2015 年高考山东省理科数学真题
一、选择题
1.已知集合
，
，则
（ ）
A．（1，3）
B．（1，4）
C．（2，3）
D．（2，4）
2.若复数Z 满足
，其中i 为虚数为单位，则Z=（ ）
A．1-i
B．1+i
C．-1-i
D．-1+i
3.要得到函数
的图像，只需要将函数y=sin4x 的图像（ ）
A．向左平移
个单位
B．向右平移
个单位
C．向左平移
个单位
D．向右平移
个单位
4.已知菱形ABCD 的边长为
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5.不等式|x-1|-|x-5|<2 的解集是（ ）
A．
B．
C．（1，4）
D．（1，5）
6.已知x,y 满足约束条件
，若z=ax+y 的最大值为4，则a=（ ）
A．3
B．2
C．-2
D．-3
7.在梯形ABCD 中，
，AD//BC，BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而
形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
8.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，3），从中随机取一件，其长度误差落在
区间（3，6）内的概率为（ ）
（附：若随机变量服从正态分布
，
则
，
。）
A．4.56%
B．12.59%
C．27.18%
D．31.74%
9.一条光线从点（-2，-3）射出，经y 轴反射后与圆
相切，则反射光线所在直线的斜
率为（ ）
A．
或
B．
或
C．
或
D．
或
10.设函数
，则满足
的a 取值范围是（ ）
A．
B．[0，1]
C．
D．
二、填空题
11.观察下列各式：
照此规律，当当n
N 时，C0
2n-1 + C1
2n-1 + C2
2n-1 +…+ Cn-1
2n-1 = .
12.若“
x
[0，
]，tanx
m”是真命题，则实数m 的最小值为 .
13.执行下面的程序框图，输出的T 的值为 .
14.已知函数
的定义域和值域都是
，则
________
15.平面直角坐标系xOy 中，双曲线C：
（a>0,b>0）的渐近线与抛物线C2：x2=2py(p>0)交于
O，若
的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为___________．
16.设
。
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）在锐角
中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，若f（
）=0，a=1，求面
积的最大值。
17.如图，在三棱台DEF-ABC 中，AB=2DE，G，H 分别为AC，BC 的中点。
（Ⅰ）求证：BC//平面FGH；
（Ⅱ）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE，∠BAC=
，求平面FGH 与平面ACFD 所成的角（锐
角）的大小。
18.设数列
的前n 项和为
。已知
。
（Ⅰ）求
的通项公式；
（Ⅱ）若数列
满足
，求
的前n 项和
。
19.若
是一个三位正整数，且
的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称
为“三位递增
数”（如137，359，567 等）.
在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1 个数，且只能抽取一次.得分
规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5 整除，参加者得0 分；若能被5 整除，但不
能被10 整除，得-1 分；若能被10 整除，得1 分.
（Ⅰ）写出所有个位数字是5 的“三位递增数”；
（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分
的分布列和数学期望
.
20.平面直角坐标系
中，已知椭圆
的离心率为
，左、右焦点分别是
。以
为圆心以3 为半径的圆与以
为圆心1 为半径的圆相交，且交点在椭圆C上。
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设椭圆
为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线
交椭圆E 于A，B 两点，
射线PO 交椭圆E 于点Q.
（i）求
的值；
（ii）求
面积的最大值。
将y
kx
m
代入椭圆C 的方程
21 设函数
，其中
。
（Ⅰ）讨论函数
极值点的个数，并说明理由；
（Ⅱ）若
成立，求
的取值范围。
2015 年高考山东省理科数学真题答案
一、选择题
1.答案：C
解析过程：
，
，
所以
，选C
2.答案：A
解析过程：
因为1
z
i
i
，所以，
1
1
z
i
i
i
所以，
1
z
i
，选A
3.答案：B
解析过程：
因为
，
所以，只需要将函数
的图象
向右平移
个单位，选B
4.答案：D
解析过程：
因为
BD CD
BD BA
BA
BC
BA
=
2
2
2
2
3
cos60
2
BA
BC BA
a
a
a
，选D.
5.答案：A
解析过程：
原不等式可转化为以下三个不等式的并集：
（Ⅰ）
，解得
（Ⅱ）
，解得
（Ⅲ）
，解得
综上，原不等式的解集为
，选A
6.答案：B
解析过程：
作出可行域如图
若
的最大值为4，则最优解可能为
或
经检验
不是最优解，
是最优解，此时
7.答案：C
解析过程：
直角梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面
所围成的几何体是一个底面半径为1，母线长为2 的圆柱
挖去一个底面半径同样是1、高为1 的圆锥后得到的组合体，
所以该组合体的体积为：
2
2
1
5
1
2
1
1
3
3
V
V
V
圆柱
圆锥
，选C
8.答案：B
解析过程：
用表示 零件的长度，根据正态分布的性质得：
1
3
6
6
6
3
3
2
P
P
P
0.9544
0.6826
0.1359
2
，选B.
