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2017 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
1．（5 分）已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，则A∩B 中元素的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．（5 分）复平面内表示复数z=i（﹣2+i）的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．（5 分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014 年1 月至
2016 年12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是（ ）
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8 月
D．各年1 月至6 月的月接待游客量相对于7 月至12 月，波动性更小，变化比较平稳
4．（5 分）已知sinα
cosα=
﹣
，则sin2α=（ ）
A．﹣
B．﹣
C．
D．
5．（5 分）设x，y 满足约束条件
则z=x
y
﹣的取值范围是（ ）
A．[
3
﹣，0]
B．[
3
﹣，2]
C．[0，2]
D．[0，3]
6．（5 分）函数f（x）=
sin（x+
）+cos（x﹣
）的最大值为（ ）
A．
B．1
C．
D．
7．（5 分）函数y=1+x+
的部分图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（5 分）执行如图的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（ ）
第1页（共16页）
A．5
B．4
C．3
D．2
9．（5 分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体
积为（ ）
A．π
B．
C．
D．
10．（5 分）在正方体ABCD
A
﹣
1B1C1D1中，E 为棱CD 的中点，则（ ）
A．A1E⊥DC1
B．A1E⊥BD
C．A1E⊥BC1
D．A1E⊥AC
11．
（5 分）已知椭圆C：
=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与
直线bx
ay
﹣
+2ab=0 相切，则C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（5 分）已知函数f（x）=x2
2x
﹣
+a（ex
1
﹣+e
x
﹣+1）有唯一零点，则a=（ ）
A．﹣
B．
C．
D．1
二、填空题
13．（5 分）已知向量=（﹣2，3），=（3，m），且
，则m= ．
14．（5 分）双曲线
（a＞0）的一条渐近线方程为y=
x，则a= ．
15．（5 分）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知C=60°，b=
，c=3，则A= ．
16．（5 分）设函数f（x）=
，则满足f（x）+f（x﹣
）＞1 的x 的取值范围是 ．
三、解答题
17．（12 分）设数列{an}满足a1+3a2+…+（2n
1
﹣）an=2n．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{
}的前n 项和．
18．（12 分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4 元，售价每瓶6 元，未
售出的酸奶降价处理，以每瓶2 元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当
天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500 瓶；如果最高气温位于区间
[20，25），需求量为300 瓶；如果最高气温低于20，需求量为200 瓶．为了确定六月份的订购计划，
统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300 瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450 瓶时，
写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率．
第2页（共16页）
19．（12 分）如图四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD=CD．
（1）证明：AC⊥BD；
（2）已知△ACD 是直角三角形，AB=BD，若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE
与四面体ACDE 的体积比．
20．
（12 分）在直角坐标系xOy 中，曲线y=x2+mx
2
﹣与x 轴交于A、B 两点，点C 的坐标为（0，1），当m
变化时，解答下列问题：
（1）能否出现AC⊥BC 的情况？说明理由；
（2）证明过A、B、C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．
21．（12 分）已知函数f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当a＜0 时，证明f（x）≤﹣
﹣2．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10 分）在直角坐标系xOy 中，直线l1的参数方程为
