文档文本内容
2014 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数 学（文史类）
本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。第Ⅰ卷1 至2 页，第Ⅱ卷3 至4 页，共4 页。满分150
分。考试时间120 分钟。考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。考试结
束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 （选择题 共50 分）
注意事项：
必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
第Ⅰ卷共10 小题。
一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题
目要求的。
1、已知集合
，集合
为整数集，则
（ ）
A、
B、
C、
D、
2、在“世界读书日”前夕，为了了解某地
名居民某天的阅读时间，从中抽取了
名居民的阅读
时间进行统计分析。在这个问题中，
名居民的阅读时间的全体是（ ）
A、总体B、个体
C、样本的容量D、从总体中抽取的一个样本
3、为了得到函数
的图象，只需把函数
的图象
上所有的点（ ）
A、向左平行移动个单位长度B、向右平行移动个单位长度
C、向左平行移动
个单位长度D、向右平行移动
个单位长度
4、某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是
（ ）（锥体体积公式：
，其中
为底面面积，为高）学
科网
A、
B、
C、
D、
5、若
，
，则一定有（ ）
侧视图
俯视图
1
1
2
2
2
2
1
1
A、
B、
C、
D、
6、执行如图的程序框图，如果输入的
，那么输出的
的最大值为（ ）
A、
B、C、
D、
7、已知
，
，
，
，则下列等式一定成立的是（ ）
A、
B、
C、
D、
8、如图，从气球
上测得正前方的河流的两岸
，
的俯角分别为
，
，
此时气球的高是
，则河流的宽度
等于（ ）
A、
B、
C、
D、
9、设
，过定点
的动直线
和过定点
的动直线
交于点
，
则
的取值范围是（ ）学科网
A、
B、
C、
D、
10、已知
为抛物线
的焦点，点
，
在该抛物线上且位于
轴的两侧，
（其中
为坐标原点），则
与
面积之和的最小值是（ ）
A、
B、
C、
D、
第Ⅱ卷 （非选择题 共100 分）
注意事项：
必须使用0.5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所示的答题区域内作答。作图题可先用铅笔绘出，确
认后再用0.5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷、草稿纸上无效。
第Ⅱ卷共11 小题。
二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共25 分。
11、双曲线
的离心率等于____________。
30°
75°
60m
C
B
A
12、复数
____________。
13、设
是定义在
上的周期为
的函数，当
时，
，则
____________。
14、平面向量
，
，
（
），且
与
的夹角等于
与
的夹角，则
____________。
15、以
表示值域为
的函数组成的集合，
表示具有如下性质的函数
组成的集合：对于函数
，存在一个正数
，使得函数
的值域包含于区间
。例如，当
，
时，
，
。现有如下命题：
①设函数
的定义域为
，则“
”的充要条件是“
，
，
”；
②若函数
，则
有最大值和最小值；学科网
③若函数
，
的定义域相同，且
，
，则
；
④若函数
（
，
）有最大值，则
。
其中的真命题有____________。（写出所有真命题的序号）。
三、解答题：本大题共6 小题，共75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16、(本小题满分12 分)
一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字，，，这三张卡片除标记的数字外完全相同。随机
有放回地抽取
次，每次抽取张，将抽取的卡片上的数字依次记为
，
，
。
（Ⅰ）求“抽取的卡片上的数字满足
”的概率；
（Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字
，
，
不完全相同”的概率。
17、(本小题满分12 分)
已知函数
（Ⅰ）求
的单调递增区间；
（Ⅱ）若
是第二象限角，
，求
的值。
18、(本小题满分12 分)
在如图所示的多面体中，四边形
和
都为矩形。
（Ⅰ）若
，证明：直线
平面
；
（Ⅱ）设
，分别是线段
，
的中点，在线段
上是否存在一点
，
使直线
平面
？请证明你的结论。
19、(本小题满分12 分)
设等差数列
的公差为
，点
在函数
的图象上（
）。
D
E
B1
C1
A
C
B
A1
（Ⅰ）证明：数列
为等差数列；学科网
（Ⅱ）若
，函数
的图象在点
处的切线在
轴上的截距为
，求数列
的前
项和
。
20、(本小题满分13 分)
已知椭圆
：
（
）的左焦点为
，离心率为
。
（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；
（Ⅱ）设
为坐标原点，为直线
上一点，过
作
的垂线交椭圆于
，
。当四边形
是平行四边形时，求四边形
的面积。
21、(本小题满分14 分)
已知函数
，其中
，
为自然对数的底数。
（Ⅰ）设
是函数
的导函数，求函数
在区间
上的最小值；学科网
（Ⅱ）若
，函数
在区间
内有零点，证明：
。
2014 年普通高等学校招生全国统一考试（四川
卷）
数学（文科）
第Ⅰ卷（共50 分）
一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）【2014 年四川卷，文1，5 分】已知集合
，集合
为整数集，则
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】D
【解析】由已知得
，又集合
为整数集，所以
，故选D．
（2）【2014 年四川卷，文2，5 分】在“世界读书日”前夕，为了了解某地
名居民某天的阅读时间，
从中抽取了
名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，
名居民的阅读时间的全体
是（ ）
（A）总体 （B）个体 （C）样本的容 （D）从总体中抽取的一个样本
【答案】A
【解析】由题目条件知，
名居民的阅读时间的全体是总体；其中1 名居民的阅读时间是个体；从
名居民某天的阅读时间中抽取的
名居民的阅读时间是从总体中抽取的一个样本，
样本容量是
，故选A．
（3）
【2014 年四川卷，文3，5 分】为了得到函数
的图象，只需把函数
的图象上所有
的点
（ ）
（A）向左平行移动个单位长度
（B）向右平行移动个单位长度
（C）向左平行移动
个单位长度
（D）向右平行移动
个单位长度
【答案】A
【解析】根据平移法则“左加右减”可知，将函数
的图像上所有的点向左平移移动1 个单位长
度即可得到函数
的图像，故选A．
（4）【2014 年四川卷，文4，5 分】某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积
是（ ）（锥体体积公式：
，其中
为底面面积，
为高）
（A）3
（B）2
（C）
（D）1
【答案】D
【解析】由俯视图可知，三棱锥底面是边长为2 的等边三角形．由侧视图可知，三棱锥的高为
．故该三
棱锥的体积
，故选D．
（5）【2014 年四川卷，文5，5 分】若
，
，则一定有（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】B
【解析】因为
，所以
，两边同乘
，得
，又
，
故由不等式的性质可知
，两边同乘
，得
，故选B．
（6）【2014 年四川卷，文6，5 分】执行如图的程序框图，如果输入的
，那么输
出的
的最大值为（ ）
（A）0
（B）1
（C）2
（D）3
【答案】C
【解析】由程序框图可知，若输入的
，
满足约束条件
，则输出目标函数
的值，否则，输出
．如图，作出满足条件的可行域．当
，
时，目标
函数
取得最大值2，
，故输出的
的最大值为
，故选C．
（7）【2014 年四川卷，文7，5 分】已知
，
，
，
，则下列等式
一定成立的是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】B
【解析】
，
，故由换底公式得
，所以
．因为
，所以
，因为
，
所以
，即
，将其代入
中得
，即
，故选B．
（8）【2014 年四川卷，文8，5 分】如图，从气球
