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2017 年山东省高考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分，在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符号题目要求的.
1．
（5 分）设函数y=
的定义域为A，函数y=ln（1
x
﹣）的定义域为B，则A∩B=
（ ）
A．（1，2）B．（1，2] C．（﹣2，1）D．[
2
﹣，1）
2．（5 分）已知a∈R，i 是虚数单位，若z=a+
i，z• =4，则a=（ ）
A．1 或﹣1 B．
或﹣
C．﹣
D．
3．（5 分）已知命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2，下列命题为
真命题的是（ ）
A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q
4．（5 分）已知x，y 满足约束条件
，则z=x+2y 的最大值是（ ）
A．0B．2C．5D．6
5．（5 分）为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，
从该班随机抽取10 名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性
相关关系，设其回归直线方程为= x+ ，已知
xi=225，
yi=1600，=4，该班某
学生的脚长为24，据此估计其身高为（ ）
A．160 B．163 C．166 D．170
6．（5 分）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x 值为7，第二次输入
的x 值为9，则第一次，第二次输出的a 值分别为（ ）
第1页（共23页）
A．0，0 B．1，1 C．0，1 D．1，0
7．（5 分）若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（ ）
A．a+
＜
＜log2（a+b））B．
＜log2（a+b）＜a+
C．a+
＜log2（a+b）＜
D．log2（a+b））＜a+
＜
8．（5 分）从分别标有1，2，…，9 的9 张卡片中不放回地随机抽取2 次，每次抽取
1 张，则抽到在2 张卡片上的数奇偶性不同的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（5 分）在ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若△ABC 为锐角三角形，且
满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（ ）
A．a=2b B．b=2a C．A=2B D．B=2A
10．（5 分）已知当x∈[0，1]时，函数y=（mx
1
﹣）2 的图象与y=
+m 的图象有且只
有一个交点，则正实数m 的取值范围是（ ）
A．（0，1]∪[2
，+∞）B．
（0，1]∪[3，+∞）C．（0，
）∪[2
，+∞）D．（0，
]∪[3，+∞）
第2页（共23页）
二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共25 分
11．（5 分）已知（1+3x）n的展开式中含有x2的系数是54，则n= ．
12．（5 分）已知
， 是互相垂直的单位向量，若
﹣
与
+λ
的夹角
为60°，则实数λ 的值是 ．
13．（5 分）由一个长方体和两个
圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何
体的体积为 ．
14．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线
=1（a＞0，b＞0）的右支与焦
点为F 的抛物线x2=2py（p＞0）交于A，B 两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线
的渐近线方程为 ．
15．（5 分）若函数exf（x）（e≈2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单
调递增，则称函数f（x）具有M 性质．下列函数中所有具有M 性质的函数的序号
为 ．
①f（x）=2
x
﹣②f（x）=3
x
﹣③f（x）=x3④f（x）=x2+2．
三、解答题（共6 小题，满分75 分）
16．（12 分）设函数f（x）=sin（ωx﹣
）+sin（ωx﹣
），其中0＜ω＜3，已知f（
）=0．
（Ⅰ）求ω；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2 倍（纵坐标不变），再
第3页（共23页）
将得到的图象向左平移
个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[﹣
，
]上的最小值．
17．（12 分）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB 边
所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G 是
的中点．
（Ⅰ）设P 是
上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP 的大小；
（Ⅱ）当AB=3，AD=2 时，求二面角E
AG
C
﹣
﹣的大小．
18．
（12 分）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影
响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，
另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价
两种心理暗示的作用，现有6 名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4 名女志愿者B1，
B2，B3，B4，从中随机抽取5 人接受甲种心理暗示，另5 人接受乙种心理暗示．
（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率．
（Ⅱ）用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列与数学期望EX．
19．（12 分）已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3
x
﹣2=2．
（Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；
（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P1（x1，1），P2（x2，2）…Pn+1（xn+1，
n+1）得到折线P1 P2…Pn+1，求由该折线与直线y=0，x=x1，x=xn+1所围成的区域的面
积Tn．
20．（13 分）已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=ex（cosx
sinx
﹣
+2x
2
﹣），其中
第4页（共23页）
e≈2.17828…是自然对数的底数．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；
（Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值
时求出极值．
21．（14 分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E：
=1（a＞b＞0）的离心率为
，焦距为2．
（Ⅰ）求椭圆E 的方程．
（Ⅱ）如图，该直线l：y=k1x﹣
交椭圆E 于A，B 两点，C 是椭圆E 上的一点，直线
OC 的斜率为k2，且看k1k2=
，M 是线段OC 延长线上一点，且|MC|：|AB|=2：3，
⊙M 的半径为|MC|，OS，OT 是⊙M 的两条切线，切点分别为S，T，求∠SOT 的最
大值，并求取得最大值时直线l 的斜率．
第5页（共23页）
2017 年山东省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分，在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符号题目要求的.
