文档文本内容
2016 年普通高等学校招生全国统一考试（海南卷）
理科数学
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1 至3 页，第Ⅱ卷3 至5 页.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.
4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.
已知
在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
2.
已知集合
，
，则
（A）
（B）
（C）
（D）
3.
已知向量
，且
，则m=
（A）
（B）
（C）6
（D）8
4.
圆
的圆心到直线
的距离为1，则a=
（A）
（B）
（C）
（D）2
5.
如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者
活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
（A）24 （B）18 （C）12 （D）9
6.
右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为
（A）20π （B）24π （C）28π （D）32π
7.
若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移
个单位长度，则平移后图象的对称轴为
（A）
（B）
（C）
（D）
8.
中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该
程序框图，若输入的
，
，依次输入的a 为2，2，5，则输出的
（A）7 （B）12 （C）17 （ D）34
9.
若
，则
=
（A）
（B）
（C）
（D）
10.
从区间
随机抽取2n 个数
,
，…，
，
，
，…，
，构成n 个
数对
，
，…，
，其中两数的平方和小于1 的数对共有m 个，则用随机模拟
的方法得到的圆周率
的近似值为
（A）
（B）
（C）
（D）
11.
已知
，
是双曲线E：
的左，右焦点，点M 在E 上，
与
轴垂直，sin
,则E 的离心率为
（A）
（B）
（C）
（D）2
12.
已知函数
满足
，若函数
与
图像的交点
为
，
，⋯，
，则
（ ）
（A）0
（B）m
（C）2m
（D）4m
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22~24 题
为选考题。考生根据要求作答。
二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分。
13.
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，
，
，则
．
14.
，
是两个平面，m，n 是两条线，有下列四个命题：
①如果
，
，
，那么
．
②如果
，
，那么
．
③如果
，
，那么
．
④如果
，
，那么m 与
所成的角和n 与
所成的角相等．
其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号）
15.
有三张卡片，分别写有1 和2，1 和3，2 和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片
后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数
字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是
16.
若直线
是曲线
的切线，也是曲线
的切线，
．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.
（本小题满分12 分）
为等差数列
的前n 项和，且
，
．记
，其中
表示不超过x 的最大
整数，如
，
．
（Ⅰ）求
，
，
；
（Ⅱ）求数列
的前
项和．
18.
（本小题满分12 分）
某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费
与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
保 费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数
0
1
2
3
4
概 率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出
的概率；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
19.
（本小题满分12 分）
如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O，
，
，点E，F 分别在AD，CD 上，
，EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△
的位置
.
（I）证明：
平面ABCD；
（II）求二面角
的正弦值.
20.
（本小题满分12 分）
已知椭圆E:
的焦点在
轴上，A 是E 的左顶点，斜率为
的直线交E 于A，M 两
点，点N 在E 上，MA⊥NA.
（I）当
，
时，求△AMN 的面积；
（II）当
时，求k 的取值范围.
21.
（本小题满分12 分）
(I)讨论函数
的单调性，并证明当
时，
(II)证明：当
时，函数
有最小值.设
的最小值为
，求函
数
的值域.
请考生在22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
22.
（本小题满分10 分）选修4-1：几何证明选讲
如图，在正方形ABCD，E，G 分别在边DA，DC 上（不与端点重合），且
DE=DG，过D 点作DF⊥CE，垂足为F.
(I) 证明：B，C，G，F 四点共圆；
(II)若
，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积.
23.
（本小题满分10 分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直线坐标系xOy 中，圆C 的方程为
．
（I）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；
（II）直线l 的参数方程是
（t 为参数），l 与C 交于A、B 两点，
，求l 的斜率．
24.
（本小题满分10 分），选修4—5：不等式选讲
已知函数
，M 为不等式
的解集.
（I）求M；
（II）证明：当a，
时，
．
2016 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学答案及解析
1.
【解析】A
∴
，
，∴
，故选A．
2.
【解析】C
，
∴
，∴
，
故选C．
3.
