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2017 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1．
（5 分）已知集合A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|y=x}，则A∩B 中元素的个数为
（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0
2．（5 分）设复数z 满足（1+i）z=2i，则|z|=（ ）
A．
B．
C．
D．2
3．（5 分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了
2014 年1 月至2016 年12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下
面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是（ ）
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8 月
D．各年1 月至6 月的月接待游客量相对于7 月至12 月，波动性更小，变化比
较平稳
4．（5 分）（x+y）（2x
y
﹣）5的展开式中的x3y3系数为 （ ）
A．﹣80
B．﹣40
C．40
D．80
5．
（5 分）已知双曲线C：
﹣
=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=
x，且
第1页（共32页）
与椭圆
+
=1 有公共焦点，则C 的方程为（ ）
A．
﹣
=1
B．
﹣
=1
C．
﹣
=1
D．
﹣
=1
6．（5 分）设函数f（x）=cos（x+
），则下列结论错误的是（ ）
A．f（x）的一个周期为﹣2π
B．y=f（x）的图象关于直线x=
对称
C．f（x+π）的一个零点为x=
D．f（x）在（
，π）单调递减
7．（5 分）执行如图的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最
小值为（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
8．（5 分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2 的同一个球的球面
上，则该圆柱的体积为（ ）
A．π
B．
C．
D．
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9．（5 分）等差数列{an}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前
6 项的和为（ ）
A．﹣24
B．﹣3
C．3
D．8
10．（5 分）已知椭圆C：
=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段
A1A2为直径的圆与直线bx
ay
﹣
+2ab=0 相切，则C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（5 分）已知函数f（x）=x2
2x
﹣
+a（ex
1
﹣+e
x
﹣+1）有唯一零点，则a=（ ）
A．﹣
B．
C．
D．1
12．
（5 分）在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆
上．若
=λ
+μ
，则λ+μ 的最大值为（ ）
A．3
B．2
C．
D．2
二、填空题:本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．（5 分）若x，y 满足约束条件
，则z=3x
4y
﹣
的最小值为 ．
14．（5 分）设等比数列{an}满足a1+a2=
1
﹣，a1
a
﹣
3=
3
﹣，则a4= ．
15．（5 分）设函数f（x）=
，则满足f（x）+f（x﹣
）＞1 的x 的取值范围
是 ．
16．（5 分）a，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC
所在直线与a，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角；
②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角；
③直线AB 与a 所成角的最小值为45°；
④直线AB 与a 所成角的最小值为60°；
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其中正确的是 ．（填写所有正确结论的编号）
三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21 题为
必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：60 分。
17．（12 分）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知sinA+
cosA=0，a=2
，b=2．
（1）求c；
（2）设D 为BC 边上一点，且AD⊥AC，求△ABD 的面积．
18．（12 分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4 元，
售价每瓶6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2 元的价格当天全部处理完．
根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气
温不低于25，需求量为500 瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300
瓶；如果最高气温低于20，需求量为200 瓶．为了确定六月份的订购计划，统计
