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2016 年浙江省高考数学试卷（文科）
一、选择题
1．（5 分）（2016•浙江）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则（∁UP）
∪Q=（ ）
A．{1}
B．{3，5} C．{1，2，4，6} D．{1，2，3，4，5}
2．（5 分）（2016•浙江）已知互相垂直的平面α，β 交于直线l，若直线m，n 满足m∥α，
n⊥β，则（ ）
A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n
3．（5 分）（2016•浙江）函数y=sinx2的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（5 分）（2016•浙江）若平面区域
，夹在两条斜率为1 的平行直线之间，则
这两条平行直线间的距离的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（5 分）（2016•浙江）已知a，b＞0 且a≠1，b≠1，若logab＞1，则（ ）
A．（a﹣1）（b﹣1）＜0 B．（a﹣1）（a﹣b）＞0 C．（b﹣1）（b﹣a）＜0 D．（b﹣1）（b﹣a）＞0
6．
（5 分）
（2016•浙江）已知函数f（x）=x2+bx，则“b＜0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最
小值相等”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．（5 分）（2016•浙江）已知函数f（x）满足：f（x）≥|x|且f（x）≥2x，x∈R．（ ）
A．若f（a）≤|b|，则a≤b B．若f（a）≤2b，则a≤b
C．若f（a）≥|b|，则a≥b D．若f（a）≥2b，则a≥b
8．（5 分）（2016•浙江）如图，点列{An}、{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn+1|=|An+1An+2|，
An≠An+1，n∈N*，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|，Bn≠Bn+1，n∈N*，（P≠Q 表示点P 与Q 不重合）若dn=|AnBn|，
Sn为△AnBnBn+1的面积，则（ ）
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A．{Sn}是等差数列B．{Sn
2}是等差数列
C．{dn}是等差数列D．{dn
2}是等差数列
二、填空题
9．（6 分）（2016•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是
cm2，体积是 cm3．
10．（6 分）（2016•浙江）已知a∈R，方程a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0 表示圆，则圆心坐标是
，半径是 ．
11．（6 分）（2016•浙江）已知2cos2x+sin2x=Asin（ωx+φ）+b（A＞0），则A= ，b=
．
12．（6 分）（2016•浙江）设函数f（x）=x3+3x2+1，已知a≠0，且f（x）﹣f（a）=（x﹣b）（x﹣a）2，
x∈R，则实数a= ，b= ．
13．（4 分）（2016•浙江）设双曲线x2﹣
=1 的左、右焦点分别为F1、F2，若点P 在双曲线上，
且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是 ．
14．（4 分）（2016•浙江）如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=
，∠ADC=90°，沿
直线AC 将△ACD 翻折成△ACD′，直线AC 与BD′所成角的余弦的最大值是 ．
15．（4 分）（2016•浙江）已知平面向量，，| |=1，| |=2，
=1，若为平面单位向量，
则|
|+|
|的最大值是 ．
三、解答题
第2页（共17页）
16．（14 分）（2016•浙江）在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．
（1）证明：A=2B；
（2）若cosB= ，求cosC 的值．
17．（15 分）（2016•浙江）设数列{an}的前n 项和为Sn，已知S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*．
（Ⅰ）求通项公式an；
（Ⅱ）求数列{|an﹣n﹣2|}的前n 项和．
18．（15 分）（2016•浙江）如图，在三棱台ABC﹣DEF 中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，
BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3．
（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；
