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2016 年山东省高考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分，每小题给出四个选项，只有一个选项符
合题目要求.
1．（5 分）（2016•山东）若复数z 满足2z+ =3
2i
﹣，其中i 为虚数单位，则z=（ ）
A．1+2i B．1
2i
﹣
C．﹣1+2i
D．﹣1
2i
﹣
2．（5 分）（2016•山东）设集合A={y|y=2x，x∈R}，B={x|x2
1
﹣＜0}，则A B=
∪
（ ）
A．（﹣1，1）B．
（0，1）C．
（﹣1，+∞）D．（0，+∞）
3．（5 分）（2016•山东）某高校调查了200 名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图
所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，
22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这200 名学生中每周的自习时间不少
于22.5 小时的人数是（ ）
A．56
B．60
C．120
D．140
4．（5 分）（2016•山东）若变量x，y 满足
，则x2+y2的最大值是（ ）
A．4 B．9 C．10
D．12
5．（5 分）（2016•山东）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体
的体积为（ ）
第1页（共21页）
A．+ π B．+
π
C．+
π
D．1+
π
6．（5 分）（2016•山东）已知直线a，b 分别在两个不同的平面α，β 内．则“直线a 和直线b 相
交”是“平面α 和平面β 相交”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．（5 分）（2016•山东）函数f（x）=（
sinx+cosx）（
cosx
sinx
﹣
）的最小正周期是（ ）
A．
B．π C．
D．2π
8．（5 分）（2016•山东）已知非零向量，满足4| |=3| |，cos＜，＞= ．若⊥（t + ），则
实数t 的值为（ ）
A．4 B．﹣4
C．D．﹣
9．（5 分）（2016•山东）已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0 时，f（x）=x3
1
﹣；当﹣1≤x≤1 时，f
（﹣x）=
f
﹣（x）；当x＞时，f（x+ ）=f（x﹣）．则f（6）=（ ）
A．﹣2 B．﹣1
C．0 D．2
10．（5 分）（2016•山东）若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切
线互相垂直，则称y=f（x）具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是（ ）
A．y=sinx
B．y=lnx C．y=ex D．y=x3
二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共25 分.
11．（5 分）（2016•山东）执行如图的程序框图，若输入的a，b 的值分别为0 和9，则输出的i 的
值为 ．
12．（5 分）（2016•山东）若（ax2+
）5的展开式中x5的系数是﹣80，则实数a= ．
第2页（共21页）
13．（5 分）（2016•山东）已知双曲线E：
﹣
=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD 的四个顶点
在E 上，AB，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E 的离心率是 ．
14．（5 分）（2016•山东）在[
1
﹣，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx 与圆（x
5
﹣）
2+y2=9 相交”发生的概率为 ．
15．（5 分）（2016•山东）已知函数f（x）=
，其中m＞0，若存在实数b，
使得关于x 的方程f（x）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是 ．
三、解答题,：本大题共6 小题，共75 分.
16．（12 分）（2016•山东）在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=
+
．
（Ⅰ）证明：a+b=2c；
（Ⅱ）求cosC 的最小值．
17．（12 分）（2016•山东）在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O′
的直径，FB 是圆台的一条母线．
（I）已知G，H 分别为EC，FB 的中点，求证：GH∥平面ABC；
（Ⅱ）已知EF=FB= AC=2
，AB=BC，求二面角F
BC
A
﹣
﹣
的余弦值．
18．（12 分）（2016•山东）已知数列{an}的前n 项和Sn=3n2+8n，{bn}是等差数列，且
an=bn+bn+1．
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）令cn=
，求数列{cn}的前n 项和Tn．
19．（12 分）（2016•山东）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一
个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3 分；如果只有一个人猜对，则“星
队”得1 分；如果两人都没猜对，则“星队”得0 分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜
对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参
加两轮活动，求：
（I）“星队”至少猜对3 个成语的概率；
（II）“星队”两轮得分之和为X 的分布列和数学期望EX．
第3页（共21页）
20．（13 分）（2016•山东）已知f（x）=a（x
lnx
﹣
）+
，a∈R．
（I）讨论f（x）的单调性；
（II）当a=1 时，证明f（x）＞f′（x）+ 对于任意的x∈[1，2]成立．
21．（14 分）（2016•山东）平面直角坐标系xOy 中，椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的离心率是
，抛物线E：x2=2y 的焦点F 是C 的一个顶点．
（I）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A，B，线
段AB 的中点为D，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M．
（i）求证：点M 在定直线上；
（ii）直线l 与y 轴交于点G，记△PFG 的面积为S1，△PDM 的面积为S2，求
的最大值及取
得最大值时点P 的坐标．
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2016 年山东省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分，每小题给出四个选项，只有一个选项符
合题目要求.