9.答案：D
解析过程：
由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点
，
设反射光线所在直线的斜率为
，则反射光线所在直线方程为：
，即
又因为光线与圆相切，
所以，
，整理得
解得：
或
，选D
10.答案：C
解析过程：
当
时，
，
所以，
，即
符合题意；
当
时，
，若
，
即
，
，所以
符合题意；
综上，
的取值范围是
，选C
二、填空题
11.答案：
1
4n
解析过程：
由归纳推理得：
0
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
4
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
12.答案：1
解析过程：
在
上单调递增，所以
在
上的最大值为
由题意得，
13. 答案：
11
6
解析过程：
初始条件
1,
1,
3
n
T
n
成立 ；
运行第一次：
1
0
1
3
1
1
,
2,
3
2
2
T
xdx
n
n
成立；
运行第二次：
1
2
0
3
3
1
11,
3,
3
2
2
3
6
T
x dx
n
n
不成立；
输出T 的值：
11.
6
结束
14.答案：
3
2
解析过程：
若
，则
在
上为增函数
所以
，此方程组无解；
若
，则
在
上为减函数
所以
，解得
，所以
15.答案：
3
2
解析过程：
设OA 所在的直线方程为
b
y
x
a
,
则OB 所在的直线方程为
b
y
x
a
解方程组
2
2
b
y
x
a
x
py
得：
2
2
2
2
pb
x
a
pb
y
a
，
所以点A 的坐标为
2
2
2
2
,
pb
pb
a
a
抛物线的焦点F 的坐标为:
0, 2
p
因为F 是ABC
的垂心，所以
1
OB
AF
k
k
所以，
2
2
2
2
2
5
2
1
2
4
pb
p
b
b
a
pb
a
a
a
所以，
2
2
2
2
2
9
3
1
4
2
c
b
e
e
a
a
16.答案：
（I）单调递增区间是
,
4
4
k
k
k
z
；单调递减区间是
3
,
4
4
k
k
k
z
（II）ABC
面积的最大值为
2
3
4
解析过程：
（I）由题意知
由
，
，
可得
，
，
由
，
，
可得
，
，
所以，函数
的单调递增区间是
（
）
函数
的单调递减区间是
（
）
（II）由
，得
由题意得
为锐角，所以
由余弦定理：
可得：
即：
，当且仅当
时等号成立
因此
所以
面积的最大值为
17.答案：
（I）详见解析；（II）60
解析过程：
（I）证法一：连接
,
.
DG CD 设CD
GF
M
,连接MH ，
在三棱台DEF
ABC
中，
2
AB
DE
G
，
分别为AC 的中点，可得
/ /
,
DF
GC DF
GC
，所以四边形
DFCG 是平行四边形，
则M 为CD 的中点，又H 是BC 的中点，所以
/ /
HM
BD ,
又HM 平面FGH ，BD 平面FGH ，所以
/ /
BD
平面
FGH .
证法二：在三棱台DEF
ABC
中，
由
2
,
BC
EF H
为BC 的中点，
可得
/ /
,
,
BH
EF BH
EF
所以HBEF 为平行四边形，可得
/ /
.
BE
HF
在ABC
中，G
H
，
分别为AC
BC
，
的中点，
所以
/ /
,
GH
AB 又GH
HF
H
，
所以平面
/ /
FGH
平面ABED ，
因为BD 平面ABED ，
所以
/ /
BD
平面FGH .
（Ⅱ）解法一：设
2
AB
，则
1
CF
在三棱台DEF
ABC
中，
G 为AC 的中点
由
1
2
DF
AC
GC
，
可得四边形DGCF 为平行四边形，
因此
/ /
DG
CF
又FC 平面ABC
所以DG 平面ABC
在ABC
中，由
,
45
AB
BC
BAC
，G 是AC 中点，
所以
,
AB
BC GB
GC
因此
,
,
GB GC GD 两两垂直,
以G 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系
G
xyz
所以
0,0,0 ,
2,0,0 ,
0,
2,0 ,
0,0,1
G
B
C
D
可得
2
2
,
,0 ,
0,
2,1
2
2
H
F
故
2
2
,
,0 ,
0,
2,1
2
2
GH
GF
设
, ,
n
x y z
是平面FGH 的一个法向量，则
由
0,
0,
n GH
n GF
可得
0
2
0
x
y
y
z
可得平面FGH 的一个法向量
1, 1,
2
n
因为GB
是平面ACFD 的一个法向量，
2,0,0
GB
所以
2
1
cos
,
2
|
| |
|
2 2
GB n
GB n
GB
n
所以平面与平面所成的解(锐角)的大小为60
解法二：
作HM
AC
于点M ，作MN
GF
于点N ，连
接NH
由FC 平面ABC ，得HM
FC
又FC
AC
C
所以HM 平面ACFD
因此GF
NH
所以
MNH
即为所求的角
在BGC
中,
1
2
/ /
,
,
2
2
MH
BG MH
BG
由GNM
∽GCF
可得
，
从而
，由
平面
，
平面
得
，所以
，所以
所以平面
与平面
所成角（锐角）的大小为
18.答案：（I）
1
3,
1,
3
,
1,
n
n
n
a
n
; （II）
13
6
3
12
4 3
n
n
n
T
.
