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2017 年浙江省高考数学试卷
一、选择题（共10 小题，每小题5 分，满分50 分）
1．（5 分）已知集合P={x|
1
﹣＜x＜1}，Q={x|0＜x＜2}，那么P∪Q=（ ）
A．（﹣1，2）B．（0，1）C．（﹣1，0）D．（1，2）
2．（5 分）椭圆
+
=1 的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（5 分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：
cm2）是（ ）
A．
+1B．
+3C．
+1
D．
+3
4．（5 分）若x、y 满足约束条件
，则z=x+2y 的取值范围是（ ）
A．[0，6] B．[0，4] C．[6，+∞）D．[4，+∞）
5．（5 分）若函数f（x）=x2+ax+b 在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M
m
﹣（ ）
A．与a 有关，且与b 有关
B．与a 有关，但与b 无关
C．与a 无关，且与b 无关D．与a 无关，但与b 有关
6．（5 分）已知等差数列{an}的公差为d，前n 项和为Sn，则“d＞0”是“S4+S6＞
2S5”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
第1页（共25页）
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
7．（5 分）函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）的图象可
能是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（5 分）已知随机变量ξi满足P（ξi=1）=pi，P（ξi=0）=1
p
﹣
i，i=1，2．若0＜p1＜p2＜
，则（ ）
A．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）B．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）
C．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）D．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）
9．（5 分）如图，已知正四面体D
ABC
﹣
（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R 分别
为AB、BC、CA 上的点，AP=PB，
=
=2，分别记二面角D
PR
Q
﹣
﹣，D
PQ
R
﹣
﹣，D
QR
P
﹣
﹣的平面角为α、β、γ，则（ ）
A．γ＜α＜β B．α＜γ＜β C．α＜β＜γ D．β＜γ＜α
10．（5 分）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC 与BD 交
于点O，记I1=
•
，I2=
•
，I3=
•
，则（ ）
第2页（共25页）
A．I1＜I2＜I3 B．I1＜I3＜I2 C．I3＜I1＜I2 D．I2＜I1＜I3
二、填空题：本大题共7 小题，多空题每题6 分，单空题每题4 分，共36 分
11．（4 分）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能
把π 的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π 的值精确到小
数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接
正六边形的面积S6，S6= ．
12．（6 分）已知a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i 是虚数单位），则a2+b2= ，ab=
．
13．（6 分）已知多项式（x+1）3（x+2）2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，则a4= ，a5=
．
14．
（6 分）已知△ABC，AB=AC=4，BC=2，点D 为AB 延长线上一点，BD=2，连结CD，
则△BDC 的面积是 ，com∠BDC= ．
15．（6 分）已知向量、满足| |=1，| |=2，则| + |+| ﹣|的最小值是
，最大值是 ．
16．（4 分）从6 男2 女共8 名学生中选出队长1 人，副队长1 人，普通队员2 人组
成4 人服务队，要求服务队中至少有1 名女生，共有 种不同的选法．（用