【解析】D
，
∵
，∴
解得
，
故选D．
4.
【解析】A
圆
化为标准方程为：
，
故圆心为
，
，解得
，
故选A．
3
0
m
1
0
m
3
1
m
1
2
0
Z
B
x x
x
x
，
1
2
Z
x
x
x
，
0 1
B
，
0 1
2
3
A
B
，，，
4
2
a
b
m
，
(
)
a
b
b
(
)
12
2(
2)
0
a
b
b
m
8
m
2
2
2
8
13
0
x
y
x
y
2
2
1
4
4
x
y
1
4
，
2
4
1
1
1
a
d
a
4
3
a
5.
【解析】B
有
种走法，
有
种走法，由乘法原理知，共
种走法
故选B．
6.
【解析】C
几何体是圆锥与圆柱的组合体，
设圆柱底面圆半径为
，周长为
，圆锥母线长为，圆柱高为
．
由图得
，
，由勾股定理得：
，
，
故选C．
7.
【解析】B
平移后图像表达式为
，
令
，得对称轴方程：
，
故选B．
8.
【解析】C
第一次运算：
，
第二次运算：
，
第三次运算：
，
故选C．
9.
【解析】D
∵
，
，
故选D．
10.
【解析】C
由题意得：
在如图所示方格中，而平方和小于1 的点均在
如图所示的阴影中
E
F
6
F
G
3
6 3
18
r
c
l
h
2
r
2π
4π
c
r
2
2
2
2 3
4
l
2
1
π
2
S
r
ch
cl
表
4π
16π
8π
28π
π
2sin 2
12
y
x
π
π
2
π +
12
2
x
k
π
π
2
6
Z
k
x
k
0
2
2
2
s
2
2
2
6
s
6
2
5
17
s
3
cos 4
5
2
π
π
7
sin 2
cos
2
2cos
1
2
4
25
1
2
i
i
x
y
i
n
，
，，
，
由几何概型概率计算公式知
，∴
，故选C．
11.
【解析】A
离心率
，由正弦定理得
．
故选A．
12.
【解析】B
由
得
关于
对称，
而
也关于
对称，
∴对于每一组对称点
，
∴
，故选B．
13.
【解析】
∵
，
，
，
，
，
由正弦定理得：
解得
．
14.
【解析】②③④
15.
【解析】
由题意得：丙不拿（2，3），
若丙（1，2），则乙（2，3），甲（1，3）满足，
若丙（1，3），则乙（2，3），甲（1，2）不满足，
故甲（1，3），
16.
【解析】
π
4
1
m
n
4
π
m
n
1
2
2
1
F F
e
MF
MF
1
2
2
1
1
2
2 2
sin
3
2
1
sin
sin
1
3
F F
M
e
MF
MF
F
F
2
f x
f x
f x
0
1
，
1
1
1
x
y
x
x
0
1
，
'
0
i
i
x
x
'=2
i
i
y
y
1
1
1
0
2 2
m
m
m
i
i
i
i
i
i
i
m
x
y
x
y
m
21
13
4
cos
5
A
5
cos
13
C
3
sin
5
A
12
sin
13
C
63
sin
sin
sin
cos
cos
sin
65
B
A
C
A
C
A
C
sin
sin
b
a
B
A
21
13
b
(1,3)
1
ln 2
的切线为：
（设切点横坐标为
）
的切线为：
∴
解得
∴
．
17.
【解析】⑴设
的公差为
，
，
∴
，∴
，∴
．
∴
，
，
．
⑵记
的前
项和为
，则
．
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
．
∴
．
18.