1．（5 分）（2016•山东）若复数z 满足2z+ =3
2i
﹣，其中i 为虚数单位，则z=（ ）
A．1+2i B．1
2i
﹣
C．﹣1+2i
D．﹣1
2i
﹣
【考点】复数代数形式的乘除运算．菁优网版权所有
【专题】计算题；规律型；转化思想；数系的扩充和复数．
【分析】设出复数z，通过复数方程求解即可．
【解答】解：复数z 满足2z+ =3
2i
﹣，
设z=a+bi，
可得：2a+2bi+a
bi=3
2i
﹣
﹣．
解得a=1，b=
2
﹣．
z=1
2i
﹣．
故选：B．
【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．
2．（5 分）（2016•山东）设集合A={y|y=2x，x∈R}，B={x|x2
1
﹣＜0}，则A B=
∪
（ ）
A．（﹣1，1）B．
（0，1）C．
（﹣1，+∞）D．（0，+∞）
【考点】并集及其运算．菁优网版权所有
【专题】计算题；集合思想；数学模型法；集合．
【分析】求解指数函数的值域化简A，求解一元二次不等式化简B，再由并集运算得答案．
【解答】解：∵A={y|y=2x，x∈R}=（0，+∞），
B={x|x2
1
﹣＜0}=（﹣1，1），
A B=
∴∪
（0，+∞）∪（﹣1，1）=（﹣1，+∞）．
故选：C．
【点评】本题考查并集及其运算，考查了指数函数的值域，考查一元二次不等式的解法，是基
础题．
3．（5 分）（2016•山东）某高校调查了200 名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图
所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，
22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这200 名学生中每周的自习时间不少
于22.5 小时的人数是（ ）
第5页（共21页）
A．56
B．60
C．120
D．140
【考点】频率分布直方图．菁优网版权所有
【专题】计算题；图表型；概率与统计．
【分析】根据已知中的频率分布直方图，先计算出自习时间不少于22.5 小时的频率，进而可得
自习时间不少于22.5 小时的频数．
【解答】解：自习时间不少于22.5 小时的频率为：（0.16+0.08+0.04）×2.5=0.7，
故自习时间不少于22.5 小时的频率为：0.7×200=140，
故选：D
【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，难度不大，属于基础题目．
4．（5 分）（2016•山东）若变量x，y 满足
，则x2+y2的最大值是（ ）
A．4 B．9 C．10
D．12
【考点】简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】计算题；对应思想；数形结合法；不等式．
【分析】由约束条件作出可行域，然后结合x2+y2的几何意义，即可行域内的动点与原点距离
的平方求得x2+y2的最大值．
【解答】解：由约束条件
作出可行域如图，
A
∵（0，﹣3），C（0，2），
|OA|
∴
＞|OC|，
联立
，解得B（3，﹣1）．
∵
，
x
∴2+y2的最大值是10．
故选：C．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是
中档题．
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5．（5 分）（2016•山东）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体
的体积为（ ）
A．+ π B．+
π
C．+
π
D．1+
π
【考点】由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
【专题】计算题；空间位置关系与距离；立体几何．
【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，进而可得答
案．
【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，
半球的直径为棱锥的底面对角线，
由棱锥的底底面棱长为1，可得2R=
．
故R=
，故半球的体积为：
=
π，
棱锥的底面面积为：1，高为1，
故棱锥的体积V= ，
故组合体的体积为：+
π，
故选：C
【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的
形状是解答的关键．
6．（5 分）（2016•山东）已知直线a，b 分别在两个不同的平面α，β 内．则“直线a 和直线b 相
交”是“平面α 和平面β 相交”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．菁优网版权所有
【专题】探究型；空间位置关系与距离；简易逻辑．