数字作答）
17．（4 分）已知a∈R，函数f（x）=|x+
a
﹣|+a 在区间[1，4]上的最大值是5，则a
的取值范围是 ．
三、解答题（共5 小题，满分74 分）
18．（14 分）已知函数f（x）=sin2x
cos
﹣
2x
2
﹣
sinx cosx（x∈R）．
（Ⅰ）求f（
）的值．
（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．
19．
（15 分）如图，已知四棱锥P
ABCD
﹣
，△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，
BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E 为PD 的中点．
（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；
（Ⅱ）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值．
第3页（共25页）
20．（15 分）已知函数f（x）=（x﹣
）e
x
﹣（x≥
）．
（1）求f（x）的导函数；
（2）求f（x）在区间[
，+∞）上的取值范围．
21．
（15 分）如图，已知抛物线x2=y，点A（﹣
，），B（
，），抛物线上的点P（x，
y）（﹣
＜x＜
），过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q．
（Ⅰ）求直线AP 斜率的取值范围；
（Ⅱ）求|PA|•|PQ|的最大值．
22．（15 分）已知数列{xn}满足：x1=1，xn=xn+1+ln（1+xn+1）（n∈N*），证明：当n∈N*时，
（Ⅰ）0＜xn+1＜xn；
（Ⅱ）2xn+1
x
﹣n≤
；
（Ⅲ）
≤xn≤
．
第4页（共25页）
2017 年浙江省高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10 小题，每小题5 分，满分50 分）
1．（5 分）已知集合P={x|
1
﹣＜x＜1}，Q={x|0＜x＜2}，那么P∪Q=（ ）
A．（﹣1，2）B．（0，1）C．（﹣1，0）D．（1，2）
【分析】直接利用并集的运算法则化简求解即可．
【解答】解：集合P={x|
1
﹣＜x＜1}，Q={x|0＜x＜2}，
那么P∪Q={x|
1
﹣＜x＜2}=（﹣1，2）．
故选：A．
【点评】本题考查集合的基本运算，并集的求法，考查计算能力．
2．（5 分）椭圆
+
=1 的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】直接利用椭圆的简单性质求解即可．
【解答】解：椭圆
+
=1，可得a=3，b=2，则c=
=
，
所以椭圆的离心率为：
=
．
故选：B．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．
3．（5 分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：
cm2）是（ ）
第5页（共25页）
A．
+1B．
+3C．
+1
D．
+3
【分析】根据几何体的三视图，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，画出图
形，结合图中数据即可求出它的体积．
【解答】解：由几何的三视图可知，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，
圆锥的底面圆的半径为1，三棱锥的底面是底边长2 的等腰直角三角形，圆锥的
高和棱锥的高相等均为3，
故该几何体的体积为
×
×π×12×3+
×
×
×
×3=
+1，
故选：A
【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得
出原几何体的结构特征，是基础题目．
4．（5 分）若x、y 满足约束条件
，则z=x+2y 的取值范围是（ ）
A．[0，6] B．[0，4] C．[6，+∞）D．[4，+∞）
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可．
第6页（共25页）
【解答】解：x、y 满足约束条件
，表示的可行域如图：
目标函数z=x+2y 经过坐标原点时，函数取得最小值，
经过A 时，目标函数取得最大值，
由
解得A（0，3），
目标函数的直线为：0，最大值为：36
目标函数的范围是[0，6]．
故选：A．
【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解
题的关键．
5．（5 分）若函数f（x）=x2+ax+b 在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M
