文档文本内容
2017 年普通高等学校招生全国统一考试天津数学（理工类）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150 分，考试用时120 分钟。
第Ⅰ卷1 至2 页，第Ⅱ卷3 至5 页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用
条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试
卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净
后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8 小题，每小题5 分，共40 分。
参考公式：
·如果事件 A，B 互斥，那么 ·如果事件 A，B 相互独立，那么
P(A∪B)=P(A)+P(B)． P(AB)=P(A) P(B)．
·棱柱的体积公式V=Sh.
·球的体积公式
.
其中S 表示棱柱的底面面积，
其中
表示球的半径．
h 表示棱柱的高．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）设集合
，则
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）设变量
满足约束条件
则目标函数
的最大值为
（A）
（B）1（C）
（D）3
（3）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入
的值为24，则输出
的值为
（A）0 （B）1（C）2（D）3
（4）设
，则“
”是“
”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
（5）已知双曲线
的左焦点为
，离心率为
.若经过
和
两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）已知奇函数
在R 上是增函数，
.若
，
，
，
则a，b，c 的大小关系为
（A）
（B）
（C）
（D）
（7）设函数
，
，其中
，
.若
，
，且
的最小正周期大于
，则
（A）
，
（B）
，
（C）
，
（D ）
，
（8）已知函数
设
，若关于x 的不等式
在R 上恒成立
则a 的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2．本卷共12 小题，共110 分。
二. 填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分.
（9）已知
，i 为虚数单位，若
为实数，则a 的值为 .
（10）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体
积为 .
（11）在极坐标系中，直线
与圆
的公共点的个数为
___________.
（12）若
，
，则
的最小值为___________.
（
13
）
在
中
，
，
，
.
若
，
，且
，则
的值为___________.
（14）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9 组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，
这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）
三. 解答题：本大题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15.（本小题满分13 分）
在
中，内角
所对的边分别为
.已知
，
，
.
（Ⅰ）求
和
的值；
（Ⅱ）求
的值.
16.（本小题满分13 分）
从甲地到乙地要经过3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的
概率分别为
.
（Ⅰ）设
表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量
的分布列和数学期望；
（Ⅱ）若有2 辆车独立地从甲地到乙地，求这2 辆车共遇到1 个红灯的概率.
（17）（本小题满分13 分）
如图，在三棱锥P-ABC 中，PA⊥底面ABC，
.点D，E，N 分别为棱PA，PC，BC 的中
点，M 是线段AD 的中点，PA=AC=4，AB=2.
（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角C-EM-N 的正弦值；
（Ⅲ）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为
，求线段AH 的长.
18.（本小题满分13 分）
已知
为等差数列，前n 项和为
，
是首项为2 的等比数列，且公比大于0，
,
，
.
（Ⅰ）求
和
的通项公式；
（Ⅱ）求数列
的前n 项和
.
（19）（本小题满分14 分）
设椭圆
的左焦点为
，右顶点为
，离心率为
.已知
是抛物线
的焦点，
到抛物线的准线的距离为
.
（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；
（II）设上两点
，
关于
轴对称，直线
与椭圆相交于点
（
异于点
），直线
与
轴相交于点
.若
的面积为
，求直线
的方程.
（20）（本小题满分14 分）
设
，已知定义在R 上的函数
在区间
内有一个零
点
，
为
的导函数.
（Ⅰ）求
的单调区间；
（Ⅱ）设
，函数
，求证：
；
（Ⅲ）求证：存在大于0 的常数
，使得对于任意的正整数
，且
满足
.
天津理数答案
1-4BDCA 5-8BCAA
9.−2；
10.
；
11.2；
12.4 ；
13.
；
14.1080
15.（Ⅰ）解：在
中，因为
，故由
，可得
.由已知及余弦定理，
有
，所以
.
由正弦定理
,得
.
所以，
的值为
，
的值为
.
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）及
，得
，所以
，
.故
.
16.（Ⅰ）解：随机变量
的所有可能取值为0,1,2,3.
，
，
，
.
所以，随机变量
的分布列为
0
1
2
3
随机变量
的数学期望
.
（Ⅱ）解：设
表示第一辆车遇到红灯的个数，
表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件
的
概
率
为
.
所以，这2 辆车共遇到1 个红灯的概率为
.
（17）本小题主要考查直线与平面平行、二面角、异面直线所成的角等基础知识.考查用空间
向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分13 分.
如图，以A 为原点，分别以
，
，
方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系.
依题意可得
A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，0，2），E（0，2，2），M（0，0，1），N（1，2，0）.
（Ⅰ）证明：
=（0，2，0），
=（2，0，
）.设
，为平面BDE 的法向量，
则
，即
.不妨设
，可得
.又
=（1，2，
），可得
.
因为
平面BDE，所以MN//平面BDE.
（Ⅱ）解：易知
为平面CEM 的一个法向量.设
为平面EMN 的法向量，则
，因为
，
，所以
.不妨设
，可得
.
因此有
，于是
.
所以，二面角C—EM—N 的正弦值为
.
（Ⅲ）解：依题意，设AH=h（
），则H（0，0，h），进而可得
，
. 由已知，得
，整理得
，解得
，或
.