【分析】根据空间直线与直线，平面与平面位置关系的几何特征，结合充要条件的定义，可得
答案．
【解答】解：当“直线a 和直线b 相交”时，“平面α 和平面β 相交”成立，
第7页（共21页）
当“平面α 和平面β 相交”时，“直线a 和直线b 相交”不一定成立，
故“直线a 和直线b 相交”是“平面α 和平面β 相交”的充分不必要条件，
故选：A
【点评】本题考查的知识点是充要条件，空间直线与平面的位置关系，难度不大，属于基础题．
7．（5 分）（2016•山东）函数f（x）=（
sinx+cosx）（
cosx
sinx
﹣
）的最小正周期是（ ）
A．
B．π C．
D．2π
【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的图像与性质．
【分析】利用和差角及二倍角公式，化简函数的解析式，进而可得函数的周期．
【解答】解：数f（x）=（
sinx+cosx）
（
cosx
sinx
﹣
）=2sin（x+
）•2cos（x+
）=2sin（2x+
），
T=π
∴
，
故选：B
【点评】本题考查的知识点是和差角及二倍角公式，三角函数的周期，难度中档．
8．（5 分）（2016•山东）已知非零向量，满足4| |=3| |，cos＜，＞= ．若⊥（t + ），则
实数t 的值为（ ）
A．4 B．﹣4
C．D．﹣
【考点】平面向量数量积的运算．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；平面向量及应用．
【分析】若⊥（t + ），则•（t + ）=0，进而可得实数t 的值．
【解答】解：∵4| |=3| |，cos＜，＞= ，⊥（t + ），
∴•（t + ）=t • +
2=t| |•| |• +| |2=（
）| |2=0，
解得：t=
4
﹣，
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，向量垂直的充要条件，难度不大，属于
基础题．
9．（5 分）（2016•山东）已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0 时，f（x）=x3
1
﹣；当﹣1≤x≤1 时，f
（﹣x）=
f
﹣（x）；当x＞时，f（x+ ）=f（x﹣）．则f（6）=（ ）
A．﹣2 B．﹣1
C．0 D．2
【考点】抽象函数及其应用．菁优网版权所有
【专题】综合题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】求得函数的周期为1，再利用当﹣1≤x≤1 时，f（﹣x）=
f
﹣（x），得到f（1）=
f
﹣（﹣1），当
x＜0 时，f（x）=x3
1
﹣，得到f（﹣1）=
2
﹣，即可得出结论．
第8页（共21页）
【解答】解：∵当x＞时，f（x+ ）=f（x﹣），
∴当x＞时，f（x+1）=f（x），即周期为1．
f
∴（6）=f（1），
∵当﹣1≤x≤1 时，f（﹣x）=
f
﹣（x），
f
∴（1）=
f
﹣（﹣1），
∵当x＜0 时，f（x）=x3
1
﹣，
f
∴（﹣1）=
2
﹣，
f
∴（1）=
f
﹣（﹣1）=2，
f
∴（6）=2．
故选：D．
【点评】本题考查函数值的计算，考查函数的周期性，考查学生的计算能力，属于中档题．
10．（5 分）（2016•山东）若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切
线互相垂直，则称y=f（x）具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是（ ）
A．y=sinx
B．y=lnx C．y=ex D．y=x3
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；导数的概念及应用．
【分析】若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则
函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，进而可得答案．
【解答】解：函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，
则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，
当y=sinx 时，y′=cosx，满足条件；
当y=lnx 时，y′= ＞0 恒成立，不满足条件；
当y=ex时，y′=ex＞0 恒成立，不满足条件；
当y=x3时，y′=3x2＞0 恒成立，不满足条件；
故选：A
【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，转化思想，难度中档．
二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共25 分.