1．（5 分）（2017•山东）设函数y=
的定义域为A，函数y=ln（1
x
﹣）的定义域
为B，则A∩B=（ ）
A．（1，2）B．（1，2] C．（﹣2，1）D．[
2
﹣，1）
【解答】解：由4
x
﹣2≥0，解得：﹣2≤x≤2，则函数y=
的定义域[
2
﹣，2]，
由对数函数的定义域可知：1
x
﹣＞0，解得：x＜1，则函数y=ln（1
x
﹣）的定义域（﹣
∞，1），
则A∩B=[
2
﹣，1），
故选D．
2．（5 分）（2017•山东）已知a∈R，i 是虚数单位，若z=a+
i，z• =4，则a=（ ）
A．1 或﹣1 B．
或﹣
C．﹣
D．
【解答】解：由z=a+
i，则z 的共轭复数=a﹣
i，
由z• =（a+
i）（a﹣
i）=a2+3=4，则a2=1，解得：a=±1，
∴a 的值为1 或﹣1，
故选A．
3．（5 分）（2017•山东）已知命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0；命题q：若a＞b，则a2＞
b2，下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q
【解答】解：命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0，则命题p 为真命题，则￢p 为假命题；
取a=
1
﹣，b=
2
﹣，a＞b，但a2＜b2，则命题q 是假命题，则￢q 是真命题．
∴p∧q 是假命题，p∧￢q 是真命题，￢p∧q 是假命题，￢p∧￢q 是假命题．
第6页（共23页）
故选B．
4．
（5 分）
（2017•山东）已知x，y 满足约束条件
，则z=x+2y 的最大值是
（ ）
A．0B．2C．5D．6
【解答】解：画出约束条件
表示的平面区域，如图所示；
由
解得A（﹣3，4），
此时直线y=﹣
x+
z 在y 轴上的截距最大，
所以目标函数z=x+2y 的最大值为
zmax=
3
﹣+2×4=5．
故选：C．
5．（5 分）（2017•山东）为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：
厘米）的关系，从该班随机抽取10 名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与
x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为= x+ ，已知
xi=225，
第7页（共23页）
yi=1600，=4，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（ ）
A．160 B．163 C．166 D．170
【解答】解：由线性回归方程为=4x+ ，
则=
xi=22.5，=
yi=160，
则数据的样本中心点（22.5，160），
由回归直线方程样本中心点，则=
4x=160
4
﹣
﹣×22.5=70，
∴回归直线方程为=4x+70，
当x=24 时，=4×24+70=166，
则估计其身高为166，
故选C．
6．（5 分）（2017•山东）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x 值为7，
第二次输入的x 值为9，则第一次，第二次输出的a 值分别为（ ）
第8页（共23页）
A．0，0 B．1，1 C．0，1 D．1，0
【解答】解：当输入的x 值为7 时，
第一次，不满足b2＞x，也不满足x 能被b 整数，故b=3；
第二次，满足b2＞x，故输出a=1；
当输入的x 值为9 时，
第一次，不满足b2＞x，也不满足x 能被b 整数，故b=3；
第二次，不满足b2＞x，满足x 能被b 整数，故输出a=0；
故选：D
7．（5 分）（2017•山东）若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（ ）
A．a+
＜
＜log2（a+b））B．
＜log2（a+b）＜a+
C．a+
＜log2（a+b）＜
D．log2（a+b））＜a+
＜
【解答】解：∵a＞b＞0，且ab=1，
∴可取a=2，b=
．
则
=4，
=
=
，log2（a+b）=
=
∈（1，2），
∴
＜log2（a+b）＜a+
．
故选：B．
8．（5 分）（2017•山东）从分别标有1，2，…，9 的9 张卡片中不放回地随机抽取2
次，每次抽取1 张，则抽到在2 张卡片上的数奇偶性不同的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：从分别标有1，2，…，9 的9 张卡片中不放回地随机抽取2 次，共有
=36 种不同情况，