了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天
第4页（共32页）
的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？
19．（12 分）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，
∠ABD=∠CBD，AB=BD．
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）过AC 的平面交BD 于点E，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部
分，求二面角D
AE
C
﹣
﹣的余弦值．
20．（12 分）已知抛物线C：y2=2x，过点（2，0）的直线l 交C 于A，B 两点，圆M 是以
线段AB 为直径的圆．
（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；
（2）设圆M 过点P（4，﹣2），求直线l 与圆M 的方程．
21．（12 分）已知函数f（x）=x
1
alnx
﹣﹣
．
（1）若f（x）≥0，求a 的值；
（2）设m 为整数，且对于任意正整数n，（1+
）（1+
）…（1+
）＜m，求m 的最
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小值．
（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所
做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10 分）在直角坐标系xOy 中，直线l1的参数方程为
，（t 为参数），直线
l2的参数方程为
，（m 为参数）．设l1与l2的交点为P，当k 变化时，P 的
轨迹为曲线C．
（1）写出C 的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（cosθ+sinθ）﹣
=0，M 为l3与C 的交点，求M 的极径．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x
2
﹣|．
（1）求不等式f（x）≥1 的解集；
（2）若不等式f（x）≥x2
x
﹣+m 的解集非空，求m 的取值范围．
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2017 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1．
（5 分）已知集合A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|y=x}，则A∩B 中元素的个数为
（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0
【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】5J：集合．
【分析】解不等式组求出元素的个数即可．
【解答】解：由
，解得：
或
，
∴A∩B 的元素的个数是2 个，
故选：B．
【点评】本题考查了集合的运算，是一道基础题．
2．（5 分）设复数z 满足（1+i）z=2i，则|z|=（ ）
A．
B．
C．
D．2
【考点】A8：复数的模．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；5N：数系的扩充和复数．
【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．
【解答】解：∵（1+i）z=2i，∴（1
i
﹣）（1+i）z=2i（1
i
﹣），z=i+1．
则|z|=
．
故选：C．
第7页（共32页）
【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，
属于基础题．
3．（5 分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了
2014 年1 月至2016 年12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下
面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是（ ）
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8 月
D．各年1 月至6 月的月接待游客量相对于7 月至12 月，波动性更小，变化比
较平稳
【考点】2K：命题的真假判断与应用；B9：频率分布折线图、密度曲线．菁优网版权所有
【专题】27：图表型；2A：探究型；5I：概率与统计．
【分析】根据已知中2014 年1 月至2016 年12 月期间月接待游客量（单位：万人）
的数据，逐一分析给定四个结论的正误，可得答案．
【解答】解：由已有中2014 年1 月至2016 年12 月期间月接待游客量（单位：万
人）的数据可得：
月接待游客量逐月有增有减，故A 错误；
年接待游客量逐年增加，故B 正确；
各年的月接待游客量高峰期大致在7，8 月，故C 正确；
各年1 月至6 月的月接待游客量相对于7 月至12 月，波动性更小，变化比较平稳
故D 正确；
第8页（共32页）
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是数据的分析，命题的真假判断与应用，难度不大，属
于基础题．
4．（5 分）（x+y）（2x
y
﹣）5的展开式中的x3y3系数为 （ ）
A．﹣80
B．﹣40
C．40
D．80
【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；5P：二项式定理．
【分析】（2x
y
﹣）5的展开式的通项公式：Tr+1=
（2x）5
r
﹣（﹣y）r=25
r