，（t 为参数），直线l2的参数方程为
，（m 为参数）．设l1与l2的交点为P，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C．
（1）写出C 的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（cosθ+sinθ）﹣
=0，M 为l3与C 的
交点，求M 的极径．
第3页（共16页）
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x
2
﹣|．
（1）求不等式f（x）≥1 的解集；
（2）若不等式f（x）≥x2
x
﹣+m 的解集非空，求m 的取值范围．
第4页（共16页）
2017 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
1．（5 分）已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，则A∩B 中元素的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．
【分析】利用交集定义先求出A∩B，由此能求出A∩B 中元素的个数．
【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，
∴A∩B={2，4}，
∴A∩B 中元素的个数为2．
故选：B．
【点评】本题考查交集中元素个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．
2．（5 分）复平面内表示复数z=i（﹣2+i）的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；5N：数系的扩充和复数．
【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
【解答】解：z=i（﹣2+i）=
2i
1
﹣﹣对应的点（﹣1，﹣2）位于第三象限．
故选：C．
【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．（5 分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014 年1 月至
2016 年12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是（ ）
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8 月
D．各年1 月至6 月的月接待游客量相对于7 月至12 月，波动性更小，变化比较平稳
【考点】2K：命题的真假判断与应用；B9：频率分布折线图、密度曲线．菁优网版权所有
【专题】27：图表型；2A：探究型；5I：概率与统计．
【分析】根据已知中2014 年1 月至2016 年12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，逐一分析
给定四个结论的正误，可得答案．
【解答】解：由已有中2014 年1 月至2016 年12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据可得：
月接待游客量逐月有增有减，故A 错误；
年接待游客量逐年增加，故B 正确；
各年的月接待游客量高峰期大致在7，8 月，故C 正确；
各年1 月至6 月的月接待游客量相对于7 月至12 月，波动性更小，变化比较平稳，故D 正确；
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是数据的分析，命题的真假判断与应用，难度不大，属于基础题．
4．（5 分）已知sinα
cosα=
﹣
，则sin2α=（ ）
第5页（共16页）
A．﹣
B．﹣
C．
D．
【考点】GS：二倍角的三角函数．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；56：三角函数的求值．
【分析】由条件，两边平方，根据二倍角公式和平方关系即可求出．
【解答】解：∵sinα
cosα=
﹣
，
∴（sinα
cosα
﹣
）2=1
2sinαcosα=1
sin2α=
﹣
﹣
，
∴sin2α=﹣
，
故选：A．
【点评】本题考查了二倍角公式，属于基础题．
5．（5 分）设x，y 满足约束条件
则z=x
y
﹣的取值范围是（ ）
A．[
3
﹣，0]
B．[
3
﹣，2]
C．[0，2]
D．[0，3]
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；5T：不等式．
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的范围即可．
【解答】解：x，y 满足约束条件
的可行域如图：
目标函数z=x
y
﹣，经过可行域的A，B 时，目标函数取得最值，
由
解得A（0，3），
由
解得B（2，0），
目标函数的最大值为：2，最小值为：﹣3，
目标函数的取值范围：[
3
﹣，2]．
故选：B．
【点评】本题考查线性规划的简单应用，目标函数的最优解以及可行域的作法是解题的关键．
6．（5 分）函数f（x）=
sin（x+
）+cos（x﹣
）的最大值为（ ）
A．
B．1
C．
D．
【考点】HW：三角函数的最值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图像与性质．
【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，通过正弦函数的最值求解即可．
【解答】解：函数f（x）=
sin（x+
）+cos（x﹣
）=
sin（x+