且这些情况是等可能发生的，
第9页（共23页）
抽到在2 张卡片上的数奇偶性不同的情况有
=20 种，
故抽到在2 张卡片上的数奇偶性不同的概率P=
=
，
故选：C．
9．（5 分）（2017•山东）在ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若△ABC 为锐
角三角形，且满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（
）
A．a=2b B．b=2a C．A=2B D．B=2A
【解答】解：在ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，满足sinB（1+2cosC）
=2sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sin（A+C）=sinAcosC+sinB，
可得：2sinBcosC=sinAcosC，因为△ABC 为锐角三角形，所以2sinB=sinA，
由正弦定理可得：2b=a．
故选：A．
10．（5 分）（2017•山东）已知当x∈[0，1]时，函数y=（mx
1
﹣）2 的图象与y=
+m
的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（ ）
A．（0，1]∪[2
，+∞）B．
（0，1]∪[3，+∞）C．（0，
）∪[2
，+∞）D．（0，
]∪[3，+∞）
【解答】解：根据题意，由于m 为正数，y=（mx
1
﹣）2 为二次函数，在区间（0，）为
减函数，（
，+∞）为增函数，
函数y=
+m 为增函数，
分2 种情况讨论：
①、当0＜m≤1 时，有
≥1，
在区间[0，1]上，y=（mx
1
﹣）2 为减函数，且其值域为[（m
1
﹣）2，1]，
函数y=
+m 为增函数，其值域为[m，1+m]，
此时两个函数的图象有1 个交点，符合题意；
第10页（共23页）
②、当m＞1 时，有
＜1，
y=（mx
1
﹣）2 在区间（0，
）为减函数，（
，1）为增函数，
函数y=
+m 为增函数，其值域为[m，1+m]，
若两个函数的图象有1 个交点，则有（m
1
﹣）2≥1+m，
解可得m≤0 或m≥3，
又由m 为正数，则m≥3；
综合可得：m 的取值范围是（0，1]∪[3，+∞）；
故选：B．
二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共25 分
11．（5 分）（2017•山东）已知（1+3x）n的展开式中含有x2的系数是54，则n=
4
．
【解答】解：（1+3x）n的展开式中通项公式：Tr+1=
（3x）r=3r
xr．
∵含有x2的系数是54，∴r=2．
∴
=54，可得
=6，∴
=6，n∈N*．
解得n=4．
故答案为：4．
12．（5 分）（2017•山东）已知
，
是互相垂直的单位向量，若
﹣
与
+λ
的夹角为60°，则实数λ 的值是
．
【解答】解：
，
是互相垂直的单位向量，
∴|
|=|
|=1，且
•
=0；
又
﹣
与
+λ
的夹角为60°，
第11页（共23页）
∴（
﹣
）•（
+λ
）=|
﹣
|×|
+λ
|×cos60°，
即
+ （
﹣1 ）
•
﹣λ
=
×
×
，
化简得
﹣λ=
×
×
，
即
﹣λ=
，
解得λ=
．
故答案为：
．
13．（5 分）（2017•山东）由一个长方体和两个
圆柱体构成的几何体的三视图如
图，则该几何体的体积为
2 +
．
【解答】解：由长方体长为2，宽为1，高为1，则长方体的体积V1=2×1×1=2，
圆柱的底面半径为1，高为1，则圆柱的体积V2=
×π×12×1=
，
则该几何体的体积V=V1+2V1=2+
，
故答案为：2+
．
第12页（共23页）
14．（5 分）（2017•山东）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线
=1（a＞0，b＞
0）的右支与焦点为F 的抛物线x2=2py（p＞0）交于A，B 两点，若|AF|+|BF|=4|
OF|，则该双曲线的渐近线方程为
y=
±
x
．
【解答】解：把x2=2py（p＞0）代入双曲线
=1（a＞0，b＞0），
可得：a2y2
2pb
﹣
2y+a2b2=0，
∴yA+yB=
，
∵|AF|+|BF|=4|OF|，∴yA+yB+2×
=4×
，
∴
=p，
∴
=
．
∴该双曲线的渐近线方程为：y=±
x．
故答案为：y=±
x．
15．（5 分）（2017•山东）若函数exf（x）（e≈2.71828…是自然对数的底数）在f（x）
的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M 性质．下列函数中所有具有M 性质
