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2016 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.
1．（5 分）已知集合A={1，2，3}，B={x|x2＜9}，则A∩B=（ ）
A．{
2
﹣，﹣1，0，1，2，3}
B．{
2
﹣，﹣1，0，1，2}
C．{1，2，3}
D．{1，2}
2．（5 分）设复数z 满足z+i=3
i
﹣，则=（ ）
A．﹣1+2i
B．1
2i
﹣
C．3+2i
D．3
2i
﹣
3．（5 分）函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（ ）
A．y=2sin（2x﹣
）
B．y=2sin（2x﹣
）
C．y=2sin（x+
）
D．y=2sin（x+
）
4．（5 分）体积为8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（ ）
A．12π
B．
π
C．8π
D．4π
5．（5 分）设F 为抛物线C：y2=4x 的焦点，曲线y= （k＞0）与C 交于点P，PF⊥x 轴，则k=（ ）
A．
B．1
C．
D．2
6．（5 分）圆x2+y2
2x
8y
﹣
﹣
+13=0 的圆心到直线ax+y
1=0
﹣
的距离为1，则a=（ ）
A．﹣
B．﹣
C．
D．2
7．（5 分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A．20π
B．24π
C．28π
D．32π
8．
（5 分）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40 秒．若一名行人来到
该路口遇到红灯，则至少需要等待15 秒才出现绿灯的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（5 分）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，
若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s=（ ）
A．7
B．12
C．17
D．34
10．（5 分）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是（ ）
A．y=x
B．y=lgx
C．y=2x
D．y=
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11．（5 分）函数f（x）=cos2x+6cos（
﹣x）的最大值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
12．（5 分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2
x
﹣），若函数y=|x2
2x
3
﹣
﹣|与 y=f（x） 图象的交点为
（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则
xi=（ ）
A．0
B．m
C．2m
D．4m
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分.
13．（5 分）已知向量=（m，4），=（3，﹣2），且∥，则m= ．
14．（5 分）若x，y 满足约束条件
，则z=x
2y
﹣
的最小值为 ．
15．（5 分）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若cosA=
，cosC=
，a=1，则b= ．
16．（5 分）有三张卡片，分别写有1 和2，1 和3，2 和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的
卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同
的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（12 分）等差数列{an}中，a3+a4=4，a5+a7=6．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=[an]，求数列{bn}的前10 项和，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2．
18．
（12 分）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度
的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
随机调查了该险种的200 名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数
0
1
2
3
4
≥5
频数
60
50
30
30
20
10
（I）记A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P（A）的估计值；
（Ⅱ）记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P（B）的估
计值；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费估计值．
19．（12 分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O，点E、F 分别在AD，CD 上，AE=CF，EF 交BD
于点H，将△DEF 沿EF 折到△D′EF 的位置．
（Ⅰ）证明：AC⊥HD′；
（Ⅱ）若AB=5，AC=6，AE=
，OD′=2
，求五棱锥D′
ABCFE
﹣
体积．
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20．（12 分）已知函数f（x）=（x+1）lnx
a
﹣（x
1
﹣）．
（I）当a=4 时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（II）若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求a 的取值范围．
21．（12 分）已知A 是椭圆E：
+
=1 的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E 于A，M 两点，点N 在
E 上，MA⊥NA．
（I）当|AM|=|AN|时，求△AMN 的面积
（II）当2|AM|=|AN|时，证明：
＜k＜2．
请考生在第22～24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选
讲]
22．（10 分）如图，在正方形ABCD 中，E，G 分别在边DA，DC 上（不与端点重合），且DE=DG，过D 点作
DF⊥CE，垂足为F．
（Ⅰ）证明：B，C，G，F 四点共圆；
（Ⅱ）若AB=1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积．
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[选项4-4：坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为（x+6）2+y2=25．
（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l 的参数方程是
（t 为参数），l 与C 交与A，B 两点，|AB|=
，求l 的斜率．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x﹣
|+|x+
|，M 为不等式f（x）＜2 的解集．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）证明：当a，b∈M 时，|a+b|＜|1+ab|．
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2016 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.
