2013 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
理 科 数 学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150 分. 考试用时120 分钟. 第
Ⅰ卷1 至2 页, 第Ⅱ卷3 至5 页.
答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用
条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷
和答题卡一并交回.
祝各位考生考试顺利!
第Ⅰ卷
注意事项：
1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮
擦干净后, 再选凃其他答案标号.
1. 本卷共8 小题, 每小题5 分, 共40 分.
参考公式:
·如果事件A, B 互斥, 那么
)
( )
( )
(
B
P A
P A
P B
·棱柱的体积公式V=Sh，
其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱
柱的高.
·如果事件A, B 相互独立, 那么
)
( ) (
(
)
B
P A
A
P
P
B
·球的体积公式
3
4
.
3
V
R
其中R 表示球的半径.
一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1) 已知集合A = {x∈R| |x|≤2}, A = {x∈R| x≤1}, 则A
B
(A) (
,2]
(B) [1,2]
(C) [－2,2]
(D) [－2,1]
(2) 设变量x, y 满足约束条件3
6
0,
2
0,
3
0,
x
y
y
x
y
则目标函数z
= y－2x 的最小值为
(A) －7
(B) －4
(C) 1
(D) 2
(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值
为1, 则输出S 的值为
(A) 64
(B) 73
(C) 512
(D) 585
(4) 已知下列三个命题:
①若一个球的半径缩小到原来的1
2 , 则其体积缩小到原来
的1
8 ;
②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;
③直线x + y + 1 = 0 与圆
2
2
1
2
x
y
相切.
其中真命题的序号是:
(A) ①②③
(B) ①②
(C) ①③
(D) ②③
(5) 已知双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
的两条渐近线与抛物线
2
2
(
0)
px p
y
的准线分别交于
A, B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 的面积为
3
, 则p =
(A) 1
(B) 3
2
(C) 2
(D) 3
(6) 在△ABC 中,
,
2,
3,
4 AB
BC
ABC
则sin BAC
=
(A)
10
10
(B)
10
5
(C) 3 10
10
(D)
5
5
(7) 函数
0.5
( )
2 | log
| 1
x
f x
x
的零点个数为
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(8) 已知函数
( )
(1
|
|)
f x
x
a x
. 设关于x 的不等式
(
)
( )
f x
a
f x
的解集为A, 若
1 1
,
2 2
A
,
则实数a 的取值范围是
2
(A) 1
5 ,0
2
(B) 1
3 ,0
2
(C) 1
5 ,0
2
1
3
0,
2
(D)
5
2
,1
2013 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
理 科 数 学
第Ⅱ卷
注意事项：
1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.
2. 本卷共12 小题, 共110 分.
二．填空题: 本大题共6 小题, 每小题5 分, 共30 分.
(9) 已知a, b∈R, i 是虚数单位. 若(a + i)(1 + i) = bi, 则a + bi = .
(10)
6
1
x
x
的二项展开式中的常数项为 .
(11) 已知圆的极坐标方程为
4cos
, 圆心为C, 点P 的极坐标为4, 3
, 则|CP| = .
(12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1,
60
BAD
, E 为CD 的中点.
若
·
＝1, 则AB 的长为 .
(13) 如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD//AC. 过点
A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E, AD 与BC 交于点F. 若AB =
AC, AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为 .
(14) 设a + b = 2, b>0, 则当a = 时,
1
|
|
2 |
|
a
a
b
取得最小值.
三．解答题: 本大题共6 小题, 共70 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.
(15) (本小题满分13 分)
已知函数
2
( )
2 sin 2
6sin cos
2cos
4
1,
f x
x
x
x
x
x
R .
(Ⅰ) 求f(x)的最小正周期;
(Ⅱ) 求f(x)在区间0, 2
上的最大值和最小值.
3
(16) (本小题满分13 分)
一个盒子里装有7 张卡片, 其中有红色卡片4 张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3 张, 编号分别
为2, 3, 4. 从盒子中任取4 张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).
(Ⅰ) 求取出的4 张卡片中, 含有编号为3 的卡片的概率.
(Ⅱ) 再取出的4 张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X, 求随机变量X 的分布列和数学期望.