的函数的序号为
①④
．
①f（x）=2
x
﹣②f（x）=3
x
﹣③f（x）=x3④f（x）=x2+2．
【解答】解：对于①，f（x）=2
x
﹣，则g（x）=exf（x）=
为实数集上的增函
数；
对于②，f（x）=3
x
﹣，则g（x）=exf（x）=
为实数集上的减函数；
第13页（共23页）
对于③，f（x）=x3，则g（x）=exf（x）=ex•x3，
g′（x）=ex•x3+3ex•x2=ex（x3+3x2）=ex•x2（x+3），当x＜﹣3 时，g′（x）＜0，
∴g（x）=exf（x）在定义域R 上先减后增；
对于④，f（x）=x2+2，则g（x）=exf（x）=ex（x2+2），
g′（x）=ex（x2+2）+2xex=ex（x2+2x+2）＞0 在实数集R 上恒成立，
∴g（x）=exf（x）在定义域R 上是增函数．
∴具有M 性质的函数的序号为①④．
故答案为：①④．
三、解答题（共6 小题，满分75 分）
16．（12 分）（2017•山东）设函数f（x）=sin（ωx﹣
）+sin（ωx﹣
），其中0＜ω＜
3，已知f（
）=0．
（Ⅰ）求ω；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2 倍（纵坐标不变），再
将得到的图象向左平移
个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[﹣
，
]上的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（ωx﹣
）+sin（ωx﹣
）
=sinωxcos
cosωxsin
﹣
sin
﹣
（
﹣ωx）
=
sinωx﹣
cosωx
=
sin（ωx﹣
），
又f（
）=
sin（
ω﹣
）=0，
∴
ω﹣
=kπ，k∈Z，
第14页（共23页）
解得ω=6k+2，
又0＜ω＜3，
∴ω=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=
sin（2x﹣
），
将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2 倍（纵坐标不变），得到函
数y=
sin（x﹣
）的图象；
再将得到的图象向左平移
个单位，得到y=
sin（x+
﹣
）的图象，
∴函数y=g（x）=
sin（x﹣
）；
当x∈[﹣
，
]时，x﹣
∈[﹣
，
]，
∴sin（x﹣
）∈[﹣
，1]，
∴当x=﹣
时，g（x）取得最小值是﹣
×
=﹣
．
17．（12 分）（2017•山东）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其
内部）以AB 边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G 是
的中点．
（Ⅰ）设P 是
上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP 的大小；
（Ⅱ）当AB=3，AD=2 时，求二面角E
AG
C
﹣
﹣的大小．
【解答】解：（Ⅰ）∵AP⊥BE，AB⊥BE，且AB，AP⊂平面ABP，AB∩AP=A，
∴BE⊥平面ABP，又BP⊂平面ABP，
∴BE⊥BP，又∠EBC=120°，
因此∠CBP=30°；
第15页（共23页）
（Ⅱ）解法一、
取
的中点H，连接EH，GH，CH，
∵∠EBC=120°，∴四边形BECH 为菱形，
∴AE=GE=AC=GC=
．
取AG 中点M，连接EM，CM，EC，
则EM⊥AG，CM⊥AG，
∴∠EMC 为所求二面角的平面角．
又AM=1，∴EM=CM=
．
在△BEC 中，由于∠EBC=120°，
由余弦定理得：EC2=22+22
2
﹣×2×2×cos120°=12，
∴
，因此△EMC 为等边三角形，
故所求的角为60°．
解法二、以B 为坐标原点，分别以BE，BP，BA 所在直线为x，y，z 轴建立空间直角
坐标系．
由题意得：A（0，0，3），E（2，0，0），G（1，
，3），C（﹣1，
，0），
故
，
，
．
设
为平面AEG 的一个法向量，
由
，得
，取z1=2，得
；
设
为平面ACG 的一个法向量，
由
，可得
，取z2=
2
﹣，得
．
∴cos＜
＞=
．
∴二面角E
AG
C
﹣
﹣的大小为60°．
第16页（共23页）
18．（12 分）（2017•山东）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理
暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受
甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示
后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6 名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和
4 名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5 人接受甲种心理暗示，另5 人接受乙
种心理暗示．
（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率．
（Ⅱ）用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列与数学期望EX．
【解答】解：（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，
则P（M）=
=
．
（II）X 的可能取值为：0，1，2，3，4，
∴P（X=0）=
=
，
P（X=1）=
=
，
第17页（共23页）
P（X=2）=
=
，
P（X=3）=
=
，
P（X=4）=
=
．
∴X 的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
X 的数学期望EX=0×
+1×
+2×
+3×
+4×
=2．
19．（12 分）（2017•山东）已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3﹣
x2=2．
（Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；
（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P1（x1，1），P2（x2，2）…Pn+1（xn+1，
n+1）得到折线P1 P2…Pn+1，求由该折线与直线y=0，x=x1，x=xn+1所围成的区域的面
积Tn．
【解答】解：（I）设数列{xn}的公比为q，则q＞0，
由题意得
，
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两式相比得：
，解得q=2 或q=﹣
（舍），
∴x1=1，
∴xn=2n
1
﹣．
（II）过P1，P2，P3，…，Pn向x 轴作垂线，垂足为Q1，Q2，Q3，…，Qn，
即梯形PnPn+1Qn+1Qn的面积为bn，
则bn=
=（2n+1）×2n
2
﹣，
∴Tn=3×2
1
﹣+5×20+7×21+…+（2n+1）×2n
2
﹣，①
∴2Tn=3×20+5×21+7×22+…+（2n+1）×2n
1
﹣，②
①﹣②得：﹣Tn=
+（2+22+…+2n
1
﹣）﹣（2n+1）×2n
1
﹣
=
+
﹣（2n+1）×2n
1
﹣=﹣
+（1
2n
﹣
）×2n
1
﹣．
∴Tn=
．
20．（13 分）（2017•山东）已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=ex（cosx
sinx
﹣
+2x
2
﹣），
其中e≈2.17828…是自然对数的底数．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；
（Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值
时求出极值．
【解答】解：（I）f（π）=π2
2
﹣．f′（x）=2x
2sinx
﹣
，∴f′（π）=2π．
∴曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程为：y﹣（π2
2
﹣）=2π（x
π
﹣）．
化为：2πx
y
π
﹣﹣
2
2=0
﹣
．
（II）h（x）=g （x）﹣a f（x）=ex（cosx
sinx
﹣
+2x
2
﹣）﹣a（x2+2cosx）
h′（x）=ex（cosx
sinx
﹣
+2x
2
﹣）+ex（﹣sinx
cosx
﹣
+2）﹣a（2x
2sinx
﹣
）
=2（x
sinx
﹣
）（ex
a
﹣）=2（x
sinx
﹣
）（ex
e
﹣
lna）．
令u（x）=x
sinx
﹣
，则u′（x）=1
cosx
﹣
≥0，∴函数u（x）在R 上单调递增．
∵u（0）=0，∴x＞0 时，u（x）＞0；x＜0 时，u（x）＜0．
（1）a≤0 时，ex
a
﹣＞0，∴x＞0 时，h′（x）＞0，函数h（x）在（0，+∞）单调递增；
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x＜0 时，h′（x）＜0，函数h（x）在（﹣∞，0）单调递减．