【解析】 ⑴设续保人本年度的保费高于基本保费为事件
，
．
⑵设续保人保费比基本保费高出
为事件
，
．
⑶解：设本年度所交保费为随机变量
．
ln
2
y
x
1
1
1
ln
1
y
x
x
x
1x
ln
1
y
x
2
2
2
2
1
ln
1
1
1
x
y
x
x
x
x
1
2
2
1
2
2
1
1
1
ln
1
ln
1
1
x
x
x
x
x
x
1
1
2
x
2
1
2
x
1
ln
1
1
ln 2
b
x
na
d
7
4
7
28
S
a
4
4
a
4
1
1
3
a
a
d
1
(
1)
na
a
n
d
n
1
1
lg
lg1
0
b
a
11
11
lg
lg11
1
b
a
101
101
101
lg
lg
2
b
a
nb
n
nT
1000
1
2
1000
T
b
b
b
1
2
1000
lg
lg
lg
a
a
a
0
lg
1
na
≤
1
2
9
n
，，
，
1
lg
2
na
≤
10
11
99
n
，，
，
2
lg
3
na
≤
100
101
999
n
，
，
，
lg
3
na
1000
n
1000
0
9
1 90
2
900
3 1
1893
T
A
( )
1
( )
1
(0.30
0.15)
0.55
P A
P A
60%
B
(
)
0.10
0.05
3
(
)
( )
0.55
11
P AB
P B A
P A
X
X
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
平均保费
，
∴平均保费与基本保费比值为
．
19.
【解析】⑴证明：∵
，
∴
，
∴
．
∵四边形
为菱形，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
；
又
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
又∵
，
∴
面
．
⑵建立如图坐标系
．
P
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
0.85 0.30
0.15
1.25
0.20
1.5
0.20
1.75
0.10
2
0.05
EX
a
a
a
a
a
0.255
0.15
0.25
0.3
0.175
0.1
1.23
a
a
a
a
a
a
a
1.23
5
4
AE
CF
AE
CF
AD
CD
EF
AC
∥
ABCD
AC
BD
EF
BD
EF
DH
EF
D H
6
AC
3
AO
5
AB
AO
OB
4
OB
1
AE
OH
OD
AO
3
DH
D H
2
2
2
'
OD
OH
D H
'
D H
OH
OH
EF
H
I
'
D H
ABCD
H
xyz
，
，
，
，
，
，
，
设面
法向量
，
由
得
，取
，
∴
．
同理可得面
的法向量
，
∴
，
∴
．
20.
【解析】 ⑴当
时，椭圆E 的方程为
，A 点坐标为
，
则直线AM 的方程为
．
联立
并整理得，
解得
或
，则
5
0
0
B
，，
1
3
0
C
，，
' 0
0
3
D
，，
1
3
0
A
，
，
4
3
0
AB
uuur
，，
'
1
3
3
AD
uuur
，，
0
6
0
AC
uuur
，，
'
ABD
1n
x
y
z
，，
ur
1
1
0
0
n
AB
n
AD
4
3
0
3
3
0
x
y
x
y
z
3
4
5
x
y
z
1
3
4
5
n
ur
，
，
'
AD C
2
3
0
1
n
uur
，，
1
2
1
2
9
5
7 5
cos
25
5 2
10
n n
n n
ur uur
ur uur
2 95
sin
25
4
t
2
2
1
4
3
x
y
2
0
，
2
y
k x
2
2
1
4
3
2
x
y
y
k x
2
2
2
2
3
4
16
16
12
0
k
x
k x
k
2
x
2
2
8
6
3
4
k
x
k
2
2
2
2
2
8
6
12
1
2
1
3
4
3
4
k
AM
k
k
k
k
因为
，所以
因为
，
，
所以
，整理得
，
无实根，所以
．
所以
的面积为
．
⑵直线AM 的方程为
，
联立
并整理得，
解得
或
，
所以
所以
因为
所以
，整理得，
．
因为椭圆E 的焦点在x 轴，所以
，即
，整理得
解得
．
21.