(17) (本小题满分13 分)
如图, 四棱柱ABCD－A1B1C1D1 中, 侧棱A1A⊥底面
ABCD, AB//DC, AB⊥AD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E
为棱AA1的中点.
(Ⅰ) 证明B1C1⊥CE;
(Ⅱ) 求二面角B1－CE－C1的正弦值.
(Ⅲ) 设点M 在线段C1E 上, 且直线AM 与平面ADD1A1
所成角的正弦值为
2
6 , 求线段AM 的长.
(18) (本小题满分13 分)
设椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
的左焦点为F, 离心率为
3
3
, 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截
得的线段长为4 3
3
.
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 设A, B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C, D 两点. 若
·
·
8
AC DB
AD CB
, 求k 的值.
(19) (本小题满分14 分)
已知首项为3
2 的等比数列{
}
na
不是递减数列, 其前n 项和为
(
*)
n
S
nN
, 且S3 + a3, S5 + a5, S4 +
a4成等差数列.
(Ⅰ) 求数列{
}
na
的通项公式;
(Ⅱ) 设
*
(
)
1
n
n
n
T
S
n
S
N
, 求数列{
}
nT
的最大项的值与最小项的值.
(20) (本小题满分14 分)
已知函数
2 l
( )
n
f x
x
x
.
(Ⅰ) 求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ) 证明: 对任意的t>0, 存在唯一的s, 使
( )
t
f s
.
(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为
( )
s
g t
, 证明: 当
2
>e
t
时, 有
2
ln ( )
1
5
ln
2
g t
t
.
4
2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
(天津卷)
第Ⅰ卷
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．
答案：D
解析：解不等式|x|≤2，得－2≤x≤2，所以A＝{x|－2≤x≤2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤1}．故
选D.
2．
答案：A
解析：作约束条件
所表示的可行区域，
如图所示，z＝y－2x 可化为y＝2x＋z，z 表示直线在y
轴上的截距，截距越大z 越大，作直线l0：y＝2x，平移l0
过点A(5,3)，此时z 最小为－7，故选A.
3．
答案：B
解析：由程序框图，得x＝1 时，S＝1；x＝2 时，S＝9；x＝
4 时，S＝9＋64＝73，结束循环输出S 的值为73，故选B.
4．
答案：C
解析：设球半径为R ，缩小后半径为r ，则r ＝
，而V ＝
，V′ ＝
，所以该球体积缩小到原来的
，故①为真命题；两组数据的
平均数相等，它们的方差可能不相等，故②为假命题；圆x2＋y2＝
的圆心到直线x＋y＋1＝0
的距离d＝
，因为该距离等于圆的半径，所以直线与圆相切，故③为真命题．故选C.
5．
答案：C
解析：设A 点坐标为(x0，y0)，则由题意，得S△AOB＝|x0|·|y0|＝
.抛物线y2＝2px 的准线为
，所以
，代入双曲线的渐近线的方程
，得|y0| ＝
. 由
得b＝
，所以|y0|＝
.所以S△AOB＝
，解得p＝2 或p＝－
5
2(舍去)．
6．
答案：C
解析：在△ABC 中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝
＝5，即得AC＝
.由正弦定理
，即
，所以
sin∠BAC＝
.
7．
答案：B
解析：函数f(x)＝2x|log0.5x|－1 的零点也就是方程2x|log0.5x|－1＝0 的根，即2x|log0.5x|＝
1，整理得|log0.5x|＝
.令g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝
，作
g(x)，h(x)的图象如图所示．因为两个函数图象有两个交点，所以
f(x)有两个零点．
8．
答案：A
解析：f(x)＝x(1＋a|x|)＝
若不等式f(x＋a)＜f(x)的解集为A，且
，
则在区间
上，函数y＝f(x＋a)的图象应在函数y＝f(x)的图象
的下边．
(1)当a＝0 时，显然不符合条件．
(2)当a＞0 时，画出函数y＝f(x)和y＝f(x＋a)的图象大致如图．
由图可知，当a＞0 时，y＝f(x＋a)的图象在y＝f(x)图象的上边，故a＞
0 不符合条件．
(3)当a＜0 时，画出函数y＝f(x)和y＝f(x＋a)的图象大致如图．
由图可知，若f(x＋a)＜f(x)的解集为A，且
，
只需
即可，
则有
(a ＜
0)，
整理，得a2－a－1＜0，解得
.