（Ⅱ）求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值．
19．
（15 分）
（2016•浙江）如图，设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点A 到y 轴的
距离等于|AF|﹣1，
（Ⅰ）求p 的值；
（Ⅱ）若直线AF 交抛物线于另一点B，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点
N，AN 与x 轴交于点M，求M 的横坐标的取值范围．
20．（15 分）（2016•浙江）设函数f（x）=x3+
，x∈[0，1]，证明：
（Ⅰ）f（x）≥1﹣x+x2
（Ⅱ）＜f（x）≤．
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2016 年浙江省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（5 分）（2016•浙江）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则（∁UP）
∪Q=（ ）
A．{1}
B．{3，5} C．{1，2，4，6} D．{1，2，3，4，5}
【分析】先求出∁UP，再得出（∁UP）∪Q．
【解答】解：∁UP={2，4，6}，
（∁UP）∪Q={2，4，6}∪{1，2，4}={1，2，4，6}．
故选C．
【点评】本题考查了集合的运算，属于基础题．
2．（5 分）（2016•浙江）已知互相垂直的平面α，β 交于直线l，若直线m，n 满足m∥α，
n⊥β，则（ ）
A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n
【分析】由已知条件推导出l⊂β，再由n⊥β，推导出n⊥l．
【解答】解：∵互相垂直的平面α，β 交于直线l，直线m，n 满足m∥α，
∴m∥β 或m⊂β 或m⊥β，l⊂β，
∵n⊥β，
∴n⊥l．
故选：C．
【点评】本题考查两直线关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培
养．
3．（5 分）（2016•浙江）函数y=sinx2的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据函数奇偶性的性质，以及函数零点的个数进行判断排除即可．
【解答】解：∵sin（﹣x）2=sinx2，
∴函数y=sinx2是偶函数，即函数的图象关于y 轴对称，排除A，C；
由y=sinx2=0，
则x2=kπ，k≥0，
则x=±
，k≥0，
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故函数有无穷多个零点，排除B，
故选：D
【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数奇偶性和函数零点的性质是解决本
题的关键．比较基础．
4．（5 分）（2016•浙江）若平面区域
，夹在两条斜率为1 的平行直线之间，则
这两条平行直线间的距离的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】作出平面区域，找出距离最近的平行线的位置，求出直线方程，再计算距离．
【解答】解：作出平面区域如图所示：
∴当直线y=x+b 分别经过A，B 时，平行线间的距离相等．
联立方程组
，解得A（2，1），
联立方程组
，解得B（1，2）．
两条平行线分别为y=x﹣1，y=x+1，即x﹣y﹣1=0，x﹣y+1=0．
∴平行线间的距离为d=
=
，
故选：B．
【点评】本题考查了平面区域的作法，距离公式的应用，属于基础题．
5．（5 分）（2016•浙江）已知a，b＞0 且a≠1，b≠1，若logab＞1，则（ ）
A．（a﹣1）（b﹣1）＜0 B．（a﹣1）（a﹣b）＞0 C．（b﹣1）（b﹣a）＜0 D．（b﹣1）（b﹣a）＞0
【分析】根据对数的运算性质，结合a＞1 或0＜a＜1 进行判断即可．
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【解答】解：若a＞1，则由logab＞1 得logab＞logaa，即b＞a＞1，此时b﹣a＞0，b＞1，即（b﹣
1）（b﹣a）＞0，
若0＜a＜1，则由logab＞1 得logab＞logaa，即b＜a＜1，此时b﹣a＜0，b＜1，即（b﹣1）（b﹣
a）＞0，
综上（b﹣1）（b﹣a）＞0，
故选：D．
【点评】本题主要考查不等式的应用，根据对数函数的性质，利用分类讨论的数学思想是解决
本题的关键．比较基础．
6．
（5 分）
（2016•浙江）已知函数f（x）=x2+bx，则“b＜0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最
小值相等”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】求出f（x）的最小值及极小值点，分别把“b＜0”和“f（f（x））的最小值与f（x）的最
小值相等”当做条件，看能否推出另一结论即可判断．
【解答】解：f（x）的对称轴为x=﹣，fmin（x）=﹣