）+cos（﹣x+
）=
sin（x+
）+sin（x+
）
=
sin（x+
）
．
故选：A．
【点评】本题考查诱导公式的应用，三角函数的最值，正弦函数的有界性，考查计算能力．
第6页（共16页）
7．（5 分）函数y=1+x+
的部分图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】3A：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；51：函数的性质及应用．
【分析】通过函数的解析式，利用函数的奇偶性的性质，函数的图象经过的特殊点判断函数的图象即
可．
【解答】解：函数y=1+x+
，可知：f（x）=x+
是奇函数，所以函数的图象关于原点对称，
则函数y=1+x+
的图象关于（0，1）对称，
当x→0+，f（x）＞0，排除A、C，当x=π 时，y=1+π，排除B．
故选：D．
【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊点是常用方法．
8．（5 分）执行如图的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（ ）
第7页（共16页）
A．5
B．4
C．3
D．2
【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；39：运动思想；49：综合法；5K：算法和程序框图．
【分析】通过模拟程序，可得到S 的取值情况，进而可得结论．
【解答】解：由题可知初始值t=1，M=100，S=0，
要使输出S 的值小于91，应满足“t≤N”，
则进入循环体，从而S=100，M=
10
﹣
，t=2，
要使输出S 的值小于91，应接着满足“t≤N”，
则进入循环体，从而S=90，M=1，t=3，
要使输出S 的值小于91，应不满足“t≤N”，跳出循环体，
此时N 的最小值为2，
故选：D．
【点评】本题考查程序框图，判断出什么时候跳出循环体是解决本题的关键，注意解题方法的积累，
属于中档题．
9．（5 分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体
积为（ ）
A．π
B．
C．
D．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LR：球内接多面体．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5Q：立体几何．
【分析】推导出该圆柱底面圆周半径r=
=
，由此能求出该圆柱的体积．
【解答】解：∵圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2 的同一个球的球面上，
∴该圆柱底面圆周半径r=
=
，
∴该圆柱的体积：V=Sh=
=
．
故选：B．
【点评】本题考查面圆柱的体积的求法，考查圆柱、球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、
空间想象能力，考查化归与转化思想，是中档题．
10．（5 分）在正方体ABCD
A
﹣
1B1C1D1中，E 为棱CD 的中点，则（ ）
A．A1E⊥DC1
B．A1E⊥BD
C．A1E⊥BC1
D．A1E⊥AC
【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角．
【分析】法一：连B1C，推导出BC1⊥B1C，A1B1⊥BC1，从而BC1⊥平面A1ECB1，由此得到A1E⊥BC1．
法二：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果
【解答】解：法一：连B1C，由题意得BC1⊥B1C，
∵A1B1⊥平面B1BCC1，且BC1⊂平面B1BCC1，
第8页（共16页）
∴A1B1⊥BC1，
∵A1B1∩B1C=B1，
∴BC1⊥平面A1ECB1，
∵A1E⊂平面A1ECB1，
∴A1E⊥BC1．
故选：C．
法二：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD1为z 轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD
A
﹣
1B1C1D1中棱长为2，
则A1（2，0，2），E（0，1，0），B（2，2，0），D（0，0，0），C1（0，2，2），A（2，0，0），C（0，2，0），
=（﹣2，1，﹣2），
=（0，2，2），
=（﹣2，﹣2，0），
=（﹣2，0，2），
=（﹣2，2，0），
∵
•
=
2
﹣，
=2，
=0，
=6，
∴A1E⊥BC1．
故选：C．
【点评】本题考查线线垂直的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
11．
（5 分）已知椭圆C：
=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与
直线bx
ay
﹣
+2ab=0 相切，则C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；5B：直线与圆；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】以线段A1A2为直径的圆与直线bx
ay
﹣
+2ab=0 相切，可得原点到直线的距离
=a，化简
即可得出．
【解答】解：以线段A1A2为直径的圆与直线bx
ay
﹣
+2ab=0 相切，
∴原点到直线的距离
=a，化为：a2=3b2．
∴椭圆C 的离心率e=
=
=
．
故选：A．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了
推理能力与计算能力，属于中档题．