上测得正前方的河流的两岸
，
的俯角
分
别为
，
，此时气球的高是
，则河流的宽度
等于（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】C
【解析】如图，
，
，
，
侧视图
俯视图
1
1
2
2
2
2
1
1
x+y=1
-1
-1
1
2
1
O
y
x
30°
75°
60m
C
B
A
在
中，
，
在
中，
，
所以
，故选C．
（9）【2014 年四川卷，文9，5 分】设
，过定点
的动直线
和过定点
的动直线
交于点
，则
的取值范围是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】B
【解析】直线
过定点
，直线
过定点
．
①当
时，过定点
的直线方程为
，过定点
的直线方程为
，两
条
直线互相垂直，此时
，所以
．
②当
时，直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，
因为
，所以两条直线互相垂直，即点
可视为以
为直径的圆上
的点．当点
与点
或点
重合时，
有最小值
．当点
不与点
，点
重合
时，
为直角三角形，且
．由不等式性质知
，所以
．综合①②得
，故选B．
（10）
【2014 年四川卷，文10，5 分】已知
为抛物线
的焦点，点
，在该抛物线上且位于
轴的
两侧，
（其中
为坐标原点），则
与
面积之和的最小值是
（ ）
（A）2 （B）3 （C）
（D）
【答案】B
【解析】如图所示，设
，
，则
（*）．不妨设
点在第一象
限，则
，
．设直线
：
，代入
中，得
，
则
，代入（*）式，有
，解得
或
（舍），故直线
过定点
，
所以
，故选B．
第II 卷（共100 分）
二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分
（11）【2014 年四川卷，文11，5 分】双曲线
的离心率等于 ．
【答案】
【解析】由双曲线方程
知
，
，
，所以
．
（12）【2014 年四川卷，文12，5 分】复数
．
D
C
B
A
75°
30°
60 m
mx-y-m+3=0
x+my=0
y
x
2
1
3
-1
-2
-1
3
2
1
P
B
A
【答案】
【解析】
．
（13）【2014 年四川卷，文13，5 分】设
是定义在
上的周期为
的函数，当
时，
，则
________．
【答案】1
【解析】
是定义域在
上的圆周期为
的函数，且
，
所以
．
（14）【2014 年四川卷，文14，5 分】平面向量
，
，
（
），且
与
的夹角
等于
与
的夹角，则
_______．
【答案】
【解析】
，
，则
，
，
，
，
．因为
与
的夹角等于
与
的夹角，所以
，所以
，解得
．
（15）【2014 年四川卷，文15，5 分】以
表示值域为
的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数
组成的集合：对于函数
，存在一个正数
，使得函数
的值域包含于区间
．
例如，当
，
时，
，
．现有如下命题：
①设函数
的定义域为
，则“
”的充要条件是“
，
，
”；
②若函数
，则
有最大值和最小值；
③若函数
，
的定义域相同，且
，
，则
；
④若函数
（
，
）有最大值，则
．
其中的真命题有____________．（写出所有真命题的序号）．
【答案】①③④
【解析】对于①，
的值域为
，
，
，故①正确；
对于②，当
，
时，
，即
，但
无最值，故②不正
确；
对于③，因为
，
，所以总存在
，使得
趋近于无穷大，即
，故③正确；
对于④，令
，则
，令
，解得
，故
在
上单调递增，且
，
，又
在
上单调递
减，
时，
，
又
为奇函数，故
．而
，当
时，若
，则
由③
知，
，即
无最大值， 所以
时，
有最大值，此时
，故④正确．综上：真命题的有①③④．
三、解答题：本大题共6 题，共75 分．
（16）【2014 年四川卷，文16，12 分】一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字，，，这三张卡片除
标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取次，每次抽取张，将抽取的卡片上的数字依次记
为
，
，
．
（1）求“抽取的卡片上的数字满足
”的概率；
（2）求“抽取的卡片上的数字
，
，
不完全相同”的概率．
解：