∴x=0 时，函数h（x）取得极小值，h（0）=
1
2a
﹣﹣
．
（2）a＞0 时，令h′（x）=2（x
sinx
﹣
）（ex
e
﹣
lna）=0．
解得x1=lna，x2=0．
①0＜a＜1 时，x∈（﹣∞，lna）时，ex
e
﹣
lna＜0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；
x∈（lna，0）时，ex
e
﹣
lna＞0，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减；
x∈（0，+∞）时，ex
e
﹣
lna＞0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．
∴当x=0 时，函数h（x）取得极小值，h（0）=
2a
1
﹣
﹣．
当x=lna 时，函数h（x）取得极大值，h（lna）=
a
﹣[ln2a
2lna
﹣
+sin（lna）+cos（lna）
+2]．
②当a=1 时，lna=0，x∈R 时，h′（x）≥0，∴函数h（x）在R 上单调递增．
③1＜a 时，lna＞0，x∈（﹣∞，0）时，ex
e
﹣
lna＜0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；
x∈（0，lna）时，ex
e
﹣
lna＜0，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减；
x∈（lna，+∞）时，ex
e
﹣
lna＞0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．
∴当x=0 时，函数h（x）取得极大值，h（0）=
2a
1
﹣
﹣．
当x=lna 时，函数h（x）取得极小值，h（lna）=
a
﹣[ln2a
2lna
﹣
+sin（lna）+cos（lna）
+2]．
综上所述：a≤0 时，函数h（x）在（0，+∞）单调递增；x＜0 时，函数h（x）在（﹣∞，
0）单调递减．
x=0 时，函数h（x）取得极小值，h（0）=
1
2a
﹣﹣
．
0＜a＜1 时，函数h（x）在x∈（﹣∞，lna）是单调递增；函数h（x）在x∈（lna，0）上单
调递减．当x=0 时，函数h（x）取得极小值，h（0）=
2a
1
﹣
﹣．当x=lna 时，函数h（x）
取得极大值，h（lna）=
a
﹣[ln2a
2lna
﹣
+sin（lna）+cos（lna）+2]．
当a=1 时，lna=0，函数h（x）在R 上单调递增．
a＞1 时，函数h（x）在（﹣∞，0），（lna，+∞）上单调递增；函数h（x）在（0，lna）上
单调递减．当x=0 时，函数h（x）取得极大值，h（0）=
2a
1
﹣
﹣．当x=lna 时，函数h
（x）取得极小值，h（lna）=
a
﹣[ln2a
2lna
﹣
+sin（lna）+ cos（lna）+2]．
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21．（14 分）
（2017•山东）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E：
=1（a＞b＞0）
的离心率为
，焦距为2．
（Ⅰ）求椭圆E 的方程．
（Ⅱ）如图，该直线l：y=k1x﹣
交椭圆E 于A，B 两点，C 是椭圆E 上的一点，直线
OC 的斜率为k2，且看k1k2=
，M 是线段OC 延长线上一点，且|MC|：|AB|=2：3，
⊙M 的半径为|MC|，OS，OT 是⊙M 的两条切线，切点分别为S，T，求∠SOT 的最
大值，并求取得最大值时直线l 的斜率．
【解答】解：（Ⅰ）由题意知，
，解得a=
，b=1．
∴椭圆E 的方程为
；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立
，得
．
由题意得△=
＞0．
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，
．
∴|AB|=
．
由题意可知圆M 的半径r 为
r=
．
由题意设知，
，∴
．
因此直线OC 的方程为
．
联立
，得
．
因此，|OC|=
．
由题意可知，sin
=
．
而
=
．
令t=
，则t＞1，
∈（0，1），
因此，
=
≥1．
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当且仅当
，即t=2 时等式成立，此时
．
∴
，因此
．
∴∠SOT 的最大值为
．
综上所述：∠SOT 的最大值为
，取得最大值时直线l 的斜率为
．
第23页（共23页）