12．（5 分）已知函数f（x）=x2
2x
﹣
+a（ex
1
﹣+e
x
﹣+1）有唯一零点，则a=（ ）
A．﹣
B．
C．
D．1
【考点】52：函数零点的判定定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．
【分析】通过转化可知问题等价于函数y=1﹣（x
1
﹣）2的图象与y=a（ex
1
﹣+
）的图象只有一个交点
求a 的值．分a=0、a＜0、a＞0 三种情况，结合函数的单调性分析可得结论．
【解答】解：因为f（x）=x2
2x
﹣
+a（ex
1
﹣+e
x
﹣+1）=
1
﹣+（x
1
﹣）2+a（ex
1
﹣+
）=0，
所以函数f（x）有唯一零点等价于方程1﹣（x
1
﹣）2=a（ex
1
﹣+
）有唯一解，
第9页（共16页）
等价于函数y=1﹣（x
1
﹣）2的图象与y=a（ex
1
﹣+
）的图象只有一个交点．
①当a=0 时，f（x）=x2
2x
﹣
≥﹣1，此时有两个零点，矛盾；
②当a＜0 时，由于y=1﹣（x
1
﹣）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，
且y=a（ex
1
﹣+
）在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，
所以函数y=1﹣（x
1
﹣）2的图象的最高点为A（1，1），y=a（ex
1
﹣+
）的图象的最高点为B（1，2a），
由于2a＜0＜1，此时函数y=1﹣（x
1
﹣）2的图象与y=a（ex
1
﹣+
）的图象有两个交点，矛盾；
③当a＞0 时，由于y=1﹣（x
1
﹣）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，
且y=a（ex
1
﹣+
）在（﹣∞，1）上递减、在（1，+∞）上递增，
所以函数y=1﹣（x
1
﹣）2的图象的最高点为A（1，1），y=a（ex
1
﹣+
）的图象的最低点为B（1，2a），
由题可知点A 与点B 重合时满足条件，即2a=1，即a=
，符合条件；
综上所述，a=
，
故选：C．
【点评】本题考查函数零点的判定定理，考查函数的单调性，考查运算求解能力，考查数形结合能力，
考查转化与化归思想，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于难题．
二、填空题
13．（5 分）已知向量=（﹣2，3），=（3，m），且
，则m=
2
．
【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用．
【分析】利用平面向量数量积坐标运算法则和向量垂直的性质求解．
【解答】解：∵向量=（﹣2，3），=（3，m），且
，
∴
=
6
﹣+3m=0，
解得m=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量数量积坐标运算法则
和向量垂直的性质的合理运用．
14．（5 分）双曲线
（a＞0）的一条渐近线方程为y=
x，则a=
5
．
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用双曲线方程，求出渐近线方程，求解a 即可．
【解答】解：双曲线
（a＞0）的一条渐近线方程为y=
x，
可得
，解得a=5．
故答案为：5．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
15．（5 分）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知C=60°，b=
，c=3，则A=
75°
．
【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；58：解三角形．
【分析】根据正弦定理和三角形的内角和计算即可
【解答】解：根据正弦定理可得
=
，C=60°，b=
，c=3，
∴sinB=
=
，
第10页（共16页）
∵b＜c，
∴B=45°，
∴A=180°
B
C=180°
45°
60°=75°
﹣﹣
﹣
﹣
，
故答案为：75°．
【点评】本题考查了三角形的内角和以及正弦定理，属于基础题
16．（5 分）设函数f（x）=
，则满足f（x）+f（x﹣
）＞1 的x 的取值范围是 （
，
+ ∞
）
．
【考点】3T：函数的值．菁优网版权所有
【专题】32：分类讨论；4R：转化法；51：函数的性质及应用．
【分析】根据分段函数的表达式，分别讨论x 的取值范围，进行求解即可．
【解答】解：若x≤0，则x﹣
≤﹣
，
则f（x）+f（x﹣
）＞1 等价为x+1+x﹣
+1＞1，即2x＞﹣
，则x＞
，
此时
＜x≤0，
当x＞0 时，f（x）=2x＞1，x﹣
＞﹣
，
当x﹣
＞0 即x＞
时，满足f（x）+f（x﹣
）＞1 恒成立，
当0≥x﹣
＞﹣
，即
≥x＞0 时，f（x﹣
）=x﹣
+1=x+
，
此时f（x）+f（x﹣
）＞1 恒成立，
综上x＞
，
故答案为：（
，+∞）．
【点评】本题主要考查不等式的求解，结合分段函数的不等式，利用分类讨论的数学思想进行求解是
解决本题的关键．
三、解答题
17．（12 分）设数列{an}满足a1+3a2+…+（2n
1
﹣）an=2n．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{
}的前n 项和．
【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；35：转化思想；54：等差数列与等比数列．
【分析】（1）利用数列递推关系即可得出．
（2）
=
=
﹣
．利用裂项求和方法即可得出．
【解答】解：（1）数列{an}满足a1+3a2+…+（2n
1
﹣）an=2n．
n≥2 时，a1+3a2+…+（2n
3
﹣）an