（1）由题意知，
所有可能的结果为
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，共
种．
设“抽取的卡片上的数字满足
”为事件
，则事件
包括
，
，
，共
3 种．所以
．因此，“抽取的卡片上的数字满足
”的概率为
．
（2）设“抽取的卡片上的数字
，
，不完全相同”为事件
，则事件
包括
，
，
，共
3 种．所以
．因此“抽取的卡片上的数字
，，不完全相同”的
概率为
．
（17）【2014 年四川卷，文17，12 分】已知函数
．
（1）求
的单调递增区间；
（2）若
是第二象限角，
，求
的值．
解：
（1）因为函数
的单调递增区间为
，
．由
，
，
得
，
．所以函数
的单调递增区间为
，
．
（2）由已知，有
，
所以
，
即
．
当
时，由
是第二象限角，知
，
．此时
．
当
时，有
．由
是第二象限角，知
，
此时
．综上所述，
或
．
（18）【2014 年四川卷，文18，12 分】在如图所示的多面体中，四边形
和
都为矩
形．
（1）若
，证明：直线
平面
；
（2）设
，
分别是线段
，
的中点，在线段
上是否存在一点
，使直线
D
E
B1
C1
A
C
B
A1
平面
？请证明你的结论．
解：
（1）因为四边形
和
都是矩形，所以
，
．因为
，
为平面
内两
条相交直线，所以
平面
．因为直线
平面
，所以
．又
，
，
为平面
内两条相交直线，所以
平面
．
（2）取线段
的中点
，连接
，
，
，
，设
为
，
的交点．
由已知可知
为
的中点．连接
，
，则
，
分别为
，
的
中
位线，所以
，
，因此
．连接
，从而四边形
为
平行四边形，则
．因为直线
平面
，所以直线
平面
，
即线段
上存在一点
（线段
的中点），使直线
平面
．
（19）【2014 年四川卷，文19，12 分】设等差数列
的公差为
，点
在函数
的图象上（
）．
（1）证明：数列
为等差数列；
（2）若
，函数
的图象在点
处的切线在
轴上的截距为
，求数列
的前
项和
．
解：
（1）证明：由已知可知，
，当
时，
，所以数列
是首项为
，公比为
等比数列．
（2）函数
在
处的切线方程为
，它在
轴上的截距为
．
由题意知，
，解得
．所以
，
，
，
．
于
是
，
，
，
因
此
．
所
以
．
（20）【2014 年四川卷，文20，13 分】已知椭圆
：
（
）的左焦点为
，离心率
为
．
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）设
为坐标原点，
为直线
上一点，过
作
的垂线交椭圆于
，
．当四边形
是平
行四边形时，求四边形
的面积．
解：（1）因为
，所以
，又
，所以
，
，即椭圆
的方程为
M
E
O
C1
A1
B1
D
C
B
A
．
（2）如图所示，由题意可设直线
的方程为
．当
时，
，此
时
，
，
关于点
对称，但
，故四边形
不是平行
四
边 形，与题意不符，故
．直线
：
，令
，得
，
即
，连接
，设
，则
，联立方程
，
消去
整理得
，即
，显然
，
令
，
．则
，
，则
，解得
．
此
时
，
．
所以四边形
的面积
．
（21）
【2014 年四川卷，文21，14 分】已知函数
，其中
，
为自
然对数的底数．
（1）设
是函数
的导函数，求函数
在区间
上的最小值；
（2）若
，函数
在区间
内有零点，证明：
．
解：（1 ）
，
．
．当
时，
．
当
时，
，所以
在
上单调递增．因此
在
上的最小值是
；
当
时，
，所以
在
上单调递减．因此
在
上的最小值是
；
当
时，令
，得
．所以函数
在区间
上单调递
减，
在区间
上单调递增．于是，
在
上的最小值是
．
综上所述，当
时，
在
上的最小值是
；当
时，
在
上
的最小
值是
；当
时，
在
上的最小值是
．
（2）设
为
在区间
内的一个零点，则由
可知，
在区间
上不可
能单调
递增，也不可能单调递减．则
不可能恒为正，也不可能恒为负．故
在区间
内存
在零点
．同理
在
区间内存在零点
．所以
在区间
内至少有两个零点．
由（1）知，当
时，
在
上单调递增，故
在
内至多有一个零点．
当
时，
在
上单调递减，故
在
内至多有一个零点．所以
．
此时
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增．
因此
，
，必有
，
．
由
，有
，有
，
，得
．
所以函数
在区间
内有零点时，
．
