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2017 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1.
（ ）
A．
B．
C．
D．
2.设集合
，
．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，
红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：
一座7 层塔共挂了381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层
灯数的2 倍，则塔的顶层共有灯（ ）
A．1 盏 B．3 盏 C．5 盏 D．9 盏
4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的
是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一
部分所得，则该几何体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
5.设，
满足约束条件
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C． 1 D． 9
6.安排3 名志愿者完成4 项工作，每人至少完成1 项，每项工作由1 人完成，
则不同的安排方式共有（ ）
A．12 种 B．18 种 C．24 种 D．36 种
7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们
四人中有2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成
绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上
信息，则（ ）
A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩
8.执行右面的程序框图，如果输入的
，则输出的
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9.若双曲线
（
，
）的一条渐近线被圆
所截得的弦
长为2，则
的离心率为（ ）
A2 B．
C．
D．
10.已知直三棱柱
中，
，
，
，则异面直线
与
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
11.若
是函数
的极值点，则
的极小值为（ ）
A.
B.
C.
D.1
12.已知
是边长为2 的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则
的最小值
是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13.一批产品的二等品率为
，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取
次，
表
示抽到的二等品件数，则
．
14.函数
（
）的最大值是 ．
15.等差数列
的前项和为
，
，
，则
．
16.已知
是抛物线
的焦点，
是
上一点，
的延长线交
轴于点
．若
为
的中点，则
．
三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21 题为必做题，每
个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60 分。
17.（12 分）
的内角
的对边分别为
,已知
．
(1)求
(2)若
,
面积为2,求
18.（12 分）
淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取100 个网箱，
测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率直方图如下：
（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于
50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A 的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法
有关：
（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到
0.01）
附：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828 E 是PD 的中点
19.（12 分）
如图，四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于
底面三角形BCD，
z
y
x
M'
M
O
F
P
A
B
C
D
E
（1）证明：直线
平面PAB
（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成锐角为
，求二面角M-AB-D 的余
弦值
20. （12 分）
设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C：
上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N，点P 满足
.
(1) 求点P 的轨迹方程；
(2) 设点Q 在直线x=-3 上，且
.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线过C 的左
焦点F.
21.（12 分）
已知函数
且
.
（1）求a；
（2）证明：
存在唯一的极大值点
，且.
.
（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计
