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2017 年天津市高考数学试卷（文科）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5 分）设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={1，2，3，4}，则（A∪B）∩C=（ ）
A．{2} B．{1，2，4} C．{1，2，4，6} D．{1，2，3，4，6}
2．（5 分）设x∈R，则“2
x
﹣≥0”是“|x
1
﹣|≤1”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．
（5 分）有5 支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5 支
彩笔中任取2 支不同颜色的彩笔，则取出的2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
4．（5 分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为19，则输出N
的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
第1页（共25页）
5．（5 分）已知双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A 在双曲线的渐
近线上，△OAF 是边长为2 的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（5 分）已知奇函数f（x）在R 上是增函数．若a=
f
﹣（
），b=f（log24.1），c=f
（20.8），则a，b ，c 的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b
7．（5 分）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f（
）=2，f（
）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（ ）
A．ω=
，φ=
B．ω=
，φ=﹣
C．ω=
，φ=﹣
D．ω=
，φ=
8．
（5 分）已知函数f（x）=
，设a∈R，若关于x 的不等式f（x）≥|
+a|
在R 上恒成立，则a 的取值范围是（ ）
A．[
2
﹣，2] B．
C．
D．
二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分.
9．（5 分）已知a∈R，i 为虚数单位，若
为实数，则a 的值为 ．
10．
（5 分）已知a∈R，设函数f（x）=ax
lnx
﹣
的图象在点（1，f（1））处的切线为l，则l
在y 轴上的截距为 ．
11．（5 分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为
18，则这个球的体积为 ．
12．（5 分）设抛物线y2=4x 的焦点为F，准线为l．已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆
第2页（共25页）
与y 轴的正半轴相切于点A．若∠FAC=120°，则圆的方程为 ．
13．（5 分）若a，b∈R，ab＞0，则
的最小值为 ．
14．（5 分）在△ABC 中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若
=2
，=λ
﹣（λ∈R），且
=
4
﹣，则λ 的值为 ．
三、解答题：本大题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步
骤．
15．（13 分）在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．已知asinA=4bsinB，
ac=
（a2
b
﹣
2
c
﹣2）．
（Ⅰ）求cosA 的值；
（Ⅱ）求sin（2B
A
﹣）的值．
16．（13 分）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已
知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下
表所示：
连续剧播放时长（分钟）
广告播放时长（分
钟）
收视人次（万）
甲
70
5
60
乙
60
5
25
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600 分钟，广告的总播
放时间不少于30 分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2 倍．
分别用x，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．
（I）用x，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？
17．（13 分）如图，在四棱锥P
ABCD
﹣
中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=1，
BC=3，CD=4，PD=2．
（Ⅰ）求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值；
（Ⅱ）求证：PD⊥平面PBC；
（Ⅲ）求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．
第3页（共25页）
18．（13 分）已知{an}为等差数列，前n 项和为Sn（n∈N*），{bn}是首项为2 的等比
数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4
2a
﹣
1，S11=11b4．
（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a2nbn}的前n 项和（n∈N*）．
19．（14 分）设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f（x）=x3
6x
﹣
2
3a
﹣（a
4
﹣）x+b，g（x）=exf
（x）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）已知函数y=g（x）和y=ex的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，
（i）求证：f（x）在x=x0处的导数等于0；
（ii）若关于x 的不等式g（x）≤ex在区间[x0
1
﹣，x0+1]上恒成立，求b 的取值范围．
20．（14 分）已知椭圆
+
=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），右顶点为A，点
E 的坐标为（0，c），△EFA 的面积为
．
（I）求椭圆的离心率；
（II）设点Q 在线段AE 上，|FQ|=
c，延长线段FQ 与椭圆交于点P，点M，N 在x 轴
上，PM∥QN，且直线PM 与直线QN 间的距离为c，四边形PQNM 的面积为3c．
（i）求直线FP 的斜率；
（ii）求椭圆的方程．
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2017 年天津市高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5 分）（2017•天津）设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={1，2，3，4}，则（A∪B）