11．（5 分）（2016•山东）执行如图的程序框图，若输入的a，b 的值分别为0 和9，则输出的i 的
值为
3
．
第9页（共21页）
【考点】程序框图．菁优网版权所有
【专题】计算题；操作型；算法和程序框图．
【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i 的值，模
拟程序的运行过程，可得答案．
【解答】解：∵输入的a，b 的值分别为0 和9，i=1．
第一次执行循环体后：a=1，b=8，不满足条件a＜b，故i=2；
第二次执行循环体后：a=3，b=6，不满足条件a＜b，故i=3；
第三次执行循环体后：a=6，b=3，满足条件a＜b，
故输出的i 值为：3，
故答案为：3
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序
法进行解答．
12．（5 分）（2016•山东）若（ax2+
）5的展开式中x5的系数是﹣80，则实数a= ﹣
2
．
【考点】二项式系数的性质．菁优网版权所有
【专题】二项式定理．
【分析】利用二项展开式的通项公式Tr+1=
（ax2）5
r
﹣
，化简可得求的x5的系数．
【解答】解：（ax2+
）5的展开式的通项公式Tr+1=
（ax2）5
r
﹣
=
a5
r
﹣
，
令10﹣
=5，解得r=2．
∵（ax2+
）5的展开式中x5的系数是﹣80
∴
a3=
80
﹣
，
得a=
2
﹣．
【点评】考查了利用二项式定理的性质求二项式展开式的系数，属常规题型．
第10页（共21页）
13．（5 分）（2016•山东）已知双曲线E：
﹣
=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD 的四个顶点
在E 上，AB，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E 的离心率是
2
．
【考点】双曲线的简单性质．菁优网版权所有
【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】可令x=c，代入双曲线的方程，求得y=±
，再由题意设出A，B，C，D 的坐标，由2|
AB|=3|BC|，可得a，b，c 的方程，运用离心率公式计算即可得到所求值．
【解答】解：令x=c，代入双曲线的方程可得y=±b
=±
，
由题意可设A（﹣c，
），B（﹣c，﹣
），C（c，﹣
），D（c，
），
由2|AB|=3|BC|，可得
2•
=3•2c，即为2b2=3ac，
由b2=c2
a
﹣2，e= ，可得2e2
3e
2=0
﹣
﹣
，
解得e=2（负的舍去）．
故答案为：2．
【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用方程的思想，正确设出A，B，C，D 的坐标
是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．
14．（5 分）（2016•山东）在[
1
﹣，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx 与圆（x
5
﹣）
2+y2=9 相交”发生的概率为 ．
【考点】几何概型．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．
【分析】利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交，可求出满足条件的k，最后根
据几何概型的概率公式可求出所求．
【解答】解：圆（x
5
﹣）2+y2=9 的圆心为（5，0），半径为3．
圆心到直线y=kx 的距离为
，
第11页（共21页）
要使直线y=kx 与圆（x
5
﹣）2+y2=9 相交，则
＜3，解得﹣＜k＜．
∴在区间[
1
﹣，1]上随机取一个数k，使直线y=kx 与圆（x
5
﹣）2+y2=9 相交相交的概率为
= ．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关键弄清概率类
型，同时考查了计算能力，属于基础题．
15．（5 分）（2016•山东）已知函数f（x）=
，其中m＞0，若存在实数b，
使得关于x 的方程f（x）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是 （
3 ，
+∞
）
．
【考点】根的存在性及根的个数判断．菁优网版权所有
【专题】转化思想；数形结合法；函数的性质及应用．
【分析】作出函数f（x）=
的图象，依题意，可得4m
m
﹣
2＜m（m＞0），
解之即可．
【解答】解：当m＞0 时，函数f（x）=
的图象如下：
x
∵＞m 时，f（x）=x2
2mx+4m=
﹣
（x
m
﹣）2+4m
m
﹣
2＞4m
m
﹣
2，
y
∴要使得关于x 的方程f（x）=b 有三个不同的根，
必须4m
m
﹣
2＜m（m＞0），
即m2＞3m（m＞0），
解得m＞3，
m
∴
的取值范围是（3，+∞），
故答案为：（3，+∞）．
第12页（共21页）
【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，数形结合思想的运用是关键，分析得到4m﹣
m2＜m 是难点，属于中档题．
三、解答题,：本大题共6 小题，共75 分.
