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2015 年普通高等学校招生全国统一考试（四川）理科
一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题
目要求的。
1.设集合
集合
，则
A.{X/-1<X<3} B.{X/-1<X<1} C.{X/1<X<2} D.{X/2<X<3}
2.设i 是虚数单位，则复数i3–=
A.-i B.-3i C.i. D.3i
3.执行如图所示的程序框图，输出S 的值是
A.
B
C-
D
4.下列函数中，最小正周期为π，且图象关于原点对称的函数是
5.过双曲线
的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B 两点，则
（A）
（B）
（C）6 （D）
6.用数字0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中比40000 大的偶数共有
（A）144 个 （B）120 个 （C）96 个 （D）72 个
7.设四边形ABCD 为平行四边形，
，
.若点M，N 满足
，，则
（A）20 （B）15 （C）9 （D）6
8.设a，b 都是不等于1 的正数，则“
”是“
”的
1
（A）充要条件 （B）充分不必要条件
（C）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
9.如果函数
在区间
单调递减，则mn 的最大值为
（A）16 （B）18 （C）25 （D）
10.设直线l 与抛物线
相交于A，B 两点，与圆
相切于点M，且M 为线段AB 的
中点.若这样的直线l 恰有4 条，则r 的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
二.填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共25 分。
11.在（2x－1）5的展开式中，含x2的项的系数是 （用数字填写答案）。
12.sin15°+sin75°的值是 。
13.某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：
）满足函数关系
（
为自然对数的底数，k、b 为常数）。若该食品在0
的保鲜时间设计192 小时，在22
的保鲜时间是
45 小时，则该食品在33
的保鲜时间是 小时。
14.如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，E、F 分
别为AB、BC 的中点。设异面直线EM 与AF 所成的角为，则
的最大值为 。
15. 已知函数
，
（其中
）。对于不相等的实数
，设
，
，
现有如下命题：
（1）对于任意不相等的实数
，都有
；
（2）对于任意的a 及任意不相等的实数
，都有
；
（3）对于任意的a，存在不相等的实数
，使得
；
（4）对于任意的a，存在不相等的实数
，使得
。
2
其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）。
三.解答题：本大题共6 小题，共75 分。解答应写出说明、证明过程或演算步骤。
16.设数列
（n=1，2，3…）的前
项和Sn ，满足Sn=2an－a1，且
成等差数列
（1）求数列
的通项公式；
（2）记数列
的前n 项和
，求得
成立的n 的最小值。
17.（本小题满分12 分）
某市A,B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐3 名男生，2 名女生，B 中学推荐了3 名男
生，4 名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机
抽取3 人，女生中随机抽取3 人组成代表队
（1）求A 中学至少有1 名学生入选代表队的概率.
（2）某场比赛前。从代表队的6 名队员中随机抽取4 人参赛，设X 表示参赛的男生人数，求X 得分布列
和数学期望.
18. （本小题满分12 分）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，
设
的中点为
，
的中点为
（1 请将字母
标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）
（2）证明：直线
平面
（3）求二面角
的余弦值.
3
19. （本小题满分12 分）如图，A,B,C,D 为平面四边形ABCD 的四个内角.
（1）证明：
（2）若
求
20. （本小题满分13 分）如图，椭圆E：
的离心率是
，过点P（0,1）的动直线
与椭圆相交于A，B 两点，当直线平行与
轴时，直线被椭圆E 截得的线段长为
.
(1)求椭圆E 的方程；
（2）在平面直角坐标系
中，是否存在与点P 不同的定点Q，使得
恒成立？若存在，
求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。
4
21. （本小题满分14 分）已知函数
（
1
）
设
（
2
）
证
明
：
存
在
5
6
7
8
9
10
11
