文档文本内容
绝密★启封并使用完毕前
2017 年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文）（北京卷）
本试卷共5 页，150 分。考试时长120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束
后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40 分）
一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知
，集合
，则
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）若复数
在复平面内对应的点在第二象限，则实数
的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
（3）执行如图所示的程序框图，输出的
值为
（A）2 （B）
（C）
（D）
（4）若
满足
则
的最大值为
（A）1
（B）3
（C）5
（D）9
（5）已知函数
，则
（A）是偶函数，且在R 上是增函数
（B）是奇函数，且在R 上是增函数
（C）是偶函数，且在R 上是减函数
（D）是奇函数，且在R 上是增函数
（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为
（A）60 （B）30
（C）20 （D）10
（7）设m, n 为非零向量，则“存在负数
，使得m=λn”是“m·n<0”的
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为
1080．则下列各数中与
最接近的是
（参考数据：lg3≈0.48）
（A）1033 （B）1053
（C）1073 （D）1093
第二部分（非选择题 共110 分）
二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分。
（9）在平面直角坐标系xOy 中，角
与角
均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若sin
=
，则sin
=_________．
（10）若双曲线
的离心率为
，则实数m=__________．
（11）已知
，
，且x+y=1，则
的取值范围是__________．
（12）已知点P 在圆
上，点A 的坐标为(-2,0)，O 为原点，则
的最大值为_________．
（13）能够说明“设a，b，c 是任意实数．若a>b>c，则a+b>c”是假命题的一组整数a,b,c 的值依次为
______________________________．
（14）某学习小组由学生和学科网&教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；
（ⅱ）女学生人数多于教师人数；
（ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．
①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__________．
②该小组人数的最小值为__________．
三、解答题共6 小题，共80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题13 分）
已知等差数列
和等比数列
满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．
（Ⅰ）求
的通项公式；
（Ⅱ）求和：
．
（16）（本小题13 分）
已知函数
.
（I）求f(x)的最小正周期；
（II）求证：当
时，
．
（17）（本小题13 分）
某大学艺术专业400 名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取
了100 名学生，记录他们的分数，将数据分成7 组：[20,30），[30,40），┄，[80,90]，并整理得到如下频率分布直
方图：
（Ⅰ）从总体的400 名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70 的概率；
（Ⅱ）已知样本中分数小于40 的学生有5 人，试估计总体中分数在区间[40,50）内的人数；
（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数学.科网不小于70，且样本中分数不小于70 的男女生人数相等．试估计总
体中男生和女生人数的比例．
（18）（本小题14 分）
如图，在三棱锥P–ABC 中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D 为线段AC 的中点，E 为线段
PC 上一点．
（Ⅰ）求证：PA⊥BD；
（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面PAC；
（Ⅲ）当PA∥平面BDE 时，求三棱锥E–BCD 的体积．
（19）（本小题14 分）
已知椭圆C 的两个顶点分别为A(−2,0)，B(2,0)，焦点在x 轴上，离心率为
．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M，N，过D 作AM 的垂线交BN 于点E.求
证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4:5．
（20）（本小题13 分）
已知函数
．
（Ⅰ）求曲线
在点
处的切线方程；
（Ⅱ）求函数
在区间
上的最大值和最小值．
2017 年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文）（北京卷）答案
一、
（1）C
（2）B
（3）C
（4）D
（5）B
（6）D
（7）A
（8）D
二、
（9）
（10）2
（11）
（12）6
（13）
（答案不唯一）（14）6
12
三、
（15）（共13 分）
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d.
因为a2+a4=10，所以2a1+4d=10.
解得d=2.
所以an=2n−1.
（Ⅱ）设等比数列的公比为q.
因为b2b4=a5，所以b1qb1q3=9.
解得q2=3.
所以
.
从而
.
（16）（共13 分）
解：（Ⅰ）
.
所以
的最小正周期
.
（Ⅱ）因为
，
所以
.
所以
.
所以当
时，
.
（17）（共13 分）
解：（Ⅰ）根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70 的频率为
，所以样本中分
数小于70 的频率为
.
所以从总体的400 名学生中随机抽取一人，其分数小于70 的概率估计为0.4.
（Ⅱ）根据题意，样本中分数不小于50 的频率为
，分数在区间
内的人数为
.
所以总体中分数在区间
内的人数估计为
.
（Ⅲ）由题意可知，样本中分数不小于70 的学生人数为
，
所以样本中分数不小于70 的男生人数为
.
所以样本中的男生人数为
，女生人数为
，男生和女生人数的比例为
.
所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为
.
（18）（共14 分）
解：（I）因为
，
，所以
平面
，
又因为
平面
，所以
.
（II）因为
，
为
中点，所以
，
由（I）知，
，所以
平面
.
所以平面
平面
.
（III）因为
平面
，平面
平面
，
所以
.
因为
为
的中点，所以
，
.
由（I）知，
平面
，所以
平面
.
所以三棱锥
的体积
.
（19）（共14 分）
解：（Ⅰ）设椭圆
的方程为
.
由题意得
解得
.
所以
.
所以椭圆
的方程为
.
（Ⅱ）设
，则
.
由题设知
，且
.
直线
的斜率
，故直线
的斜率
.
所以直线
的方程为
.
直线
的方程为
.
联立
解得点
的纵坐标
.
由点
在椭圆
上，得
.
所以
.
又
，
，
所以
与
的面积之比为
.
（20）（共13 分）
解：（Ⅰ）因为
，所以
.
又因为
，所以曲线
在点
处的切线方程为
.
（Ⅱ）设
，则
.
当
时，
，
所以
在区间
上单调递减.
所以对任意
有
，即
.
所以函数
在区间
上单调递减.
因此
在区间
上的最大值为
，最小值为
.
