2015 年普通高等学校招生全国统一考试（海南卷）
理科数学
注意事项
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自
己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1.已知集合A=｛-2，-1,0,2｝，B=｛x|（X-1）（x+2）＜0｝,则A∩B=
（A）｛－1，0｝ （B）｛0，1｝ （C）｛-1，0，1｝ （D）｛0，1，2｝
2.若a 为实数且（2+ai）（a-2i）=－4i，则a =
（A）-1 （B）0 （C）1 （D）2
3.根据下面给出的2004 年至2013 年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结
论不正确的是
（A）逐年比较，2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著
（B）2007 年我国治理二氧化硫排放显现
（C）2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
（D）2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
4.等比数列｛an｝满足a1=3，a1+ a3+ a5=21，则a3+ a5+ a7 =
（A）21 （B）42 （C）63 （D）84
5.设函数
f ( x)
={1+log2(2−x),x＜1,¿¿¿¿
，则
f (－2)
+
f (log212)
=
（A）3 （B）6 （C）9 （D）12
6.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则
截去部分体积与剩余部分体积的与剩余部分体积的比值为
（A）
1
8 （B）
1
7 （C）
1
6 （D）
1
5
7.过三点A（1,3），B（4,2），C（1,-7）的圆交于y 轴于M、N 两点，则|MN |=
（A）2√6 （B）8 （C）4√6 （D）10
8.右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》
中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入a,b分别为14,18，
则输出的a=
（A）0
（B）2
（C）4
（D）14
9.已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体
积的最大值为36，则球O 的表面积为
（A）36π （B）64π （C）144π （D）256π
10.如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC，CD 与
DA 运动，∠BOP=x。将动点P 到AB 两点距离之和表示为x的函数f （x ），则f （x ）
的图像大致为
11.已知A，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为
120°，则E 的离心率为
(A)√5 (B)2 (C)√3 (D)√2
12. 设函数f ’( x)是奇函数f ( x)( x∈R)的导函数，f （-1）=0，当x>0时，
x f ’( x)－f ( x)＜0，则使得f ( x) >0成立的x的取值范围是
(A) (－∞，－1)∪(0，1) (B) (－1，0)∪(1，＋∞)
(C) (－∞，－1)∪(－1，0) (D) (0，1)∪(1，＋∞)
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13 题~第21 题为必考题，每个试题考生必须做答.
第22 题~第24 题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分。
13.设向量a，b不平行，向量λ a＋b与a＋2b平行，则实数λ=________.(用数字填写答
案)
14.若
x，y
满足约束条件
{x−y+1≥0,¿{x−2y≤0,¿¿¿¿
，则
z = x＋y
的最大值为____________..
15.(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________.
16.设Sn是数列{an}的前n项和，且a1=－1，an+1= Sn Sn+1，则Sn=________.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12 分）
∆ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC，∆ABD 是∆ADC 面积的2 倍。
(Ⅰ) 求
sin∠B
sin∠C ；
(Ⅱ) 若AD=1，DC=
√2
2 ，求BD 和AC 的长.
18. （本小题满分12 分）
某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B 两地区分别随机调查了20 个用户，得
到用户对产品的满意度评分如下：
A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区
满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；
（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：
满意度评分
低于70 分
70 分到89 分
不低于90 分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
记时间C：“A 地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级”。假设两地区用
户的评价结果相互独立。根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求
C 的概率
19. （本小题满分12 分）
如图，长方体ABCD - A1B1C1 D1中AB =16，BC =10，A A1=8，点E，F分别在
A1B1，D1C1上，A1 E=D1 F。过带你E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一
个正方形
（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）
（Ⅱ）求直线AF与平面α所成角的正弦值
20. （本小题满分12 分）
已知椭圆C：9 x2+ y2 = m2 (m>0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有
两个交点A，B，线段AB 的中点为M.
（I）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；
（II）若l 过点(
m
3 ，
m
),延长线段OM 与C 交于点P，四边形OAPB 能否平行四边行？
若能，求此时l的斜率，若不能，说明理由.
