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2014 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150 分，考试
用时120 分钟。第Ⅰ卷1 至2 页，第Ⅱ卷3 至5 页。
第Ⅰ卷
一、选择题 （本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分）在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 是虚数单位，复数
A.
B.
C.
D.
2.设变量
、
满足约束条件
，则目标函数
的最小值为
A.
B.
C.
D.
3.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出的值为
A.15 B.105 C.245 D.945
4.函数
的单调递增区间为
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
5.已知双曲线
，
的一条渐近线平行于直线：
，双曲线
的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为
A.
2
2
1
5
20
x
y
B.
2
2
1
20
5
x
y
C.
2
2
3
3
1
25
100
x
y
D.
2
2
3
3
1
100
25
x
y
6.如图，ABC
是圆的内接三角形，BAC
的平分线交圆于点
，交
于点
，过点
的
圆的切线与
的延长线交于点
，在上述条件下，给出下列四个结论：①
平分
CBF
；
②
；③
；④
.则所有正确结论的序号是
A.①② B.③④ C.①②③ D.①②④
7.设
、
，则“
”是“
”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8.已知菱形ABCD 的边长为2 ，
120
BAD
，点
、
分别在边
、
上，
，
.若
，
，则
A.
B.
C.
D.
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分.
9.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该
校四个年级的本科生中抽取一个容量为300 的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三
年级、四年级的本科生人数之比为
，则应从一年级本科生中抽取 名学生.
10.一个几何体的三视图如图所示（单位：
），则该几何体的体积为
.
11.设
是首项为
1a ，公差为1
的等差数列，n
S 为其前
项和，若
、
、
成等比数列，
则
的值为 .
12.在
中，内角
、
、
所对的边分别是
、、.
已知
，
，则
的值为
.
13.在以
为极点的极坐标系中，圆
和直线
相交于
、
两点.若
是等边三角形，
则
的值为 .
14.已知函数
，
.若方程
恰有4 个互异的实数根，则实数
的取
值范围为 .
三、解答题：本大题共6 小题，共80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13 分）
已知函数
，
.
⑴求
的最小正周期；
⑵求
在闭区间
，
上的最大值和最小值.
16.（本小题满分13 分）
某大学志愿者协会有6 名男同学，4 名女同学.在这10 名同学中，3 名同学来自数学学院，其
余7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10 名同学中随机选取3 名同
学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）.
⑴求选出的3 名同学是来自互不相同学院的概率；
⑵设
为选出的3 名同学中女同学的人数，求随机变量
的分布列和数学期望.
17.（本小题满分13 分）
如图，在四棱锥
中，
底面
，
，
，
，
，点
为棱
的中点.
⑴证明：
；
⑵求直线
与平面
所成角的正弦值；
⑶若
为棱
上一点，满足
，求二面角
的余弦值.
18.（本小题满分13 分）
设椭圆
的左、右焦点分别为
、
，右顶点为
，上顶点为
.已知
.
⑴求椭圆的离心率；
⑵设
为椭圆上异于其顶点的一点，以线段
为直径的圆经过点
，经过原点
的直线
与该圆相切，求直线的斜率.
19.（本小题满分14 分）
已知
和
均为给定的大于1 的自然数，设集合
，，
，...，
，集合
...
，
，
，
，...，
.
⑴当
，
时，用列举法表示集合
；
⑵设
、
，
...
，
...
，其中
、
，
，
，...，
.证明：若
n
n
a
b
，则
.
20.（本小题满分14 分）
设
，
.已知函数
有两个零点
，
，且
.
⑴求
的取值范围；
⑵证明
随着
的减小而增大；
⑶证明
随着
的减小而增大.