．
（1）若b＜0，则﹣＞﹣
，∴当f（x）=﹣时，f（f（x））取得最小值f（﹣）=﹣
，
即f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等．
∴“b＜0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的充分条件．
（2）若f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等，
则fmin（x）≤﹣，即﹣
≤﹣，解得b≤0 或b≥2．
∴“b＜0”不是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的必要条件．
故选A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，简易逻辑关系的推导，属于基础题．
7．（5 分）（2016•浙江）已知函数f（x）满足：f（x）≥|x|且f（x）≥2x，x∈R．（ ）
A．若f（a）≤|b|，则a≤b B．若f（a）≤2b，则a≤b
C．若f（a）≥|b|，则a≥b D．若f（a）≥2b，则a≥b
【分析】根据不等式的性质，分别进行递推判断即可．
【解答】解：A．若f（a）≤|b|，则由条件f（x）≥|x|得f（a）≥|a|，
即|a|≤|b|，则a≤b 不一定成立，故A 错误，
B．若f（a）≤2b，
则由条件知f（x）≥2x，
即f（a）≥2a，则2a≤f（a）≤2b，
则a≤b，故B 正确，
C．若f（a）≥|b|，则由条件f（x）≥|x|得f（a）≥|a|，则|a|≥|b|不一定成立，故C 错误，
D．若f（a）≥2b，则由条件f（x）≥2x，得f（a）≥2a，则2a≥2b，不一定成立，即a≥b 不一定成
立，故D 错误，
故选：B
【点评】本题主要考查不等式的判断和证明，根据条件，结合不等式的性质是解决本题的关键．
综合性较强，有一定的难度．
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8．（5 分）（2016•浙江）如图，点列{An}、{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn+1|=|An+1An+2|，
An≠An+1，n∈N*，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|，Bn≠Bn+1，n∈N*，（P≠Q 表示点P 与Q 不重合）若dn=|AnBn|，
Sn为△AnBnBn+1的面积，则（ ）
A．{Sn}是等差数列B．{Sn
2}是等差数列
C．{dn}是等差数列D．{dn
2}是等差数列
【分析】设锐角的顶点为O，再设|OA1|=a，|OB1|=b，|AnAn+1|=|An+1An+2|=b，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|=d，
由于a，b 不确定，判断C，D 不正确，设△AnBnBn+1的底边BnBn+1上的高为hn，运用三角形相似知
识，hn+hn+2=2hn+1，由Sn= d•hn，可得Sn+Sn+2=2Sn+1，进而得到数列{Sn}为等差数列．
【解答】解：设锐角的顶点为O，|OA1|=a，|OB1|=b，
|AnAn+1|=|An+1An+2|=b，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|=d，
由于a，b 不确定，则{dn}不一定是等差数列，
{dn
2}不一定是等差数列，
设△AnBnBn+1的底边BnBn+1上的高为hn，
由三角形的相似可得
=
=
，
=
=
，
两式相加可得，
=
=2，
即有hn+hn+2=2hn+1，
由Sn= d•hn，可得Sn+Sn+2=2Sn+1，
即为Sn+2﹣Sn+1=Sn+1﹣Sn，
则数列{Sn}为等差数列．
故选：A．
【点评】本题考查等差数列的判断，注意运用三角形的相似和等差数列的性质，考查化简整理
的推理能力，属于中档题．
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二、填空题
9．（6 分）（2016•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是
80
cm2，体积是
40
cm3．
【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体下部为长方体，上部为正方体的组合体，结合图
中数据求出它的表面积和体积即可．
【解答】解：根据几何体的三视图，得；
该几何体是下部为长方体，其长和宽都为4，高为2，
表面积为2×4×4+2×42=64cm2，体积为2×42=32cm3；
上部为正方体，其棱长为2，
表面积是6×22=24 cm2，体积为23=8cm3；
所以几何体的表面积为64+24﹣2×22=80cm2，
体积为32+8=40cm3．
故答案为：80；40．
【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积与体积的应用问题，也考查了空间想象和计
算能力，是基础题．