21. （本小题满分12 分）
设函数f (x)=e
mx+ x
2-mx.
(Ⅰ)证明：f ( x)在（－∞，0）单调递减，在（0，＋∞）单调递增；
（Ⅱ）若对于任意x1, x2∈[-1,1],都有｜f ( x1)- f ( x2)｜≤e -1,求m的取值范围
请考生在第22、23、24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答
时请写清题号.
22.（本小题满分10 分）选修4—1：几何证明选讲
如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，圆O 与
ABC 的底边BC 交于
M、N 两点与底边上的高AD 交于点G，且与AB、AC 分别相切于E、F 两
点.
（I）证明：EF 平行于BC
（II） 若AG 等于圆O 的半径，且AE=MN=
,求四边形EBCF
的面积。
23（本小题满分10 分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线C1:{x=tcosα ,¿¿¿¿，其中0≤α＜π ，在
以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，曲线C3：ρ=cosθ .
（I）.求C2与C3交点的直角坐标
（II）.若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值
（24）（本小题满分10 分）选修4-5 不等式选讲
设a、b、c、d均为正数，且a+b=c +d,证明：
（I）若ab＞cd ，则√a+√b＞√c+√d ；
（II）√a+√b＞√c+√d 是|a−b|＜|c−d|的充要条件.
（24）（本小题满分10 分）选修4-5 不等式选讲
设均为正数，且,证明：
（I）若，则
；
（II）
是
的充要条件.
2015 年海南省数学理科高考试题及答案解析
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
（1）已知集合A=｛-2，-1,0，1,2｝，B=｛x|（X-1）（x+2）＜0｝,则A∩B=
（ ）
（A）｛--1,0｝ （B）｛0,1｝ （C）｛-1,0,1｝ （D）｛,0,，1，2｝
【答案】A
【解析】由已知得
2
1
B
x
x
，故
1,0
A
B
，故选A
（2）若a 为实数且（2+ai）（a-2i）=-4i,则a=（ ）
（A）-1 （B）0 （C）1 （D）2
【答案】B
【解析】
[来源:Z_xx_k.Com]
（3）根据下面给出的2004 年至2013 年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下
结论不正确的是( )
（A）
逐年比较，2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著
（B）
2007 年我国治理二氧化硫排放显现
（C）
2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
（D）
20 06 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
【答案】D
【解析】由柱形图得，从2006 年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年
份负相关．
（4）等比数列｛an｝满足a1=3，
1
3
5
a
a
a
=21，则
3
5
7
a
a
a
( )
（A）21 （B）42 （C）63 （D）84
【答案】B
【解析】
（5）设函数
2
1
1 log (2
),
1,
( )
2
,
1,
x
x x
f x
x
,
2
( 2)
(log 12)
f
f
( )
（A）3 （B）6 （C）9 （D）12
【答案】C
【
解
析
】
由
已
知
得
2
( 2)
1 log 4
3
f
，
又
2
log 12
1
，
所
以
2
2
log 12 1
log 6
2
(log 12)
2
2
6
f
，故
2
( 2)
(log 12)
9
f
f
．
（6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与
剩余部分体积的比值为
（A）8
1
（B）7
1
（C）6
1
（D）5
1
【答案】D
【解析】由三视图得，在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，截去四面体
1
1
1
A
A B D
，如图所
示，，设正方体棱长为a ，则
1 1
1
3
3
1
1
1
3
2
6
A A B D
V
a
a
，故剩余几何体体积为
3
3
3
1
5
6
6
a
a
a