m
﹣（ ）
A．与a 有关，且与b 有关
B．与a 有关，但与b 无关
C．与a 无关，且与b 无关D．与a 无关，但与b 有关
【分析】结合二次函数的图象和性质，分类讨论不同情况下M
m
﹣
的取值与a，b
的关系，综合可得答案．
【解答】解：函数f（x）=x2+ax+b 的图象是开口朝上且以直线x=﹣
为对称轴的抛
物线，
①当﹣
＞1 或﹣
＜0，即a＜﹣2，或a＞0 时，
函数f（x）在区间[0，1]上单调，
此时M
m=
﹣
|f（1）﹣f（0）|=|a|，
第7页（共25页）
故M
m
﹣
的值与a 有关，与b 无关
②当
≤﹣
≤1，即﹣2≤a≤﹣1 时，
函数f（x）在区间[0，﹣
]上递减，在[﹣
，1]上递增，
且f（0）＞f（1），
此时M
m=f
﹣
（0）﹣f（﹣
）=
，
故M
m
﹣
的值与a 有关，与b 无关
③当0≤﹣
＜
，即﹣1＜a≤0 时，
函数f（x）在区间[0，﹣
]上递减，在[﹣
，1]上递增，
且f（0）＜f（1），
此时M
m=f
﹣
（0）﹣f（﹣
）=a﹣
，
故M
m
﹣
的值与a 有关，与b 无关
综上可得：M
m
﹣
的值与a 有关，与b 无关
故选：B
【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象
和性质，是解答的关键．
6．（5 分）已知等差数列{an}的公差为d，前n 项和为Sn，则“d＞0”是“S4+S6＞
2S5”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据等差数列的求和公式和S4+S6＞2S5，可以得到d＞0，根据充分必要条
件的定义即可判断．
【解答】解：∵S4+S6＞2S5，
∴4a1+6d+6a1+15d＞2（5a1+10d），
∴21d＞20d，
∴d＞0，
第8页（共25页）
故“d＞0”是“S4+S6＞2S5”充分必要条件，
故选：C
【点评】本题借助等差数列的求和公式考查了充分必要条件，属于基础题
7．（5 分）函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）的图象可
能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据导数与函数单调性的关系，当f′（x）＜0 时，函数f（x）单调递减，当f′
（x）＞0 时，函数f（x）单调递增，根据函数图象，即可判断函数的单调性，然后根
据函数极值的判断，即可判断函数极值的位置，即可求得函数y=f（x）的图象可能
【解答】解：由当f′（x）＜0 时，函数f（x）单调递减，当f′（x）＞0 时，函数f（x）单调
递增，
则由导函数y=f′（x）的图象可知：f（x）先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最
后单调递增，排除A，C，
且第二个拐点（即函数的极大值点）在x 轴上的右侧，排除B，
故选D
【点评】本题考查导数的应用，考查导数与函数单调性的关系，考查函数极值的判
断，考查数形结合思想，属于基础题．
8．（5 分）已知随机变量ξi满足P（ξi=1）=pi，P（ξi=0）=1
p
﹣
i，i=1，2．若0＜p1＜p2＜
，则（ ）
A．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）B．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）
C．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）D．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）
第9页（共25页）
【分析】由已知得0＜p1＜p2＜
，＜1
p
﹣
2＜1
p
﹣
1＜1，求出E（ξ1）=p1，E（ξ2）=p2，
从而求出D（ξ1），D（ξ2），由此能求出结果．
【解答】解：∵随机变量ξi满足P（ξi=1）=pi，P（ξi=0）=1
p
﹣
i，i=1，2，…，
0＜p1＜p2＜
，
∴
＜1
p
﹣
2＜1
p
﹣
1＜1，
E（ξ1）=1×p1+0×（1
p
﹣
1）=p1，
E（ξ2）=1×p2+0×（1
p
﹣
2）=p2，
D（ξ1）=（1
p
﹣
1）2p1+（0
p
﹣
1）2（1
p
﹣
1）=
，
D（ξ2）=（1
p
﹣
2）2p2+（0
p
﹣
2）2（1
p
﹣
2）=
，
D（ξ1）﹣D（ξ2）=p1
p
﹣
1
2﹣（
）=（p2
p
﹣
1）（p1+p2
1
﹣）＜0，
∴E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）．
故选：A．