1
﹣=2（n
1
﹣）．
∴（2n
1
﹣）an=2．∴an=
．
当n=1 时，a1=2，上式也成立．
∴an=
．
（2）
=
=
﹣
．
∴数列{
}的前n 项和=
+
+…+
=1﹣
=
．
【点评】本题考查了数列递推关系、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．（12 分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4 元，售价每瓶6 元，未
售出的酸奶降价处理，以每瓶2 元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当
天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500 瓶；如果最高气温位于区间
[20，25），需求量为300 瓶；如果最高气温低于20，需求量为200 瓶．为了确定六月份的订购计划，
第11页（共16页）
统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300 瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450 瓶时，
写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率．
【考点】CB：古典概型及其概率计算公式；CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．
【分析】（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于
20 的天数，由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过300 瓶的概率．
（2）当温度大于等于25°C 时，需求量为500，求出Y=900 元；当温度在[20，25）°C 时，需求量为300，
求出Y=300 元；当温度低于20°C 时，需求量为200，求出Y=
100
﹣
元，从而当温度大于等于20 时，
Y＞0，由此能估计估计Y 大于零的概率．
【解答】解：（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，
得到最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20 的天数为2+16+36=54，
根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．
如果最高气温不低于25，需求量为500 瓶，
如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300 瓶，
如果最高气温低于20，需求量为200 瓶，
∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过300 瓶的概率p=
=
．
（2）当温度大于等于25°C 时，需求量为500，
Y=450×2=900 元，
当温度在[20，25）°C 时，需求量为300，
Y=300×2﹣（450
300
﹣
）×2=300 元，
当温度低于20°C 时，需求量为200，
Y=400﹣（450
200
﹣
）×2=
100
﹣
元，
当温度大于等于20 时，Y＞0，
由前三年六月份各天的最高气温数据，得当温度大于等于20°C 的天数有：
90﹣（2+16）=72，
∴估计Y 大于零的概率P=
．
【点评】本题考查概率的求法，考查利润的所有可能取值的求法，考查函数、古典概型等基础知识，考
查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题
19．（12 分）如图四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD=CD．
（1）证明：AC⊥BD；
（2）已知△ACD 是直角三角形，AB=BD，若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE
与四面体ACDE 的体积比．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】（1）取AC 中点O，连结DO、BO，推导出DO⊥AC，BO⊥AC，从而AC⊥平面BDO，由此能证明
AC⊥BD．
（2）法一：连结OE，设AD=CD=
，则OC=OA=1，由余弦定理求出BE=1，由BE=ED，四面体ABCE 与四
面体ACDE 的高都是点A 到平面BCD 的高h，S△DCE=S△BCE，由此能求出四面体ABCE 与四面体ACDE
的体积比．法二：设AD=CD=
，则AC=AB=BC=BD=2，AO=CO=DO=1，BO=
，推导出BO⊥DO，以O
为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OD 为z 轴，建立空间直角坐标系，由AE⊥EC，求出DE=BE，由此能
求出四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比．
【解答】证明：（1）取AC 中点O，连结DO、BO，
第12页（共16页）
∵△ABC 是正三角形，AD=CD，
∴DO⊥AC，BO⊥AC，
∵DO∩BO=O，∴AC⊥平面BDO，
∵BD⊂平面BDO，∴AC⊥BD．
解：（2）法一：连结OE，由（1）知AC⊥平面OBD，
∵OE⊂平面OBD，∴OE⊥AC，
设AD=CD=
，则OC=OA=1，EC=EA，
∵AE⊥CE，AC=2，∴EC2+EA2=AC2，
∴EC=EA=
=CD，
∴E 是线段AC 垂直平分线上的点，∴EC=EA=CD=
，