解析过程：
解：（I）因为2
3
3
n
n
S
所以，
1
2
3
3
a
，故
1
3,
a
当
1
n
时，
1
1
2
3
3,
n
n
S
此时，
，即
所以，
（II）因为
，
当
时，
所以
，当
时，
所以
两式相减得，
所以，
，经检验，
时也适合，
综上，
19.答案：（I）有：125，135，145，235，245，345；
（II）X 的分布列为
X
0
-1
1
P
2
3
1
14
11
42
4
21
EX
解析过程：
（I）个位数是5 的“三位递增数”有：
；
（II）由题意知，全部“三位递增数”的个数为
随机变量
的取值为：
，因此
；
；
所以
的分布列为
X
0
-1
1
P
2
3
1
14
11
42
因此
20.答案：（I）
2
2
1
4
x
y
；（II）( i )2；（ii）6 3 .
解析过程：
（I）由题意知
，则
，
又
，
，可得
，
所以椭圆C 的标准方程为
2
2
1
4
x
y
（II）由（I）知椭圆E 的方程为
2
2
1
16
4
x
y
（i）设
0
0
,
P x
y
，
OQ
OP
，由题意知
0
0
,
Q
x
y
因为
2
2
0
0
1
4
x
y
又
2
2
0
0
1
16
4
x
y
，
即
2
2
2
0
0
1
4
4
x
y
，所以
2
，即
2
OQ
OP
（ii）设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
将y
kx
m
代入椭圆E 的方程，
可得
2
2
2
1
4
8
4
16
0
k
x
kmx
m
由
0
，可得
2
2
4 16
m
k
……①
则有
2
1
2
1
2
2
2
8
4
16
,
1
4
1
4
km
m
x
x
x x
k
k
所以
2
2
1
2
2
4 16
4
1
4
k
m
x
x
k
因为直线y
kx
m
与轴交点的坐标为
0,m
所以OAB
的面积
2
2
2
2
2
2 16
4
1
2
1
4
k
m
m
S
m
x
x
k
2
2
2
2
2
2
2
2
2 (16
4
)
2
4
1
4
1
4
1
4
k
m
m
m
m
k
k
k
令
2
2
1
4
m
t
k
将y
kx
m
代入椭圆C 的方程
可得
2
2
2
1
4
8
4
4
0
k
x
kmx
m
由
0
，可得
2
2
1
4
m
k
……②
由①②可知0
1
t
因此
2
2
4
2
4
S
t t
t
t
故
2 3
S
当且仅当
1
t
，即
2
2
1
4
m
k
时取得最大值2 3
由（i）知，ABQ
面积为3S
所以ABQ
面积的最大值为6 3
21.答案：（I）当
0
a
时，函数
f x 在
1,
上有唯一极值点；
当
8
0
9
a
时，函数
f x 在
1,
上无极值点；
当
8
9
a
时，函数
f x 在
1,
上有两个极值点；
（II）a 的取值范围是
0,1 .
解析过程：
函数
定义域为
2
1
2
1
2
1
1
ax
ax
a
f
x
ax
a
x
x
令
2
2
1
g x
ax
ax
a
（1）当
0
a
时，
1
0
g x
，
0
f
x
在
1,
上恒成立
所以，函数
f x 在
1,
上单调递增无极值；
（2）当
0
a
时，
2
2
1
9
2
1
2
1
4
8
a
g x
ax
ax
a
a x
若
9
1
0
8
a
，即：
8
0
9
a
，则
0
g x
在
1,
上恒成立，
从而
0
f
x
在
1,
上恒成立，函数
f x 在
1,
上单调递增无极值；
若
9
1
0
8
a
，即：
8
9
a
，由于
1
1
0,
1
2
1
0
g
g
a
则
g x 在在
1,
上有两个零点，从而函数
f x 在
1,
上有两个极值点
1
2
,
x x 且
1
2
1
4
x
x
；
（3）当
0
a
时，
g x 在
1
1,
4
上单调递增，在
1 ,
4
上单调递减，
且
1
9
1
1
0,
1
0
4
8
a
g
g
，
所以，
g x 在在
1,
上有唯一零点，
从而函数
f x 在
1,
上有唯一极值点.
综上：
当
0
a
时，函数
f x 在
1,
上有唯一极值点；
当
8
0
9
a
时，函数
f x 在
1,
上无极值点；
当
8
9
a
时，函数
f x 在
1,
上有两个极值点；
（II）由（I）知，
（1）当
8
0
9
a
时，函数
f x 在
0,上单调递增，
因为
0
0
f
，所以，
时，
，符合题意；
（2）当
时，由
，得
所以，函数
在
上单调递增，
又
，所以，
时，
，符合题意；
（3）当
时，由
，可得
所以
时，函数
单调递减；
又
，所以，当
时，函数
不符合题意；
（4）当
时，设
因为
时，
所以
在
上单调递增，
因此当
时，
即：
可得：
当
时，
此时，
，不合题意
综上所述，
的取值范围是
