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2016 年上海市春季高考（学业水平考试）数学试卷
2016.1
一. 填空题（本大题共12 题，每题3 分，共36 分）
1. 复数
（为虚数单位）的实部是 ；
2. 若
，则
；
3. 直线
与直线
的夹角为 ；
4. 函数
的定义域为 ；
5. 三阶行列式
中，元素
的代数余子式的值为 ；
6. 函数
的反函数的图像经过点
，则实数
；
7. 在△
中，若
，
，
，则
；
8. 4 个人排成一排照相，不同排列方式的种数为 ；（结果用数值表示）
9. 无穷等比数列
的首项为
，公比为
，则
的各项和为 ；
10. 若
（为虚数单位）是关于
的实系数一元二次方程
的一个虚根，
则
；
11. 函数
在区间
上的最小值为
，最大值为，则实数
的取值范围
是 ；
12. 在平面直角坐标系
中，点
、
是圆
上的两个动点，且满足
，则
的最小值为 ；
二. 选择题（本大题共12 题，每题3 分，共36 分）
13. 满足
且
的角
属于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限；
14. 半径为1 的球的表面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
15. 在
的二项展开式中，
项的系数为（ ）
A.
B.
C.
D.
16. 幂函数
的大致图像是（ ）
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A. B. C. D.
17. 已知向量
，
，则向量
在向量
方向上的投影为（ ）
A. B.
C.
D.
18. 设直线与平面
平行，直线
在平面
上，那么（ ）
A. 直线平行于直线
B. 直线与直线
异面
C. 直线与直线
没有公共点 D. 直线与直线
不垂直
19. 用数学归纳法证明等式
的第（ii）步中，假设
时原等式成立，那么在
时，需要证明的等式为（ ）
A.
B.
C.
D.
20. 关于双曲线
与
的焦距和渐近线，下列说法正确的是（ ）
A. 焦距相等，渐近线相同 B. 焦距相等，渐近线不相同
C. 焦距不相等，渐近线相同 D. 焦距不相等，渐近线不相同
21. 设函数
的定义域为
，则“
”是“
为奇函数”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
22. 下列关于实数
、
的不等式中，不恒成立的是（ ）
A.
B.
C.
D.
23. 设单位向量
与
既不平行也不垂直，对非零向量
，
，
有结论：① 若
，则
∥
；② 若
，则
；关于以上两
个结论，正确的判断是（ ）
A. ①成立，②不成立 B. ①不成立，②成立
C. ①成立，②成立 D. ①不成立，②不成立
24. 对于椭圆
，若点
满足
，则称该
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点在椭圆
内，在平面直角坐标系中，若点
在过点
的任意椭圆
内或椭圆
上，则满足条件的点
构成的图形为（ ）
A. 三角形及其内部 B. 矩形及其内部
C. 圆及其内部 D. 椭圆及其内部
三. 解答题（本大题共5 题，共8+8+8+12+12=48 分）
25. 如图，已知正三棱柱
的体积为
，底面边长为3，求异面直线
与
所成的角的大小；
26. 已知函数
，求
的最小正周期及最大值，并指出
取得
最大值时
的值；
27. 如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的
轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点
处，已知灯口直径是
，灯深
，求灯泡与反射
镜的顶点
的距离；
28. 已知数列
是公差为
的等差数列；
（1）若
、
、
成等比数列，求
的值；
（2）设
，数列
的前
项和为
，数列
满足
，
，记
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，求数列
的最小值
；（即
对任意
成立）
29. 对于函数
与
，记集合
；
（1）设
，
，求
；
（2）设
，
，
，如果
，求实
数
的取值范围；
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附加题
一. 选择题（本大题共3 题，每题3 分，共9 分）
1. 若函数
是偶函数，则
的一个值是（ ）
A.
B.
C.
D.
2. 在复平面上，满足
的复数
所对应的点的轨迹是（ ）
A. 两个点 B. 一条线段 C. 两条直线 D. 一个圆
3. 已知函数
的图像是折线段
，如图，其中
、
、
、
、
，若直线
与
的图像恰有4 个不同的公共点，
则
的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
二. 填空题（本大题共3 题，每题3 分，共9 分）
4. 椭圆
的长半轴的长为 ；
5. 已知圆锥的母线长为
，母线与轴的夹角为
，则该圆锥的侧面积为 ；
6. 小明用数列
记录某地区2015 年12 月份31 天中每天是否下过雨，方法为：当第
天
下过雨时，记
，当第
天没下过雨时，记
；他用数列
记录该
地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第
天有雨时，记
，当预报第
天
没有雨时，记
；记录完毕后，小明计算出
，那么该月气象台预报准确的总天数为 ；
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三. 解答题（本大题12 分）
7. 对于数列
与
，若对数列
的每一项
，均有
或
，则称数列
是
与
的一个“并数列”；
（1）设数列
与
的前三项分别为
，
，
，
，
，
，
若数列
是
与
的一个“并数列”，求所有可能的有序数组
；
（2）已知数列
、
均为等差数列，
的公差为1，首项为正整数，
的前
10 项和为
，前20 项和为
，若存在唯一的数列
，使得
是
与
的
一个“并数列”，求的值所构成的集合；
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参考答案
一. 填空题
1. 3； 2. 7； 3.
； 4.
；
5. 8； 6. 1； 7.
； 8. 24；
9. 3； 10.
； 11.
； 12. 4；
二. 选择题
13. B； 14. D； 15. C； 16. C； 17. A； 18. C；
19. D； 20. B； 21. B； 22. D； 23. A； 24. B；
三. 解答题
25.
；
26.
，当
时，有
；
27.
；
28.（1）
；（2）
，
；
29.（1）
；（2）
；
附加题
1. B； 2. D； 3. B；
4. 5； 5.
； 6. 28；
7.（1）
，
，
，
；
（2）
；
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