2014 年普通高等学校招生全国统一考试 理科
（新课标卷二Ⅱ）
第Ⅰ卷
一.选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1.设集合M=｛0,1,2｝，N=
，则
=( )
A. ｛1｝
B. ｛2｝
C. ｛0，1｝
D. ｛1，2｝
2.设复数
，
在复平面内的对应点关于虚轴对称，zxxk
，则
（ ）
A. - 5
B. 5
C. - 4+ i
D. - 4 - i
3.设向量a,b 满足|a+b|=
，|a-b|=
，则a b = ( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 5
4.钝角三角形ABC 的面积是
，AB=1，BC=
，则AC=( )
A. 5
B.
C. 2
D. 1
5.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的
概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质
量为优良的概率是（ ）
A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45
6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线
画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为
6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体
积的比值为（ ）
A.
B.
C.
D.
7.执行右图程序框图，如果输入的x,t 均为2，则输出的S= （
）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
8.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
9.设x,y 满足约束条件
，则
的最大值为（
）
A. 10 B. 8 C. 3 D. 2
10.设F 为抛物线C:
的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐
标原点，则△OAB 的面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
11.直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N 分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，
则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ）
A.
B.
C.
D.
12.设函数
.若存在
的极值点
满足
，则m 的取
值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13 题~第21 题为必考题，每个试题考生必须做
答.第22 题~第24 题为选考题，考生根据要求做答.本试题由http://gaokao.ccutu.com
整理
二.填空题
13.
的展开式中，
的系数为15，则a=________.(用数字填写答案)
14.函数
的最大值为_________.
15.已知偶函数
在
单调递减，
.若
，则
的取值范围是
__________.
16.设点M（
,1），若在圆O:
上存在点N，使得zxxk∠OMN=45°，则
的取值范
围是________.
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12 分）
已知数列
满足
=1，
.
（Ⅰ）证明
是等比数列，并求
的通项公式；
（Ⅱ）证明：
.
18. （本小题满分12 分）
如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA⊥平面ABCD，E 为PD 的中点.
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）设二面角D-AE-C 为60°，AP=1，AD=
，求三棱锥E-ACD 的体积.
19. （本小题满分12 分）
某地区2007 年至2013 年农村居民家庭纯
收
入y（单位：千元）的数据如下表：
年份
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入
y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
（Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007 年至2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的
变化情况，并预测该地区2015 年农村居民家庭人均纯收入.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
，
20. （本小题满分12 分）
设
,
分别是椭圆C:
的左,右焦点，M 是C 上一点且
与x 轴垂
直，直线
与C 的另一个交点为N.
（Ⅰ）若直线MN 的斜率为
，求C 的离心率；
（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且
，求a,b.
21. （本小题满分12 分）
已知函数
=
zxxk
（Ⅰ）讨论
的单调性；
（Ⅱ）设
，当
时，
,求
的最大值；
（Ⅲ）已知
，估计ln2 的近似值（精确到0.001）
请考生在第22、23、24 题中任选一题做答，如果多做，有途高考网同按所做的第一题计分，
做答时请写清题号.
22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲
如图，P 是
O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与
O 相
交于点B，C，PC=2PA，D 为PC 的中点，AD 的延长线交
O 于点
E.证明：
（Ⅰ）BE=EC；
（Ⅱ）AD DE=2
23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴
为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为
，
.zxxk
（Ⅰ）求C 的参数方程；
（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线
垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数
方程，确定D 的坐标.
24. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲
设函数
=
（Ⅰ）证明：
2；
（Ⅱ）若
，求
的取值范围.
2014 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题参考答案
一、
选择题
（1）D （2）A （3）A （4）B （5）A （6）C （7）D
（ 8）D （9）B （10）D （11）C （12）C
二、
填空题
（13）
（14）1 （15）（-1,3） （16）[-1，1]
三、解答题
（17）解：
（1）由
得
又
，所以，{
} 是首项为
，公比为3 的等比数列。
=
，因此{
}的通项公式为
=
（2）由（1）知
=
因为当n
1 时，
所以，
于是，
=
所以，
（18）解：
（1）连结BD 交AC 于点O,连结EO
因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点
又E 为的PD 的中点，所以EO PB
EO
平面AEC,PB
平面AEC，所以PB 平面AEC
（2）因为PA
平面ABCD，ABCD 为矩形，所以AB,AD,AP 两两垂直
如图，以A 为坐标原点，
的方向为x 轴的正方向，
为单位长，建立空间直角坐标系，
则A—xyz,则D(0,
,0),则E(0,
,
),
=(0,
,
)
设B(m,0,0)(m＞0)，则C（m,
，0）
设n(x,y,z)为平面ACE 的法向量，
则{
即{
可取
=（
,-1,
）
又
=（1,0,0）为平面DAE 的法向量，
由题设
=
，即
=
，解得m=
因为E 为PD 的中点，所以三棱锥E-ACD 的高为
，三棱锥E-ACD 的体积为
V=
=
19 解：
（1）由所得数据计算得
=
（1+2+3+4+5+6+7）=4，
=
(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3
=9+4+1+0+1+4+9=28
=(-3) （-1.4）+（-2）（-1）+（-1）（-0.7）+0 0.1+1 0.5+2 0.9+3 1.6=14，
b=
=
=0.5
a=
-b =4.3-0.5 4=2.3
所求回归方程为
=0.5t+2.3
(Ⅱ)由（Ⅰ）知，b=0.5>0,故2007 年至2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，
平均每年增加0.5 千元.