﹣（﹣1）r
x5﹣
ryr．令5
r=2
﹣
，r=3，解得r=3．令5
r=3
﹣
，r=2，解得r=2．即可得出．
【解答】解：（2x
y
﹣）5的展开式的通项公式：Tr+1=
（2x）5
r
﹣（﹣y）r=25
r
﹣（﹣1）r
x5
r
﹣yr．
令5
r=2
﹣
，r=3，解得r=3．
令5
r=3
﹣
，r=2，解得r=2．
∴（x+y）（2x
y
﹣）5的展开式中的x3y3系数=22×（﹣1）3
+23×
=40．
故选：C．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5．
（5 分）已知双曲线C：
﹣
=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=
x，且
与椭圆
+
=1 有公共焦点，则C 的方程为（ ）
A．
﹣
=1
B．
﹣
=1
C．
﹣
=1
D．
﹣
=1
第9页（共32页）
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程，
求出双曲线实半轴与虚半轴的长，即可得到双曲线方程．
【解答】解：椭圆
+
=1 的焦点坐标（±3，0），
则双曲线的焦点坐标为（±3，0），可得c=3，
双曲线C：
﹣
=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=
x，
可得
，即
，可得
=
，解得a=2，b=
，
所求的双曲线方程为：
﹣
=1．
故选：B．
【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算
能力．
6．（5 分）设函数f（x）=cos（x+
），则下列结论错误的是（ ）
A．f（x）的一个周期为﹣2π
B．y=f（x）的图象关于直线x=
对称
C．f（x+π）的一个零点为x=
D．f（x）在（
，π）单调递减
【考点】H7：余弦函数的图象．菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；4O：定义法；57：三角函数的图像与性质．
【分析】根据三角函数的图象和性质分别进行判断即可．
第10页（共32页）
【解答】解：A．函数的周期为2kπ，当k=
1
﹣时，周期T=
2π
﹣
，故A 正确，
B．当x=
时，cos（x+
）=cos（
+
）=cos
=cos3π=
1
﹣为最小值，此时
y=f（x）的图象关于直线x=
对称，故B 正确，
C 当x=
时，f（
+π）=cos（
+π+
）=cos
=0，则f（x+π）的一个零点为x=
，故C 正确，
D．当
＜x＜π 时，
＜x+
＜
，此时函数f（x）不是单调函数，故D 错误，
故选：D．
【点评】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，根据三角函数的图象
和性质是解决本题的关键．
7．（5 分）执行如图的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最
小值为（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；39：运动思想；49：综合法；5K：算法和程序框图．
第11页（共32页）
【分析】通过模拟程序，可得到S 的取值情况，进而可得结论．
【解答】解：由题可知初始值t=1，M=100，S=0，
要使输出S 的值小于91，应满足“t≤N”，
则进入循环体，从而S=100，M=
10
﹣
，t=2，
要使输出S 的值小于91，应接着满足“t≤N”，
则进入循环体，从而S=90，M=1，t=3，
要使输出S 的值小于91，应不满足“t≤N”，跳出循环体，
此时N 的最小值为2，
故选：D．
【点评】本题考查程序框图，判断出什么时候跳出循环体是解决本题的关键，注意
解题方法的积累，属于中档题．
8．（5 分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2 的同一个球的球面
上，则该圆柱的体积为（ ）
A．π
B．
C．
D．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LR：球内接多面体．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5Q：立体几何．
【分析】推导出该圆柱底面圆周半径r=
=
，由此能求出该圆柱的体积．
【解答】解：∵圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2 的同一个球的球面
上，
∴该圆柱底面圆周半径r=
=
，
∴该圆柱的体积：V=Sh=
=
．
故选：B．
第12页（共32页）
【点评】本题考查面圆柱的体积的求法，考查圆柱、球等基础知识，考查推理论证
能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想，是中档题．
9．（5 分）等差数列{an}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前
6 项的和为（ ）
A．﹣24
B．﹣3
C．3
D．8
【考点】85：等差数列的前n 项和．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．
【分析】利用等差数列通项公式、等比数列性质列出方程，求出公差，由此能求出
{an}前6 项的和．
【解答】解：∵等差数列{an}的首项为1，公差不为0．a2，a3，a6成等比数列，
∴
，
∴（a1+2d）2=（a1+d）（a1+5d），且a1=1，d≠0，
解得d=
2
﹣，
∴{an}前6 项的和为
=
=
24
﹣
．
故选：A．
【点评】本题考查等差数列前n 项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意
等差数列、等比数列的性质的合理运用．
10．（5 分）已知椭圆C：
=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段