分。
22.选修4-4：坐标系与参数方程（10 分）
在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极
坐标方程为
．
（1）M 为曲线
上的动点，点P 在线段OM 上，且满足
,求点P 的轨迹
的直
角坐标方程；
（2）设点A 的极坐标为
，点B 在曲线
上，求
面积的最大值．
23.选修4-5：不等式选讲（10 分）
已知
.证明：
（1）
错误: 引用源未找到；
（2）错误: 引用源未找到。
2017 年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅱ卷）
理科数学解析
1．D
【解析】
3
i 1 i
3
i
2
i
1 i
1 i 1 i
2．C
【解析】1 是方程
2
4
0
x
x
m
的解，
1
x 代入方程得
3
m
∴
2
4
3
0
x
x
的解为
1
x 或
3
x ，∴
1
3
B
，
3．B
【解析】设顶层灯数为
1a ，
2
q
，
7
1
7
1
2
381
1
2
a
S
，解得
1
3
a
．
4．B
【解析】该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6 的圆柱的一半．
2
2
1
1
π 3 10
π 3
6
63π
2
2
V
V
V
总
上
5．A
【解析】目标区域如图所示，当直线
-2
y =
x+ z 取到点
6
3
，
时，所求z 最小值为15
．
6．D
【解析】只能是一个人完成2 份工作，剩下2 人各完成一份工作．
由此把4 份工作分成3 份再全排得
2
3
4
3
C
A
36
7．D
【解析】四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说的话．
甲不知自己成绩→乙、丙中必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己成绩；两良亦
然）→乙看了丙成绩，知自己成绩→丁看甲，甲、丁中也为一优一良，丁知自己成绩．
8．B
【解析】
0
S
，
1
k ，
1
a 代入循环得，
7
k
时停止循环，
3
S
．
9．A
【解析】取渐近线
b
y
x
a
，化成一般式
0
bx
ay
，圆心
2
0
，
到直线距离为
2
2
2
3
b
a
b
得
2
2
4
c
a
，
2
4
e
，
2
e
．
10．C
【解析】M ，N ，P 分别为AB ，
1
BB ，
1
1
B C 中点，则
1
AB ，
1
BC 夹角为MN 和NP 夹角或其补角
（异面线所成角为
π
0
2
，
）
可知
1
1
5
2
2
MN
AB
，
1
1
2
2
2
NP
BC
，
作BC 中点Q ，则可知
PQM
△
为直角三角形．
1
PQ
，
1
2
MQ
AC
ABC
△
中，
2
2
2
2
cos
AC
AB
BC
AB BC
ABC
1
4
1
2
2 1
7
2
，
7
AC
则
7
2
MQ
，则
MQP
△
中，
2
2
11
2
MP
MQ
PQ
则
PMN
△
中，
2
2
2
cos
2
MN
NP
PM
PNM
MH NP
2
2
2
5
2
11
2
2
2
10
5
5
2
2
2
2
又异面线所成角为
π
0
2
，
，则余弦值为
10
5
．
11．A
【解析】
2
1
2
1
x
f
x
x
a
x
a
e
，
则
3
2
4
2
2
1
0
1
f
a
a
e
a
，
则
2
1
1
x
f x
x
x
e
，
2
1
2
x
f
x
x
x
e
，
令
0
f
x
，得
2
x 或
1
x ，
当
2
x 或
1
x 时，
0
f
x
，
当2
1
x
时，
0
f
x
，
则
f x 极小值为
1
1
f
．
12．B
【解析】几何法：
如图，
2
PB
PC
PD
（D 为BC 中点），
则
2
PA
PB
PC
PD PA
，
要使PA PD
最小，则PA
，PD
方向相反，即P 点在
线段AD 上，
则
min
2
2
PD PA
PA
PD
，
即求PD
PA
最大值，
又
3
2
3
2
PA
PD
AD
，
则
2
2
3
3
2
2
4
PA
PD
PA
PD
≤
，
则
min
3
3
2
2
4
2
PD PA
．
解析法：
建立如图坐标系，以BC 中点为坐标原点，
∴
0
3
A
，
，
1
0
B ，
，
1
0
C
，
．
设
P x
y
，
，
3
PA
x
y
，
，
1
PB
x
y
，
，
1
PC
x
y
，
，
∴
2
2
2
2 2
2
PA
PB
PC
x
y
y
2
2
3
3
2
2
4
x
y
则其最小值为
3
3
2
4
2
，此时
0
x
，
3
2
y
．
13．1.96
【解析】有放回的拿取，是一个二项分布模型，其中
0.02
p
，
100
n
则
1
100
0.02
0.98
1.96
x
D
np
p
14．1
【解析】
2
3
π
sin
3cos
0
4
2
f x
x
x
x
，
2
3
1
cos
3cos
4
f x
x
x
令cos x
t
且
0
1
t
，
P
D
C
B
A
2
1
3
4
y
t
t
2
3
1
2
t
则当
3
2
t
时，
f x 取最大值1．
15．2
+1
n
n
【解析】设
na
首项为
1a ，公差为d ．
则
3
1
2
3
a
a
d
4
1
4
6
10
S
a
d
求得
1
1
a ，
1
d ，则
na
n
，
1
2
n
n n
S
1
1
2
2
2
2
1 2
2
3
1
1
n
k
kS
n n
n n
1
1
1
1
1
1
1
2 1
2
2
3
1
1
n
n
n
n
1
2
2 1
1
1
n
n
n
16．6
【解析】
2
8
y
x
则
4
p
，焦点为
2
0
F
，
，准线:
2
l x ，
如图，M 为F 、N 中点，
故易知线段BM 为梯形AFMC 中位线，
∵
2
CN
，
4
AF
，
∴
3
ME
又由定义ME
MF
，
且MN
NF
，
∴
6
NF
NM
MF
17.