10．（6 分）（2016•浙江）已知a∈R，方程a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0 表示圆，则圆心坐标是
（﹣
2 ，﹣
4 ）
，半径是
5
．
【分析】由已知可得a2=a+2≠0，解得a=﹣1 或a=2，把a=﹣1 代入原方程，配方求得圆心坐标
和半径，把a=2 代入原方程，由D2+E2﹣4F＜0 说明方程不表示圆，则答案可求．
【解答】解：∵方程a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0 表示圆，
∴a2=a+2≠0，解得a=﹣1 或a=2．
当a=﹣1 时，方程化为x2+y2+4x+8y﹣5=0，
配方得（x+2）2+（y+4）2=25，所得圆的圆心坐标为（﹣2，﹣4），半径为5；
当a=2 时，方程化为
，
此时
，方程不表示圆，
故答案为：（﹣2，﹣4），5．
【点评】本题考查圆的一般方程，考查圆的一般方程化标准方程，是基础题．
11．（6 分）（2016•浙江）已知2cos2x+sin2x=Asin（ωx+φ）+b（A＞0），则A=
，b=
1
．
【分析】根据二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数化简左边，即可得到答案．
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【解答】解：∵2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x
=1+
（
cos2x+
sin2x）+1
=
sin（2x+
）+1，
∴A=
，b=1，
故答案为：
；1．
【点评】本题考查了二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数的应用，熟练掌握公式是解题的关
键．
12．（6 分）（2016•浙江）设函数f（x）=x3+3x2+1，已知a≠0，且f（x）﹣f（a）=（x﹣b）（x﹣a）2，
x∈R，则实数a= ﹣
2
，b=
1
．
【分析】根据函数解析式化简f（x）﹣f（a），再化简（x﹣b）
（x﹣a）2，根据等式两边对应项的系
数相等列出方程组，求出a、b 的值．
【解答】解：∵f（x）=x3+3x2+1，
∴f（x）﹣f（a）=x3+3x2+1﹣（a3+3a2+1）
=x3+3x2﹣（a3+3a2）
∵（x﹣b）（x﹣a）2=（x﹣b）（x2﹣2ax+a2）=x3﹣（2a+b）x2+（a2+2ab）x﹣a2b，
且f（x）﹣f（a）=（x﹣b）（x﹣a）2，
∴
，解得
或
（舍去），
故答案为：﹣2；1．
【点评】本题考查函数与方程的应用，考查化简能力和方程思想，属于中档题．
13．（4 分）（2016•浙江）设双曲线x2﹣
=1 的左、右焦点分别为F1、F2，若点P 在双曲线上，
且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是
．
【分析】由题意画出图形，以P 在双曲线右支为例，求出∠PF2F1和∠F1PF2为直角时|PF1|+|
PF2|的值，可得△F1PF2为锐角三角形时|PF1|+|PF2|的取值范围．
【解答】解：如图，
由双曲线x2﹣
=1，得a2=1，b2=3，
∴
．
不妨以P 在双曲线右支为例，当PF2⊥x 轴时，
把x=2 代入x2﹣
=1，得y=±3，即|PF2|=3，
此时|PF1|=|PF2|+2=5，则|PF1|+|PF2|=8；
第9页（共17页）
由PF1⊥PF2，得
，
又|PF1|﹣|PF2|=2，①
两边平方得：
，
∴|PF1||PF2|=6，②
联立①②解得：
，
此时|PF1|+|PF2|=
．
∴使△F1PF2为锐角三角形的|PF1|+|PF2|的取值范围是（
）．
故答案为：（
）．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线定义的应用，考查数学转化思想方法，是中
档题．
14．（4 分）（2016•浙江）如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=
，∠ADC=90°，沿
直线AC 将△ACD 翻折成△ACD′，直线AC 与BD′所成角的余弦的最大值是
．
【分析】如图所示，取AC 的中点O，AB=BC=3，可得BO⊥AC，在Rt△ACD′中，AC=
．作
D′E⊥AC，垂足为E，D′E=
．CO=
，CE=
=
，EO=CO﹣CE=
．过点B 作BF∥BO，
作FE∥BO 交BF 于点F，则EF⊥AC．连接D′F．∠FBD′为直线AC 与BD′所成的角．则四边形
BOEF 为矩形，BF=EO=
．EF=BO=
．则∠FED′为二面角D′﹣CA﹣B 的平面角，设为θ．
利用余弦定理求出D′F2的最小值即可得出．
【解答】解：如图所示，取AC 的中点O，∵AB=BC=3，∴BO⊥AC，
在Rt△ACD′中，
=
．
作D′E⊥AC，垂足为E，D′E=
=
．
第10页（共17页）
CO=
，CE=
=
=
，
∴EO=CO﹣CE=
．
过点B 作BF∥BO，作FE∥BO 交BF 于点F，则EF⊥AC．连接D′F．∠FBD′为直线AC 与BD′所
成的角．
则四边形BOEF 为矩形，∴BF=EO=
．
EF=BO=
=
．