，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为5
1
．
C
B
A
D
D1
C1
B1
A1
（7）过三点A（1,3），B（4,2），C（1,-7）的圆交于y 轴于M、N 两点，则MN =
（A）2
6 （B）8 （C）4
6 （D）10
【答案】C
【解析】
（8）右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术” 。
执行该程序框图，若输入a,b 分别为14,18，则输出的a=
A.0 B.2 C.4 D.14
【答案】B[来源:Z.xx.k.Com]
【解析】程序在执行过程中，a ，b 的值依次为
14
a
，
18
b
；
4
b
；
10
a
；
6
a
；
2
a
；
2
b
，此时
2
a
b
程序结束，输出a 的值为2，故选B．
（9）已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC
体积的最大值为36，则球O 的表面积为
A．36π B.64π C.144π D.256π
【答案】C
【解析】如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O
ABC
的体积最
大，设球O 的半径为R ，此时
2
3
1
1
1
36
3
2
6
O ABC
C AOB
V
V
R
R
R
，故
6
R
，则
球O 的表面积为
2
4
144
S
R
，故选C．
B
O
A
C
10.如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC，CD 与DA
运动，记∠BOP=x．将动点P 到A、B 两点距离之和表示为x 的函数f（x），则f（x）的
图像大致为
[来源:学科网]
【答案】B
【解析】
的运动过程可以看出，轨迹关于直线
2
x
对称，且
(
)
(
)
4
2
f
f
，且轨迹非线型，故选
B．
（11）已知A，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角
为120°，则E 的离心率为
（A）√5 （B）2 （C）√3 （D）√2
【答案】D
【解析】
（12 ）设函数f’(x) 是奇函数
( )(
)
f x x
R
的导函数，f （-1 ）=0 ，当
0
x
时，
'( )
( )
0
xf
x
f x
，则使得
( )
0
f x
成立的x 的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】A
【解析】
记函数
( )
( )
f x
g x
x
，则
'
'
2
( )
( )
( )
xf
x
f x
g x
x
，因为当
0
x
时，
'( )
( )
0
xf
x
f x
，
故当
0
x
时，
'( )
0
g x
，所以
( )
g x 在(0,
)
单调递减；又因为函数
( )(
)
f x x
R
是奇
函数，故函数
( )
g x 是偶函数，所以
( )
g x 在(
,0)
单调递减，且
( 1)
(1)
0
g
g
．当
0
1
x
时，( )
0
g x
，则
( )
0
f x
；当
1
x 时，( )
0
g x
，则
( )
0
f x
，综上所述，
使得
( )
0
f x
成立的x 的取值范围是
(
, 1)
(0,1)
，故选A．
二、填空题
（13）设向量a ，b 不平行，向量a
b
与
2
a
b
平行，则实数_________．
【答案】
1
2
【解析】因为向量
a
b
与
2
a
b
平行，所以
2
a
b
k a
b
（
），则1
2 ,
k
k
，
所以
1
2
．
（14）若x，y 满足约束条件
1
0
2
0,
2
2
0,
x
y
x
y
x
y
，
，则z
x
y
的最大值为____________．
【答案】
3
2
x
y
–1
–2
–3
–4
1
2
3
4
–1
–2
–3
–4
1
2
3
4
D
C
B
O
（15）
4
(
)(1
)
a
x
x
的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a __________．
【答案】3
【解析】由已知得
4
2
3
4
(1
)
1
4
6
4
x
x
x
x
x
，故
4
(
)(1
)
a
x
x
的展开式中x 的奇
数次幂项分别为4ax ，
3
4ax ，x ，
3
6x ，
5x ，其系数之和为4
4
1+6+1=32
a
a
，解得
3
a
．
（16）设
n
S 是数列
na
的前n 项和，且
1
1
a ，
1
1
n
n
n
a
S S
，则
n
S ________．
【答案】
1
n
【解析】由已知得
1
1
1
n
n
n
n
n
a
S
S
S
S
，两边同时除以
1