1．（5 分）已知集合A={1，2，3}，B={x|x2＜9}，则A∩B=（ ）
A．{
2
﹣，﹣1，0，1，2，3}
B．{
2
﹣，﹣1，0，1，2}
C．{1，2，3}
D．{1，2}
【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；5J：集合．
【分析】先求出集合A 和B，由此利用交集的定义能求出A∩B 的值．
【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={x|x2＜9}={x|
3
﹣＜x＜3}，
∴A∩B={1，2}．
故选：D．
【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．
2．（5 分）设复数z 满足z+i=3
i
﹣，则=（ ）
A．﹣1+2i
B．1
2i
﹣
C．3+2i
D．3
2i
﹣
【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．
【分析】根据已知求出复数z，结合共轭复数的定义，可得答案．
【解答】解：∵复数z 满足z+i=3
i
﹣，
∴z=3
2i
﹣，
∴=3+2i，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是复数代数形式的加减运算，共轭复数的定义，难度不大，属于基础题．
3．（5 分）函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（ ）
A．y=2sin（2x﹣
）
B．y=2sin（2x﹣
）
C．y=2sin（x+
）
D．y=2sin（x+
）
【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质．
【分析】根据已知中的函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象，求出满足条件的A，ω，φ 值，可得答案．
【解答】解：由图可得：函数的最大值为2，最小值为﹣2，故A=2，
=
，故T=π，ω=2，
故y=2sin（2x+φ），
将（
，2）代入可得：2sin（
+φ）=2，
则φ=﹣
满足要求，
故y=2sin（2x﹣
），
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，确定各个参数的值是解答
的关键．
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4．（5 分）体积为8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（ ）
A．12π
B．
π
C．8π
D．4π
【考点】LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5U：球．
【分析】先通过正方体的体积，求出正方体的棱长，然后求出球的半径，即可求出球的表面积．
【解答】解：正方体体积为8，可知其边长为2，
正方体的体对角线为
=2
，
即为球的直径，所以半径为
，
所以球的表面积为
=12π．
故选：A．
【点评】本题考查学生的空间想象能力，体积与面积的计算能力，是基础题．
5．（5 分）设F 为抛物线C：y2=4x 的焦点，曲线y= （k＞0）与C 交于点P，PF⊥x 轴，则k=（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据已知，结合抛物线的性质，求出P 点坐标，再由反比例函数的性质，可得k 值．
【解答】解：抛物线C：y2=4x 的焦点F 为（1，0），
曲线y=
（k＞0）与C 交于点P 在第一象限，
由PF⊥x 轴得：P 点横坐标为1，
代入C 得：P 点纵坐标为2，
故k=2，
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，反比例函数的性质，难度中档．
6．（5 分）圆x2+y2
2x
8y
﹣
﹣
+13=0 的圆心到直线ax+y
1=0
﹣
的距离为1，则a=（ ）
A．﹣
B．﹣
C．
D．2
【考点】IT：点到直线的距离公式；J9：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4R：转化法；5B：直线与圆．
【分析】求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案．
【解答】解：圆x2+y2
2x
8y
﹣
﹣
+13=0 的圆心坐标为：（1，4），
故圆心到直线ax+y
1=0
﹣
的距离d=
=1，
解得：a=
，
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是圆的一般方程，点到直线的距离公式，难度中档．
7．（5 分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A．20π
B．24π
C．28π
D．32π
【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2
，在轴截
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面中圆锥的母线长使用勾股定理做出的，写出表面积，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆
柱的高是4，做出圆柱的表面积，注意不包括重合的平面．
【解答】解：由三视图知，空间几何体是一个组合体，
上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2
，
∴在轴截面中圆锥的母线长是
=4，
∴圆锥的侧面积是π×2×4=8π，
下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，
∴圆柱表现出来的表面积是π×22+2π×2×4=20π
∴空间组合体的表面积是28π，
故选：C．