则∠FED′为二面角D′﹣CA﹣B 的平面角，设为θ．
则D′F2=
+
﹣2×
cosθ=
﹣5cosθ≥
，cosθ=1 时取
等号．
∴D′B 的最小值=
=2．
∴直线AC 与BD′所成角的余弦的最大值=
=
=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查了空间位置关系、空间角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于
难题．
15．（4 分）（2016•浙江）已知平面向量，，| |=1，| |=2，
=1，若为平面单位向量，
则|
|+|
|的最大值是
．
【分析】由题意可知，|
|+|
|为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和，
由此可知，当与
共线时，|
|+|
|取得最大值，即
．
【解答】解：|
|+|
|=
，
其几何意义为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和，
当与
共线时，取得最大值．
∴
=
．
故答案为：
．
第11页（共17页）
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量在向量方向上的投影的概念，考查学生正
确理解问题的能力，是中档题．
三、解答题
16．（14 分）（2016•浙江）在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．
（1）证明：A=2B；
（2）若cosB= ，求cosC 的值．
【分析】（1）由b+c=2acosB，利用正弦定理可得：sinB+sinC=2sinAcosB，而sinC=sin（A+B）
=sinAcosB+cosAsinB，代入化简可得：sinB=sin（A﹣B），由A，B∈（0，π），可得0＜A﹣B＜
π，即可证明．
（II）cosB= ，可得sinB=
．cosA=cos2B=2cos2B﹣1，sinA=
．利用
cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB 即可得出．
【解答】（1）证明：∵b+c=2acosB，
∴sinB+sinC=2sinAcosB，
∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，
∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B），由A，B∈（0，π），
∴0＜A﹣B＜π，∴B=A﹣B，或B=π﹣（A﹣B），化为A=2B，或A=π（舍去）．
∴A=2B．
（II）解：cosB= ，∴sinB=
=
．
cosA=cos2B=2cos2B﹣1=
，sinA=
=
．
∴cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=
+
×
=
．
【点评】本题考查了正弦定理、和差公式、倍角公式、同角三角函数基本关系式、诱导公式，考
查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17．（15 分）（2016•浙江）设数列{an}的前n 项和为Sn，已知S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*．
（Ⅰ）求通项公式an；
（Ⅱ）求数列{|an﹣n﹣2|}的前n 项和．
【分析】（Ⅰ）根据条件建立方程组关系，求出首项，利用数列的递推关系证明数列{an}是公
比q=3 的等比数列，即可求通项公式an；
（Ⅱ）讨论n 的取值，利用分组法将数列转化为等比数列和等差数列即可求数列{|an﹣n﹣2|}
的前n 项和．
【解答】解：（Ⅰ）∵S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*．
∴a1+a2=4，a2=2S1+1=2a1+1，
解得a1=1，a2=3，
当n≥2 时，an+1=2Sn+1，an=2Sn﹣1+1，
两式相减得an+1﹣an=2（Sn﹣Sn﹣1）=2an，
即an+1=3an，当n=1 时，a1=1，a2=3，
满足an+1=3an，
第12页（共17页）
∴
=3，则数列{an}是公比q=3 的等比数列，
则通项公式an=3n﹣1．
（Ⅱ）an﹣n﹣2=3n﹣1﹣n﹣2，
设bn=|an﹣n﹣2|=|3n﹣1﹣n﹣2|，
则b1=|30﹣1﹣2|=2，b2=|3﹣2﹣2|=1，
当n≥3 时，3n﹣1﹣n﹣2＞0，
则bn=|an﹣n﹣2|=3n﹣1﹣n﹣2，
此时数列{|an﹣n﹣2|}的前n 项和Tn=3+
﹣
=
，
则Tn=
=
．
【点评】本题主要考查递推数列的应用以及数列求和的计算，根据条件建立方程组以及利用
方程组法证明列{an}是等比数列是解决本题的关键．求出过程中使用了转化法和分组法进行
数列求和．
18．（15 分）（2016•浙江）如图，在三棱台ABC﹣DEF 中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，
BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3．
