1
﹣）x
2ty+2t=0
﹣
，
∴点P 到直线AB 的距离d=
=
=t，
又|AB|=
=t2．
S
∴
PAB
△
=
=
．
点评：
本小题主要考查抛物线、直线与抛物线及其圆的位置关系及其性质、垂直平分
线的性质、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能
力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，属于难题．
20．（15 分）（2015•浙江）设函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）当b=
+1 时，求函数f（x）在[
1
﹣，1]上的最小值g（a）的表达式．
（Ⅱ）已知函数f（x）在[
1
﹣，1]上存在零点，0≤b
2a≤1
﹣
，求b 的取值范围．
考点：
二次函数的性质；函数零点的判定定理．菁优网版权所有
专题：
分类讨论；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
分析：
（Ⅰ）求出二次函数的对称轴方程，讨论对称轴和区间[
1
﹣，1]的关系，运用函
数的单调性即可得到最小值；
（Ⅱ）设s，t 是方程f（x）=0 的解，且﹣1≤t≤1，运用韦达定理和已知条件，得到s
的不等式，讨论t 的范围，得到st 的范围，由分式函数的值域，即可得到所求b
的范围．
第17页（共18页）
解答：
解：（Ⅰ）当b=
+1 时，f（x）=（x+ ）2+1，对称轴为x=﹣，
当a≤
2
﹣时，函数f（x）在[
1
﹣，1]上递减，则g（a）=f（1）=
+a+2；
当﹣2＜a≤2 时，即有﹣1≤﹣＜1，则g（a）=f（﹣）=1；
当a＞2 时，函数f（x）在[
1
﹣，1]上递增，则g（a）=f（﹣1）=
a+2
﹣
．
综上可得，g（a）=
；
（Ⅱ）设s，t 是方程f（x）=0 的解，且﹣1≤t≤1，
则
，
由于0≤b
2a≤1
﹣
，
由此
≤s≤
（﹣1≤t≤1），
当0≤t≤1 时，
≤st≤
，
由﹣≤
≤0，得﹣≤
≤9
4
﹣
，
所以﹣≤b≤9
4
﹣
；
当﹣1≤t＜0 时，
≤st≤
，
由于﹣2≤
＜0 和﹣3≤
＜0，所以﹣3≤b＜0，
故b 的取值范围是[
3
﹣，9
4
﹣
]．
点评：
本题考查二次函数在闭区间上的最值的求法，同时考查二次方程和函数的零
点的关系，以及韦达定理的运用，考查不等式的性质和分式函数的最值的求
法，属于中档题．
第18页（共18页）