A1A2为直径的圆与直线bx
ay
﹣
+2ab=0 相切，则C 的离心率为（ ）
第13页（共32页）
A．
B．
C．
D．
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；5B：直线与圆；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】以线段A1A2为直径的圆与直线bx
ay
﹣
+2ab=0 相切，可得原点到直线的距
离
=a，化简即可得出．
【解答】解：以线段A1A2为直径的圆与直线bx
ay
﹣
+2ab=0 相切，
∴原点到直线的距离
=a，化为：a2=3b2．
∴椭圆C 的离心率e=
=
=
．
故选：A．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直线的
距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11．（5 分）已知函数f（x）=x2
2x
﹣
+a（ex
1
﹣+e
x
﹣+1）有唯一零点，则a=（ ）
A．﹣
B．
C．
D．1
【考点】52：函数零点的判定定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．
【分析】通过转化可知问题等价于函数y=1﹣（x
1
﹣）2的图象与y=a（ex
1
﹣+
）的
图象只有一个交点求a 的值．分a=0、a＜0、a＞0 三种情况，结合函数的单调性
分析可得结论．
【解答】解：因为f（x）=x2
2x
﹣
+a（ex
1
﹣+e
x
﹣+1）=
1
﹣+（x
1
﹣）2+a（ex
1
﹣+
）=0，
第14页（共32页）
所以函数f（x）有唯一零点等价于方程1﹣（x
1
﹣）2=a（ex
1
﹣+
）有唯一解，
等价于函数y=1﹣（x
1
﹣）2的图象与y=a（ex
1
﹣+
）的图象只有一个交点．
①当a=0 时，f（x）=x2
2x
﹣
≥﹣1，此时有两个零点，矛盾；
②当a＜0 时，由于y=1﹣（x
1
﹣）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，
且y=a（ex
1
﹣+
）在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，
所以函数y=1﹣（x
1
﹣）2的图象的最高点为A（1，1），y=a（ex
1
﹣+
）的图象的最
高点为B（1，2a），
由于2a＜0＜1，此时函数y=1﹣（x
1
﹣）2的图象与y=a（ex
1
﹣+
）的图象有两个
交点，矛盾；
③当a＞0 时，由于y=1﹣（x
1
﹣）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，
且y=a（ex
1
﹣+
）在（﹣∞，1）上递减、在（1，+∞）上递增，
所以函数y=1﹣（x
1
﹣）2的图象的最高点为A（1，1），y=a（ex
1
﹣+
）的图象的最
低点为B（1，2a），
由题可知点A 与点B 重合时满足条件，即2a=1，即a=
，符合条件；
综上所述，a=
，
故选：C．
【点评】本题考查函数零点的判定定理，考查函数的单调性，考查运算求解能力，
考查数形结合能力，考查转化与化归思想，考查分类讨论的思想，注意解题方
法的积累，属于难题．
12．
（5 分）在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆
上．若
=λ
+μ
，则λ+μ 的最大值为（ ）
A．3
B．2
C．
D．2
第15页（共32页）
【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质；5A：平
面向量及应用；5B：直线与圆．
【分析】如图：以A 为原点，以AB，AD 所在的直线为x，y 轴建立如图所示的坐标系，
先求出圆的标准方程，再设点P 的坐标为（
cosθ+1，
sinθ+2），根据
=λ
+μ
，求出λ，μ，根据三角函数的性质即可求出最值．
【解答】解：如图：以A 为原点，以AB，AD 所在的直线为x，y 轴建立如图所示的坐
标系，
则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），
∵动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，
设圆的半径为r，
∵BC=2，CD=1，
∴BD=
=
∴
BC•CD=
BD•r，
∴r=
，
∴圆的方程为（x
1
﹣）2+（y
2
﹣）2=
，
设点P 的坐标为（
cosθ+1，
sinθ+2），
∵
=λ
+μ
，
∴（
cosθ+1，
sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），
∴
cosθ+1=λ，
sinθ+2=2μ，
∴λ+μ=
cosθ+
sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2，
∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，
第16页（共32页）
∴1≤λ+μ≤3，
故λ+μ 的最大值为3，
故选：A．
【点评】本题考查了向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质，关键是设
点P 的坐标，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．
二、填空题:本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．（5 分）若x，y 满足约束条件
，则z=3x
4y
﹣
的最小值为 ﹣
1
．
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5T：不等式．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数