将2015 年的年份代号t=9 代入（1）中的回归方程，得
y=0.5×9+2.3=6.8
故预测该地区2015 年农村居民家庭人均纯收入为6.8 千元
（20）解：
（Ⅰ）根据c=错误: 引用源未找到以及题设知M（c，错误: 引用源未找到），2 错误: 引用
源未找到=3ac
将错误: 引用源未找到=错误: 引用源未找到-错误: 引用源未找到代入2 错误: 引用源
未找到=3ac，解得错误: 引用源未找到=错误: 引用源未找到，错误: 引用源未找到=-2
（舍去）
故C 的离心率为错误: 引用源未找到
（Ⅱ）由题意，原点O 的错误: 引用源未找到的中点，M 错误: 引用源未找到∥y 轴，所以直
线M 错误: 引用源未找到与y 轴的交点D 是线段M 错误: 引用源未找到的中点，故错误:
引用源未找到=4，即
错误: 引用源未找到 ①
由错误: 引用源未找到=错误: 引用源未找到得错误: 引用源未找到=错误: 引用源未找
到
设N（x，y），由题意可知y<0,则错误: 引用源未找到 即错误: 引用源未找到
代入方程C，得错误: 引用源未找到+错误: 引用源未找到=1 ②
将①以及c=错误: 引用源未找到代入②得到错误: 引用源未找到+错误: 引用源未找到
=1
解得a=7， 错误: 引用源未找到
a=7，错误: 引用源未找到
（21）解
（Ⅰ）错误: 引用源未找到+错误: 引用源未找到-2≥0，等号仅当x=0 时成立，所以f（x）
在（—∞，+∞）单调递增
（Ⅱ）g（x）=f(2x)-4bf(x)=错误: 引用源未找到-错误: 引用源未找到-4b(错误: 引用源
未找到-错误: 引用源未找到)+(8b-4)x
错误: 引用源未找到(x)=2[错误: 引用源未找到+错误: 引用源未找到+错误: 引用源
未找到]=2(错误: 引用源未找到+错误: 引用源未找到)(错误: 引用源未找到+错误: 引
用源未找到)
（1）当b
2 时，g’(x)
0,等号仅当x=0 时成立，所以g(x)在(-
,+
)单调递增，而
g(0)=0，所以对任意x>0,g(x)>0;
（2）当b>2 时，若x 满足，2<
<2b-2 即 0<x<ln(b-1+
)时g’(x)<0,而
g（0）=0,因此当0<X
ln(b-1+
)时，g(x)<0
综上，b 的最大值为2
（3）由（2）知，g(ln
)=
-2
b+2(2b-1)ln2
当b=2 时，g(ln
)=
-4
+6ln2>0,ln2>
>0.6928
当b=
+1 时，ln(b-1+
)=ln
g(ln
)=
-2
+(3
+2)ln2<0
in2<
<0.693
(22)解：
（1）连结错误: 引用源未找到AB,错误: 引用源未找到AC 由题设知错误: 引用源未找到
PA=错误: 引用源未找到PD,故错误: 引用源未找到PAD=错误: 引用源未找到PDA
因为错误: 引用源未找到PDA=错误: 引用源未找到DAC+错误: 引用源未找到DCA
错误: 引用源未找到PAD=错误: 引用源未找到BAD+错误: 引用源未找到PAB
错误: 引用源未找到DCA=错误: 引用源未找到PAB
所以错误: 引用源未找到DAC=错误: 引用源未找到BAD,从而。。。。。。。
因此错误: 引用源未找到=错误: 引用源未找到
（2）由切割线定理得
=PB*PC 错误: 引用源未找到
因为PA=PD=DC,所以DC=2PB,BD=PB
由相交弦定理得AD*DE=BD*DC
所以，AD*DE=2
错误: 引用源未找到
(23)解：
（1）C 的普通方程为
错误: 引用源未找到+错误: 引用源未找到=1(0 错误: 引用源未找到)
可得C 的参数方程错误: 引用源未找到（t 为参数，0 错误: 引用源未找到
（Ⅱ）设D（1+cost,sint).由（Ⅰ）知C 是以G（1,0）为圆心，1 为半径的上半圆。
因为C 在点D 处的切线与I 垂直，所以直线GD 与I 的斜率相同。
tant=错误: 引用源未找到，t=π/3.