∩C=（ ）
A．{2} B．{1，2，4} C．{1，2，4，6} D．{1，2，3，4，6}
【分析】由并集定义先求出A∪B，再由交集定义能求出（A∪B）∩C．
【解答】解：∵集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={1，2，3，4}，
∴（A∪B）∩C={1，2，4，6}∩{1，2，3，4}={1，2，4}．
故选：B．
【点评】本题考查并集和交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集和
交集定义的合理运用．
2．（5 分）（2017•天津）设x∈R，则“2
x
﹣≥0”是“|x
1
﹣|≤1”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：由2
x
﹣≥0 得x≤2，
由|x
1
﹣|≤1 得﹣1≤x
1
﹣≤1，
得0≤x≤2．
则“2
x
﹣≥0”是“|x
1
﹣|≤1”的必要不充分条件，
故选：B
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的
定义以及不等式的性质是解决本题的关键．
3．（5 分）（2017•天津）有5 支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、
紫．从这5 支彩笔中任取2 支不同颜色的彩笔，则取出的2 支彩笔中含有红色彩
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笔的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】先求出基本事件总数n=
=10，再求出取出的2 支彩笔中含有红色彩笔包
含的基本事件个数m=
=4，由此能求出取出的2 支彩笔中含有红色彩笔的概
率．
【解答】解：有5 支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫，
从这5 支彩笔中任取2 支不同颜色的彩笔，
基本事件总数n=
=10，
取出的2 支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件个数m=
=4，
∴取出的2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为p=
=
．
故选：C．
【点评】本小题主要考查概率、古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能
力和推理论证能力，是基础题．
4．（5 分）（2017•天津）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为
19，则输出N 的值为（ ）
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A．0B．1C．2D．3
【分析】根据程序框图，进行模拟计算即可．
【解答】解：第一次N=19，不能被3 整除，N=19
1=18
﹣
≤3 不成立，
第二次N=18，18 能被3 整除，N=
=6，N=6≤3 不成立，
第三次N=6，能被3 整除，N═
=2≤3 成立，
输出N=2，
故选：C
【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟计算是解决本
题的关键．
5．（5 分）（2017•天津）已知双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A 在
双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2 的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方
程为（ ）
A．
B．
C．
D．
第7页（共25页）
【分析】利用三角形是正三角形，推出a，b 关系，通过c=2，求解a，b，然后等到双
曲线的方程．
【解答】解：双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A 在双曲线的渐近线
上，△OAF 是边长为2 的等边三角形（O 为原点），
可得c=2，
，即
，
，
解得a=1，b=
，双曲线的焦点坐标在x 轴，所得双曲线方程为：
．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
6．（5 分）（2017•天津）已知奇函数f（x）在R 上是增函数．若a=
f
﹣（
），b=f
（log24.1），c=f（20.8），则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b
【分析】根据奇函数f（x）在R 上是增函数，化简a、b、c，即可得出a，b，c 的大小．
【解答】解：奇函数f（x）在R 上是增函数，
∴a=
f
﹣（
）=f（log25），
b=f（log24.1），
c=f（20.8），
又1＜20.8＜2＜log24.1＜log25，
∴f（20.8）＜f（log24.1）＜f（log25），
即c＜b＜a．
故选：C．
【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，是基础题．
7．（5 分）（2017•天津）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f（
第8页（共25页）
）=2，f（
）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（ ）
A．ω=
，φ=
B．ω=
，φ=﹣
C．ω=
，φ=﹣
D．ω=
，φ=
【分析】由题意求得
，再由周期公式求得ω，最后由若f（
）=2 求得φ 值．
【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2π，得
，
又f（
）=2，f（
）=0，得
，
∴T=3π，则
，即
．
∴f（x）=2sin（ωx+φ）=2sin（
x+φ），
由f（
）=
，得sin（φ+
）=1．
∴φ+
=
，k∈Z．
取k=0，得φ=
＜π．
∴
，φ=
．
故选：A．
【点评】本题考查由三角函数的部分图象求解析式，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的
性质，是中档题．
8．（5 分）（2017•天津）已知函数f（x）=
，设a∈R，若关于x 的不等式
f（x）≥|
+a|在R 上恒成立，则a 的取值范围是（ ）
A．[
2
﹣，2] B．
C．
D．
第9页（共25页）
【分析】根据题意，作出函数f（x）的图象，令g（x）=|
+a|，分析g（x）的图象特点，
将不等式f（x）≥|
+a|在R 上恒成立转化为函数f（x）的图象在g（x）上的上方或
相交的问题，分析可得f（0）≥g（0），即2≥|a|，解可得a 的取值范围，即可得答
案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）=
的图象如图：
令g（x）=|
+a|，其图象与x 轴相交与点（﹣2a，0），
在区间（﹣∞，﹣2a）上为减函数，在（﹣2a，+∞）为增函数，
若不等式f（x）≥|
+a|在R 上恒成立，则函数f（x）的图象在
g（x）上的上方或相交，
则必有f（0）≥g（0），
即2≥|a|，
解可得﹣2≤a≤2，
故选：A．
【点评】本题考查分段函数的应用，关键是作出函数f（x）的图象，将函数的恒成立
问题转化为图象的上下位置关系．
二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分.