【解析】⑴证明：
AM
AN
2
2
2
1
12
12
1
1
4
1
3
3
4
1
AN
k
k
k
k
k
AM
AN
0
k
2
2
2
12
12
1
1
4
3
4
3
k
k
k
k
k
2
1 4
4
0
k
k
k
2
4
4
0
k
k
1
k
AMN
△
2
2
1
1
12
144
1 1
2
2
3
4
49
AM
y
k x
t
2
2
1
3
x
y
t
y
k x
t
2
2
2
2
2
3
2
3
0
tk
x
t tk x
t k
t
x
t
2
2
3
3
t tk
t
x
tk
2
2
2
2
2
3
6
1
1
3
3
t tk
t
t
AM
k
t
k
tk
tk
2
6
1
3
t
AN
k
t
k
k
2 AM
AN
2
2
2
6
6
2
1
1
3
3
t
t
k
k
t
tk
k
k
2
3
6
3
2
k
k
t
k
3
t
2
3
6
3
3
2
k
k
k
2
3
1
2
0
2
k
k
k
3 2
2
k
2 e
2
x
x
f x
x
∵当
时，
∴
在
上单调递增
∴
时，
∴
⑵
由(1)知，当
时，
的值域为
，只有一解．
使得
，
当
时
，
单调减；当
时
，
单调增
记
，在
时，
，∴
单调递增
∴
．
22.
【解析】（Ⅰ）证明：∵
∴
∴
∵
，
∴
∴
∴
2
2
2
2
4
e
e
2
2
2
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
2
2 ,
，
0
f
x
f x
2
2 ,
，
和
0
x
2 e
0 =
1
2
x
x
f
x
2 e
2
0
x
x
x
2
4
e
2
e
x
x
a x
x
ax
a
g
x
x
4
e
2e
2
x
x
x x
ax
a
x
3
2
2
e
2
x
x
x
a
x
x
0
1
a
，
0
x
2 e
2
x
x
f x
x
1
，
2 e
2
t
t
a
t
0
2
t
，
(0, )
x
t
( )
0
g x
( )
g x
( ,
)
x
t
( )
0
g x
( )
g x
2
2
2
e
1
e
e
1
e
2
2
t
t
t
t
t
t
a t
t
h a
t
t
t
e
2
t
k t
t
0 , 2
t
2
e
1
0
2
t t
k t
t
k t
2
1
e
2
4
h a
k t
，
DF
CE
Rt
Rt
DEF
CED
△
∽
△
GDF
DEF
BCF
DF
CF
DG
BC
DE
DG
CD
BC
DF
CF
DG
BC
GDF
BCF
△
∽△
CFB
DFG
∴
∴
．
∴B，C，G，F 四点共圆．
（Ⅱ）∵E 为AD 中点，
，
∴
，
∴在
中，
，
连接
，
，
∴
．
23.
【解析】解：⑴整理圆的方程得
，
由
可知圆
的极坐标方程为
．
⑵记直线的斜率为
，则直线的方程为
，
由垂径定理及点到直线距离公式知：
，
即
，整理得
，则
．
24.
【解析】解：⑴当
时，
，若
；
当
时，
恒成立；
当
时，
，若
，
．
综上可得，
．
⑵当
时，有
，
即
，
则
，
则
，
即
，
证毕．
90
GFB
GFC
CFB
GFC
DFG
DFC
180
GFB
GCB
1
AB
1
2
DG
CG
DE
Rt
GFC
△
GF
GC
GB
Rt
Rt
BCG
BFG
△
≌
△
1
1
1
2
=2
1
=
2
2
2
BCG
BCGF
S
S
△
四边形
2
2
12
11
0
x
y
2
2
2
cos
sin
x
y
x
y
C
2
12 cos
11
0
k
0
kx
y
2
2
6
10
25
2
1
k
k
2
2
36
90
1
4
k
k
2
5
3
k
15
3
k
1
2
x
1
1
2
2
2
f x
x
x
x
1
1
2
x
1
1
2
2
x
≤
≤
1
1
1
2
2
2
f x
x
x
1
2
x
2
f x
x
2
f x
1
1
2
x
<
| 1
1
M
x
x
1 1
a
b
，
，
2
2
1
1
0
a
b
2
2
2
2
1
a b
a
b
2
2
2
2
2
1
2
a b
ab
a
ab
b
2
2
1
ab
a
b
1
a
b
ab