16．（12 分）（2016•山东）在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=
+
．
（Ⅰ）证明：a+b=2c；
（Ⅱ）求cosC 的最小值．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理；余弦定理．菁优网版权所有
【专题】计算题；证明题；综合法；解三角形．
【分析】（Ⅰ）由切化弦公式
，带入
并整理可得2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+cosB，这样根据
两角和的正弦公式即可得到sinA+sinB=2sinC，从而根据正弦定理便可得出a+b=2c；
（Ⅱ）根据a+b=2c，两边平方便可得出a2+b2+2ab=4c2，从而得出a2+b2=4c2
2ab
﹣
，并由不等式
a2+b2≥2ab 得出c2≥ab，也就得到了
，这样由余弦定理便可得出
，从而
得出cosC 的范围，进而便可得出cosC 的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）证明：由
得：
；
∴两边同乘以cosAcosB 得，2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB；
2sin
∴
（A+B）=sinA+sinB；
即sinA+sinB=2sinC（1）；
根据正弦定理，
；
∴
，带入（1）得：
；
a+b=2c
∴
；
第13页（共21页）
（Ⅱ）a+b=2c；
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=4c2；
a
∴2+b2=4c2
2ab
﹣
，且4c2≥4ab，当且仅当a=b 时取等号；
又a，b＞0；
∴
；
∴由余弦定理，
=
；
cosC
∴
的最小值为．
【点评】考查切化弦公式，两角和的正弦公式，三角形的内角和为π，以及三角函数的诱导公
式，正余弦定理，不等式a2+b2≥2ab 的应用，不等式的性质．
17．（12 分）（2016•山东）在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O′
的直径，FB 是圆台的一条母线．
（I）已知G，H 分别为EC，FB 的中点，求证：GH∥平面ABC；
（Ⅱ）已知EF=FB= AC=2
，AB=BC，求二面角F
BC
A
﹣
﹣
的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．菁优网版权所有
【专题】证明题；转化思想；向量法；空间位置关系与距离；空间角．
【分析】（Ⅰ）取FC 中点Q，连结GQ、QH，推导出平面GQH∥平面ABC，由此能证明GH∥平
面ABC．
（Ⅱ）由AB=BC，知BO AC
⊥
，以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OO′为z 轴，建立空间直角
坐标系，利用向量法能求出二面角F
BC
A
﹣
﹣
的余弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）取FC 中点Q，连结GQ、QH，
G
∵、H 为EC、FB 的中点，
GQ
∴
，QH∥
，
又∵EF
BO，∴GQ
BO，
∴平面GQH∥平面ABC，
GH
∵
⊂面GQH，∴GH∥平面ABC．
解：（Ⅱ）∵AB=BC，∴BO AC
⊥
，
又∵OO′⊥面ABC，
∴以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OO′为z 轴，建立空间直角坐标系，
则A（
，0，0），C（﹣2
，0，0），B（0，2
，0），O′（0，0，3），F（0，
，3），
=（﹣2
，﹣
，﹣3），
=（2
，2
，0），
第14页（共21页）
由题意可知面ABC 的法向量为
=（0，0，3），
设=（x0，y0，z0）为面FCB 的法向量，
则
，即
，
取x0=1，则=（1，﹣1，﹣
），
cos
∴
＜
，＞=
=﹣
．
∵二面角F
BC
A
﹣
﹣
的平面角是锐角，
∴二面角F
BC
A
﹣
﹣
的余弦值为
．
【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审
题，注意向量法的合理运用．
18．（12 分）（2016•山东）已知数列{an}的前n 项和Sn=3n2+8n，{bn}是等差数列，且
an=bn+bn+1．
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）令cn=
，求数列{cn}的前n 项和Tn．
【考点】数列的求和；数列递推式．菁优网版权所有
【专题】综合题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．
【分析】（Ⅰ）求出数列{an}的通项公式，再求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求出数列{cn}的通项，利用错位相减法求数列{cn}的前n 项和Tn．