【点评】本题考查由三视图求表面积，本题的图形结构比较简单，易错点可能是两个几何体重叠的部
分忘记去掉，求表面积就有这样的弊端．
8．
（5 分）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40 秒．若一名行人来到
该路口遇到红灯，则至少需要等待15 秒才出现绿灯的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】CF：几何概型．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5I：概率与统计．
【分析】求出一名行人前25 秒来到该路口遇到红灯，即可求出至少需要等待15 秒才出现绿灯的概率
【解答】解：∵红灯持续时间为40 秒，至少需要等待15 秒才出现绿灯，
∴一名行人前25 秒来到该路口遇到红灯，
∴至少需要等待15 秒才出现绿灯的概率为
=
．
故选：B．
【点评】本题考查概率的计算，考查几何概型，考查学生的计算能力，比较基础．
9．（5 分）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，
若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s=（ ）
A．7
B．12
C．17
D．34
【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；28：操作型；5K：算法和程序框图．
【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序
的运行过程，可得答案．
【解答】解：∵输入的x=2，n=2，
当输入的a 为2 时，S=2，k=1，不满足退出循环的条件；
当再次输入的a 为2 时，S=6，k=2，不满足退出循环的条件；
当输入的a 为5 时，S=17，k=3，满足退出循环的条件；
故输出的S 值为17，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行
解答．
10．（5 分）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是（ ）
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A．y=x
B．y=lgx
C．y=2x
D．y=
【考点】4K：对数函数的定义域；4L：对数函数的值域与最值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；4O：定义法；51：函数的性质及应用．
【分析】分别求出各个函数的定义域和值域，比较后可得答案．
【解答】解：函数y=10lgx的定义域和值域均为（0，+∞），
函数y=x 的定义域和值域均为R，不满足要求；
函数y=lgx 的定义域为（0，+∞），值域为R，不满足要求；
函数y=2x的定义域为R，值域为（0，+∞），不满足要求；
函数y=
的定义域和值域均为（0，+∞），满足要求；
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是函数的定义域和值域，熟练掌握各种基本初等函数的定义域和值域，是
解答的关键．
11．（5 分）函数f（x）=cos2x+6cos（
﹣x）的最大值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【考点】HW：三角函数的最值．菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；4J：换元法；56：三角函数的求值；57：三角函数的图像与性质．
【分析】运用二倍角的余弦公式和诱导公式，可得y=1
2sin
﹣
2x+6sinx，令t=sinx（﹣1≤t≤1），可得函
数y=
2t
﹣
2+6t+1，配方，结合二次函数的最值的求法，以及正弦函数的值域即可得到所求最大值．
【解答】解：函数f（x）=cos2x+6cos（
﹣x）
=1
2sin
﹣
2x+6sinx，
令t=sinx（﹣1≤t≤1），
可得函数y=
2t
﹣
2+6t+1
=
2
﹣（t﹣
）2+
，
由
∉[
1
﹣，1]，可得函数在[
1
﹣，1]递增，
即有t=1 即x=2kπ+
，k∈Z 时，函数取得最大值5．
故选：B．
【点评】本题考查三角函数的最值的求法，注意运用二倍角公式和诱导公式，同时考查可化为二次函
数的最值的求法，属于中档题．
12．（5 分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2
x
﹣），若函数y=|x2
2x
3
﹣
﹣|与 y=f（x） 图象的交点为
（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则
xi=（ ）
A．0
B．m
C．2m
D．4m
【考点】&2：带绝对值的函数；&T：函数迭代；3V：二次函数的性质与图象．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．
【分析】根据已知中函数函数f（x）
（x∈R）满足f（x）=f（2
x
﹣），分析函数的对称性，可得函数y=|x2
2x
﹣
3
﹣|与 y=f（x） 图象的交点关于直线x=1 对称，进而得到答案．
【解答】解：∵函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2
x
﹣），
故函数f（x）的图象关于直线x=1 对称，
函数y=|x2
2x
3
﹣
﹣|的图象也关于直线x=1 对称，
故函数y=|x2
2x
3
﹣
﹣|与 y=f（x） 图象的交点也关于直线x=1 对称，
故
xi=
×2=m，
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数的对称性质，难度中档．
第8页（共16页）
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分.