【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望和方差等基础知识，考查推理论证
能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中
档题．
9．（5 分）如图，已知正四面体D
ABC
﹣
（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R 分别
为AB、BC、CA 上的点，AP=PB，
=
=2，分别记二面角D
PR
Q
﹣
﹣，D
PQ
R
﹣
﹣，D
QR
P
﹣
﹣的平面角为α、β、γ，则（ ）
A．γ＜α＜β B．α＜γ＜β C．α＜β＜γ D．β＜γ＜α
第10页（共25页）
【分析】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系．设底面△ABC 的中心为O．不妨
设OP=3．则O（0，0，0），P（0，﹣3，0），C（0，﹣6，0），D（0，0，6
），Q
，R
，利用法向量的夹角公式即可得出二面角．
解法二：如图所示，连接OD，OQ，OR，过点O 发布作垂线：OE⊥DR，OF⊥DQ，
OG⊥QR，垂足分别为E，F，G，连接PE，PF，PG．设OP=h．可得cosα=
=
=
．同理可得：cosβ=
=
，cosγ=
=
．由已知可得：OE
＞OG＞OF．即可得出．
【解答】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系．设底面△ABC 的中心为O．
不妨设OP=3．则O（0，0，0），P（0，﹣3，0），C（0，﹣6，0），D（0，0，6
），
Q
，R
，
=
，
=（0，3，6
），
=（
，5，0），
=
，
=
．
设平面PDR 的法向量为=（x，y，z），则
，可得
，
可得=
，取平面ABC 的法向量=（0，0，1）．
则cos
=
=
，取α=arccos
．
同理可得：β=arccos
．γ=arccos
．
∵
＞
＞
．
∴α＜γ＜β．
解法二：如图所示，连接OD，OQ，OR，过点O 发布作垂线：OE⊥DR，OF⊥DQ，
OG⊥QR，垂足分别为E，F，G，连接PE，PF，PG．
设OP=h．
第11页（共25页）
则cosα=
=
=
．
同理可得：cosβ=
=
，cosγ=
=
．
由已知可得：OE＞OG＞OF．
∴cosα＞cosγ＞cosβ，α，β，γ 为锐角．
∴α＜γ＜β．
故选：B．
【点评】本题考查了空间角、空间位置关系、正四面体的性质、法向量的夹角公式，
考查了推理能力与计算能力，属于难题．
10．（5 分）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC 与BD 交
于点O，记I1=
•
，I2=
•
，I3=
•
，则（ ）
第12页（共25页）
A．I1＜I2＜I3 B．I1＜I3＜I2 C．I3＜I1＜I2 D．I2＜I1＜I3
【分析】根据向量数量积的定义结合图象边角关系进行判断即可．
【解答】解：∵AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，
∴AC=2
，
∴∠AOB=∠COD＞90°，
由图象知OA＜OC，OB＜OD，
∴0＞
•
＞
•
，
•
＞0，
即I3＜I1＜I2，
故选：C．
【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据图象结合平面向量数量积的
定义是解决本题的关键．
二、填空题：本大题共7 小题，多空题每题6 分，单空题每题4 分，共36 分
11．（4 分）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能
把π 的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π 的值精确到小
数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接
正六边形的面积S6，S6=
．
【分析】根据题意画出图形，结合图形求出单位圆的内接正六边形的面积．
【解答】解：如图所示，
单位圆的半径为1，则其内接正六边形ABCDEF 中，
△AOB 是边长为1 的正三角形，
所以正六边形ABCDEF 的面积为
S6=6×
×1×1×sin60°=
．
故答案为：
．
第13页（共25页）
【点评】本题考查了已知圆的半径求其内接正六边形面积的应用问题，是基础题．
12．（6 分）已知a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i 是虚数单位），则a2+b2=
5
，ab=
2
．
【分析】a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i 是虚数单位），可得3+4i=a2