【解答】解：（Ⅰ）Sn=3n2+8n，
n≥2
∴
时，an=Sn
S
﹣
n
1
﹣=6n+5，
n=1 时，a1=S1=11，∴an=6n+5；
a
∵n=bn+bn+1，
a
∴n
1
﹣=bn
1
﹣+bn，
a
∴n
a
﹣n
1
﹣=bn+1
b
﹣n
1
﹣．
2d=6
∴
，
d=3
∴
，
a
∵1=b1+b2，
第15页（共21页）
11=2b
∴
1+3，
b
∴1=4，
b
∴n=4+3（n
1
﹣）=3n+1；
（Ⅱ）cn=
=
=6（n+1）•2n，
T
∴
n=6[2•2+3•22+…+（n+1）•2n]①，
2T
∴
n=6[2•22+3•23+…+n•2n+（n+1）•2n+1]②，
①﹣②可得﹣Tn=6[2•2+22+23+…+2n﹣（n+1）•2n+1]=12+6×
6
﹣（n+1）•2n+1=（﹣
6n）•2n+1=
3n•2
﹣
n+2，
T
∴
n=3n•2n+2．
【点评】本题考查数列的通项与求和，着重考查等差数列的通项与错位相减法的运用，考查分
析与运算能力，属于中档题．
19．（12 分）（2016•山东）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一
个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3 分；如果只有一个人猜对，则“星
队”得1 分；如果两人都没猜对，则“星队”得0 分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜
对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参
加两轮活动，求：
（I）“星队”至少猜对3 个成语的概率；
（II）“星队”两轮得分之和为X 的分布列和数学期望EX．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随
机变量及其分布列．菁优网版权所有
【专题】计算题；分类讨论；分类法；概率与统计．
【分析】（I）“星队”至少猜对3 个成语包含“甲猜对1 个，乙猜对2 个”，“甲猜对2 个，乙
猜对1 个”，“甲猜对2 个，乙猜对2 个”三个基本事件，进而可得答案；
（II）由已知可得：“星队”两轮得分之和为X 可能为：0，1，2，3，4，6，进而得到X 的分布列
和数学期望．
【解答】解：（I）“星队”至少猜对3 个成语包含“甲猜对1 个，乙猜对2 个”，“甲猜对2 个，
乙猜对1 个”，“甲猜对2 个，乙猜对2 个”三个基本事件，
故概率P=
+
+
= + + = ，
（II）“星队”两轮得分之和为X 可能为：0，1，2，3，4，6，
则P（X=0）=
=
，
P（X=1）=2×[
+
]=
，
第16页（共21页）
P（X=2）=
+
+
+
=
，
P（X=3）=2×
=
，
P（X=4）=2×[
+
]=
P（X=6）=
=
故X 的分布列如下图所示：
X
0
1
2
3
4
6
P
∴数学期望EX=0×
+1×
+2×
+3×
+4×
+6×
=
=
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，属中档题．
20．（13 分）（2016•山东）已知f（x）=a（x
lnx
﹣
）+
，a∈R．
（I）讨论f（x）的单调性；
（II）当a=1 时，证明f（x）＞f′（x）+ 对于任意的x∈[1，2]成立．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】综合题；函数思想；综合法；导数的概念及应用．
【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，然后对a 分类分析导函数的符号，由导函数的符号确定
原函数的单调性；
（Ⅱ）构造函数F（x）=f（x）﹣f′（x），令g（x）=x
lnx
﹣
，h（x）=
．则F（x）=f（x）
﹣f′（x）=g（x）+h（x），利用导数分别求g（x）与h（x）的最小值得到F（x）＞恒成立．由此可
得f（x）＞f′（x）+ 对于任意的x∈[1，2]成立．
【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=a（x
lnx
﹣
）+
，
得f′（x）=a（1﹣）+
=
=
（x＞0）．
若a≤0，则ax2
2
﹣＜0 恒成立，
第17页（共21页）
∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
当a＞0，若0＜a＜2，当x∈（0，1）和（
，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，
当x∈（1，
）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
若a=2，f′（x）≥0 恒成立，f（x）在（0，+∞）上为增函数；
若a＞2，当x∈（0，