13．（5 分）已知向量=（m，4），=（3，﹣2），且∥，则m= ﹣
6
．
【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；29：规律型；5A：平面向量及应用．
【分析】直接利用向量共线的充要条件列出方程求解即可．
【解答】解：向量=（m，4），=（3，﹣2），且∥，
可得12=
2m
﹣
，解得m=
6
﹣．
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查向量共线的充要条件的应用，考查计算能力．
14．（5 分）若x，y 满足约束条件
，则z=x
2y
﹣
的最小值为 ﹣
5
．
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；59：不等式的解法及应用；5T：不等式．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程
组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件
作出可行域如图，
联立
，解得B（3，4）．
化目标函数z=x
2y
﹣
为y=
x﹣
z，
由图可知，当直线y=
x﹣
z 过B（3，4）时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值为：3
2
﹣×4=
5
﹣．
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
15．（5 分）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若cosA=
，cosC=
，a=1，则b=
．
【考点】HU：解三角形．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；48：分析法；56：三角函数的求值；58：解三角形．
【分析】运用同角的平方关系可得sinA，sinC，再由诱导公式和两角和的正弦公式，可得sinB，运用正
弦定理可得b=
，代入计算即可得到所求值．
【解答】解：由cosA=
，cosC=
，可得
sinA=
=
=
，
sinC=
=
=
，
sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=
×
+
×
=
，
由正弦定理可得b=
第9页（共16页）
=
=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查正弦定理的运用，同时考查两角和的正弦公式和诱导公式，以及同角的平方关系的
运用，考查运算能力，属于中档题．
16．（5 分）有三张卡片，分别写有1 和2，1 和3，2 和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的
卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同
的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是
1 和
3
．
【考点】F4：进行简单的合情推理．菁优网版权所有
【专题】2A：探究型；49：综合法；5L：简易逻辑．
【分析】可先根据丙的说法推出丙的卡片上写着1 和2，或1 和3，分别讨论这两种情况，根据甲和乙
的说法可分别推出甲和乙卡片上的数字，这样便可判断出甲卡片上的数字是多少．
【解答】解：根据丙的说法知，丙的卡片上写着1 和2，或1 和3；
（1）若丙的卡片上写着1 和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2 和3；
∴根据甲的说法知，甲的卡片上写着1 和3；
（2）若丙的卡片上写着1 和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2 和3；
又甲说，“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；
∴甲的卡片上写的数字不是1 和2，这与已知矛盾；
∴甲的卡片上的数字是1 和3．
故答案为：1 和3．
【点评】考查进行简单的合情推理的能力，以及分类讨论得到解题思想，做这类题注意找出解题的突
破口．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（12 分）等差数列{an}中，a3+a4=4，a5+a7=6．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=[an]，求数列{bn}的前10 项和，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2．
【考点】83：等差数列的性质；84：等差数列的通项公式．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．
【分析】（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，根据已知构造关于首项和公差方程组，解得答案；
