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2016四川省高考理科数学试题解析
本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）. 第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页，
满分150分，考试时间120分钟. 考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿上答
题无效. 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是
符合题目要求的.
1.
设集合
，Z为整数集，则集合
中元素的个数是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
2.
设为虚数单位，则
的展开式中含
的项为（ ）
A．
B．
C．
D．
3.
为了得到函数
的图象，只需把函数
的图象上所有的点（ ）
A．向左平行移动
个单位长度
B．向右平行移动
个单位长度
C．向左平行移动
个单位长度
D．向右平行移动
个单位长度
4.
用数字1，2，3，4，5构成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（ ）
A．24
B．48
C．60
D．72
5.
某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金
130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研
发资金开始超过200万元的年份是（ ）
（参考数据：
，
，
）
A．2018年
B．2019年
C．2020年
D．2021年
6.
秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）
人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶
算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给
出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例。若输入n，
x的值分别为3，2. 则输出v的值为（ ）
A．9
B．18
C．20
D．35
7.
设p：实数x，y满足
，q：实数x，y满足
则p是q的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条
件
8.
设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线
上任意一点，M是线段PF上的
点，且
，则直线OM斜率的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
9.
设直线
，分别是函数
图象上点
，处的切线，与
垂直相
交于点P，且
，
分别与y轴相交于点A，B，则
的面积的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
10. 在平面内，定点A，B，C，D满足
，
，
动点P，M满足
，
，则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11.
__________．
12. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则
在2次试验中成功次数X的均值是__________．
13. 已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三
棱锥的体积是__________．
14. 已知函数
是定义在R上的周期为2的奇函数，当
时，
，
则
__________.
15. 在平面直角坐标系中，当
不是原点时，定义
的“ 伴随点” 为
；当
是原点时，定义
的“伴随点”为它自身，平面曲线
上所
有点的“伴随点”所构成的曲线
定义为曲线
的“伴随曲线”，现有下列命题：
① 若点
的“伴随点”是点
，则点
的“伴随点”是点A；
② 单位圆的“伴随曲线”是它自身；
③ 若曲线
关于
轴对称，则其“伴随曲线”
关于
轴对称；
④ 一条直线的“伴随曲线”是一条直线.
其中的真命题是__________（写出所有真命题的序号）.
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或步骤．
16. （本小题满分12分）
我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用
水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部
分按平价收费，超出x的部分按议价收费. 为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某
年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照
，
，…，
分
成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
（I）求直方图中a的值；
（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
（III）若该市政府希望使85%的居民每月均用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明
理由.
a
0.52
0.40
0.16
0.12
0.08
0.04
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
月均用水量（吨）
组距
频率
17. （本小题满分12分）
在
中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且
.
（I）证明：
；
（II）若
，求
.
18. （本小题满分12分）
如图，在四棱锥
中，
，
，
，E为
棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为
.
（I）在平面PAB内找一点M，使得直线
平面PBE，
并说明理由；
（II）若二面角
的大小为
，求直线PA与
平面PCE所成角的正弦值.
19. （本小题满分12分）
已知数列
的首项为1，
为数列
的前n项和，
，其中
，
.
（I）若
成等差数列，求
的通项公式；
（II）设双曲线
的离心率为
，且
，证明：
.
20. （本小题满分13分）
已知椭圆
的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶
点，直线
与椭圆E有且只有一个公共点T.
（I）求椭圆E的方程及点T的坐标；
（II）设O是坐标原点，直线
平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线
l交于点P. 证明：存在常数
，使得
，并求
的值.
21. （本小题满分14分）
设函数
，其中
.
（I）讨论
的单调性；
（II）确定a的所有可能取值，使得
在区间
内恒成立
（
…为自然对数的底数）.
2016四川省高考理科数学试题解析
本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）. 第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页，
满分150分，考试时间120分钟. 考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿上答
题无效. 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是
符合题目要求的.
1.
设集合
，Z为整数集，则集合
中元素的个数是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【解析】由题可知，
，则
中元素的个数为5
选C
2.
设为虚数单位，则
的展开式中含
的项为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题可知，
含
的项为
选A
3.
为了得到函数
的图象，只需把函数
的图象上所有的点（ ）
A．向左平行移动
个单位长度
B．向右平行移动
个单位长度
C．向左平行移动
个单位长度
D．向右平行移动
个单位长度
【答案】D
【解析】由题可知，
，则只需把
的图象向右平移
个单位
选D
4.