由余弦定理得：
cos∠CBD=
=
，
即
，解得BE=1 或BE=2，
∵BE＜＜BD=2，∴BE=1，∴BE=ED，
∵四面体ABCE 与四面体ACDE 的高都是点A 到平面BCD 的高h，
∵BE=ED，∴S△DCE=S△BCE，
∴四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比为1．
法二：设AD=CD=
，则AC=AB=BC=BD=2，AO=CO=DO=1，
∴BO=
=
，∴BO2+DO2=BD2，∴BO⊥DO，
以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OD 为z 轴，建立空间直角坐标系，
则C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0，
，0），A（1，0，0），
设E（a，b，c），
，（0≤λ≤1），则（a，b，c
1
﹣）=λ（0，
，﹣1），解得E（0，
，1
λ
﹣），
∴
=（1，
），
=（﹣1，
），
∵AE⊥EC，∴
=
1
﹣+3λ2+（1
λ
﹣）2=0，
由λ∈[0，1]，解得
，∴DE=BE，
∵四面体ABCE 与四面体ACDE 的高都是点A 到平面BCD 的高h，
∵DE=BE，∴S△DCE=S△BCE，
∴四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比为1．
【点评】本题考查线线垂直的证明，考查两个四面体的体积之比的求法，考查空间中线线、线面、面面
间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想
化归与转化思想，是中档题．
20．
（12 分）在直角坐标系xOy 中，曲线y=x2+mx
2
﹣与x 轴交于A、B 两点，点C 的坐标为（0，1），当m
变化时，解答下列问题：
（1）能否出现AC⊥BC 的情况？说明理由；
（2）证明过A、B、C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．
【考点】KJ：圆与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；43：待定系数法；5B：直线与圆．
【分析】（1）设曲线y=x2+mx
2
﹣与x 轴交于A（x1，0），B（x2，0），运用韦达定理，再假设AC⊥BC，运用
直线的斜率之积为﹣1，即可判断是否存在这样的情况；
（2）设过A、B、C 三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2
4F
﹣
＞0），由题意可得D=m，F=
2
﹣，代入
（0，1），可得E=1，再令x=0，即可得到圆在y 轴的交点，进而得到弦长为定值．
【解答】解：（1）曲线y=x2+mx
2
﹣与x 轴交于A、B 两点，
可设A（x1，0），B（x2，0），
第13页（共16页）
由韦达定理可得x1x2=
2
﹣，
若AC⊥BC，则kAC•kBC=
1
﹣，
即有
•
=
1
﹣，
即为x1x2=
1
﹣这与x1x2=
2
﹣矛盾，
故不出现AC⊥BC 的情况；
（2）证明：设过A、B、C 三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2
4F
﹣
＞0），
由题意可得y=0 时，x2+Dx+F=0 与x2+mx
2=0
﹣
等价，
可得D=m，F=
2
﹣，
圆的方程即为x2+y2+mx+Ey
2=0
﹣
，
由圆过C（0，1），可得0+1+0+E
2=0
﹣
，可得E=1，
则圆的方程即为x2+y2+mx+y
2=0
﹣
，
另解：设过A、B、C 三点的圆在y 轴上的交点为H（0，d），
则由相交弦定理可得|OA|•|OB|=|OC|•|OH|，
即有2=|OH|，
再令x=0，可得y2+y
2=0
﹣
，
解得y=1 或﹣2．
即有圆与y 轴的交点为（0，1），（0，﹣2），
则过A、B、C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值3．
【点评】本题考查直线与圆的方程的求法，注意运用韦达定理和直线的斜率公式，以及待定系数法，
考查方程思想和化简整理的运算能力，属于中档题．
21．（12 分）已知函数f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当a＜0 时，证明f（x）≤﹣
﹣2．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；32：分类讨论；48：分析法；53：导数的综合应用．
【分析】（1）题干求导可知f′（x）=
（x＞0），分a=0、a＞0、a＜0 三种情况讨论f′（x）与0
的大小关系可得结论；
（2）通过（1）可知f（x）max=f（﹣
）=
1
ln2
﹣﹣
﹣
+ln（﹣
），进而转化可知问题转化为证明：当t＞
0 时﹣
t+lnt≤﹣1+ln2．进而令g（t）=﹣
t+lnt，利用导数求出y=g（t）的最大值即可．
【解答】（1）解：因为f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x，
求导f′（x）=
+2ax+（2a+1）=
=
，（x＞0），
①当a=0 时，f′（x）=
+1＞0 恒成立，此时y=f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当a＞0，由于x＞0，所以（2ax+1）（x+1）＞0 恒成立，此时y=f（x）在（0，+∞）上单调递增；
③当a＜0 时，令f′（x）=0，解得：x=﹣
．
因为当x∈（0，﹣
）f′（x）＞0、当x∈（﹣
，+∞）f′（x）＜0，
所以y=f（x）在（0，﹣
）上单调递增、在（﹣
，+∞）上单调递减．