b
﹣
2+2abi，可得3=a2﹣
b2，2ab=4，解出即可得出．
【解答】解：a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i 是虚数单位），
∴3+4i=a2
b
﹣
2+2abi，
∴3=a2
b
﹣
2，2ab=4，
解得ab=2，
，
．
则a2+b2=5，
故答案为：5，2．
【点评】本题考查了复数的运算法则、复数的相等、方程的解法，考查了推理能力
与计算能力，属于基础题．
13．（6 分）已知多项式（x+1）3（x+2）2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，则a4=
16
，a5=
4
．
【分析】利用二项式定理的展开式，求解x 的系数就是两个多项式的展开式中x 与
常数乘积之和，a5就是常数的乘积．
【解答】解：多项式（x+1）3（x+2）2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，
（x+1）3中，x 的系数是：3，常数是1；（x+2）2中x 的系数是4，常数是4，
a4=3×4+1×4=16；
a5=1×4=4．
故答案为：16；4．
【点评】本题考查二项式定理的应用，考查计算能力，是基础题．
第14页（共25页）
14．
（6 分）已知△ABC，AB=AC=4，BC=2，点D 为AB 延长线上一点，BD=2，连结CD，
则△BDC 的面积是
，com∠BDC=
．
【分析】如图，取BC 得中点E，根据勾股定理求出AE，再求出S△ABC，再根据S△BDC=
S△ABC即可求出，根据等腰三角形的性质和二倍角公式即可求出
【解答】解：如图，取BC 得中点E，
∵AB=AC=4，BC=2，
∴BE=
BC=1，AE⊥BC，
∴AE=
=
，
∴S△ABC=
BC•AE=
×2×
=
，
∵BD=2，
∴S△BDC=
S△ABC=
，
∵BC=BD=2，
∴∠BDC=∠BCD，
∴∠ABE=2∠BDC
在Rt△ABE 中，
∵cos∠ABE=
=
，
∴cos∠ABE=2cos2∠BDC
1=
﹣
，
∴cos∠BDC=
，
故答案为：
，
第15页（共25页）
【点评】本题考查了解三角形的有关知识，关键是转化，属于基础题
15．（6 分）已知向量、满足| |=1，| |=2，则| + |+| ﹣|的最小值是
4
，
最大值是
．
【分析】通过记∠AOB=α（0≤α≤π），利用余弦定理可可知| + |=
、|
﹣|=
，进而换元，转化为线性规划问题，计算即得结论．
【解答】解：记∠AOB=α，则0≤α≤π，如图，
由余弦定理可得：
| + |=
，
| ﹣|=
，
令x=
，y=
，
则x2+y2=10（x、y≥1），其图象为一段圆弧MN，如图，
令z=x+y，则y=
x
﹣+z，
则直线y=
x
﹣+z 过M、N 时z 最小为zmin=1+3=3+1=4，
当直线y=
x
﹣+z 与圆弧MN 相切时z 最大，
由平面几何知识易知zmax即为原点到切线的距离的
倍，
也就是圆弧MN 所在圆的半径的
倍，
所以zmax=
×
=
．
综上所述，| + |+| ﹣|的最小值是4，最大值是
．
故答案为：4、
．
第16页（共25页）
【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，考查数形结合能力，考查运算求解能
力，涉及余弦定理、线性规划等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．
16．（4 分）从6 男2 女共8 名学生中选出队长1 人，副队长1 人，普通队员2 人组
成4 人服务队，要求服务队中至少有1 名女生，共有
660
种不同的选法．（用
数字作答）
【分析】由题意分两类选1 女3 男或选2 女2 男，再计算即可
【解答】解：第一类，先选1 女3 男，有C6
3C2
1=40 种，这4 人选2 人作为队长和副队
有A4
2=12 种，故有40×12=480 种，
第二类，先选2 女2 男，有C6
2C2
2=15 种，这4 人选2 人作为队长和副队有A4
2=12 种，
故有15×12=180 种，
根据分类计数原理共有480+180=660 种，
故答案为：660
【点评】本题考查了分类计数原理和分步计数原理，属于中档题
17．（4 分）已知a∈R，函数f（x）=|x+
a
﹣|+a 在区间[1，4]上的最大值是5，则a
的取值范围是 （﹣
∞
，
） ．
第17页（共25页）
【分析】通过转化可知|x+
a
﹣|+a≤5 且a≤5，进而解绝对值不等式可知2a﹣
5≤x+
≤5，进而计算可得结论．
【解答】解：由题可知|x+
a
﹣|+a≤5，即|x+
a
﹣|≤5
a
﹣，所以a≤5，
又因为|x+
a
﹣|≤5
a
﹣，
所以a
5
﹣≤x+