用数字1，2，3，4，5构成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（ ）
A．24
B．48
C．60
D．72
【答案】D
【解析】由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1,3,5；
分为两步：先从1,3,5三个数中选一个作为个位数有
，
再将剩下的4个数字排列得到
，则满足条件的五位数有
.
选D
5.
某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金
130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研
发资金开始超过200万元的年份是（ ）
（参考数据：
，
，
）
A．2018年
B．2019年
C．2020年
D．2021年
【答案】B
【解析】设
年后该公司全年投入的研发资金为200万元
由题可知，
，
解得
，
因资金需超过200万，则
取4，即2019年
选B
6.
秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）
人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶
算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给
出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例。若输入n，
x的值分别为3，2. 则输出v的值为（ ）
A．9
B．18
C．20
D．35
【答案】B
【解析】初始值
，程序运行过程如下表所示
跳出循环，输出
选B
7.
设p：实数x，y满足
，q：实数x，y满足
则p是q的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】如图，
① 表示圆心为
，
半径为
的圆内区域所有点（包括边界）；
② 表示
内部区域所有点（包括边界）.
实数
满足②则必然满足①，反之不成立.
则
是
的必要不充分条件.
故选A
8.
设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线
上任意一点，M是线段PF上的
点，且
，则直线OM斜率的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】C
【解析】如图，由题可知
，设
点坐标为
显然，当
时，
；
时，
，要求
最大值，不妨设
.
则
，当且仅当
等号成立
故选C
9.
设直线
，分别是函数
图象上点
，处的切线，与
垂直相
交于点P，且
，
分别与y轴相交于点A，B，则
的面积的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】方法一：设
，易知
，
，
，
则直线：
，
，与轴的交点为
设
，则交点横坐标为
，与
轴的交点为
，则
，故
方法二：特殊值法，若
，可算出
，
，故
，排除BC；令
，
算出
，
故选A.
10. 在平面内，定点A，B，C，D满足
，
，
动点P，M满足
，
，则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意，
，所以
到
三点的距离相等，
是
的外心；
所以
，
同理可得，
从而
是
的垂心；
的外心与垂心重合，因此
是正三角形，且
是
的中心；
所以正三角形
的边长为
；
我们以
为原点建立直角坐标系，
三点坐标分别为
。
由
，设
点的坐标为
，其中
，
而
，即
是
的中点，
可以写出
的坐标为
则
当
时，
取得最大值
。
故选B.
第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11.
__________．
【答案】
【解析】由题可知，
（二倍角公式）
12. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则
在2次试验中成功次数X的均值是__________．
【答案】
【解析】由题可知，
在一次试验中，试验成功（即至少有一枚硬币正面向上）的概率为
∵ 2次独立试验成功次数
满足二项分布
，则
13. 已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三
棱锥的体积是__________．
【答案】
【解析】由题可知，
∵三棱锥每个面都是腰为2的等腰三角形，
由正视图可得如下俯视图，且三棱锥高为
，
则面积
14. 已知函数
是定义在R上的周期为2的奇函数，当
时，
，
则
__________.
【答案】
【解析】首先，
是周期为2的函数，所以
；
而
是奇函数，所以
，
所以：
，
，即
又
，
时，
故
，从而
15. 在平面直角坐标系中，当
不是原点时，定义
的“ 伴随点” 为
；当
是原点时，定义
的“伴随点”为它自身，平面曲线
上所
有点的“伴随点”所构成的曲线
定义为曲线
的“伴随曲线”，现有下列命题：
① 若点
的“伴随点”是点
，则点
的“伴随点”是点A；
② 单位圆的“伴随曲线”是它自身；
③ 若曲线
关于
轴对称，则其“伴随曲线”
关于
轴对称；
④ 一条直线的“伴随曲线”是一条直线.
其中的真命题是__________（写出所有真命题的序号）.
【答案】②③
【解析】① 设
的坐标
，伴随点
，
的伴随点
横坐标为
，同理可得纵坐标为
故
. 错误；
② 设单位圆上的点
的坐标为
，则
的伴随点的坐标为
，
所以
也在单位圆上，即：
点是
点延顺时针方向旋转
. 正确；
③ 设曲线
上点
的坐标
，其关于
轴对称的点
也在曲线
上
所
以点
的伴随点
，
点
的伴随点
，
与
关于
轴对称。正确；
④ 反例：例如
这条直线，则
，而这三个点的伴
随点分别是
，而这三个点不在同一直线上
下
面给出严格证明：
设点
在直线
，
点的伴随点为
，
则
，解得
.
带入直线方程可知：
，
化简得：
，
当
时，
是一个常数，
的轨迹是一条直线；
当
时，
不是一个常数，
的轨迹不是一条直线.