）和（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，
当x∈（
，1）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
（Ⅱ）解：∵a=1，
令F（x）=f（x）﹣f′（x）=x
lnx
﹣
1
﹣
=x
lnx+
﹣
．
令g（x）=x
lnx
﹣
，h（x）=
．
则F（x）=f（x）﹣f′（x）=g（x）+h（x），
由
，可得g（x）≥g（1）=1，当且仅当x=1 时取等号；
又
，设φ（x）=
3x
﹣
2
2x+6
﹣
，则φ（x）在[1，2]上单调递减，
且φ（1）=1，φ（2）=
10
﹣
，
∴在[1，2]上存在x0，使得x∈（1，x0） 时φ（x0）＞0，x∈（x0，2）时，φ（x0）＜0，
∴函数φ（x）在（1，x0）上单调递增；在（x0，2）上单调递减，
由于h（1）=1，h（2）= ，因此h（x）≥h（2）= ，当且仅当x=2 取等号，
f
∴（x）﹣f′（x）=g（x）+h（x）＞g（1）+h（2）= ，
F
∴（x）＞恒成立．
即f（x）＞f′（x）+ 对于任意的x∈[1，2]成立．
【点评】本题考查利用导数加以函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，考查了分类讨
论的数学思想方法和数学转化思想方法，是压轴题．
21．（14 分）（2016•山东）平面直角坐标系xOy 中，椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的离心率是
，抛物线E：x2=2y 的焦点F 是C 的一个顶点．
（I）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A，B，线
段AB 的中点为D，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M．
第18页（共21页）
（i）求证：点M 在定直线上；
（ii）直线l 与y 轴交于点G，记△PFG 的面积为S1，△PDM 的面积为S2，求
的最大值及取
得最大值时点P 的坐标．
【考点】椭圆的简单性质．菁优网版权所有
【专题】方程思想；分析法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（I）运用椭圆的离心率公式和抛物线的焦点坐标，以及椭圆的a，b，c 的关系，解得a，
b，进而得到椭圆的方程；
（Ⅱ）（i）设P（x0，y0），运用导数求得切线的斜率和方程，代入椭圆方程，运用韦达定理，可得
中点D 的坐标，求得OD 的方程，再令x=x0，可得y=﹣．进而得到定直线；
（ii）由直线l 的方程为y=x0x
y
﹣0，令x=0，可得G（0，﹣y0），运用三角形的面积公式，可得S1=
|FG|•|x0|= x0•（+y0），S2= |PM|•|x0﹣
|，化简整理，再1+2x0
2=t（t≥1），整理可得t 的
二次方程，进而得到最大值及此时P 的坐标．
【解答】解：（I）由题意可得e= =
，抛物线E：x2=2y 的焦点F 为（0，），
即有b= ，a2
c
﹣2= ，
解得a=1，c=
，
可得椭圆的方程为x2+4y2=1；
（Ⅱ）（i）证明：设P（x0，y0），可得x0
2=2y0，
由y= x2的导数为y′=x，即有切线的斜率为x0，
则切线的方程为y
y
﹣0=x0（x
x
﹣0），
可化为y=x0x
y
﹣0，代入椭圆方程，
可得（1+4x0
2）x2
8x
﹣
0y0x+4y0
2
1=0
﹣
，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
可得x1+x2=
，即有中点D（
，﹣
），
直线OD 的方程为y=﹣
x，可令x=x0，可得y=﹣．
即有点M 在定直线y=﹣上；
第19页（共21页）
（ii）直线l 的方程为y=x0x
y
﹣0，令x=0，可得G（0，﹣y0），
则S1= |FG|•|x0|= x0•（+y0）= x0（1+x0
2）；
S2= |PM|•|x0﹣
|= （y0+ ）•
= x0•
，
则
=
，
令1+2x0
2=t（t≥1），则
=
=
=
=2+ ﹣
=﹣（﹣）2+ ，
则当t=2，即x0=
时，
取得最大值，
此时点P 的坐标为（
，）．
【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率和抛物线的焦点坐标，考查直线
和抛物线斜的条件，以及直线方程的运用，考查三角形的面积的计算，以及化简整理的运算
能力，属于难题．
第20页（共21页）
参与本试卷答题和审题的老师有：qiss；sxs123；翔宇老师；546278733@qq.com；于东；双曲线；
wfy814；wkl197822；zlzhan（排名不分先后）
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2016 年6 月13 日
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