n
n
S
S
，得
1
1
1
1
n
n
S
S
，
故数列
1
n
S
是以1
为首项，1
为公差的等差数列，则
1
1 (
1)
n
S
n
n
，所以
1
n
S
n
．
三．解答题
17．（本题满分12 分）
中，
是
上的点，
平分
，
面积是
面积的2 倍．
(Ⅰ) 求
；
(Ⅱ)若
，
，求
和
的长．
A 地区
B 地区
4
5
6
7
8
9
【答案】(Ⅰ)
；(Ⅱ) ．
(Ⅱ)因为
，所以
．在
和
中，由余弦定理
得
，
．
．由(Ⅰ)知
，所以
．
考点：1、三角形面积公式；2、正弦定理和余弦定理．
18．（本题满分12 分）
某公司为了解用户对其产品的满意度，从
，
两地区分别随机调查了20 个用户，得到
用户对产品的满意度评分如下：
A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意
度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；
（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
满意度评分
低于70 分
70 分到89 分
不低于90 分
A 地区
B 地区
4
5
6
7
8
9
6 8
1 3 6 4
3
2 4 5 5
6 4 2
3 3 4 6 9
6 8 8 6 4 3
3 2 1
9 2 8 6 5 1
1 3
7 5 5 2
满意度等级
不满意
满意
非常满意
记时间C：“A 地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级”．假设两地区用户
的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C
的概率．
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）
．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）将
两地区用户对产品的满意度评分的个位数分别列与茎的两侧，并
根据数字的集中或分散来判断平均值和方差的大小；（Ⅱ）事件“A 地区用户的满意度等
级高于B 地区用户的满意度等级”分为两种情况：当B 地区满意度等级为不满意时，A 地
区的满意度等级为满意或非常满意；当B 地区满意度等级为满意时，A 地区满意度等级为
非常满意．再利用互斥事件和独立事件的概率来求解．
试题解析：（Ⅰ）两地区用户满意度评分的茎叶图如下
表示事件：“B 地区用户满意度等级为满意”．
则
与
独立，
与
独立，
与
互斥，
．
．
D
D1
C1
A1
E
F
A
B
C
B1
由所给数据得
，
，
，
发生的概率分别为
，
，
，
．故
，
，
，
，故
．
考点：1、茎叶图和特征数；2、互斥事件和独立事件．
19．（本题满分12 分）
如图，长方体
中,
，
，
，点
，
分别在
，
上，
．过点
，
的平面
与此长方体的面相交，交线围成
一个正方形．
（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；
（Ⅱ）求直线
与平面
所成角的正弦值．
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）
．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由线面平行和面面平行的性质画平面
与长方体的面的交线；（Ⅱ）由
交线围成的正方形
，计算相关数据．以
为坐标原点，
的方向为
轴的正方
向，建立如图所示的空间直角坐标系
，并求平面
的法向量和直线
的方向向
量，利用
求直线
与平面
所成角的正弦值．
试题解析：（Ⅰ）交线围成的正方形
如图：
（Ⅱ）作
，垂足为
，则
，
，因为
为
正方形，所以
．于是
，所以
．以
为坐标原点，
的方向为
轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
，
则
，
，
，
，
，
．设
是平面
的法向量，则
即
所
以
可
取
．
又
，
故
．所以直线
与平面
所成角的正弦值为
．
考点：1、直线和平面平行的性质；2、直线和平面所成的角．
A1
A
B1
B
D1
D
C1
C
F
E
H
G
M
20．（本题满分12 分）
已知椭圆
,直线不过原点
且不平行于坐标轴，与
有两个
交点
，
，线段
的中点为
．
(Ⅰ)证明：直线
的斜率与的斜率的乘积为定值；
（Ⅱ）若过点
，延长线段
与
交于点
，四边形
能否为平行四边形？
若能，求此时的斜率，若不能，说明理由．
【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）能，
或
．
【解析】