∵a＜0，∴a∈
.
6
综上，可得a 的取值范围是
.
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．
2．本卷共12 小题，共110 分．
二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分．
9．答案：1＋2i
解析：由(a＋i)(1＋i)＝a－1＋(a＋1)i＝bi，得
解方程组，得a＝1，b＝2，则a＋bi
＝1＋2i.
10．答案：15
解析：二项展开式的通项为
，
得r＝4，所以
二项展开式的常数项为T5＝(－1)4
＝15.
11．答案：
解析：由圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，得圆心C 的直角坐标为(2,0)，点P 的直角坐标为(2,
)，所以|CP|＝
.
12．答案：
解析：如图所示，在平行四边形ABCD 中，
＝
＋
，
＝
＋
＝
＋
.
所以
·
＝(
＋
)·
＝
|
|2＋|
|2＋
·
＝
|
|2＋
|
|＋1＝1，解方程得|
|＝
(舍去|
|＝0)，所以线段AB 的长为
.
13．
答案：
解析：∵AE 为圆的切线，
∴由切割线定理，得AE2＝EB·ED.
又AE＝6，BD＝5，可解得EB＝4.
∵∠EAB 为弦切角，且AB＝AC，
∴∠EAB＝∠ACB＝∠ABC.
∴EA∥BC.又BD∥AC，
∴四边形EBCA 为平行四边形．
∴BC＝AE＝6，AC＝EB＝4.
由BD∥AC，得△ACF∽△DBF，
∴
.
又CF＋BF＝BC＝6，∴CF＝
.
14．答案：－2
解析：因为a＋b＝2，所以
7
1＝
＝
≥
，
当a＞0 时，
，
；
当a＜0 时，
，
，当且仅当b＝2|a|时等号成立．
因为b＞0，所以原式取最小值时b＝－2a.
又a＋b＝2，所以a＝－2 时，原式取得最小值．
三、解答题：本大题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．
解：(1)f(x)＝
sin 2x·
＋3sin 2x－cos 2x
＝2sin 2x－2cos 2x＝
.
所以，f(x)的最小正周期T＝
＝π.
(2)因为f(x)在区间
上是增函数，在区间
上是减函数．又f(0)＝－2，
，
，故函数f(x)在区间
上的最大值为
，最小值为－2.
16．
解：(1)设“取出的4 张卡片中，含有编号为3 的卡片”为事件A，则
P(A)＝
.
所以，取出的4 张卡片中，含有编号为3 的卡片的概率为
.
(2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4.
P(X＝1)＝
， P(X＝2)＝
， P(X＝3)＝
， P(X＝4)＝
.
所以随机变量X 的分布列是
X
1
2
3
4
P
随机变量X 的数学期望EX＝1×
＋2×
＋3×
＋4×
＝
.
17．
解：(方法一)
(1)证明：如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得
A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0)．
易得
＝(1,0，－1)，
＝(－1,1，－1)，于是
·
＝0，
所以B1C1⊥CE.
(2)
＝(1，－2，－1)．
8
设平面B1CE 的法向量m＝(x，y，z)，
则
即
消去x，得y＋2z＝0，不妨令z＝1，可得一个法向量为m＝(－3，－2,1)．
由(1)，B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，可得B1C1⊥平面CEC1，
故
＝(1,0，－1)为平面CEC1的一个法向量．
于是cos〈m，
〉＝
，
从而sin〈m，
〉＝
.
所以二面角B1－CE－C1的正弦值为
.
(3)
＝(0,1,0)，
＝(1,1,1)．
设
＝λ
＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有
＝
＋
＝(λ，λ＋1，λ)．
可取
＝(0,0,2)为平面ADD1A1的一个法向量．
设θ 为直线AM 与平面ADD1A1所成的角，则
sin θ＝|cos〈
，
〉|＝
＝
.
于是
，解得
，
所以AM＝
.