a
﹣≤5
a
﹣，
所以2a
5
﹣≤x+
≤5，
又因为1≤x≤4，4≤x+
≤5，
所以2a
5
﹣≤4，解得a≤
，
故答案为：（﹣∞，
）．
【点评】本题考查函数的最值，考查绝对值函数，考查转化与化归思想，注意解题
方法的积累，属于中档题．
三、解答题（共5 小题，满分74 分）
18．（14 分）已知函数f（x）=sin2x
cos
﹣
2x
2
﹣
sinx cosx（x∈R）．
（Ⅰ）求f（
）的值．
（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．
【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式，
（Ⅰ）代入可得：f（
）的值．
（Ⅱ）根据正弦型函数的图象和性质，可得f（x）的最小正周期及单调递增区间
【解答】解：∵函数f（x）=sin2x
cos
﹣
2x
2
﹣
sinx cosx=﹣
sin2x
cos2x=2sin
﹣
（2x+
）
第18页（共25页）
（Ⅰ）f（
）=2sin（2×
+
）=2sin
=2，
（Ⅱ）∵ω=2，故T=π，
即f（x）的最小正周期为π，
由2x+
∈[﹣
+2kπ，
+2kπ]，k∈Z 得：
x∈[﹣
+kπ，﹣
+kπ]，k∈Z，
故f（x）的单调递增区间为[﹣
+kπ，﹣
+kπ]，k∈Z．
【点评】本题考查的知识点是三角函数的化简求值，三角函数的周期性，三角函数
的单调区间，难度中档．
19．
（15 分）如图，已知四棱锥P
ABCD
﹣
，△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，
BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E 为PD 的中点．
（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；
（Ⅱ）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值．
【分析】（Ⅰ）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，过D 作平面ABCD 的垂线为z 轴，
建立空间直角系，利用向量法能证明CE∥平面PAB．
（Ⅱ）求出平面PBC 的法向量和
，利用向量法能求出直线CE 与平面PBC 所成角
的正弦值．
【解答】证明：
（Ⅰ）∵四棱锥P
ABCD
﹣
，△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，
BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E 为PD 的中点，
∴以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，过D 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间
直角系，
设PC=AD=2DC=2CB=2，
第19页（共25页）
则C（0，1，0），D（0，0，0），P（1，0，1），E（
），A（2，0，0），B（1，1，0），
=（
），
=（1，0，﹣1），
=（0，1，﹣1），
设平面PAB 的法向量=（x，y，z），
则
，取z=1，得=（1，1，1），
∵
=
=0，CE⊄平面PAB，
∴CE∥平面PAB．
解：（Ⅱ）
=（﹣1，1，﹣1），设平面PBC 的法向量=（a，b，c），
则
，取b=1，得=（0，1，1），
设直线CE 与平面PBC 所成角为θ，
则sinθ=|cos＜
＞|=
=
=
．
∴直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值为
．
【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、
线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想
象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．
第20页（共25页）
20．（15 分）已知函数f（x）=（x﹣
）e
x
﹣（x≥
）．
（1）求f（x）的导函数；
（2）求f（x）在区间[
，+∞）上的取值范围．
【分析】（1）求出f（x）的导数，注意运用复合函数的求导法则，即可得到所求；
（2）求出f（x）的导数，求得极值点，讨论当
＜x＜1 时，当1＜x＜
时，当x＞
时，
f（x）的单调性，判断f（x）≥0，计算f（
），f（1），f（
），即可得到所求取值范围．
【解答】解：（1）函数f（x）=（x﹣
）e
x
﹣（x≥
），
导数f′（x）=（1﹣
•
•2）e
x