第10页（共25页）
9．（5 分）（2017•天津）已知a∈R，i 为虚数单位，若
为实数，则a 的值为 ﹣
2
．
【分析】运用复数的除法法则，结合共轭复数，化简
，再由复数为实数的条件：
虚部为0，解方程即可得到所求值．
【解答】解：a∈R，i 为虚数单位，
=
=
=
﹣
i
由
为实数，
可得﹣
=0，
解得a=
2
﹣．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查复数的乘除运算，注意运用共轭复数，同时考查复数为实数的条
件：虚部为0，考查运算能力，属于基础题．
10．（5 分）（2017•天津）已知a∈R，设函数f（x）=ax
lnx
﹣
的图象在点（1，f（1））处
的切线为l，则l 在y 轴上的截距为
1
．
【分析】求出函数的导数，然后求解切线斜率，求出切点坐标，然后求解切线方程，
推出l 在y 轴上的截距．
【解答】解：函数f（x）=ax
lnx
﹣
，可得f′（x）=a﹣
，切线的斜率为：k=f′（1）=a
1
﹣，
切点坐标（1，a），切线方程l 为：y
a=
﹣
（a
1
﹣）（x
1
﹣），
l 在y 轴上的截距为：a+（a
1
﹣）（﹣1）=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查曲线的切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．
11．（5 分）（2017•天津）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方
体的表面积为18，则这个球的体积为
．
第11页（共25页）
【分析】根据正方体和球的关系，得到正方体的体对角线等于直径，结合球的体积
公式进行计算即可．
【解答】解：设正方体的棱长为a，
∵这个正方体的表面积为18，
∴6a2=18，
则a2=3，即a=
，
∵一个正方体的所有顶点在一个球面上，
∴正方体的体对角线等于球的直径，
即
a=2R，
即R=
，
则球的体积V=
π•（
）3=
；
故答案为：
．
【点评】本题主要考查空间正方体和球的关系，利用正方体的体对角线等于直径，
结合球的体积公式是解决本题的关键．
12．（5 分）（2017•天津）设抛物线y2=4x 的焦点为F，准线为l．已知点C 在l 上，以
C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A．若∠FAC=120°，则圆的方程为 （
x + 1 ）
2 +
=1
．
【分析】根据题意可得F（﹣1，0），∠FAO=30°，OA=
=1，由此求得OA 的值，
可得圆心C 的坐标以及圆的半径，从而求得圆C 方程．
【解答】解：设抛物线y2=4x 的焦点为F（1，0），准线l：x=
1
﹣，∵点C 在l 上，以C 为
圆心的圆与y 轴的正半轴相切与点A，
∵∠FAC=120°，∴∠FAO=30°，∴OA=
=
=1，∴OA=
，∴A（0，
），如
图所示：
∴C （﹣1 ，
），圆的半径为CA=1 ，故要求的圆的标准方程为
第12页（共25页）
，
故答案为：（x+1）2+
=1．
【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，抛物线的简单几何性质，属于中档
题．
13．（5 分）（2017•天津）若a，b∈R，ab＞0，则
的最小值为
4
．
【分析】【方法一】两次利用基本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式等号
成立的条件是什么．
【方法二】将
拆成
+
，利用柯西不等式求出最小值．
【解答】解：【解法一】a，b∈R，ab＞0，
∴
≥
=
=4ab+
≥2
=4，
当且仅当
，
第13页（共25页）
即
，
即a=
，b=
或a=﹣
，b=﹣
时取“=”；
∴上式的最小值为4．
【解法二】a，b∈R，ab＞0，
∴
=
+
+
+
≥4
=4，
当且仅当
，
即
，
即a=
，b=
或a=﹣
，b=﹣
时取“=”；
∴上式的最小值为4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了基本不等式的应用问题，是中档题．
14．（5 分）（2017•天津）在△ABC 中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若
=2
，=λ
﹣
（λ∈R），且
=
4
﹣，则λ 的值为
．
【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用
、
表示出
，
再根据平面向量的数量积
列出方程求出λ 的值．
【解答】解：如图所示，
△ABC 中，∠A=60°，AB=3，AC=2，
第14页（共25页）
=2
，
∴
=
+
=
+
=
+
（
﹣
）
=
+
，
又
=λ
﹣
（λ∈R），
∴
=（
+
）•（λ
﹣
）
=（
λ﹣
）
•
﹣
+
λ
=（
λ﹣
）×3×2×cos60°﹣
×32+
λ×22=
4
﹣，