z=3x
4y
﹣
的最小值．
【解答】解：由z=3x
4y
﹣
，得y=
x﹣
，作出不等式对应的可行域（阴影部分），
平移直线y=
x﹣
，由平移可知当直线y=
x﹣
，
经过点B（1，1）时，直线y=
x﹣
的截距最大，此时z 取得最小值，
将B 的坐标代入z=3x
4y=3
4=
1
﹣
﹣
﹣，
即目标函数z=3x
4y
﹣
的最小值为﹣1．
故答案为：﹣1．
第17页（共32页）
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合
的数学思想是解决此类问题的基本方法．
14．（5 分）设等比数列{an}满足a1+a2=
1
﹣，a1
a
﹣
3=
3
﹣，则a4= ﹣
8
．
【考点】88：等比数列的通项公式．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；35：转化思想；54：等差数列与等比数列．
【分析】设等比数列{an}的公比为q，由a1+a2=
1
﹣，a1
a
﹣
3=
3
﹣，可得：a1（1+q）=﹣
1，a1（1
q
﹣
2）=
3
﹣，解出即可得出．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵a1+a2=
1
﹣，a1
a
﹣
3=
3
﹣，
∴a1（1+q）=
1
﹣，a1（1
q
﹣
2）=
3
﹣，
解得a1=1，q=
2
﹣．
则a4=（﹣2）3=
8
﹣．
故答案为：﹣8．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档
题．
15．（5 分）设函数f（x）=
，则满足f（x）+f（x﹣
）＞1 的x 的取值范围
是 （
，
+ ∞
）
．
【考点】3T：函数的值．菁优网版权所有
【专题】32：分类讨论；4R：转化法；51：函数的性质及应用．
第18页（共32页）
【分析】根据分段函数的表达式，分别讨论x 的取值范围，进行求解即可．
【解答】解：若x≤0，则x﹣
≤﹣
，
则f（x）+f（x﹣
）＞1 等价为x+1+x﹣
+1＞1，即2x＞﹣
，则x＞
，
此时
＜x≤0，
当x＞0 时，f（x）=2x＞1，x﹣
＞﹣
，
当x﹣
＞0 即x＞
时，满足f（x）+f（x﹣
）＞1 恒成立，
当0≥x﹣
＞﹣
，即
≥x＞0 时，f（x﹣
）=x﹣
+1=x+
，
此时f（x）+f（x﹣
）＞1 恒成立，
综上x＞
，
故答案为：（
，+∞）．
【点评】本题主要考查不等式的求解，结合分段函数的不等式，利用分类讨论的数
学思想进行求解是解决本题的关键．
16．（5 分）a，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC
所在直线与a，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角；
②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角；
③直线AB 与a 所成角的最小值为45°；
④直线AB 与a 所成角的最小值为60°；
其中正确的是
②③
．（填写所有正确结论的编号）
【考点】MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】由题意知，a、b、AC 三条直线两两相互垂直，构建如图所示的边长为1 的
第19页（共32页）
正方体，|AC|=1，|AB|=
，斜边AB 以直线AC 为旋转轴，则A 点保持不变，B
点的运动轨迹是以C 为圆心，1 为半径的圆，以C 坐标原点，以CD 为x 轴，CB
为y 轴，CA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．
【解答】解：由题意知，a、b、AC 三条直线两两相互垂直，画出图形如图，
不妨设图中所示正方体边长为1，
故|AC|=1，|AB|=
，\
斜边AB 以直线AC 为旋转轴，则A 点保持不变，
B 点的运动轨迹是以C 为圆心，1 为半径的圆，
以C 坐标原点，以CD 为x 轴，CB 为y 轴，CA 为z 轴，建立空间直角坐标系，
则D（1，0，0），A（0，0，1），直线a 的方向单位向量=（0，1，0），| |=1，
直线b 的方向单位向量=（1，0，0），| |=1，
设B 点在运动过程中的坐标中的坐标B′（cosθ，sinθ，0），
其中θ 为B′C 与CD 的夹角，θ∈[0，2π），
∴AB′在运动过程中的向量，
=（cosθ，sinθ，﹣1），|
|=
，
设
与所成夹角为α∈[0，
]，
则cosα=
=
|sinθ|∈[0，
]，
∴α∈[
，
]，∴③正确，④错误．
设
与所成夹角为β∈[0，
]，
cosβ=
=
=
|cosθ|，
当
与夹角为60°时，即α=
，
|sinθ|=
=
=
，
∵cos2θ+sin2θ=1，∴cosβ=
|cosθ|=
，
第20页（共32页）
∵β∈[0，
]，∴β=
，此时
与的夹角为60°，
∴②正确，①错误．
故答案为：②③．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等
基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思
想、化归与转化思想，是中档题．
三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21 题为
必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：60 分。
17．（12 分）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知sinA+
cosA=0，a=2
，b=2．
（1）求c；
（2）设D 为BC 边上一点，且AD⊥AC，求△ABD 的面积．
【考点】HT：三角形中的几何计算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；58：解三角形．