l
F
N
M
C
B
A
O
y
x
【解析】（1）依题得：
2
1
cos
sin
8sin
8
4(1
cos
)
2
2
B
B
B
B
．
∵
2
2
sin
cos
1
B
B
，
∴
2
2
16(1
cos )
cos
1
B
B
，
∴
(17cos
15)(cos
1)
0
B
B
，
∴
15
cos
17
B
，
（2）由⑴可知
8
sin
17
B
．
∵
2
ABC
S
△
，
∴
1
sin
2
2 ac
B
，
∴
1
8
2
2
17
ac
，
∴
17
2
ac
，
∵
15
cos
17
B
，
∴
2
2
2
15
2
17
a
c
b
ac
，
∴
2
2
2
15
a
c
b
，
∴
2
2
(
)
2
15
a
c
ac
b
，
∴
2
36
17
15
b
，
∴
2
b
．
18．
【解析】（1）记：“旧养殖法的箱产量低于50kg ” 为事件B
“新养殖法的箱产量不低于50kg ”为事件C
而
0.040
5
0.034
5
0.024
5
0.014
5
0.012
5
P B
0.62
0.068 5
0.046
5
0.010
5
0.008 5
P C
0.66
0.4092
P A
P B P C
（2）
箱产量
50kg
箱产量
50kg
≥
旧养殖法
62
38
新养殖法
34
66
由计算可得
2
K 的观测值为
2
2
200
62
66
38 34
15.705
100 100
96 104
k
∵15.705
6.635
∴
2
6.635
0.001
P K
≥
∴有99% 以上的把握产量的养殖方法有关．
（3）1
5
0.2
，
0.2
0.004
0.020
0.044
0.032
8
0.032
0.068
17
，8
5
2.35
17 ≈
50
2.35
52.35
，∴中位数为52.35 ．
19．【解析】
z
y
x
M'
M
O
F
P
A
B
C
D
E
（1）令PA 中点为F ，连结EF ，BF ，CE ．
∵E ，F 为PD ，PA 中点，∴EF 为
PAD
△
的中位线，∴
1
2
EF
AD
∥
．
又∵
90
BAD
ABC
，∴BC
AD
∥
．
又∵
1
2
AB
BC
AD
，∴
1
2
BC
AD
∥
，∴EF
BC
∥
．
∴四边形BCEF 为平行四边形，∴CE
BF
∥
．
又∵BF
PAB
面
，∴CE
PAB
面
∥
（2）以AD 中点O 为原点，如图建立空间直角坐标系．
设
1
AB
BC
，则
(0
0
0)
O
，，
，(0
1
0)
A
，
，
，(1
1
0)
B
，
，
，(1
0
0)
C
，，
，(0
1
0)
D
，，
，
(0
0
3)
P
，，
．
M 在底面ABCD 上的投影为M ，∴MM
BM
．∵
45
MBM
，
∴
MBM
△
为等腰直角三角形．
∵
POC
△
为直角三角形，
3
3
OC
OP
，∴
60
PCO
．
设MM
a
，
3
3
CM
a
，
3
1
3
OM
a
．∴
3
1
0
0
3
M
a
，，
．
2
2
2
2
3
1
6
1
0
1
3
3
2
BM
a
a
a
a
．∴
3
2
1
1
3
2
OM
a
．
∴
2
1
0
0
2
M
，，
，
2
6
1
0
2
2
M
，，
2
6
1
1
2
2
AM
，，
，
(1
0
0)
AB
，，
．设平面ABM 的法向量
1
1
(0
)
m
y
z
，，
．
1
1
6
0
2
y
z
，∴
(0
6
2)
m
，
，
(0
2
0)
AD
，，
，
(1
0
0)
AB
，，
．设平面ABD 的法向量为
2
(0
0
)
n
z
，，
，
(0
0
1)
n
，，．
∴
10
cos
,
5
m n
m n
m
n
．
∴二面角M
AB
D
的余弦值为
10
5
．
20．
【解析】⑴设
(
)
P x
y
，
，易知
(
0)
N x，
(0
)
NP
y
，
又
1
0
2
2
y
NM
NP
，
∴
1
2
M
x
y
，
，又M 在椭圆上．
∴
2
2
1
2
2
y
x
，即
2
2
2
x
y
．
⑵设点
( 3
)
Q
Q
y
，
，
(
)
P
P
P x
y
，
，(
0)
Q
y
，
由已知：
(
) ( 3
)
1
P
P
P
Q
P
OP PQ
x
y
y
y
y
，
，
，
2
1
OP
OQ
OP
OP OQ
OP
，
∴
2
1
3
OP OQ
OP
，
∴
3
3
P
Q
P
Q
P
P
Q
x
x
y y
x
y y
．
设直线OQ ：
3
Q
y
y
x
，