∴
λ=1，
解得λ=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题．
三、解答题：本大题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步
骤．
15．（13 分）（2017•天津）在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．已知
asinA=4bsinB，ac=
（a2
b
﹣
2
c
﹣2）．
第15页（共25页）
（Ⅰ）求cosA 的值；
（Ⅱ）求sin（2B
A
﹣）的值．
【分析】（Ⅰ）由正弦定理得asinB=bsinA，结合asinA=4bsinB，得a=2b．再由
，得
，代入余弦定理的推论可求cosA 的
值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得
，代入asinA=4bsinB，得sinB，进一步求得cosB．利用
倍角公式求sin2B，cos2B，展开两角差的正弦可得sin（2B
A
﹣）的值．
【解答】（Ⅰ）解：由
，得asinB=bsinA，
又asinA=4bsinB，得4bsinB=asinA，
两式作比得：
，∴a=2b．
由
，得
，
由余弦定理，得
；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得
，代入asinA=4bsinB，得
．
由（Ⅰ）知，A 为钝角，则B 为锐角，
∴
．
于是
，
，
故
．
【点评】本题考查三角形的解法，考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，
是中档题．
16．（13 分）（2017•天津）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要
播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、
第16页（共25页）
收视人次如下表所示：
连续剧播放时长（分钟）
广告播放时长（分
钟）
收视人次（万）
甲
70
5
60
乙
60
5
25
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600 分钟，广告的总播
放时间不少于30 分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2 倍．
分别用x，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．
（I）用x，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？
【分析】（Ⅰ）直接由题意结合图表列关于x，y 所满足得不等式组，化简后即可画
出二元一次不等式所表示的平面区域；
（Ⅱ）写出总收视人次z=60x+25y．化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得
到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】（Ⅰ）解：由已知，x，y 满足的数学关系式为
，即
．
该二元一次不等式组所表示的平面区域如图：
第17页（共25页）
（Ⅱ）解：设总收视人次为z 万，则目标函数为z=60x+25y．
考虑z=60x+25y，将它变形为
，这是斜率为
，随z 变化的一族平行
直线．
为直线在y 轴上的截距，当
取得最大值时，z 的值最大．
又∵x，y 满足约束条件，
∴由图可知，当直线z=60x+25y 经过可行域上的点M 时，截距
最大，即z 最大．
解方程组
，得点M 的坐标为（6，3）．
∴电视台每周播出甲连续剧6 次、乙连续剧3 次时才能使总收视人次最多．
【点评】本题考查解得线性规划的应用，考查数学建模思想方法及数形结合的解
题思想方法，是中档题．
17．（13 分）（2017•天津）如图，在四棱锥P
ABCD
﹣
中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，
PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．
（Ⅰ）求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值；
（Ⅱ）求证：PD⊥平面PBC；
（Ⅲ）求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．
第18页（共25页）
【分析】（Ⅰ）由已知AD∥BC，从而∠DAP 或其补角即为异面直线AP 与BC 所成的
角，由此能求出异面直线AP 与BC 所成角的余弦值．
（Ⅱ）由AD⊥平面PDC，得AD⊥PD，由BC∥AD，得PD⊥BC，再由PD⊥PB，得到
PD⊥平面PBC．
（Ⅲ）过点D 作AB 的平行线交BC 于点F，连结PF，则DF 与平面PBC 所成的角等