【分析】（1）先根据同角的三角函数的关系求出A，再根据余弦定理即可求出，
（2）先根据夹角求出cosC，求出CD 的长，得到S△ABD=
S△ABC．
【解答】解：（1）∵sinA+
cosA=0，
∴tanA=
，
∵0＜A＜π，
第21页（共32页）
∴A=
，
由余弦定理可得a2=b2+c2
2bccosA
﹣
，
即28=4+c2
2
﹣×2c×（﹣
），
即c2+2c
24=0
﹣
，
解得c=
6
﹣（舍去）或c=4，
故c=4．
（2）∵c2=b2+a2
2abcosC
﹣
，
∴16=28+4
2
﹣×2
×2×cosC，
∴cosC=
，
∴CD=
=
=
∴CD=
BC
∵S△ABC=
AB•AC•sin∠BAC=
×4×2×
=2
，
∴S△ABD=
S△ABC=
【点评】本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，以及解三角形的问题，属于中
档题
18．（12 分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4 元，
售价每瓶6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2 元的价格当天全部处理完．
根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气
温不低于25，需求量为500 瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300
瓶；如果最高气温低于20，需求量为200 瓶．为了确定六月份的订购计划，统计
第22页（共32页）
了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天
的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？
【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．
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【专题】11：计算题；32：分类讨论；49：综合法；5I：概率与统计．
【分析】（1）由题意知X 的可能取值为200，300，500，分别求出相应的概率，由此
能求出X 的分布列．
（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500 瓶，至少为200 瓶，只需考虑
200≤n≤500，根据300≤n≤500 和200≤n≤300 分类讨论经，能得到当n=300
时，EY 最大值为520 元．
【解答】解：（1）由题意知X 的可能取值为200，300，500，
P（X=200）=
=0.2，
P（X=300）=
，
P（X=500）=
=0.4，
∴X 的分布列为：
X
200
300
500
P
0.2
0.4
0.4
（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500 瓶，至少为200 瓶，
∴只需考虑200≤n≤500，
当300≤n≤500 时，
若最高气温不低于25，则Y=6n
4n=2n
﹣
；
若最高气温位于区间[20，25），则Y=6×300+2（n
300
﹣
）﹣4n=1200
2n
﹣
；
若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n
200
﹣
）﹣4n=800
2n
﹣
，
第23页（共32页）
∴EY=2n×0.4+（1200
2n
﹣
）×0.4+（800
2n
﹣
）×0.2=640
0.4n
﹣
，
当200≤n≤300 时，
若最高气温不低于20，则Y=6n
4n=2n
﹣
，
若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n
200
﹣
）﹣4n=800
2n
﹣
，
∴EY=2n×（0.4+0.4）+（800
2n
﹣
）×0.2=160+1.2n．
∴n=300 时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520 元．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的求法，考查数学期望的最大值的求
法，考查函数、离散型随机变量分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能
力、运算求解能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想，是中档题．
19．（12 分）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，
∠ABD=∠CBD，AB=BD．
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）过AC 的平面交BD 于点E，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部
分，求二面角D
AE
C
﹣
﹣的余弦值．
【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．
【分析】（1）如图所示，取AC 的中点O，连接BO，OD．△ABC 是等边三角形，可得
OB⊥AC．由已知可得：△ABD≌△CBD，AD=CD．△ACD 是直角三角形，可得AC
是斜边，∠ADC=90°．可得DO=
AC．利用DO2+BO2=AB2=BD2．可得OB⊥OD．利
用线面面面垂直的判定与性质定理即可证明．
第24页（共32页）
（2）设点D，B 到平面ACE 的距离分别为hD，hE．则
=
．根据平面AEC 把四面体
ABCD 分成体积相等的两部分，可得
=
=
=1，即点E 是BD 的中
点．建立如图所示的空间直角坐标系．不妨取AB=2．利用法向量的夹角公式即
可得出．