﹣﹣（x﹣
）e
x
﹣
=（1
x
﹣+
）e
x
﹣=（1
x
﹣）（1﹣
）e
x
﹣；
（2）由f（x）的导数f′（x）=（1
x
﹣）（1﹣
）e
x
﹣，
可得f′（x）=0 时，x=1 或
，
当
＜x＜1 时，f′（x）＜0，f（x）递减；
当1＜x＜
时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当x＞
时，f′（x）＜0，f（x）递减，
且x≥
⇔x2≥2x
1
﹣⇔（x
1
﹣）2≥0，
则f（x）≥0．
由f（
）=
e
，f（1）=0，f（
）=
e
，
即有f（x）的最大值为
e
，最小值为f（1）=0．
第21页（共25页）
则f（x）在区间[
，+∞）上的取值范围是[0，
e
]．
【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能
力，正确求导是解题的关键，属于中档题．
21．
（15 分）如图，已知抛物线x2=y，点A（﹣
，），B（
，），抛物线上的点P（x，
y）（﹣
＜x＜
），过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q．
（Ⅰ）求直线AP 斜率的取值范围；
（Ⅱ）求|PA|•|PQ|的最大值．
【分析】（Ⅰ）通过点P 在抛物线上可设P（x，x2），利用斜率公式结合﹣
＜x＜
可得结论；
（Ⅱ）通过（I）知P（x，x2）、﹣
＜x＜
，设直线AP 的斜率为k，联立直线AP、BP 方
程可知Q 点坐标，进而可用k 表示出
、
，计算可知|PA|•|PQ|=（1+k）3（1﹣
k），通过令f（x）=（1+x）3（1
x
﹣），﹣1＜x＜1，求导结合单调性可得结论．
【解答】解：（Ⅰ）由题可知P（x，x2），﹣
＜x＜
，
所以kAP=
=x﹣
∈（﹣1，1），
故直线AP 斜率的取值范围是：（﹣1，1）；
（Ⅱ）由（I）知P（x，x2），﹣
＜x＜
，
第22页（共25页）
所以
=（﹣
﹣x，
﹣x2），
设直线AP 的斜率为k，则AP：y=kx+
k+
，BP：y=﹣
x+
+
，
联立直线AP、BP 方程可知Q（
，
），
故
=（
，
），
又因为
=（﹣1
k
﹣，﹣k2
k
﹣），
故﹣|PA|•|PQ|=
•
=
+
=（1+k）3（k
1
﹣），
所以|PA|•|PQ|=（1+k）3（1
k
﹣），
令f（x）=（1+x）3（1
x
﹣），﹣1＜x＜1，
则f′（x）=（1+x）2（2
4x
﹣
）=
2
﹣（1+x）2（2x
1
﹣），
由于当﹣1＜x＜﹣
时f′（x）＞0，当
＜x＜1 时f′（x）＜0，
故f（x）max=f（
）=
，即|PA|•|PQ|的最大值为
．
【点评】本题考查圆锥曲线的最值问题，考查运算求解能力，考查函数思想，注意
解题方法的积累，属于中档题．
22．（15 分）已知数列{xn}满足：x1=1，xn=xn+1+ln（1+xn+1）（n∈N*），证明：当n∈N*时，
（Ⅰ）0＜xn+1＜xn；
（Ⅱ）2xn+1
x
﹣n≤
；
（Ⅲ）
≤xn≤
．
【分析】（Ⅰ）用数学归纳法即可证明，
（Ⅱ）构造函数，利用导数判断函数的单调性，把数列问题转化为函数问题，即可
证明，
第23页（共25页）
（Ⅲ）由
≥2xn+1
x
﹣n得
﹣
≥2（
﹣
）＞0，继续放缩即可证明
【解答】解：（Ⅰ）用数学归纳法证明：xn＞0，
当n=1 时，x1=1＞0，成立，
假设当n=k 时成立，则xk＞0，
那么n=k+1 时，若xk+1＜0，则0＜xk=xk+1+ln（1+xk+1）＜0，矛盾，
故xn+1＞0，
因此xn＞0，（n∈N*）
∴xn=xn+1+ln（1+xn+1）＞xn+1，
因此0＜xn+1＜xn（n∈N*），
（Ⅱ）由xn=xn+1+ln（1+xn+1）得xnxn+1
4x
﹣
n+1+2xn=xn+1
2
2x
﹣
n+1+（xn+1+2）ln（1+xn+1），
记函数f（x）=x2
2x
﹣
+（x+2）ln（1+x），x≥0
∴f′（x）=
+ln（1+x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴f（x）≥f（0）=0，
因此xn+1
2
2x
﹣
n+1+（xn+1+2）ln（1+xn+1）≥0，
故2xn+1
x
﹣n≤
；
（Ⅲ）∵xn=xn+1+ln（1+xn+1）≤xn+1+xn+1=2xn+1，
∴xn≥
，
由
≥2xn+1
x
﹣n得
﹣
≥2（
﹣
）＞0，
∴
﹣
≥2（
﹣
）≥…≥2n
1
﹣（
﹣
）=2n
2
﹣，
∴xn≤
，
综上所述
≤xn≤
．
第24页（共25页）
【点评】本题考查了数列的概念，递推关系，数列的函数的特征，导数和函数的单
调性的关系，不等式的证明，考查了推理论证能力，分析解决问题的能力，运算能
力，放缩能力，运算能力，属于难题
第25页（共25页）
