1
绝密★启封并使用完毕前
2017 年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理）（北京卷）
本试卷共5 页，150 分。考试时长120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作
答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40 分）
一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求
的一项。
（1）若集合A={x|－2<x<1}，B={x|x<－1 或x>3}，则AᴨB=
（A）{x|－2<x<－1} （B）{x|－2<x<3}
（C）{x|－1<x<1} （D）{x|1<x<3}
（2）若复数（1－i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是
（A）(–∞，1) （B）(–∞，－1)
（C）(1，+∞) （D）(–1，+∞)
（3）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为
（A）2 （B）2
3
（C）5
3
（D）5
8
（4）若x，y 满足
x≤3，
2
x + y
≥2，则x + 2y 的最大值为
y≤x，
（A）1 （B）3 （C）5 （D）9
（5）已知函数
1
(x)
3
3
x
x
f
，则
(x)
f
（A）是奇函数，且在R 上是增函数 （B）是偶函数，且在R 上是增函数
（C）是奇函数，且在R 上是减函数 （D）是偶函数，且在R
上是减函数
（6）设m,n 为非零向量，则“存在负数，使得m
n
”是“
m n
0
＜”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为
（A）3
2
（B）2 3
（C）2
2
（D）2
（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原
子总数N 约为1080.则下列各数中与M
N
最接近的是
（参考数据：lg3≈0.48）
（A）1033 （B）1053 （C）1073 （D）1093
第二部分（非选择题 共110 分）
二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分。
（9）若双曲线
2
2
1
y
x
m
的离心率为3 ，则实数m=_______________.
3
（10）若等差数列
na
和等比数列
nb
满足a1=b1=–1，a4=b4=8，则
2
2
a
b
=__________.
（11）在极坐标系中，点A 在圆
2
2 cos
4 sin
4
0
上，点P 的坐标为(1,0)，则|
AP|的最小值为 .
（12）在平面直角坐标系xOy 中，角α 与角β 均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称。若
1
sin
3
，则cos(
)
= .
（13）能够说明“设a，b，c 是任意实数.若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c
的值依次为______________________________.
（14）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标
分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i 名工人下午
的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3。
①记Qi为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是_________。
②记pi为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是_________。
三、解答题共6 小题，共80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题13 分）
在△ABC 中，
A
=60°，c= 3
7
a.
（Ⅰ）求sinC 的值；
（Ⅱ）若a=7,求△ABC 的面积.
4
（16）（本小题14 分）
如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M 在线段PB 上，
PD//平面MAC,PA=PD=
6 ,AB=4.
(I)求证：M 为PB 的中点；
(II)求二面角B-PD-A 的大小；
(III)求直线MC 与平面BDP 所成角的正炫值。
（17）（本小题13 分）
为了研究一种新药的疗效，选100 名患者随机分成两组，每组各50 名，一组服药，另一组不
服药。一段时间后，记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据，并制成下图，其中“* ”表示
服药者，“+”表示为服药者.
5
（Ⅰ）从服药的50 名患者中随机选出一人，求此人指标y 的值小于60 的概率；
（Ⅱ）从图中A,B,C,D,四人中随机选出两人，记
为选出的两人中指标x 的值大于1.7 的人数，
求
的分布列和数学期望E（
）；
（Ⅲ）试判断这100 名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小.
（只需写出结论）
（18）（本小题14 分）
已知抛物线C：y2=2px 过点P(1,1).过点(0, 1
2
)作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M,N，
过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP、ON 交于点A,B，其中O 为原点.
（Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（Ⅱ）求证：A 为线段BM 的中点.
（19）（本小题13 分）
已知函数f(x)=excosx−x.
（Ⅰ）求曲线y= f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f(x)在区间[0,
2
]上的最大值和最小值.
6
（20）（本小题13 分）
设{an}和{bn}是两个等差数列，记
cn=max{b1–a1n,b2–a2n,…,bn–ann}(n=1,2,3,…)，
其中max{x1,x2,…,xs}表示x1,x2,…,xs这s 个数中最大的数．
（Ⅰ）若an=n，bn=2n–1，求c1,c2,c3的值，并证明{cn}是等差数列；
（Ⅱ）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m 时，
nc
M
n
；或者存在正整数m，使
得cm,cm+1,cm+2,…是等差数列．
7
2017 年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（理）（北京卷）答案
一、
（1）A
（2）B
（3）C
（4）D
（5）A
（6）A
（7）B
（8）D
二、
（9）2
（10）1
（11）1
（12）
（13）
（答案不唯一）（14）Q1
p2
三、
（15）（共13 分）
解：（Ⅰ）在△ABC 中，因为
，
，
所以由正弦定理得
.
（Ⅱ）因为
，所以
.
由余弦定理
得
，
解得
或
（舍）.
所以△ABC 的面积
.
（16）（共14 分）
8
解：（I）设
交点为
，连接
.
因为
平面
，平面
平面
，所以
.
因为
是正方形，所以
为
的中点，所以
为
的中点.
（II）取
的中点
，连接
，
.
因为
，所以
.
又因为平面
平面
，且
平面
，所以
平面
.
因为
平面
，所以
.
因为
是正方形，所以
.
如图建立空间直角坐标系
，则
，
，
，
，
.
设平面
的法向量为
，则
，即
.
令
，则
，
.于是
.
平面
的法向量为
，所以
.
由题知二面角
为锐角，所以它的大小为
.
9
（III）由题意知
，
，
.
设直线
与平面
所成角为
，则
.
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
.
（17）（共13 分）
解：（Ⅰ）由图知，在服药的50 名患者中，指标
的值小于60 的有15 人，
所以从服药的50 名患者中随机选出一人，此人指标
的值小于60 的概率为
.
（Ⅱ）由图知，A,B,C,D 四人中，指标
的值大于1.7 的有2 人：A 和C.
所以
的所有可能取值为0,1,2.
.
所以
的分布列为
0
1
2
故
的期望
.
（Ⅲ）在这100 名患者中，服药者指标
数据的方差大于未服药者指标
数据的方差.
（18）（共14 分）
解：（Ⅰ）由抛物线C：
过点P（1，1），得
.
所以抛物线C 的方程为
.
抛物线C 的焦点坐标为（
，0），准线方程为
.
10
（Ⅱ）由题意，设直线l 的方程为
（
），l 与抛物线C 的交点为
，
.
由
，得
.
则
，
.
因为点P 的坐标为（1，1），所以直线OP 的方程为
，点A 的坐标为
.
直线ON 的方程为
，点B 的坐标为
.
因为
，
所以
.
故A 为线段BM 的中点.
（19）（共13 分）
解：（Ⅰ）因为
，所以
.
又因为
，所以曲线
在点
处的切线方程为
.
11
（Ⅱ）设
，则
.
当
时，
，
所以
在区间
上单调递减.
所以对任意
有
，即
.
所以函数
在区间
上单调递减.
因此
在区间
上的最大值为
，最小值为
.
（20）（共13 分）
解：（Ⅰ）
，
.
当
时，
，
所以
关于
单调递减.
所以
.
所以对任意
，于是
，
所以
是等差数列.
12
（Ⅱ）设数列
和
的公差分别为
，则
.
所以
①当
时，取正整数
，则当
时，
，因此
.
此时，
是等差数列.
②当
时，对任意
，
此时，
是等差数列.
③当
时，
当
时，有
.
所以
对任意正数
，取正整数
，
故当
时，
.