因为直线l 与OQ
l
垂直．
∴
3
l
Q
k
y
故直线l 方程为
3 (
)
P
P
Q
y
x
x
y
y
，
令
0
y
，得
3(
)
P
Q
P
y y
x
x
，
1
3
P
Q
P
y y
x
x
，
∴
1
3
P
Q
P
x
y
y
x
，
∵
3
3
P
Q
P
y y
x
，
∴
1 (3
3
)
1
3
P
P
x
x
x
，
若
0
Q
y
，则3
3
Px
，
1
Px ，
1
P
y ，
直线OQ 方程为
0
y
，直线l 方程为
1
x ，
直线l 过点( 1
0)
，
，为椭圆C 的左焦点．
21．
【解析】⑴ 因为
ln
0
f x
x ax
a
x
≥
，
0
x
，所以
ln
0
ax
a
x
≥
．
令
ln
g x
ax
a
x
，则1
0
g
，
1
1
ax
g
x
a
x
x
，
当
0
a ≤
时，
0
g
x
，
g x 单调递减，但1
0
g
，
1
x 时，
0
g x
；
当
0
a
时，令
0
g
x
，得
1
x
a
．
当
1
0
x
a
时，
0
g
x
，
g x 单调减；当
1
x
a
时，
0
g
x
，
g x 单调增．
若0
1
a
，则
g x 在
1
1 a
，
上单调减，
1
1
0
g
g
a
；
若
1
a ，则
g x 在
1 1
a
，上单调增，
1
1
0
g
g
a
；
若
1
a ，则
min
1
1
0
g x
g
g
a
，
0
g x ≥
．
综上，
1
a ．
⑵
2
ln
f x
x
x
x
x
，
2
2
ln
f
x
x
x
，
0
x
．
令
2
2
ln
h x
x
x
，则
1
2
1
2
x
h x
x
x
，
0
x
．
令
0
h x
得
1
2
x
，
当
1
0
2
x
时，
0
h x
，
h x 单调递减；当
1
2
x
时，
0
h x
，
h x 单调递
增．
所以，min
1
1
2
ln 2
0
2
h x
h
．
因为
2
2
e
2e
0
h
，
2
2
ln 2
0
h
，
2
1
e
0
2
，
，
1
2
2
，
，
所以在
1
0
2
，
和1
2
，
上，
h x 即
f
x
各有一个零点．
设
f
x
在
1
0
2
，
和1
2
，
上的零点分别为
0
2
x
x
，，因为
f
x
在
1
0
2
，
上
单调减，
所以当
0
0
x
x
时，
0
f
x
，
f x 单调增；当
0
1
2
x
x
时，
0
f
x
，
f x
单调减．因此，
0x 是
f x 的极大值点．
因为，
f
x
在1
2
，
上单调增，所以当
2
1
2
x
x
时，
0
f
x
，
f x 单调
减，
2
x
x
时，
f x 单调增，因此
2x 是
f x 的极小值点．
所以，
f x 有唯一的极大值点
0x ．
由前面的证明可知，
2
0
1
e
2
x
，
，则
2
4
2
2
0
e
e
e
e
f x
f
．
因为
0
0
0
2
2
ln
0
f
x
x
x
，所以
0
0
ln
2
2
x
x
，则
又
2
2
0
0
0
0
0
0
0
2
2
f x
x
x
x
x
x
x
，因为
0
1
0
2
x
，所以
0
1
4
f x
．
因此，
2
0
1
e
4
f x
．
22．
【解析】⑴设
0
0
M
P
，
，
，
则
0
|
|
OM
OP
，
．
0
0
0
0
16
cos
4
解得
4cos
，化为直角坐标系方程为
2
2
2
4
x
y
．
0
x
⑵连接AC ，易知
AOC
△
为正三角形．
|
|
OA 为定值．
∴当高最大时，
AOB
S△
面积最大，
如图，过圆心C 作AO 垂线，交AO 于H 点
交圆C 于B 点，
此时
AOB
S△
最大
max
1 |
| |
|
2
S
AO
HB
1 |
| |
|
|
|
2 AO
HC
BC
3
2
23．
【解析】⑴由柯西不等式得：
2
2
5
5
5
5
3
3
4
a
b
a
b
a a
b b
a
b
≥
当且仅当
5
5
ab
ba
，即
1
a
b
时取等号．
⑵∵
3
3
2
a
b
∴
2
2
2
a
b
a
ab
b
∴
2
3
2
a
b
b
ab
∴
3
3
2
a
b
ab a
b
∴
3
2
3
a
b
ab
a
b
由均值不等式可得：
3
2
2
3
2
a
b
a
b
ab
a
b
≤
∴
3
2
2
3
2
a
b
a
b
a
b
≤
∴
3
3
3
2
4
a
b
a
b
≤
∴
3
1
2
4 a
b
≤
∴
2
a
b
≤
当且仅当
1
a
b
时等号成立．