于AB 与平面PBC 所成的角，由PD⊥平面PBC，得到∠DFP 为直线DF 和平面PBC
所成的角，由此能求出直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．
【解答】解：（Ⅰ）如图，由已知AD∥BC，
故∠DAP 或其补角即为异面直线AP 与BC 所成的角．
因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD．
在Rt△PDA 中，由已知，得
，
故
．
所以，异面直线AP 与BC 所成角的余弦值为
．
证明：（Ⅱ）因为AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC，
所以AD⊥PD．
又因为BC∥AD，所以PD⊥BC，
又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC．
解：（Ⅲ）过点D 作AB 的平行线交BC 于点F，连结PF，
则DF 与平面PBC 所成的角等于AB 与平面PBC 所成的角．
因为PD⊥平面PBC，故PF 为DF 在平面PBC 上的射影，
所以∠DFP 为直线DF 和平面PBC 所成的角．
由于AD∥BC，DF∥AB，故BF=AD=1，
第19页（共25页）
由已知，得CF=BC
BF=2
﹣
．又AD⊥DC，故BC⊥DC，
在Rt△DCF 中，可得
．
所以，直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值为
．
【点评】本小题主要考查两条异面直线所成的角、直线与平面垂直、直线与平面所
成的角等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力，是中档
题．
18．
（13 分）
（2017•天津）已知{an}为等差数列，前n 项和为Sn（n∈N*），{bn}是首项
为2 的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4
2a
﹣
1，S11=11b4．
（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a2nbn}的前n 项和（n∈N*）．
【分析】（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．通过
b2+b3=12，求出q，得到
．然后求出公差d，推出an=3n
2
﹣．
（Ⅱ）设数列{a2nbn}的前n 项和为Tn，利用错位相减法，转化求解数列{a2nbn}的前
n 项和即可．
【解答】（Ⅰ）解：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．由已知
b2+b3=12，得
，而b1=2，所以q2+q
6=0
﹣
．又因为q＞0，解得q=2．所
以，
．
由b3=a4
2a
﹣
1，可得3d
a
﹣
1=8．
由S11=11b4，可得a1+5d=16，联立①②，解得a1=1，d=3，
第20页（共25页）
由此可得an=3n
2
﹣．
所以，{an}的通项公式为an=3n
2
﹣，{bn}的通项公式为
．
（Ⅱ）解：设数列{a2nbn} 的前n 项和为Tn ，由a2n=6n
2
﹣
，有
，
，
上述两式相减，得
=
．
得
．
所以，数列{a2nbn}的前n 项和为（3n
4
﹣）2n+2+16．
【点评】本题考查等差数列以及等比数列通项公式的求法，数列求和，考查转化思
想以及计算能力．
19．（14 分）（2017•天津）设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f（x）=x3
6x
﹣
2
3a
﹣（a
4
﹣）
x+b，g（x）=exf（x）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）已知函数y=g（x）和y=ex的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，
（i）求证：f（x）在x=x0处的导数等于0；
（ii）若关于x 的不等式g（x）≤ex在区间[x0
1
﹣，x0+1]上恒成立，求b 的取值范围．
【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对定
义域分段，列表后可得f（x）的单调区间；
（Ⅱ）（i）求出g（x）的导函数，由题意知
，求解可得
．
得到f（x）在x=x0处的导数等于0；
（ii）由（I）知x0=a．且f（x）在（a
1
﹣，a）内单调递增，在（a，a+1）内单调递减，故当
第21页（共25页）
x0=a 时，f（x）≤f（a）=1 在[a
1
﹣，a+1]上恒成立，从而g（x）≤ex在[x0
1
﹣，x0+1]上
恒成立．由f（a）=a3
6a
﹣
2
3a
﹣（a
4
﹣）a+b=1，得b=2a3
6a
﹣
2+1，﹣1≤a≤1．构造函
数t（x）=2x3
6x
﹣
2+1，x∈[
1
﹣，1]，利用导数求其值域可得b 的范围．