所以，直线“伴随曲线”不一定是一条直线. 错误.
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或步骤．
16. （本小题满分12分）
我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用
水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部
分按平价收费，超出x的部分按议价收费. 为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某
年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照
，
，…，
分
成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
（I）求直方图中a的值；
（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
（III）若该市政府希望使85%的居民每月均用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明
理由.
a
0.52
0.40
0.16
0.12
0.08
0.04
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
月均用水量（吨）
组距
频率
【解析】（I）由概率统计相关知识，各组频率之和的值为1
∵频率=(频率/组距)*组距
∴
得
（II）由图，不低于3吨人数所占百分比为
∴全市月均用水量不低于3吨的人数为：
(万)
（III）由图可知，月均用水量小于2.5吨的居民人数所占百分比为：
即
的居民月均用水量小于2.5吨,
同理，88%的居民月均用水量小于3吨，故
假设月均用水量平均分布，则
（吨）.
注：本次估计默认组间是平均分布，与实际可能会产生一定误差。
17. （本小题满分12分）
在
中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且
.
（I）证明：
；
（II）若
，求
.
【解析】（I）证明：由正弦定理
可知
原式可以化解为
∵
和
为三角形内角 , ∴
则，两边同时乘以
，可得
由和角公式可知，
原式得证。
（II）由题
,根据余弦定理可知，
∵
为为三角形内角，
，
则
，即
由（I）可知
，∴
∴
18. （本小题满分12分）
如图，在四棱锥
中，
，
，
，E为
棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为
.
（I）在平面PAB内找一点M，使得直线
平面PBE，
并说明理由；
（II）若二面角
的大小为
，求直线PA与
平面PCE所成角的正弦值.
【解析】（I）延长
，交直线
于点
，
∵
为
中点，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
即
，
∴四边形
为平行四边形，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
面
，
∴
面
，
∵
，
面
，
∴
面
故在面
上可找到一点
使得
面
.
（II）过
作
交
于点
，连结
，过
作
交
于点
，
∵
，
与
所成角为
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∵
面
，
∴
，
∵
且
，
∴
面
，
∵
面
，
∴
，
∵
且
，
∴
面
，
∴
为所求
与面
所成的角，
∵
面
，
即
.
∴
为二面角
所成的平面角,
由题意可得
，而
,
∴
,
∵
,四边形
是平行四边形，
，
∴四边形
是正方形，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
.
19. （本小题满分12分）
已知数列
的首项为1，
为数列
的前n项和，
，其中
，
.
（I）若
成等差数列，求
的通项公式；
（II）设双曲线
的离心率为
，且
，证明：
.
【解析】（I）
，
，
，
当
时，
，故
，又
，则
，故
当
时也满足，
故
∴
（II）证明：由双曲线的性质可知，
由（I）可得，
为首项为1，公比为
的等比数列
故
，即
∴
为首项为1，公比为
的等比数列，通项公式为
∴
∴
原式得证.
20. （本小题满分13分）
已知椭圆
的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶
点，直线
与椭圆E有且只有一个公共点T.
（I）求椭圆E的方程及点T的坐标；
（II）设O是坐标原点，直线
平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线
l交于点P. 证明：存在常数
，使得
，并求
的值.
【解析】（I）设短轴一端点为
，左，右焦点分别为
，
则
.
由题意，
为直角三角形.
∴
解得
，
∴
.
代入
可得
.
与椭圆
只有一个交点，则
，解得
.
∴
.
由
，解得
，则
，所以
的坐标为
。
（II）设
在上，由
，
平行
.
得
的参数方程为
代入椭圆
得.
.
整理可得
.
设两根为
，
则有
.
而
，
，
.
故有
.
由题意
.
∴
， 故存在这样的
.
21. （本小题满分14分）
设函数
，其中
.
（I）讨论
的单调性；
（II）确定a的所有可能取值，使得
在区间
内恒成立
（
…为自然对数的底数）.
【解析】（I）由题意，
①当
时，
，
，
在
上单调递减.
②当
时，
，当
时，
；
当
时，
.
故
在
上单调递减，在
上单调递增.
（II）原不等式等价于
在
上恒成立.
一方面，令
，
只需
在
上恒大于0即可.
又∵
，故
在
处必大于等于0.
令
，
，可得
.
另一方面，
当
时，
∵
故
，又
，故
在
时恒大于0.
∴当
时，
在
单调递增.
∴
，故
也在
单调递增.
∴
，即
在
上恒大于0.
综上，
.