【解答】（1）证明：如图所示，取AC 的中点O，连接BO，OD．
∵△ABC 是等边三角形，∴OB⊥AC．
△ABD 与△CBD 中，AB=BD=BC，∠ABD=∠CBD，
∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD．
∵△ACD 是直角三角形，
∴AC 是斜边，∴∠ADC=90°．
∴DO=
AC．
∴DO2+BO2=AB2=BD2．
∴∠BOD=90°．
∴OB⊥OD．
又DO∩AC=O，∴OB⊥平面ACD．
又OB⊂平面ABC，
∴平面ACD⊥平面ABC．
（2）解：设点D，B 到平面ACE 的距离分别为hD，hE．则
=
．
∵平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，
∴
=
=
=1．
∴点E 是BD 的中点．
第25页（共32页）
建立如图所示的空间直角坐标系．不妨取AB=2．
则O（0，0，0），A（1，0，0），C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0，
，0），E
．
=（﹣1，0，1），
=
，
=（﹣2，0，0）．
设平面ADE 的法向量为=（x，y，z），则
，即
，取=
．
同理可得：平面ACE 的法向量为=（0，1，
）．
∴cos
=
=
=﹣
．
∴二面角D
AE
C
﹣
﹣的余弦值为
．
【点评】本题考查了空间位置关系、空间角、三棱锥的体积计算公式、向量夹角公
式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．（12 分）已知抛物线C：y2=2x，过点（2，0）的直线l 交C 于A，B 两点，圆M 是以
线段AB 为直径的圆．
（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；
（2）设圆M 过点P（4，﹣2），求直线l 与圆M 的方程．
【考点】KN：直线与抛物线的综合．菁优网版权所有
第26页（共32页）
【专题】35：转化思想；41：向量法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）方法一：分类讨论，当直线斜率不存在时，求得A 和B 的坐标，由
•
=0，则坐标原点O 在圆M 上；当直线l 斜率存在，代入抛物线方程，利用韦达
定理及向量数量积的可得
•
=0，则坐标原点O 在圆M 上；
方法二：设直线l 的方程x=my+2，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积
的坐标运算，即可求得
•
=0，则坐标原点O 在圆M 上；
（2）由题意可知：
•
=0，根据向量数量积的坐标运算，即可求得k 的值，求得
M 点坐标，则半径r=丨MP 丨，即可求得圆的方程．
【解答】解：方法一：证明：（1）当直线l 的斜率不存在时，则A（2，2），B（2，﹣2），
则
=（2，2），
=（2，﹣2），则
•
=0，
∴
⊥
，
则坐标原点O 在圆M 上；
当直线l 的斜率存在，设直线l 的方程y=k（x
2
﹣），A（x1，y1），B（x2，y2），
，整理得：k2x2﹣（4k2+2）x+4k2=0，
则x1x2=4，4x1x2=y1
2y2
2=（y1y2）2，由y1y2＜0，
则y1y2=
4
﹣，
由
•
=x1x2+y1y2=0，
则
⊥
，则坐标原点O 在圆M 上，
综上可知：坐标原点O 在圆M 上；
方法二：设直线l 的方程x=my+2，
，整理得：y2
2my
4=0
﹣
﹣
，A（x1，y1），B（x2，y2），
则y1y2=
4
﹣，
第27页（共32页）
则（y1y2）2=4x1x2，则x1x2=4，则
•
=x1x2+y1y2=0，
则
⊥
，则坐标原点O 在圆M 上，
∴坐标原点O 在圆M 上；
（2）由（1）可知：x1x2=4，x1+x2=
，y1+y2=
，y1y2=
4
﹣，
圆M 过点P（4，﹣2），则
=（4
x
﹣1，﹣2
y
﹣1），
=（4
x
﹣2，﹣2
y
﹣2），
由
•
=0，则（4
x
﹣1）（4
x
﹣2）+（﹣2
y
﹣1）（﹣2
y
﹣2）=0，
整理得：k2+k
2=0
﹣
，解得：k=
2
﹣，k=1，
当k=
2
﹣时，直线l 的方程为y=
2x
﹣
+4，
则x1+x2=
，y1+y2=
1
﹣，
则M（
，﹣
），半径为r=丨MP 丨=
=
，
∴圆M 的方程（x﹣
）2+（y+
）2=
．
当直线斜率k=1 时，直线l 的方程为y=x
2
﹣，
同理求得M（3，1），则半径为r=丨MP 丨=
，
∴圆M 的方程为（x
3
﹣）2+（y
1
﹣）2=10，
综上可知：直线l 的方程为y=
2x
﹣
+4，圆M 的方程（x﹣
）2+（y+
）2=
，
或直线l 的方程为y=x
2
﹣，圆M 的方程为（x
3
﹣）2+（y
1
﹣）2=10．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运
算，考查计算能力，属于中档题．
21．（12 分）已知函数f（x）=x
1
alnx
﹣﹣
．
（1）若f（x）≥0，求a 的值；
（2）设m 为整数，且对于任意正整数n，（1+
）（1+
）…（1+
）＜m，求m 的最
小值．
第28页（共32页）
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；32：分类讨论；49：综合法；53：导数的综合应用．
【分析】（1）通过对函数f（x）=x
1
alnx
﹣﹣
（x＞0）求导，分a≤0、a＞0 两种情况考
虑导函数f′（x）与0 的大小关系可得结论；
（2）通过（1）可知lnx≤x
1
﹣，进而取特殊值可知ln（1+
）＜
，k∈N*．一方面利
用等比数列的求和公式放缩可知（1+
）（1+
）…（1+
）＜e，另一方面可知
（1+
）（1+
）…（1+
）＞2，从而当n≥3 时，（1+
）（1+
）…（1+
）∈
（2，e），比较可得结论．
【解答】解：（1）因为函数f（x）=x
1
alnx
﹣﹣
，x＞0，
所以f′（x）=1﹣
=
，且f（1）=0．
