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2018 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1．（5 分）设z=
+2i，则|z|=（ ）
A．0
B．
C．1
D．
2．（5 分）已知集合A={x|x2
x
2
﹣﹣＞0}，则∁RA=（ ）
A．{x|
1
﹣＜x＜2} B．{x|
1
﹣≤x≤2}
C．{x|x＜﹣1}∪{x|x＞2} D．{x|x≤
﹣1}∪{x|x≥2}
3．（5 分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．
为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前
后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是（ ）
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4．（5 分）记Sn为等差数列{an}的前n 项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（ ）
A．﹣12
B．﹣10
C．10
D．12
5．（5 分）设函数f（x）=x3+（a
1
﹣）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，
0）处的切线方程为（ ）
A．y=
2x
﹣
B．y=
x
﹣
C．y=2x
D．y=x
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6．（5 分）在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则
=（ ）
A．
﹣
B．
﹣
C．
+
D．
+
7．（5 分）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在
正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B，则在此
圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ）
A．2
B．2
C．3
D．2
8．（5 分）设抛物线C：y2=4x 的焦点为F，过点（﹣2，0）且斜率为
的直线与C 交于
M，N 两点，则
•
=（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
9．（5 分）已知函数f（x）=
，g（x）=f（x）+x+a．若g（x）存在2 个零点，则
a 的取值范围是（ ）
A．[
1
﹣，0）
B．[0，+∞）
C．[
1
﹣，+∞）
D．[1，+∞）
10．（5 分）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半
圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC，直角边AB，AC．
△ABC 的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个
图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（ ）
A．p1=p2
B．p1=p3
C．p2=p3
D．p1=p2+p3
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11．（5 分）已知双曲线C：
﹣y2=1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线
与C 的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN 为直角三角形，则|MN|=（
）
A．
B．3
C．2
D．4
12．（5 分）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α 所成的角都相等，则
α 截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．（5 分）若x，y 满足约束条件
，则z=3x+2y 的最大值为 ．
14．（5 分）记Sn为数列{an}的前n 项和．若Sn=2an+1，则S6= ．
15．（5 分）从2 位女生，4 位男生中选3 人参加科技比赛，且至少有1 位女生入选
则不同的选法共有 种．（用数字填写答案）
16．（5 分）已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是 ．
三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21 题
为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作
答。（一）必考题：共60 分。
17．（12 分）在平面四边形ABCD 中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．
（1）求cos∠ADB；
（2）若DC=2
，求BC．
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18．（12 分）如图，四边形ABCD 为正方形，E，F 分别为AD，BC 的中点，以DF 为折
痕把△DFC 折起，使点C 到达点P 的位置，且PF⊥BF．
（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；
（2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值．
19．（12 分）设椭圆C：
+y2=1 的右焦点为F，过F 的直线l 与C 交于A，B 两点，点
M 的坐标为（2，0）．
（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；
（2）设O 为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB．
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20．（12 分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200 件，每一箱产品在交付用户之
前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产
品中任取20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．
设每件产品为不合格品的概率都为p（0＜p＜1），且各件产品是否为不合格品
相互独立．
（1）记20 件产品中恰有2 件不合格品的概率为f（p），求f （p）的最大值点p0．
（2）现对一箱产品检验了20 件，结果恰有2 件不合格品，以（1）中确定的p0作为
p 的值．已知每件产品的检验费用为2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂
要对每件不合格品支付25 元的赔偿费用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为
X，求EX；
（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有
产品作检验？
21．（12 分）已知函数f（x）=
x
﹣+alnx．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：
＜a
2
﹣．
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（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所
做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
22．（10 分）在直角坐标系xOy 中，曲线C1的方程为y=k|x|+2．以坐标原点为极点
x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ
3=0
﹣
．
（1）求C2的直角坐标方程；
（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．
[选修4-5：不等式选讲]（10 分）
23．已知f（x）=|x+1|﹣|ax
1
﹣|．
（1）当a=1 时，求不等式f（x）＞1 的解集；
（2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x 成立，求a 的取值范围．
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