【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=x3
6x
﹣
2
3a
﹣（a
4
﹣）x+b，可得f'（x）=3x2
12x
3a
﹣
﹣（a
4
﹣）
=3（x
a
﹣）（x﹣（4
a
﹣）），
令f'（x）=0，解得x=a，或x=4
a
﹣．由|a|≤1，得a＜4
a
﹣．
当x 变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x
（﹣∞，a）
（a，4
a
﹣）
（4
a
﹣，+∞）
f'（x）
+
﹣
+
f（x）
↗
↘
↗
∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，a），（4
a
﹣，+∞），单调递减区间为（a，4
a
﹣）；
（Ⅱ）（i）证明：∵g'（x）=ex（f（x）+f'（x）），由题意知
，
∴
，解得
．
∴f（x）在x=x0处的导数等于0；
（ii）解：∵g（x）≤ex，x∈[x0
1
﹣，x0+1]，由ex＞0，可得f（x）≤1．
又∵f（x0）=1，f'（x0）=0，
故x0为f（x）的极大值点，由（I）知x0=a．
另一方面，由于|a|≤1，故a+1＜4
a
﹣，
由（Ⅰ）知f（x）在（a
1
﹣，a）内单调递增，在（a，a+1）内单调递减，
故当x0=a 时，f（x）≤f（a）=1 在[a
1
﹣，a+1]上恒成立，从而g（x）≤ex在[x0
1
﹣，
x0+1]上恒成立．
由f（a）=a3
6a
﹣
2
3a
﹣
（a
4
﹣）a+b=1，得b=2a3
6a
﹣
2+1，﹣1≤a≤1．
令t（x）=2x3
6x
﹣
2+1，x∈[
1
﹣，1]，
∴t'（x）=6x2
12x
﹣
，
令t'（x）=0，解得x=2（舍去），或x=0．
∵t（﹣1）=
7
﹣，t（1）=
3
﹣，t（0）=1，故t（x）的值域为[
7
﹣，1]．
第22页（共25页）
∴b 的取值范围是[
7
﹣，1]．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用研究过曲线上某点处
的切线方程，训练了恒成立问题的求解方法，体现了数学转化思想方法，是压轴
题．
20．
（14 分）
（2017•天津）已知椭圆
+
=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），右
顶点为A，点E 的坐标为（0，c），△EFA 的面积为
．
（I）求椭圆的离心率；
（II）设点Q 在线段AE 上，|FQ|=
c，延长线段FQ 与椭圆交于点P，点M，N 在x 轴
上，PM∥QN，且直线PM 与直线QN 间的距离为c，四边形PQNM 的面积为3c．
（i）求直线FP 的斜率；
（ii）求椭圆的方程．
【分析】（Ⅰ）设椭圆的离心率为e．通过
．转化求解椭圆的离心率．
（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP 的方程为x=my
c
﹣（m＞0），则直线FP 的斜率为
．
通过a=2c ，可得直线AE 的方程为
，求解点Q 的坐标为
．利用|FQ|=
，求出m，然后求解直线FP 的斜率．
（ii）求出椭圆方程的表达式你，求出直线FP 的方程为3x
4y
﹣
+3c=0，与椭圆方程
联立通过
，结合直线PM 和QN 都垂直于直线FP．结
合四边形PQNM 的面积为3c，求解c，然后求椭圆的方程．
【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的离心率为e．由已知，可得
．又由b2=a2﹣
第23页（共25页）
c2，可得2c2+ac
a
﹣
2=0，即2e2+e
1=0
﹣
．又因为0＜e＜1，解得
．
所以，椭圆的离心率为
；
（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP 的方程为x=my
c
﹣（m＞0），则直线FP 的斜率为
．
由（Ⅰ）知a=2c，可得直线AE 的方程为
，即x+2y
2c=0
﹣
，与直线FP 的方
程联立，可解得
，即点Q 的坐标为
．
由已知|FQ|=
，有
，整理得3m2
4m=0
﹣
，所以
，即直线FP 的斜率为
．
（ii）解：由a=2c，可得
，故椭圆方程可以表示为
．
由（i）得直线FP 的方程为3x
4y
﹣
+3c=0，与椭圆方程联立
消去y，整
理得7x2+6cx
13c
﹣
2=0，解得
（舍去），或x=c．因此可得点
，进而
可得
，所以
．由已知，线
段PQ 的长即为PM 与QN 这两条平行直线间的距离，故直线PM 和QN 都垂直于
直线FP．
因为QN⊥FP，所以
，所以¡÷FQN 的面积为
，同理¡÷FPM 的面积等于
，由四边形PQNM 的面积为
第24页（共25页）
3c，得
，整理得c2=2c，又由c＞0，得c=2．
所以，椭圆的方程为
．
【点评】本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转
化思想以及计算能力．
第25页（共25页）