故D 的直角坐标为（1+cosπ/3，sinπ/3）,即（3/2, 错误: 引用源未找到/2）.
(24)解：
（Ⅰ）由a>0,有f（x）=｜x+1/a｜+｜x-a｜≥｜x+1/a-(x-a)｜=1/a+a≥2.
所以f（x）≥2.
（Ⅱ）f（x）=｜3+1/a｜+｜3-a｜.
当a＞3 时，f（3）=a+1/a，由f（3）＜5 得3＜a＜错误: 引用源未找到
当0<a≤3 时，f（3）=6-a+错误: 引用源未找到，f（3）<5 得错误: 引用源未找到<a≤3
综上所诉，a 的取值范围为（错误: 引用源未找到）
选择题填空题解析
一．选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
（1）设集合
，
，则
(A)
(B)
(C)
(D)
解析：∵
，∴
答案：D
（2）设复数
，
在复平面内的对应点关于虚轴对称，
，则
(A)
(B)
(C)
(D)
解析：∵
，∴
，∴
答案：A
（3）设向量
，
满足
，
，则
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 5
解析：∵
，
，∴
……①，
……②．
由①
②得：
答案：A
（4）钝角三角形
的面积是
，
，
，则
(A) 5
(B)
(C) 2
(D) 1
解析：∵
，即：
，∴
，
即
或
．又∵
∴
或5，又∵
为钝角三角形，∴
，即：
答案：B
（5）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优
良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率
是
(A) 0.8
(B) 0.75
(C) 0.6
(D) 0.45
解析：此题为条件概率，所以
答案：A
（6）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），
图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件有一个底
面半径为3cm，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则
切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为
(A)
(B)
(C)
(D)
解析：原来毛坯体积为：
，由三视图得，该零件由左侧底面半径为2cm，
高为4cm 的圆柱和右侧底面半径为3cm，高为2cm 的圆柱构成，所以该零件的体积
为：
，则切削掉部分的体积为
，所
以切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为
答案：C
（7）执行右面的程序框图，如果输入的
，均为2，
则输出的
(A)
(B)
(C)
(D)
解析：输入的
，均为2．
是，
，
，
；
是，
，
，
，
否，输出
答案：D
（8）设曲线
在点
处的切线方程
为
，则
(A)
(B)
(C)
(D)
解析：∵
，且在点
处的切线的斜率为2，∴
，即
答案：D
（9）设
，
满足约束条件
，则
的最大值为
(A)
(B)
(C)
(D)
解析：作出
，
满足约束条件
表示
的平面区域如图阴影部分：做出目标函数
：
，∵
，∴当
的截距
最小时，
有最大值。
∴当
经过
点时，
有最大值。
由
得：
此时：
有最大值
答案：B
结束
输出
，
开始
输入，
1
k
k
t
M
M
x
k
S
M
S
1
k
k
是
否
x
O
3
1
0
x
y
7
0
x
y
3
5
0
x
y
0l
1l
2l
2
A
B
C
y
（10）设
为抛物线
：
的焦点，过
且倾斜角为
的直线交
于
，两点，为
坐标原点，则
的面积为
(A)
(B)
(C)
(D)
解析：∵
，设
、
，∴直线
的方程为
，代入抛物线方
程得：
，∴
，
由弦长公式得
由点到直线的距离公式得：
到直线
的距离
∴
答案：D
（11）直三棱柱
中，
，
，
分别是
，
的中点，
，则
与
所成角的余弦值为
(A)
(B)
(C)
(D)
解析：如图所示，取
的中点
，连结
、
∵
，
分别是
，
的中点，
∴四边形
为平行四边形，∴
∴所求角的余弦值等于
的余弦值
不妨令
，则
，∴
答案：C
（12）设函数
．若存在
的极值点
满足
，则
的取值
范围是
(A)
(B)
(C)
(D)
解析：∵
，令
得：
∴
，又∵
，∴
即：
，∴
，故：
∴
，即：
，故：
或
答案：C
A
C
B
1
A
1
C
1
B
N
M
P
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13 题～第21 题为必考题，每个试题考生都必须
做答。第22 题～第24 题为选考题，考生根据要求做答。
二．填空题：本大题共4 小题，每小题5 分。
（13）
的展开式中，
的系数为
，则
．（用数字填写答案）
解析：∵
，∴
，即
，
∴
，解之：
答案：
（14）函数
的最大值为 ．
解析：∵
∴
的最大值为1
答案：1
（15）已知偶函数
在
单调递减，
．若
，则
的取值范围是
．
解析：∵
是偶函数，∴
，
又∵
在
单调递减，∴
，解之：
答案：
（16）设点
，若在圆
：
上存在点
，使得
，则
的取值范围
是 ．
解析：由图可知点
所在直线
与圆
相切，
又
，由正弦定理得：
∴
，即：
又∵
，∴
，即
，解之：
答案：
x
y
M
O
N