试题分析：(Ⅰ)题中涉及弦的中点坐标问题，故可以采取“点差法”或“韦达定理”两种
方法求解：设端点
的坐标，代入椭圆方程并作差，出现弦
的中点和直线的斜率；
设直线的方程同时和椭圆方程联立，利用韦达定理求弦
的中点，并寻找两条直线斜
率关系；（Ⅱ）根据(Ⅰ)中结论，设直线
方程并与椭圆方程联立，求得
坐标，利用
以及直线过点
列方程求
的值．
试题解析：(Ⅰ)设直线
，
，
，
．
将
代
入
得
，
故
，
．于是直线
的斜率
，即
．所以
直线
的斜率与的斜率的乘积为定值．
（Ⅱ）四边形
能为平行四边形．
因为直线过点
，所以不过原点且与
有两个交点的充要条件是
，
．
由(Ⅰ) 得
的方程为
．设点
的横坐标为
．由
得
，即
．将点
的坐标代入直线
的方程得
，因此
．四边形
为平行四边形当且仅当线段
与线
段
互相平分，即
．于是
．解得
，
．因为
，
，
，所以当
的斜率为
或
时，四边形
为平行四边形．
考点：1、弦的中点问题；2、直线和椭圆的位置关系．
21．（本题满分12 分）
设函数
．
(Ⅰ)证明：
在
单调递减，在
单调递增；
（Ⅱ）若对于任意
，都有
，求
的取值范围．
【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）
．
【解析】
试题分析：(Ⅰ)先求导函数
，根据
的范围讨论导函数在
和
的符号即可；（Ⅱ）
恒成立，等价于
．由
是两个独立的变量，故可求研究
的值域，由(Ⅰ)
可得最小值为
，最大值可能是
或
，故只需
，从
而得关于
的不等式，因不易解出，故利用导数研究其单调性和符号，从而得解．
考点：导数的综合应用．
（请考生在22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请
写清题号。高三网www.gaosan.com）
G
A
E
F
O
N
D
B
C
M
22．（本小题满分10 分）
选修4—1：几何证明选讲
如图，
为等腰三角形
内一点，圆
与
的底边
交于
、
两点与底边
上的高
交于点
，与
、
分别相切于
、
两点．
（Ⅰ）证明：
；
（Ⅱ） 若
等于
的半径，且
，求四边形
的面积．
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）
．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由已知得
，欲证明
，只需证明
，由切线
长定理可得
，故只需证明
是角平分线即可；（Ⅱ）连接
，
，在
中，易求得
，故
和
都是等边三角形，求得其边长，
进而可求其面积．四边形
的面积为两个等边三角形面积之差．
试题解析：（Ⅰ）由于
是等腰三角形，
，所以
是
的平分线．
又因为
分别与
、
相切于
、
两点，所以
，故
．从而
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
,
，故
是
的垂直平分线，又
是
的弦，所以
在
上．连接
，
，则
．由
等于
的半径得
，所以
．所以
和
都是等边三角形．因为
，所以
，
．
因为
，
，所以
．于是
，
．
所以四边形
的面积
．
考点：1．等腰三角形的性质；2、圆的切线长定理；3、圆的切线的性质．
23．（本小题满分10 分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系
中，曲线
（为参数，
），其中
，
在以
为极点，
轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线
，曲线
．
（Ⅰ）.求
与
交点的直角坐标；
（Ⅱ）.若
与
相交于点
，
与
相交于点
，求
的最大值．
【答案】（Ⅰ）
和
；（Ⅱ）
．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）将曲线
与
的极坐标方程化为直角坐标方程，联立求交点，得其交
点的直角坐标，也可以直接联立极坐标方程，求得交点的极坐标，再化为直角坐标；
（Ⅱ）分别联立
与
和
与
的极坐标方程，求得
的极坐标，由极径的概念将
表示，转化为三角函数的最大值问题处理．
试题解析：（Ⅰ）曲线
的直角坐标方程为
，曲线
的直角坐标方程为
．联立
解得
或
所以
与
交
点的直角坐标为
和
．
（Ⅱ）曲线
的极坐标方程为
，其中
．因此
得到极坐标
为
，
的极坐标为
．所以
，当
时，
取得最大值，最大值为
．
考点：1、极坐标方程和直角坐标方程的转化；2、三角函数的最大值．
24．（本小题满分10 分）选修4-5 不等式选讲
设
均为正数，且
，证明：
（Ⅰ）若
，则
；
（Ⅱ）
是
的充要条件．
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析．
考点：推理证明．