（Ⅱ）根据bn=[an]，列出数列{bn}的前10 项，相加可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵a3+a4=4，a5+a7=6．
∴
，
解得：
，
∴an=
；
（Ⅱ）∵bn=[an]，
∴b1=b2=b3=1，
b4=b5=2，
b6=b7=b8=3，
b9=b10=4．
故数列{bn}的前10 项和S10=3×1+2×2+3×3+2×4=24．
【点评】本题考查的知识点是等差数列的通项公式，等差数列的性质，难度中档．
18．
（12 分）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度
的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
第10页（共16页）
随机调查了该险种的200 名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数
0
1
2
3
4
≥5
频数
60
50
30
30
20
10
（I）记A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P（A）的估计值；
（Ⅱ）记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P（B）的估
计值；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费估计值．
【考点】B2：简单随机抽样．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；29：规律型；5I：概率与统计．
【分析】（I）求出A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”的人数．总事件人数，即可
求P（A）的估计值；
（Ⅱ）求出B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”的人数．然
后求P（B）的估计值；
（Ⅲ）利用人数与保费乘积的和除以总续保人数，可得本年度的平均保费估计值．
【解答】解：（I）记A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．事件A 的人数为：
60+50=110，该险种的200 名续保，
P（A）的估计值为：
=
；
（Ⅱ）记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．事件B 的人
数为：30+30=60，P（B）的估计值为：
=
；
（
Ⅲ
）
续
保
人
本
年
度
的
平
均
保
费
估
计
值
为
=
=1.1925a．
【点评】本题考查样本估计总体的实际应用，考查计算能力．
19．（12 分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O，点E、F 分别在AD，CD 上，AE=CF，EF 交BD
于点H，将△DEF 沿EF 折到△D′EF 的位置．
（Ⅰ）证明：AC⊥HD′；
（Ⅱ）若AB=5，AC=6，AE=
，OD′=2
，求五棱锥D′
ABCFE
﹣
体积．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何．
【分析】（1）根据直线平行的性质以菱形对角线垂直的性质进行证明即可．
（2）根据条件求出底面五边形的面积，结合平行线段的性质证明OD′是五棱锥D′
ABCFE
﹣
的高，即可
得到结论．
【解答】（Ⅰ）证明：∵菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O，点E、F 分别在AD，CD 上，AE=CF，
∴EF∥AC，且EF⊥BD
将△DEF 沿EF 折到△D′EF 的位置，
则D′H⊥EF，
∵EF∥AC，
∴AC⊥HD′；
（Ⅱ）若AB=5，AC=6，则AO=3，B0=OD=4，
∵AE=
，AD=AB=5，
∴DE=5﹣
=
，
∵EF∥AC，
∴
=
=
=
=
，
第11页（共16页）
∴EH=
，EF=2EH=
，DH=3，OH=4
3=1
﹣
，
∵HD′=DH=3，OD′=2
，
∴满足HD′2=OD′2+OH2，
则△OHD′为直角三角形，且OD′⊥OH，
又OD′⊥AC，AC∩OH=O，
即OD′⊥底面ABCD，
即OD′是五棱锥D′
ABCFE
﹣
的高．
底面五边形的面积S=
+
=
+
=12+
=
，
则五棱锥D′
ABCFE
﹣
体积V=
S•OD′=
×
×2
=
．
【点评】本题主要考查空间直线和平面的位置关系的判断，以及空间几何体的体积，根据线面垂直的
判定定理以及五棱锥的体积公式是解决本题的关键．本题的难点在于证明OD′是五棱锥D′﹣
ABCFE 的高．考查学生的运算和推理能力．
20．（12 分）已知函数f（x）=（x+1）lnx
a
﹣（x
1
﹣）．
（I）当a=4 时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（II）若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求a 的取值范围．