(方法二)
(1)证明：因为侧棱CC1⊥底面A1B1C1D1，B1C1
平面A1B1C1D1，
所以CC1⊥B1C1.
经计算可得B1E＝
，B1C1＝
，EC1＝
，
从而B1E2＝
，
所以在△B1EC1中，B1C1⊥C1E，
又CC1，C1E
平面CC1E，CC1∩C1E＝C1，
所以B1C1⊥平面CC1E，
又CE
平面CC1E，故B1C1⊥CE.
(2)过B1作B1G⊥CE 于点G，连接C1G.
由(1)，B1C1⊥CE，故CE⊥平面B1C1G，得CE⊥C1G，
所以∠B1GC1为二面角B1－CE－C1的平面角．
在△CC1E 中，由CE＝C1E＝
，CC1＝2，可得C1G＝
.
在Rt△B1C1G 中，B1G＝
，
所以sin∠B1GC1＝
，
9
即二面角B1－CE－C1的正弦值为
.
(3)连接D1E，过点M 作MH⊥ED1于点H，可得MH⊥平面ADD1A1，连接AH，AM，则∠MAH 为直线AM 与
平面ADD1A1所成的角．
设AM＝x，从而在Rt△AHM 中，有MH＝
，AH＝
.
在Rt△C1D1E 中，C1D1＝1，ED1＝
，得EH＝
.
在△AEH 中，∠AEH＝135°，AE＝1，
由AH2＝AE2＋EH2－2AE·EHcos 135°，得
，
整理得5x2－
－6＝0，解得x＝
.
所以线段AM 的长为
.
18．
解：(1)设F(－c,0)，由
，知
.过点F 且与x 轴垂直的直线为x＝－c，代入椭圆
方程有
，
解得
，于是
，解得
，
又a2－c2＝b2，从而a＝
，c＝1，
所以椭圆的方程为
.
(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1,0)得直线CD 的方程为y＝k(x＋1)，
由方程组
消去y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.
求解可得x1＋x2＝
，x1x2＝
.
因为A(
，0)，B(
，0)，
所以
·
＋
·
＝(x1＋
，y1)·(
－x2，－y2)＋(x2＋
，y2)·(
－x1，－y1)
＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)
＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2
＝
.
由已知得
＝8，解得k＝
.
19．
解：(1)设等比数列{an}的公比为q，
因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，
所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，
即4a5＝a3，于是
.
10
又{an}不是递减数列且
，所以
.
故等比数列{an}的通项公式为
.
(2)由(1)得
当n 为奇数时，Sn随n 的增大而减小，所以1＜Sn≤S1＝
，
故
.
当n 为偶数时，Sn随n 的增大而增大，所以
＝S2≤Sn＜1，
故
.
综上，对于n∈N*，总有
.
所以数列{Tn}最大项的值为
，最小项的值为
.
20．
解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝2xln x＋x＝x(2ln x＋1)，令f′(x)＝0，得
.
当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
f′(x)
－
0
＋
f(x)
极小值
所以函数f(x)的单调递减区间是
，单调递增区间是
.
(2)证明：当0＜x≤1 时，f(x)≤0.
设t＞0，令h(x)＝f(x)－t，x∈[1，＋∞)．
由(1)知，h(x)在区间(1，＋∞)内单调递增．
h(1)＝－t＜0，h(et)＝e2tln et－t＝t(e2t－1)＞0.
故存在唯一的s∈(1，＋∞)，使得t＝f(s)成立．
(3)证明：因为s＝g(t)，由(2)知，t＝f(s)，且s＞1，从而
，
其中u＝ln s.
要使
成立，只需
.
当t＞e2时，若s＝g(t)≤e，则由f(s)的单调性，有t＝f(s)≤f(e)＝e2，矛盾．
所以s＞e，即u＞1，从而ln u＞0 成立．
11
另一方面，令F(u)＝
，u＞1.F′(u)＝
，令F′(u)＝0，得u＝2.
当1＜u＜2 时，F′(u)＞0；当u＞2 时，F′(u)＜0.
故对u＞1，F(u)≤F(2)＜0.
因此
成立．
综上，当t＞e2时，有
.
12