（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；
（Ⅱ）求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值．
【分析】（Ⅰ）根据三棱台的定义，可知分别延长AD，BE，CF，会交于一点，并设该点为K，并且
可以由平面BCFE⊥平面ABC 及∠ACB=90°可以得出AC⊥平面BCK，进而得出BF⊥AC．而根据
条件可以判断出点E，F 分别为边BK，CK 的中点，从而得出△BCK 为等边三角形，进而得出
BF⊥CK，从而根据线面垂直的判定定理即可得出BF⊥平面ACFD；
（Ⅱ）由BF⊥平面ACFD 便可得出∠BDF 为直线BD 和平面ACFD 所成的角，根据条件可以求出
BF=
，DF= ，从而在Rt△BDF 中可以求出BD 的值，从而得出cos∠BDF 的值，即得出直线BD
和平面ACFD 所成角的余弦值．
【解答】解：（Ⅰ）证明：延长AD，BE，CF 相交于一点K，如图所示：
∵平面BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC；
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∴AC⊥平面BCK，BF⊂平面BCK；
∴BF⊥AC；
又EF∥BC，BE=EF=FC=1，BC=2；
∴△BCK 为等边三角形，且F 为CK 的中点；
∴BF⊥CK，且AC∩CK=C；
∴BF⊥平面ACFD；
（Ⅱ）∵BF⊥平面ACFD；
∴∠BDF 是直线BD 和平面ACFD 所成的角；
∵F 为CK 中点，且DF∥AC；
∴DF 为△ACK 的中位线，且AC=3；
∴
；
又
；
∴在Rt△BFD 中，
，cos
；
即直线BD 和平面ACFD 所成角的余弦值为
．
【点评】考查三角形中位线的性质，等边三角形的中线也是高线，面面垂直的性质定理，以及
线面垂直的判定定理，线面角的定义及求法，直角三角形边的关系，三角函数的定义．
19．
（15 分）
（2016•浙江）如图，设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点A 到y 轴的
距离等于|AF|﹣1，
（Ⅰ）求p 的值；
（Ⅱ）若直线AF 交抛物线于另一点B，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点
N，AN 与x 轴交于点M，求M 的横坐标的取值范围．
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【分析】（Ⅰ）利用抛物线的性质和已知条件求出抛物线方程，进一步求得p 值；
（Ⅱ）设出直线AF 的方程，与抛物线联立，求出B 的坐标，求出直线AB，FN 的斜率，从而求出
直线BN 的方程，根据A、M、N 三点共线，可求出M 的横坐标的表达式，从而求出m 的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，抛物线上点A 到焦点F 的距离等于A 到直线x=﹣1 的距离，
由抛物线定义得，
，即p=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，抛物线方程为y2=4x，F（1，0），可设（t2，2t），t≠0，t≠±1，
∵AF 不垂直y 轴，
∴设直线AF：x=sy+1（s≠0），
联立
，得y2﹣4sy﹣4=0．
y1y2=﹣4，
∴B（
），
又直线AB 的斜率为
，故直线FN 的斜率为
，
从而得FN：
，直线BN：y=﹣，
则N（
），
设M（m，0），由A、M、N 三点共线，得
，
于是m=
=
，得m＜0 或m＞2．
经检验，m＜0 或m＞2 满足题意．
∴点M 的横坐标的取值范围为（﹣∞，0）∪（2，+∞）．
【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查数学转化思
想方法，属中档题．
20．（15 分）（2016•浙江）设函数f（x）=x3+
，x∈[0，1]，证明：
（Ⅰ）f（x）≥1﹣x+x2
（Ⅱ）＜f（x）≤．
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【分析】（Ⅰ）根据题意，1﹣x+x2﹣x3=
，利用放缩法得
≤
，即可证
明结论成立；
（Ⅱ）利用0≤x≤1 时x3≤x，证明f（x）≤，再利用配方法证明f（x）≥，结合函数的最小值
得出f（x）＞，即证结论成立．
【解答】解：（Ⅰ）证明：因为f（x）=x3+
，x∈[0，1]，
且1﹣x+x2﹣x3=
=
，
所以
≤
，
所以1﹣x+x2﹣x3≤
，
即f（x）≥1﹣x+x2；
（Ⅱ）证明：因为0≤x≤1，所以x3≤x，
所以f（x）=x3+
≤x+
=x+
﹣+ =
+ ≤；
由（Ⅰ）得，f（x）≥1﹣x+x2=
+ ≥，
且f（）=
+
=
＞，
所以f（x）＞；
综上，＜f（x）≤．
【点评】本题主要考查了函数的单调性与最值，分段函数等基础知识，也考查了推理与论证，
分析问题与解决问题的能力，是综合性题目．
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