【考点】66：简单复合函数的导数．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；52：导数的概念及应用．
【分析】（I）当a=4 时，求出曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线的斜率，即可求出切线方程；
（II）先求出f′（x）＞f′（1）=2
a
﹣，再结合条件，分类讨论，即可求a 的取值范围．
【解答】解：（I）当a=4 时，f（x）=（x+1）lnx
4
﹣（x
1
﹣）．
f（1）=0，即点为（1，0），
函数的导数f′（x）=lnx+（x+1）•
﹣4，
则f′（1）=ln1+2
4=2
4=
2
﹣
﹣
﹣，
即函数的切线斜率k=f′（1）=
2
﹣，
则曲线y=f（x）在（1，0）处的切线方程为y=
2
﹣（x
1
﹣）=
2x
﹣
+2；
（II）∵f（x）=（x+1）lnx
a
﹣（x
1
﹣），
∴f′（x）=1+
+lnx
a
﹣，
∴f″（x）=
，
∵x＞1，∴f″（x）＞0，
∴f′（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴f′（x）＞f′（1）=2
a
﹣．
①a≤2，f′（x）＞f′（1）≥0，
∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴f（x）＞f（1）=0，满足题意；
②a＞2，存在x0∈（1，+∞），f′（x0）=0，函数f（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，
由f（1）=0，可得存在x0∈（1，+∞），f（x0）＜0，不合题意．
综上所述，a≤2．
另解：若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，
可得（x+1）lnx
a
﹣（x
1
﹣）＞0，
即为a＜
，
由y=
的导数为y′=
，
由y=x﹣
2lnx
﹣
的导数为y′=1+
﹣
=
＞0，
第12页（共16页）
函数y 在x＞1 递增，可得
＞0，
则函数y=
在x＞1 递增，
则
=
=2，
可得
＞2 恒成立，
即有a≤2．
【点评】本题主要考查了导数的应用，函数的导数与函数的单调性的关系的应用，导数的几何意义，
考查参数范围的求解，考查学生分析解决问题的能力，有难度．
21．（12 分）已知A 是椭圆E：
+
=1 的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E 于A，M 两点，点N 在
E 上，MA⊥NA．
（I）当|AM|=|AN|时，求△AMN 的面积
（II）当2|AM|=|AN|时，证明：
＜k＜2．
【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；49：综合法；4M：构造法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（I）依题意知椭圆E 的左顶点A（﹣2，0），由|AM|=|AN|，且MA⊥NA，可知△AMN 为等腰直
角三角形，设M（a
2
﹣，a），利用点M 在E 上，可得3（a
2
﹣）2+4a2=12，解得：a=
，从而可求
△AMN 的面积；
（II）设直线lAM的方程为：y=k（x+2），直线lAN的方程为：y=﹣（x+2），联立
消去y，得
（3+4k2）x2+16k2x+16k2
12=0
﹣
，利用韦达定理及弦长公式可分别求得|AM|=
|xM﹣（﹣2）|=
，|AN|=
=
，
结合2|AM|=|AN|，可得
=
，整理后，构造函数f（k）=4k3
6k
﹣
2+3k
8
﹣，利用导数法可判
断其单调性，再结合零点存在定理即可证得结论成立．
【解答】解：（I）由椭圆E 的方程：
+
=1 知，其左顶点A（﹣2，0），
∵|AM|=|AN|，且MA⊥NA，∴△AMN 为等腰直角三角形，
∴MN⊥x 轴，设M 的纵坐标为a，则M（a
2
﹣，a），
∵点M 在E 上，∴3（a
2
﹣）2+4a2=12，整理得：7a2
12a=0
﹣
，∴a=
或a=0（舍），
∴S△AMN=
a×2a=a2=
；
（II）设直线lAM的方程为：y=k（x+2），直线lAN的方程为：y=﹣（x+2），由
消去y 得：
（3+4k2）x2+16k2x+16k2
12=0
﹣
，∴xM
2=
﹣
﹣
，∴xM=2﹣
=
，
第13页（共16页）
∴|AM|=
|xM﹣（﹣2）|=
•
=
∵k＞0，
∴|AN|=
=
，
又∵2|AM|=|AN|，∴
=
，
整理得：4k3
6k
﹣
2+3k
8=0
﹣
，
设f（k）=4k3
6k
﹣
2+3k
8
﹣，
则f′（k）=12k2
12k
﹣
+3=3（2k
1
﹣）2≥0，
∴f（k）=4k3
6k
﹣
2+3k
8
﹣为（0，+∞）的增函数，
又f（
）=4×3
6
﹣×3+3
8=15
﹣
26=
﹣
﹣
＜0，f（2）=4×8
6
﹣×4+3×2
8=6
﹣
＞0，
∴
＜k＜2．
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，常用的方法就是联立方程求出交点的横坐标或者纵