所以当a≤0 时f′（x）＞0 恒成立，此时y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，这与f（x）
≥0 矛盾；
当a＞0 时令f′（x）=0，解得x=a，
所以y=f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，即f（x）min=f（a），
若a≠1，则f（a）＜f（1）=0，从而与f（x）≥0 矛盾；
所以a=1；
（2）由（1）可知当a=1 时f（x）=x
1
lnx
﹣﹣
≥0，即lnx≤x
1
﹣，
所以ln（x+1）≤x 当且仅当x=0 时取等号，
所以ln（1+
）＜
，k∈N*．
ln（1+
）+ln（1+
）+…+ln（1+
）＜
+
+…+
=1﹣
＜1，
即（1+
）（1+
）…（1+
）＜e；
因为m 为整数，且对于任意正整数n，（1+
）（1+
）…（1+
）＜m 成立，
当n=3 时，不等式左边大于2，
所以m 的最小值为3．
第29页（共32页）
【点评】本题是一道关于函数与不等式的综合题，考查分类讨论的思想，考查转化
与化归思想，考查运算求解能力，考查等比数列的求和公式，考查放缩法，注意
解题方法的积累，属于难题．
（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所
做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10 分）在直角坐标系xOy 中，直线l1的参数方程为
，（t 为参数），直线
l2的参数方程为
，（m 为参数）．设l1与l2的交点为P，当k 变化时，P 的
轨迹为曲线C．
（1）写出C 的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（cosθ+sinθ）﹣
=0，M 为l3与C 的交点，求M 的极径．
【考点】QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；4Q：参数法；4R：转化法；5S：坐标系和参数方程．
【分析】解：（1）分别消掉参数t 与m 可得直线l1与直线l2的普通方程为y=k（x﹣
2）①与x=
2
﹣+ky ②；联立①②，消去k 可得C 的普通方程为x2
y
﹣2=4；
（2）将l3的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）﹣
=0 化为普通方程：x+y﹣
=0，再与
曲线C 的方程联立，可得
，即可求得l3与C 的交点M 的极径为ρ=
．
【解答】解：（1）∵直线l1的参数方程为
，（t 为参数），
∴消掉参数t 得：直线l1的普通方程为：y=k（x
2
﹣）①；
又直线l2的参数方程为
，（m 为参数），
第30页（共32页）
同理可得，直线l2的普通方程为：x=
2
﹣+ky ②；
联立①②，消去k 得：x2
y
﹣2=4，即C 的普通方程为x2
y
﹣2=4（x≠2 且y≠0）；
（2）∵l3的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）﹣
=0，
∴其普通方程为：x+y﹣
=0，
联立
得：
，
∴ρ2=x2+y2=
+
=5．
∴l3与C 的交点M 的极径为ρ=
．
【点评】本题考查参数方程与极坐标方程化普通方程，考查函数与方程思想与等
价转化思想的运用，属于中档题．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x
2
﹣|．
（1）求不等式f（x）≥1 的解集；
（2）若不等式f（x）≥x2
x
﹣+m 的解集非空，求m 的取值范围．
【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】32：分类讨论；33：函数思想；4C：分类法；4R：转化法；51：函数的性质及应
用；5T：不等式．
【分析】（1）由于f（x）=|x+1|﹣|x
2
﹣|=
，解不等式f（x）≥1 可
分﹣1≤x≤2 与x＞2 两类讨论即可解得不等式f（x）≥1 的解集；
（2）依题意可得m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）=f（x）﹣x2+x，分x≤1、﹣1＜x＜2、
x≥2 三类讨论，可求得g（x）max=
，从而可得m 的取值范围．
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【解答】解：（1）∵f（x）=|x+1|﹣|x
2
﹣|=
，f（x）≥1，
∴当﹣1≤x≤2 时，2x
1
﹣≥1，解得1≤x≤2；
当x＞2 时，3≥1 恒成立，故x＞2；
综上，不等式f（x）≥1 的解集为{x|x≥1}．
（2）原式等价于存在x∈R 使得f（x）﹣x2+x≥m 成立，
即m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）=f（x）﹣x2+x．
由（1）知，g（x）=
，
当x≤﹣1 时，g（x）=
x
﹣2+x
3
﹣，其开口向下，对称轴方程为x=
＞﹣1，
∴g（x）≤g（﹣1）=
1
1
3=
5
﹣﹣﹣
﹣；
当﹣1＜x＜2 时，g（x）=
x
﹣2+3x
1
﹣，其开口向下，对称轴方程为x=
∈（﹣1，2），
∴g（x）≤g（
）=﹣
+
1=
﹣
；
当x≥2 时，g（x）=
x
﹣2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x=
＜2，
∴g（x）≤g（2）=
4
﹣+2+3=1；
综上，g（x）max=
，
∴m 的取值范围为（﹣∞，
]．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，突出
考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，属于难题．
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