综上可知：当a≥0 时f（x）在（0，+∞）上单调递增，
当a＜0 时，f（x）在（0，﹣
）上单调递增、在（﹣
，+∞）上单调递减；
（2）证明：由（1）可知：当a＜0 时f（x）在（0，﹣
）上单调递增、在（﹣
，+∞）上单调递减，
所以当x=﹣
时函数y=f（x）取最大值f（x）max=f（﹣
）=
1
ln2
﹣﹣
﹣
+ln（﹣
）．
从而要证f（x）≤﹣
﹣2，即证f（﹣
）≤﹣
﹣2，
即证﹣1
ln2
﹣
﹣
+ln（﹣
）≤﹣
﹣2，即证﹣
（﹣
）+ln（﹣
）≤﹣1+ln2．
令t=﹣
，则t＞0，问题转化为证明：﹣
t+lnt≤﹣1+ln2．…（*）
第14页（共16页）
令g（t）=﹣
t+lnt，则g′（t）=﹣
+
，
令g′（t）=0 可知t=2，则当0＜t＜2 时g′（t）＞0，当t＞2 时g′（t）＜0，
所以y=g（t）在（0，2）上单调递增、在（2，+∞）上单调递减，
即g（t）≤g（2）=﹣
×2+ln2=
1
﹣+ln2，即（*）式成立，
所以当a＜0 时，f（x）≤﹣
﹣2 成立．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论的思想，考查转化能力，考查运算求解
能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10 分）在直角坐标系xOy 中，直线l1的参数方程为
，（t 为参数），直线l2的参数方程为
，（m 为参数）．设l1与l2的交点为P，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C．
（1）写出C 的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（cosθ+sinθ）﹣
=0，M 为l3与C 的
交点，求M 的极径．
【考点】QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；4Q：参数法；4R：转化法；5S：坐标系和参数方程．
【分析】解：
（1）分别消掉参数t 与m 可得直线l1与直线l2的普通方程为y=k（x
2
﹣）①与x=
2
﹣+ky ②；
联立①②，消去k 可得C 的普通方程为x2
y
﹣2=4；
（2）将l3的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）﹣
=0 化为普通方程：x+y﹣
=0，再与曲线C 的方程联立，
可得
，即可求得l3与C 的交点M 的极径为ρ=
．
【解答】解：（1）∵直线l1的参数方程为
，（t 为参数），
∴消掉参数t 得：直线l1的普通方程为：y=k（x
2
﹣）①；
又直线l2的参数方程为
，（m 为参数），
同理可得，直线l2的普通方程为：x=
2
﹣+ky ②；
联立①②，消去k 得：x2
y
﹣2=4，即C 的普通方程为x2
y
﹣2=4（x≠2 且y≠0）；
（2）∵l3的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）﹣
=0，
∴其普通方程为：x+y﹣
=0，
联立
得：
，
∴ρ2=x2+y2=
+
=5．
∴l3与C 的交点M 的极径为ρ=
．
【点评】本题考查参数方程与极坐标方程化普通方程，考查函数与方程思想与等价转化思想的运用，
属于中档题．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x
2
﹣|．
（1）求不等式f（x）≥1 的解集；
（2）若不等式f（x）≥x2
x
﹣+m 的解集非空，求m 的取值范围．
【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】32：分类讨论；33：函数思想；4C：分类法；4R：转化法；51：函数的性质及应用；5T：不等式．
【分析】（1）由于f（x）=|x+1|﹣|x
2
﹣|=
，解不等式f（x）≥1 可分﹣1≤x≤2 与x＞2
两类讨论即可解得不等式f（x）≥1 的解集；
第15页（共16页）
（2）依题意可得m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）=f（x）﹣x2+x，分x≤1、﹣1＜x＜2、x≥2 三类讨论，可求
得g（x）max=
，从而可得m 的取值范围．
【解答】解：（1）∵f（x）=|x+1|﹣|x
2
﹣|=
，f（x）≥1，
∴当﹣1≤x≤2 时，2x
1
﹣≥1，解得1≤x≤2；
当x＞2 时，3≥1 恒成立，故x＞2；
综上，不等式f（x）≥1 的解集为{x|x≥1}．
（2）原式等价于存在x∈R 使得f（x）﹣x2+x≥m 成立，
即m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）=f（x）﹣x2+x．
由（1）知，g（x）=
，
当x≤﹣1 时，g（x）=
x
﹣2+x
3
﹣，其开口向下，对称轴方程为x=
＞﹣1，
∴g（x）≤g（﹣1）=
1
1
3=
5
﹣﹣﹣
﹣；
当﹣1＜x＜2 时，g（x）=
x
﹣2+3x
1
﹣，其开口向下，对称轴方程为x=
∈（﹣1，2），
∴g（x）≤g（
）=﹣
+
1=
﹣
；
当x≥2 时，g（x）=
x
﹣2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x=
＜2，
∴g（x）≤g（2）=
4
﹣+2+3=1；
综上，g（x）max=
，
∴m 的取值范围为（﹣∞，
]．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，突出考查分类讨论思想
与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，属于难题．
第16页（共16页）