所以，线段AH 的长为
或
.
18.【解析】（I）设等差数列
的公差为
，等比数列
的公比为
.
由已知
，得
，而
，所以
.
又因为
，解得
.所以，
.
由
，可得
①.
由
，可得
②，
联立①②，解得
，
，由此可得
.
所以，数列
的通项公式为
，数列
的通项公式为
.
（II）解：设数列
的前
项和为
，
由
，
，有
，
故
，
，
上述两式相减，得
得
.
所以，数列
的前
项和为
.
19.（Ⅰ）解：设
的坐标为
.依题意，
，
，
，解得
，
，
，于是
.
所以，椭圆的方程为
，抛物线的方程为
.
（Ⅱ）解：设直线
的方程为
，与直线的方程
联立，可得点
，故
.将
与
联立，消去
，整理得
，解得
，或
.由点
异于点
，可得点
.由
，可学*科.网得直线
的方程为
，令
，解得
，故
.所以
.又因为
的面积为
，故
，整理得
，解得
，所以
.
所以，直线
的方程为
，或
.
20.（Ⅰ）解：由
，可得
，
进而可得
.令
，解得
，或
.
当x 变化时，
的变化情况如下表：
x
+
-
+
↗
↘
↗
所以，
的单调递增区间是
，
，单调递减区间是
.
（Ⅱ）证明：由
，得
，
.
令函数
，则
.由（Ⅰ）知，当
时，
，故当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单
调
递
增
.
因
此
，
当
时
，
，可得
.
令函数
，则
.由（Ⅰ）知，
在
上单调递增，故当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减.因此，当
时，
，可
得
.
所以，
.
（III）证明：对于任意的正整数
，
，且
，
令
，函数
.
由（II）知，当
时，
在区间
内有零点；
当
时，
在区间
内有零点.
所以
在
内至少有一个零点，不妨设为
，则
.
由（I）知
在
上单调递增，故
，
于是
.
因为当
时，
，故
在
上单调递增，
所以
在区间
上除
外没有其他的零点，而
，故
.
又因为
，
，
均为整数，所以
是正整数，
从而
.
所以
.所以，只要取
，就有
.
选择填空解析
第Ⅰ卷（共40 分）
一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
（1）【2017 年天津，理1，5 分】设集合
，则
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】B
【解析】
，故选B．
（2）【2017 年天津，理2，5 分】设变量
满足约束条件
则目标函数
的最大值为（ ）
（A）
（B）1 （C）
（D）3
【答案】D
【解析】目标函数为四边形
及其内部，其中
，所以直线
过点B 时取最大值3，故选D．
（3）【2017 年天津，理3，5 分】阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入
的
值为
24，则输出
的值为（ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
【答案】C
【解析】依次为
，
，输出
，故选C．
（4）【2017 年天津，理4，5 分】设
，则“
”是“
”的（ ）
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
，
，
，不满足
，
所以
是充分不必要条件，故选A．
（5）【2017 年天津，理5，5 分】已知双曲线
的左焦点为
，离心率为
．若经过
和
两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】B
【解析】由题意得
，故选B．
（6）【2017 年天津，理6，5 分】已知奇函数
在R 上是增函数，
．若
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】C
【解析】因为
是奇函数且在
上是增函数，所以在
时，
，从而
是
上的偶函数，且在
上是增函数，
，
，
又
，
，
所
以
即
，
，所以
，故选C．
（7）【2017 年天津，理7，5 分】设函数
，
，其中
，
．若
，
，且
的最小正周期大于
，则（ ）
（A）
，
（B）
，
（C）
，
（D）
，
【答案】A
【解析】由题意
，其中
，所以
，又
，所以
，所以
，
，由
得
，故选
A．
（8）【2017 年天津，理8，5 分】已知函数
设
，若关于x 的不等式
在R 上恒成立，则a 的取值范围是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】A
【解析】不等式
为
，当
时，
式即为
，
，又
（
时取等号），
（
时取等号），所以
，当
，
式为
，
，又
（当
时取等
号），
（当
时取等号），所以
，综上
，
故选A．
二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分．
（9）【2017 年天津，理9，5 分】已知
，i 为虚数单位，若
为实数，则a 的值为 ．
【答案】
【解析】
为实数，则
．
（10）【2017 年天津，理10，5 分】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的
表面积为18，则这个球的体积为 ．
【答案】
【解析】设正方体边长为
，则
，外接球直径为
．
（11）
【2017 年天津，理11，5 分】在极坐标系中，直线
与圆
的公
共点的个数为 ．
【答案】2
【解析】直线为
，圆为
，因为
，所以有两个交点．
（12）【2017 年天津，理12，5 分】若
，
，则
的最小值为 ．
【答案】4
【解析】
，当且仅当
时取等号．
（13）【2017 年天津，理13，5 分】在
中，
，
，
．若
，
，且
，则
的值为 ．
【答案】
【
解
析
】
，
，
则
．
（14）【2017 年天津，理14，5 分】用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9 组成没有重复数字，且至多有
一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有 个．（用数字作答）
【答案】1080
【解析】
．