坐标的关系，通过这两个关系的变形去求解，考查构造函数思想与导数法判断函数单调性，再结
合零点存在定理确定参数范围，是难题．
请考生在第22～24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选
讲]
22．（10 分）如图，在正方形ABCD 中，E，G 分别在边DA，DC 上（不与端点重合），且DE=DG，过D 点作
DF⊥CE，垂足为F．
（Ⅰ）证明：B，C，G，F 四点共圆；
（Ⅱ）若AB=1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积．
【考点】N8：圆內接多边形的性质与判定．菁优网版权所有
【专题】14：证明题．
【分析】（Ⅰ）证明B，C，G，F 四点共圆可证明四边形BCGF 对角互补，由已知条件可知∠BCD=90°，因
此问题可转化为证明∠GFB=90°；
（Ⅱ）在Rt△DFC 中，GF=
CD=GC，因此可得△GFB≌△GCB，则S 四边形BCGF=2S△BCG，据此解答．
【解答】（Ⅰ）证明：∵DF⊥CE，
∴Rt△DFC∽Rt△EDC，
∴
=
，
∵DE=DG，CD=BC，
∴
=
，
又∵∠GDF=∠DEF=∠BCF，
∴△GDF∽△BCF，
∴∠CFB=∠DFG，
∴∠GFB=∠GFC+∠CFB=∠GFC+∠DFG=∠DFC=90°，
∴∠GFB+∠GCB=180°，
∴B，C，G，F 四点共圆．
（Ⅱ）∵E 为AD 中点，AB=1，∴DG=CG=DE=
，
∴在Rt△DFC 中，GF=
CD=GC，连接GB，Rt△BCG≌Rt△BFG，
∴S 四边形BCGF=2S△BCG=2×
×1×
=
．
第14页（共16页）
【点评】本题考查四点共圆的判断，主要根据对角互补进行判断，注意三角形相似和全等性质的应用．
[选项4-4：坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为（x+6）2+y2=25．
（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l 的参数方程是
（t 为参数），l 与C 交与A，B 两点，|AB|=
，求l 的斜率．
【考点】J1：圆的标准方程；J8：直线与圆相交的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5B：直线与圆．
【分析】（Ⅰ）把圆C 的标准方程化为一般方程，由此利用ρ2=x2+y2，x=ρcosα，y=ρsinα，能求出圆C 的
极坐标方程．
（Ⅱ）由直线l 的参数方程求出直线l 的一般方程，再求出圆心到直线距离，由此能求出直线l 的斜率
【解答】解：（Ⅰ）∵圆C 的方程为（x+6）2+y2=25，
∴x2+y2+12x+11=0，
∵ρ2=x2+y2，x=ρcosα，y=ρsinα，
∴C 的极坐标方程为ρ2+12ρcosα+11=0．
（Ⅱ）∵直线l 的参数方程是
（t 为参数），
∴t=
，代入y=tsinα，得：直线l 的一般方程y=tanα•x，
∵l 与C 交与A，B 两点，|AB|=
，圆C 的圆心C（﹣6，0），半径r=5，
圆心到直线的距离d=
．
∴圆心C（﹣6，0）到直线距离d=
=
，
解得tan2α=
，∴tanα=±
=±
．
∴l 的斜率k=±
．
【点评】本题考查圆的极坐标方程的求法，考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注
意点到直线公式、圆的性质的合理运用．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x﹣
|+|x+
|，M 为不等式f（x）＜2 的解集．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）证明：当a，b∈M 时，|a+b|＜|1+ab|．
【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4C：分类法；4R：转化法；59：不等式的解法及应用．
【分析】（I）分当x＜
时，当
≤x≤
时，当x＞
时三种情况，分别求解不等式，综合可得答案；
（Ⅱ）当a，b∈M 时，（a2
1
﹣）（b2
1
﹣）＞0，即a2b2+1＞a2+b2，配方后，可证得结论．
【解答】解：（I）当x＜
时，不等式f（x）＜2 可化为：
﹣x
x
﹣﹣
＜2，
解得：x＞﹣1，
∴﹣1＜x＜
，
当
≤x≤
时，不等式f（x）＜2 可化为：
﹣x+x+
=1＜2，
此时不等式恒成立，
∴
≤x≤
，
第15页（共16页）
当x＞
时，不等式f（x）＜2 可化为：﹣
+x+x+
＜2，
解得：x＜1，
∴
＜x＜1，
综上可得：M=（﹣1，1）；
证明：（Ⅱ）当a，b∈M 时，
（a2
1
﹣）（b2
1
﹣）＞0，
即a2b2+1＞a2+b2，
即a2b2+1+2ab＞a2+b2+2ab，
即（ab+1）2＞（a+b）2，
即|a+b|＜|1+ab|．
【点评】本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，不等式的证明，难度中档．
第16页（共16页）
