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绝密★启用前
2017 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．设集合
，则
A．
B．
C．
D．
2．
A．
B．
C．
D．
3．函数
的最小正周期为
A．
B．
C．
D．
4．设非零向量
，
满足
，则
A．
⊥
B．
C．
∥
D．
5．若
，则双曲线
的离心率的取值范围是
A．
B．
C．
D．
6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平
面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为
A．
B．
C．
D．
7．设
满足约束条件
则
的最小值是
A．
B．
C． D．
8．函数
的单调递增区间是
A．
B．
C．
D．
9．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说：你们四人中有2 位优
秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家
说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则
A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩
10．执行下面的程序框图，如果输入的
，则输出的
A．2 B．3 C．4 D．5
11．从分别写有1,2,3,4,5 的5 张卡片中随机抽取1 张，放回后再随机抽取1 张，则抽得的第一
张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为
A．
B．
C．
D．
12．过抛物线
的焦点
，且斜率为
的
直线交
于点
（
在
的轴上方），为
的准线，点
在上且
,则
到直线
的距离为
A．
B．
C．
D．
二、填空题，本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.
13．函数
的最大值为 .
14．已知函数
是定义在
上的奇函数，当
时，
,则
.
15．长方体的长，宽，高分别为
，其顶点都在球
的球面上，则球
的表面积为
.
16．
的内角
的对边分别为
,若
,则
.
.
三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21 题为必考题，每
个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60 分。
17．（12 分）
已知等差数列
的前
项和为
，等比数列
的前
项和为
，
.
（1）若
，求
的通项公式；
（2）若
，求
.
18．（12 分）
如图，四棱锥
中，侧面
为等边三角形且垂直于底面
,
（1）证明：直线
平面
;
（2）若△
的面积为
，求四棱锥
的体积.
19．（12 分）
海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网
箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）, 其频率分布直方图如下：
（1）记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A 的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50 kg
箱产量≥50 kg
旧养殖法
新养殖法
（3）根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较.
附：
P（
）
0.050 0.010 0.001
k
3.841 6.635 10.828
.
20．（12 分）
设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C
上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N，点P 满足
.
（1）求点P 的轨迹方程；
（2）设点
在直线
上，且
.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线过C 的左焦
点F.
21．（12 分）
设函数
.
（1）讨论
的单调性；
（2）当
时，
，求
的取值范围.
（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题
计分。
22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极
坐标方程为
.
（1）M 为曲线
上的动点，点P 在线段OM 上，且满足
,求点P 的轨迹
的直角坐标方程；
（2）设点A 的极坐标为
，点B 在曲线
上，求
面积的最大值.
23．[选修4−5：不等式选讲]（10 分）
已知
.证明：
（1）
；
（2）
.
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．设集合
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意
，故选A.
2．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
3．函数
的最小正周期为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意
，故选C.
4．设非零向量
，
满足
，则
A．
⊥
B．
C．
∥
D．
【答案】A
【解析】由
平方得
，即
，则
，故
选A.
5．若
，则双曲线
的离心率的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平
面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意，该几何体是由高为6 的圆柱截取一半后的图形加上高为4 的圆柱，故其体积
为
，故选B.
7．设
满足约束条件
则
的最小值是
A．
B．
C． D．
【答案】A
【解析】绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点
处
取得最小值，最小值为
．故选A.
8．函数
的单调递增区间是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
9．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说：你们四人中有2 位优
秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家
说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则
A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩
【答案】D
【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结
果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选D.
10．执行下面的程序框图，如果输入的
，则输出的
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
11．从分别写有1,2,3,4,5 的5 张卡片中随机抽取1 张，放回后再随机抽取1 张，则抽得的第一
张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】如下表所示，表中的点的横坐标表示第一次取到的数，纵坐标表示第二次取到的数：
总计有25 种情况，满足条件的有10 种.
所以所求概率为
.
12．过抛物线
的焦点
，且斜率为
的直线交
于点
（
在
的轴上方），
为
的准线，点
在上且
,则
到直线
的距离为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
二、填空题，本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.
13．函数
的最大值为 .
【答案】
【解析】
.
14．已知函数
是定义在
上的奇函数，当
时，
,则
.
【答案】12
【解析】
.
15．长方体的长，宽，高分别为
，其顶点都在球
的球面上，则球
的表面积为
.
【答案】
【解析】球的直径是长方体的体对角线，所以
16．
的内角
的对边分别为
,若
,则
.
【答案】
【解析】由正弦定理可得
.
三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21 题为必考题，每
个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60 分。
17．（12 分）
已知等差数列
的前
项和为
，等比数列
的前
项和为
，
.
（1）若
，求
的通项公式；
（2）若
，求
.
18．（12 分）
如图，四棱锥
中，侧面
为等边三角形且垂直于底面
,
（1）证明：直线
平面
;
（2）若△
的面积为
，求四棱锥
的体积.
19．（12 分）
海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网
箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）, 其频率分布直方图如下：
（1）记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A 的概率；
（2）填写下面列联表，学*科网并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法
有关：
箱产量＜50 kg
箱产量≥50 kg
旧养殖法
新养殖法
（3）根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较.
附：
P（
）
0.050 0.010 0.001
k
3.841 6.635 10.828
.
K2=
.
由于15.705＞6.635,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.
（3）箱产量的频率分布直方图表明：学科&网新养殖法的箱产量平均值（或中位数）在50 kg
到55 kg 之间，旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在45 kg 到50 kg 之间,且新养殖法的箱
产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高,因此,可以认为新养殖法的箱产量较
高且稳定,从而新养殖法优于旧养殖法.
20．（12 分）
设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C
上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N，点P 满足
.
（1）求点P 的轨迹方程；
（2）设点
在直线
上，且
.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线过C 的左焦
点F.
21．（12 分）
设函数
.
（1）讨论
的单调性；
（2）当
时，
，求
的取值范围.
（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题
计分。
22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极
坐标方程为
.
（1）M 为曲线
上的动点，点P 在线段OM 上，且满足
,求点P 的轨迹
的直角坐标方程；
（2）设点A 的极坐标为
，点B 在曲线
上，求
面积的最大值.
【解析】（1）设
的极坐标为
，M 的极坐标为
，由题设知
.
由
得
的极坐标方程
.
因此
的直角坐标方程为
.
（2）设点B 的极坐标为
,由题设知
,于是
面积
当
时，S 取得最大值
.
所以
面积的最大值为
.
23．[选修4−5：不等式选讲]（10 分）
已知
.证明：
（1）
；
（2）
.
